第十五章含参变量的积分
教学目的与要求
1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；
2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.
3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；
4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；
5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；
6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系；
7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。
教学重点
1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；
2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分；
3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；
4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；
5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等
6 Beta函数和Gamma函数的性质。
教学难点
1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；
2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；
3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；
§1 含参变量的常义积分
教学目的
1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；
2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.
教学过程
1 含参变量的常义积分的定义 （P373）
2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374
T h e o r e m 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函数
?=d
c
dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 .
Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和
)(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数?
=)()
(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续.
例 1 求下列极限 (1)dx y x y ?
-→+1
1
2
20lim
(2) dx n
x
n
n ?
++∞→1
)1(11lim
2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.
2.3 积分号下求导定理P375—376
T h e o r e m 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数?
=
d
c
dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且
??=d
c d c x dy y x f dy y x f dx
d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) .
Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函
数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分
?
=)
()
(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上可微 , 且
()())()(,)()(,),()(112
2)
()
(21x y x y x f x y x y x f dy y x f x G x y x y x '-'+=
'?
. 例2 求下列函数的导数 (1) ?>+=
1
2
2
)0()l n ()(y dx y x
y F (2) ?-=2
2
)(x x
xy dx e
y F
例3 计算积分 dx x x I ?++=
1
021)
1ln(.
例 4 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数
?---=x n dt t f t x n x 0
1)()()!1(1
)(φ 的1-n 阶导数存在 , 且 )()()
(x f x n =φ.
2.4(P376定理15.1.4) 例4 求?++=
y
b y a dx x yx
y F sin )(的导数
例5 研究函数 ?+=
1
0 22)
()(dx y x x yf y F 的连续性，
其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数。 解 令2
2)
(),(y
x x yf y x g +=
，则),(y x g 在],[]1,0[d c ?连续，其中],[0d c ?。从而)(y F 在0≠y 连续。当0=y 时，0)0(=F
当0>y 时，记 0)(min ]
1,0[>=∈x f m x ，则
?
+=1
0 22)()(dx y x x yf y F ?+≥1 0 22dx y x y m y m 1
arctan = 若)(lim 0
y F y +→存在，则 ≥+
→)(l i m 0
y F y y
m y 1
a r c t a n l i m 0
+→)0(02
F m =>=π
故)(y F 在0=y 不连续。
或用定积分中值定理，当0>y 时， ]1,0[∈?ξ，使
?+=
1
0 22)()(dx y x x yf y F ?+=1 0 22)(dx y x y
f ξ y
f y
x
f 1
arctan )(arctan
)(1
ξξ==
若)(lim 0
y F y +→存在，则
=+
→)(l i m 0
y F y y
f y 1
a r c t a n )(l i m 0
ξ+→02
>≥m π
故)(y F 在0=y 不连续。
问题1 上面最后一个式子能否写为
y f y 1arctan
)(lim 0
ξ→0)(2
>=ξπ
f 。 事实上，ξ是依赖于y 的，极限的存在性还难以确定。 例6 设)(x f 在],[b a 连续，求证
?-=x
c
dt t x k t f k x y )(sin )(1)( （其中 ],[,b a c a ∈）
满足微分方程 )(2
x f y k y =+''。 证 令)(sin )(),(t x k t f t x g -=，则
)(cos )(),(t x k t kf t x g x -=， )(sin )(),(2t x k t f k t x g xx --=
它们都在],[],[b a b a ?上连续，则
?
-=
'x
c
dt t x k t f x y )(cos )()(
)()(sin )()( x f dt t x k t f k
x y x
c
+--=''?
y k y 2+'')()(sin )( x f dt t x k t f k x c +?--=?-+x c dt t x k t f k )(sin )()(x f =
例7 设)(x f 为连续函数，
ξηηξd d x f x F h
h ])([)(0
0?
?++=
求)(x F ''。
解 令u x =++ηξ，则
ξηηξd d x f x F h
h ])([)(00??++=??+++
=h
x x h
du u f d ξξξ
)(0
])()([)(0
??+-++='h
h
d x f d h x f x F ξξξξ
在第一项中令u h x =++ξ，在第二项中令u x =+ξ，则
])()([
)(2??+++-='h
x x
h
x h
x du u f du u f x F
)]()(2)2([)(x f h x f h x f x F ++-+=''
问题2 是否有
ξηηξd d x f x x F h h ])([)(00??++??='ξηηξd d x f x h
h ])([0
0??++??
=
例8 利用积分号下求导法求积分
dx x
x a a I ?
=
2
/0
tan )
tan arctan()(π， 1|| 解 令 x x a a x f tan ) tan arctan(),(= 2 , 0π =x 时，f 无定义，但a a x f x =+→),(lim 0 ，0),(lim 2 =-→ a x f x π，故补充定义 a a f =),0(， 0),2 ( =a f π 则f 在],[]2,0[b b -?π连续（10< ??? ? ??? <=<∈+=1|| ,2,0 ,01|| ),2,0( ,tan 11),(22a x a x x a a x f a ππ 显然)0,(x f a 在2 π =x 点不连续，但),(a x f a 分别在)0,1(]2,0[-?π和)1,0(]2,0[?π连续， 故有 ? ='2 /0 ),()(πdx a x f a I a ? += 2 /0 2 2t a n 11 πdx x a ， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a 令t x =tan ?+∞++='0222 )1)( 1(1)(dt t a t a I ?+∞ ++--+-=0 2222 22222)1)(1(111 dt t a t a t a t a a ?+∞ +-+-= 0222 22 ])1() 1(1[11 dt t a a t a |)|1(2a +=π， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a 积分之 1)1ln(2 )(C a a I ++= π ， )1,0(∈a 2)1l n (2 )(C a a I +-- =π ， )0,1(-∈a 因为)(a I 在)1,1(-连续，故 0)(lim )0(0 ==+→a I I a )(lim 0 a I a -→= 得021==C C ，从而得 |)|1ln(sgn 2 )(a a a I += π ， 1|| 作业：P378----379 2、3、5、6、8（2）（3）、11 §2 含参变量的反常积分 教学目的 1 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 2 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 3 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 教学过程 1 含参变量的反常积分的一致收敛 含参变量的反常积分有两种: 无穷区间上的含参变量的反常积分和无界函数的含参变量的反常积分. 定义P379---381 无穷积分 ? +∞ a dx y x f ),(在区间],[d c : 一致收敛: ],[,,0,000d c y A A A ∈?>?>?>?ε有 ε +∞ A dx y x f ),(; 非一致收敛: ],[,,0,0000d c y A A A ∈?>?>?>?ε有00 ),(ε≥? +∞A dx y x f . 2 一致收敛性的判别法 2.1(Cauchy 收敛原理) P381 2.2(s Weierstras 判别法)P382 例1 证明:无穷积分 ? +∞ +1 2 2cos dx y x xy 在R 一致收敛. 2.3 (Abel 判别法和Dirichlet 判别法) P382----385 2.4 (Dini 定理)P385 3 一致收敛积分的分析性质 3.1 连续性定理 3.2 积分次序交换定理 3.3 积分号下求导定理 例 2 利用积分号下求导求积分 ?+∞ ++= 12)()(n n a x dx a I ， （n 为正整数，0>a ） 解 因为 1 0212)(1 )(1+++≤+n n a x a x ， 00>≥a a 而 ?+∞++0 1 02)(n a x dx 收敛，故 ?+∞ ++=0 12)()(n n a x dx a I 在00>≥a a 一致收敛。 因为 a a x a a x dx 2arctan 1|0 02π==+∞++∞ ? 故 =+?+∞ 2a x dx da d ?+∞ +-0 22)(a x dx 2 /3)21(2--=a π =+?+∞ 022 2 a x dx da d ?+∞ +032) (2a x dx 2 /5)23)(21(2---=a π 由数学归纳法易证 =+?+∞ 02a x dx da d n n ?+∞ ++-0 12)(!)1(n n a x dx n 2 1 22 !)!12()1(2+- --=n n n a n π 于是 ?+∞ ++=01 2) ()(n n a x dx a I 2 1 2!)!2(!)!12(2+- -=n a n n π 例3 证明（1）? +∞ -1sin 2 ydx e yx 关于),0[+∞∈y 一致收敛； （2）? +∞ -1 sin 2 ydy e yx 关于),0[+∞∈x 不一致收敛。 证 （1）用分段处理的方法。 1>?A ，0>y ， 令 t x y = 得 |sin |2 ?+∞ -A yx ydx e |sin | 2 ?+∞ -=A y t dt e y y ?+∞ -≤0 2 |sin | dt e y y t |sin | 2y y π= 因为 0sin lim 0 =+ →y y y ，则 0>?ε，0>?δ，当δ< |sin |2 ?+∞ -A yx ydx e επ<≤ |sin | 2y y （1） 又 2 2 |sin |x yx e y e δ--≤， δ≥y 而 ?+∞ -1 2 dx e x δ收敛，由M 判别法，?+∞ -1 sin 2 ydx e yx 在),[+∞∈δy 一致收敛，即0>?ε， 10>?A ，0A A >?，有 ε -|sin |2 A yx ydx e ，δ≥?y （2） 上式对0=y 显然成立，结合（1）（2）式，有 ε -|sin | 2 A yx ydx e ， ),0[+∞∈y 即? +∞ -1 sin 2 ydx e yx 关于),0[+∞∈y 一致收敛。 （2）因为0=x 时，? +∞1sin ydy 发散，因此? +∞ -1 sin 2 ydy e yx 关于),0[+∞∈x 不可能一致 收敛。 例4 计算积分 ?+∞ + -0 ) (2 22dx e x a x 。 解 ?+∞ + -0 ) (2 22dx e x a x ?+∞ ---=0 2)(2dx e a x a x ?+∞ ---=0 )(22 dx e e x a x a 令 t x a x =- ?+∞ ∞ --dt e t 2 ?+∞ --+=0 2)()1(2 dx x a e x a x ?+∞ --=0 )(2dx e x a x ?+∞ ---0)(2x a d e x a x 在第二项积分中令 y x a =- ，得 ?+∞ ---0)(2 x a d e x a x ?+∞ --=0 )(2 dy e y a y 故 ?+∞ + -0 ) (2 22dx e x a x ?+∞ ---=0 )(22 dx e e x a x a a e 22 -= π 作业：P392—393 2、4（1）（2）、5、8、10、12、15 §3 Euler 积分 教学目的 1 掌握Beta 函数和Gamma 函数的定义及其相互关系； 2 掌握Beta 函数和Gamma 函数的性质。 教学过程 1 Beta 函数(第一类Euler 积分) 1.1 定义 确定定义域 1.2 Beta 函数的性质 P394 2 Gamma 函数(第二类Euler 积分) 2.1 定义 (确定定义域) 2.2 Gamma 函数的性质 P395 3 Beta 函数和Gamma 函数的关系 P397 例1 求 ? ∞ ++->>+0 1 )0,0() 1(q p dx x x q p p ； 例2 证明： （1） ?+∞ ∞ --Γ= )4 1(214 dx e x （2）?+∞-->>+Γ=0)1,0)(1(1m n n m n dx e x n x m 作业： P404—405 1（1）（3）（7）（8）、3、7、9、10 教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月 参考书： （1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978） （7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983） （8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991） （9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编， 北京大学出版社（1990） （10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999） （11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002） （12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998） （13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003） （14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993） 复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程 教师简介: 陈纪修-基本信息 博士生导师教授 姓名：陈纪修 数学分析视频教程全套220讲史济怀中国科技大学 国家精品课程-中国科技大学数学分析视频222讲中科大数学分析史济怀8DVD赠pdf格式课件和部分期末考试试卷 一、所用教材 《数学分析教程》(上、下册),常庚哲,史济怀编，高等教育(2003年) 二、章节容 数学分析一77讲 数学分析二88讲 数学分析三55讲 目前,本课程使用的教材是由我校数学系常庚哲和史济怀两位教授编著的《数学分析教程》上下册（高等教育，2003年5月，第一版）。该教材是普通高等教育“十五”国家级规划教材，是在1998年教育出版的《数学分析教程》的基础上写成的，原书融合了20多年来数学系讲授数学分析课程的教师的教学经验，同时也参考了国外同类书籍中的许多名著，在全国同类教材中有非常积极的影响。该教材已经在本校数学系使用了5年，教学效果很好。该教材的第二版正在 修订中。 参考书：1．《数学分析》，何琛，史济怀，徐森林编，高等教育(1985年)。 2．《数学分析新讲》，筑生编，大学(1991年)。 第一学期： 主要讲授单变量函数的微积分学。主要容有：实数理论，极限理论，单变量函数的微分学和积分学。 教学重点：极限理论，导数的概念和运算，Taylor公式，可积性理论和积分的计算。 教学难点：实数理论，极限理论，上、下极限，Taylor公式，可积性理论。 教材：《数学分析教程》(上册)，常庚哲，史济怀编，高等教育(2003年)。 参考书：《数学分析新讲》，筑生编，大学(1991年)。第一章实数15学时 §1 无尽小数1学时 §2 收敛数列及其性质5学时 §3 收敛原理和上下确界5学时 §4 上、下极限和Stolz定理4学时第二章函数的连续性19学时 §1 集合的映射和势2学时 §2 函数的极限6学时 §3 连续函数7学时 §4 混沌现象4学时 第三章函数的导数15学时 §1 导数的定义和计算5学时 §2 微分学中值定理及其应用5学时数学分析教材和参考书-推荐下载
数学分析视频教程-全套220讲-史济怀-中国科技大学
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