沈阳建筑大学
毕业论文
毕业论文题目双圆盘转子系统混沌运动分析
学院专业班级
学生姓名性别
指导教师职称
2012年6 月18日
摘要
建立了转子系统局部碰摩动力学模型,利用数值积分和Poincaré映射方法,对转子系统由于局部碰摩耦合故障导致的非线性动力学行为进行了数值仿真研究,给出了系统响应随转子转动频率和偏心量变化的分叉图。分析了转子系统动力学行为的影响,以及一些典型的相平面图、轴心轨迹图等。通过对定子与转子发生碰摩与基础松动耦合故障时的实测结果验证了数值分析的正确性。通过分别以转速n，摩擦系数f,径向刚度kr,轴段长度a为分叉参数时转子系统局部碰摩的分叉与混沌行为分析,发现阻尼、定子径向刚度和偏心距等参数明显影响系统运动特性。
结果表明以转速为分叉参数时, 转子系统响应经历了数次从混沌到周期解,再到混沌，再到周期解的过程,即混周交替出现过程, 系统响应以拟周期运动为主并伴有混沌运动。加大阻尼减小定子径向刚度能减小发生碰摩的范围, 系统通往混沌的道路以典型的倍周期分叉为主。以摩擦系数、径向刚度、轴段长度为分叉参数时转子系统系统响应拟周期或混沌运动为主,其间含有阵发性离开混沌和阵发性进入混沌及若干周期解。
关键词:转子;碰摩;混沌;分叉
Abstract
Establish the local rubbing rotor system dynamics model, using numerical integral and Poincare mapping method, displaced because of local rubbing coupled subsystems malfunction caused the nonlinear dynamic behavior in numerical simulation study, gives the system response with the rotor rotating frequency and volume of eccentric changes bifurcation diagram. Analyzing the foundation loose upon dynamic behaviors of the quality of subsystems, and the influence of some typical phase plan, axis path chart, etc. Through to the stator and rotor happen with loose coupling based rubbing fault when the measured results verify the correctness of the numerical analysis. Through the respectively to speed n, friction coefficient f, radial stiffness kr, shaft length for a bifurcation parameter of the rotor system at the fork of the local rubbing with chaos behavior analysis, found the radial.
The results showed that While the rotation speed was taken as the furcation parameter, the response of rotor system would go through the processes for several tmies from chaos to periodical solution and again to chaos and once more to periodical solution, namely appearing a process of chaos and periodical solution alternately. Increasing the damping and reducing the stator radial stiffness would decrease the rubbing scope. The ways lead to chaos was mainly double periodic furcation. When taking the rotation speed , the friction coefficient, the radial rigidity, and the length of the shaft as the furcation parameters, the rotor system response was mainly similar cycle consisting or chaos, which contains paroxysmal leave chaos and paroxysmal into chaos and a number of periodic solution.
Key Words:The rotor; Rubbing; chaos; bifurcation
目录
第一章绪论 (1)
1.1引言 (1)
1.1.1旋转机械的概念 (1)
1.1.2转子的概念研究 (1)
1.2转子系统动力学研究的发展 (2)
1.3MATLAB简介 (4)
1.4本文研究的主要内容 (5)
1.5小结 (6)
第二章分叉与混沌行为分析原理 (7)
2.1分叉与混沌 (7)
2.1.1 分叉的概述 (7)
2.1.2 混沌概述 (8)
2.2非线性振动的定性分析方法 (11)
2.2.1 相空间相轨线相平面 (12)
2.3小结 (13)
第三章悬臂双圆盘碰摩转子力学模型 (14)
3.1转子碰摩问题研究 (14)
3.2转子系统简化模型 (15)
3.3运动微分方程的建立 (15)
3.3.1 刚度矩阵的计算 (15)
3.3.2 建立运动微分方程 (20)
3.4小结 (21)
第四章转子系统分叉与混沌行为分析 (22)
4.1以转速为分叉参数时转子系统局部碰摩分叉与混沌行为分析 (22)
4.1.1 分叉图 (22)
4.1.2 分叉与混沌行为分析 (23)
4.1.3 分叉图 (26)
4.1.4 分叉与混沌行为分析 (27)
4.2以摩擦系数为分叉参数时转子系统局部碰摩的分叉与混沌行为分析 (28)
4.2.1 分叉图 (29)
4.2.2 分叉与混沌行为分析 (30)
4.3以定子径向刚度为分叉参数时转子系统局部碰摩的分叉与混沌行为分析 (34)
4.3.1 分叉图 (34)
4.3.2 分叉与混沌行为分析 (35)
4.4以轴段长度为分叉参数时转子系统局部碰摩的分叉与混沌行为分析 (39)
4.4.1 分叉图 (39)
4.4.2 分叉与混沌行为分析 (40)
4.5小结 (43)
第五章结论 (44)
参考文献 (45)
致谢 (46)
附录一
附录二
双圆盘转子系统混沌运动分析
第一章绪论
1.1 引言
旋转机械工业生产中不可缺少的一种重要的机械设备,在社会生产中发挥巨大的作用。转子动力学研究经历了一百多年的历史发展过程,做出了很多伟大的成就。与大型旋转机械的权力越来越大,转速越来越高,操作转子-轴承系统的稳定性问题已逐渐成为
主要内容的转子动力学研究的一个。在当今，旋转机械的振动问题有很大一部分问题是由转子不平衡引起的。因此，可以以为转子不平衡是引起旋转机械振动的重要原因之一，对于线性系统来说，不平衡引起的振动，其频率等于转子旋转频率，而当转子有非线性特征时失衡将引起转子旋转频率为基频，以及带有一系列高级谐波成为的振动。
为了消除或减轻由于失衡引起的振动，就必须对转子进行动平衡。对于实际的转子来说，其不平衡质量沿转子轴向和径向的分布是任意随机的。因此在实际的动平衡中不可能确定不平衡量的具体分布，然后在每一个平面进行平衡，采用一般的方法只能是人为的在转子的某个部位加上或减去一些质量，这些质量成校正质量，而所谓的动平衡过程就是在平衡面上找出增加或减去校正质量的大小和方位，然后在那个方位加上或减去校正质量，从而使校正质量所激发的振动与原始不平衡产生的振动相互抵销，最终达到平衡转子，减小振动的目的。
1.1.1 旋转机械的概念
旋转机械是指主要依靠旋转来执行特定功能的机械,典型的旋转机械有汽轮机、燃气轮机、离心轴流压缩机、风机、泵、水轮机和发电机和航空发动机等,广泛应用于电力、石化、冶金、航空航天等部门。
旋转机械振动故障主要的是不平衡,摩擦和松散、大型旋转机械一般安装有振动监测和故障诊断系统的保护。随着生产和技术的发展,人们对旋转机械的速度、效率和安全可靠性的要求也越来越高。家庭的机械设备与人民要求它效率高、噪音低、体积小、产业是要求更高的可靠性和经济性。
1.1.2 转子的概念研究
根据ISO标准，由轴承支撑的旋转体称为转子。转子为动力机械和工作超过主要机械旋转部件。典型的涡轮转子有机械转子、电机转子,各种泵转子和涡轮压缩机转子,转
子等。在某些转速会发生很多的变形和共振,引起共鸣的转子速度叫做临界速度。在工程上，工作转速低于第一阶临界转速的转子称为刚性转子，大于第一阶临界转速的转子称为柔性转子。由于转子作高速旋转运动，所以需要平衡。静平衡主要用于平衡盘形转子的惯性力。刚性转子的动平衡可以通过通用平衡机来平衡惯性力和惯性力偶，消除转子在弹性支承上的振动。柔性转子的动平衡比较复杂，从原理上区分，有振型平衡法和影响系数法两类。从研究方法角度分，转子系统研究经历了线性分析阶段，非线性分析阶段；从研究内容上分，转子系统经过了转子系统（含单转子，多转子两部分），转子-轴承系统，转子-轴承-基础系统和转子-轴承-底座系统四个阶段。到目前为止，转子系统动力学研究已取得不少重大成绩，从百万千瓦发电机组的成功运行，到航天飞机胜利穿梭太空，无一不依赖于转子动力学研究的重大成果。
1.2 转子系统动力学研究的发展
转子动力学是固体力学的分支。主要研究转子-支承系统在旋转状态下的振动、平衡和稳定性问题，尤其是研究接近或超过临界转速运转状态下转子的横向振动问题。转子是涡轮机、电机等旋转式机械中的主要旋转部件。1869年英国的W.J.M.兰金关于离心力的论文和1889年法国的C.G.P.de拉瓦尔关于挠性轴的试验是研究这一问题的先导。随着近代工业的发展，逐渐出现了高速细长转子。由于它们常在挠性状态下工作，所以其振动和稳定性问题就越发重要。
转子动力学的研究内容主要有以下5个：
（1）临界转速。由于制造中的误差，转子各微段的质心一般对回转轴线有微小偏离。转子旋转时，由上述偏离造成的离心力会使转子产生横向振动。这种振动在某些转速上显得异常强烈，这些转速称为临界转速。为确保机器在工作转速范围内不致发生共振，临界转速应适当偏离工作转速例如10％以上。临界转速同转子的弹性和质量分布等因素有关。对于具有有限个集中质量的离散转动系统，临界转速的数目等于集中质量的个数；对于质量连续分布的弹性转动系统，临界转速有无穷多个。计算大型转子支承系统临界转速最常用的数值方法为传递矩阵法。其要点是：先把转子分成若干段，每段左右端4个截面参数（挠度、挠角、弯矩、剪力）之间的关系可用该段的传递矩阵描述。如此递推，可得系统左右两端面的截面参数间的总传递矩阵。再由边界条件和固有振动时有非零解的条件，籍试凑法求得各阶临界转速，并随后求得相应的振型。
（2）通过临界转速的状态。一般转子都是变速通过临界转速的，故通过临界转速的状
态为不平稳状态。它主要在两个方面不同于固定在临界转速上旋转时的平稳状态：一是振幅的极大值比平稳状态的小，且转速变得愈快，振幅的极大值愈小；二是振幅的极大值不像平稳状态那样发生在临界转速上。在不平稳状态下，转子上作用着变频干扰力，给分析带来困难。求解这类问题须用数值计算或非线性振动理论中的渐近方法或用级数展开法。
（3）动力响应。在转子的设计和运行中，常需知道在工作转速范围内，不平衡和其他激发因素引起的振动有多大，并把它作为转子工作状态优劣的一种度量。计算这个问题多采用从临界转速算法引伸出来的算法。
（4）动平衡。确定转子转动时转子的质心、中心主惯性轴对旋转轴线的偏离值产生的离心力和离心力偶的位置和大小并加以消除的操作。在进行刚性转子（转速远低于临界转速的转子）动平衡时，各微段的不平衡量引起的离心惯性力系可简化到任选的两个截面上去，在这两个面上作相应的校正（去重或配重）即可完成动平衡。为找到两截面上不平衡量的方位和大小可使用动平衡机。在进行挠性转子（超临界转速工作的转子）动平衡时，主要用振型法和影响系数法。它们是转子动力学研究的重点。
（5）转子稳定性。转子保持无横向振动的正常运转状态的性能。若转子在运动状态下受微扰后能恢复原态，则这一运转状态是稳定的；否则是不稳定的。转子的不稳定通常是指不存在或不考虑周期性干扰下，转子受到微扰后产生强烈横向振动的情况。转子稳定性问题的主要研究对象是油膜轴承。油膜对轴颈的作用力是导致轴颈乃至转子失稳的因素。该作用力可用流体力学的公式求出，也可通过实验得出。一般是通过线性化方法，将作用力表示为轴颈径向位移和径向速度的线性函数，从而求出转子开始进入不稳定状态的转速——门限转速。导致失稳的还有材料的内摩擦和干摩擦，转子的弯曲刚度或质量分布在二正交方向不同，转子与内部流体或与外界流体的相互作用，等等。有些失稳现象的机理尚不清楚。
大型旋转机械的功率越来越大，工作转速越来越高，机组动力稳定性也就随着一次次灾难性事故的发生一直受到人们的重视。转子轴承系统的运行稳定性问题已逐渐成为转子动力学研究的重要内容之一。线性运动稳定性分析表明，系统的失稳一般情况下为对应的扰动方程出现一对正实部的复数根，工程上称为颤振失稳。而按非线性动力学理论，在非线性分析考虑某些参数小的变化至临界值时，导制系统的解的数目和性质发生变化。转子系统的非线性因素对转子系统局部和全部动态特性具有重大影响，许多非线性力学现象和规律，如振幅跳跃、分岔混沌、亚谐振动和内共振等，严重威胁转子系统
运行的安全。而对这些复杂的动力学现象，线性力学解释、解决不了，必须使用非线性动力学方法。
1.3 MATLAB简介
本文需要利用MATLAB通过编程来画出分叉图以及波形图，相平面图，轴心轨迹图，因而在此加以介绍。
一种语言之所以能如此迅速地普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着不同于其他语言的特点，正如同FORTRAN和C等高级语言使人们摆脱了需要直接对计算机硬件资源进行操作一样，被称作为第四代计算机语言的MATLAB，利用其丰富的函数资源，使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。MATLAB最突出的特点就是简洁。MATLAB用更直观的，符合人们思维习惯的代码，代替了C和 FORTRAN语言的冗长代码。MATLAB给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。以下简单介绍一下MATLAB的主要特点。
(1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。MATLAB程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。可以说，用MATLAB进行科技开发是站在专家的肩膀上。
具有FORTRAN和C等高级语言知识的读者可能已经注意到，如果用FORTRAN或C 语言去编写程序，尤其当涉及矩阵运算和画图时，编程会很麻烦。例如，如果用户想求解一个线性代数方程，就得编写一个程序块读入数据，然后再使用一种求解线性方程的算法（例如追赶法）编写一个程序块来求解方程，最后再输出计算结果。在求解过程中，最麻烦的要算第二部分。解线性方程的麻烦在于要对矩阵的元素作循环，选择稳定的算法以及代码的调试动不容易。即使有部分源代码，用户也会感到麻烦，且不能保证运算的稳定性。解线性方程的程序用FORTRAN和C这样的高级语言编写，至少需要四百多行，调试这种几百行的计算程序可以说很困难。
(2)运算符丰富。由于MATLAB是用C语言编写的，MATLAB提供了和C语言几乎一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使程序变得极为简短。
(3)MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。
(4)程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预
定义就可使用。
(5)程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。
(6)MATLAB的图形功能强大。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB 里，数据的可视化非常简单。MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。
(7)MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB 的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。(8)功能强大的工具箱是MATLAB的另一特色。MATLAB包含两个部分：核心部分和各种可选的工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。其工具箱又分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能，图示建模仿真功能，文字处理功能以及与硬件实时交互功能。功能性工具箱用于多种学科。而学科性工具箱是专业性比较强的，如control, toolbox, signl proceessing toolbox,commumnication toolbox等。这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的，所以用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高，精，尖的研究。
(9)源程序的开放性。开放性也许是MATLAB最受人们欢迎的特点。除内部函数以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。
1.4 本文研究的主要内容
旋转机械中经常采用悬臂双盘-轴承转子系统。为提高旋转机械的输出功率，采取的重要措施之一就是缩小旋转机械转子与定子之间的间隙，这将增大转定子间发生碰摩的可能性。当转定子发生碰摩故障时，转定子之间必将产生极强的相互作用, 碰摩力正是导致叶片轮断裂失效、机械系统严重损伤破坏的重要原因之一。转定子发生碰摩故障时，定子会被挤压变形, 过大变形会使转子气密性降低，影响发动机的动力性能, 过大的挤压变形同样可能破坏定子上的防摩材料涂层。因而碰摩这一问题已成为转子动力学的重要研究课题。由于描述碰摩状态下转子运动方程是一个含有耦合变量的非线性方程，目前还没有一般意义下普适的解析解法，所以通常只能对其进行数值仿真研究。本文从碰摩故障诊断的需求出发，以现代非线性动力学和转子动力学理论为基础,建立了悬臂双盘转子-轴承系统的力学数学模型，利用计算机仿真，对碰摩故障进行了数值模拟, 分析了带有碰摩故障的两个圆盘八个自由度的弹性转子系统局部碰摩的分叉与
混沌行为,发现参数变化时系统存在周期运动、拟周期运动和混沌运动等丰富的非线性动力学现象。
1.5 小结
本章主要对旋转机械，转子系统动力学的发展状况及其趋势进行了简单的介绍。对Matlab软件进行了相关的介绍，最后总结了本文研究的主要内容。
第二章分叉与混沌行为分析原理
2.1 分叉与混沌
非线性动力学中的分叉是非线性科学研究的重要内容之一，也是非线性微分方程研究的重要内容。分叉问题研究起源于18世纪以来对天体力学，流体力学和非线性振动中一些失稳现象的探讨，具有深刻的工程应用背景。经过一百多年来的微分方程的发展，特别时近二三十年来的分叉理论和方法开始广泛应用于力学，物理学，化学，生物学，生态学等学科和自动控制系统，机械振动等工程技术部门，以及经济学和社会发展等社会科学领域。
分叉理论不仅揭示了系统的不同运动状态之间的联系和转化，而且与混沌运动密切相关，是研究混沌产生的机理和条件的重要途径。
非线性动力学中的混沌运动也是目前非线性科学的研究热点之一。混沌被认为是继量子力学，相对论，基因以后，20世纪的重大发现之一，目前对它的研究已遍及各个领域。仅20多年中，在力学，物理学，化学，生物学，生态学及各个工程部门观察到大量的混沌例子。
混沌是指一些确定的系统对初始值十分敏感，即初始的微小扰动会使系统的长期运动发生很大变化，且貌似随机的一种运动。这是一种除了平衡态，周期运动，准周期运动，以外的有界的不规则的稳态运动形式。
2.1.1 分叉的概述
分叉理论研究动力系统由于参数的改变而引起解的拓扑结构和稳定性变化的过程。在科学技术领域中，许多系统往往都含有一个或多个参数。当参数连续改变时，系统解的拓扑结构或定性性质在参数取某值时发生突然变化，这时即产生分叉现象。
根据研究的目的，范围和对象以及方法的不同，分叉问题有不同的分类。根据系统轨线的范围可以分为局部分叉和全局分叉。局部分叉仅研究在平衡点或闭轨附近的某个邻域向量场轨线的拓扑结构的变化，全局分叉粗略的说就是非局部分叉，，局部分叉反映出许多实际工作中的分叉问题。
在通常的分叉研究中可将分为静态分叉和动态分叉。静态分叉主要研究平衡点分叉。动态分叉主要研究闭轨，同宿轨线，异宿轨线，不变环面等的分叉，因而动态分叉实际上包含了静态分叉问题。
分叉问题研究的内容广泛而丰富，即需要较厚的数学基础，有需要较宽的专业知识，
归纳起来，大致可分为如下几个方面：
分叉集的确定，即确定分叉的必要条件和充分条件，这是分叉研究的基本内容。
分叉定性形态的研究，即研究分叉出现时系统拓扑结构随参数变化的情况，这是分叉研究的重要内容。
分叉解的计算，即系统平衡点和极限环的计算。由于非线性系统分叉的直接求解往往较为困难，甚至不可能，这就需要采取实用而有效的近似方法。
各种不同分叉的相互作用，以及分叉与动力系统的其他现象如混沌的联系。
2.1.2 混沌概述
对于非线性振动，或者较一般的，对于运动这个重要概念，其数学描述可分为两类，一种是Newton创造的确定性描述，另一种是随机性描述。
混沌要研究的是确定性运动。一切运动在本质上都是非线性的，这一点在Newton
力学创始伊始就以及认识到了。但是由于数学处理的困难，早年人们对运动的确定型描述只限于线性模型和一些特殊的可积分非线性模型。后来，人们越来越把注意力转移到较为精确，较为困难的非线性模型。数字电子计算机的出现，为求解非线性系统提供有力的技术手段，而使非线性模型得到广泛的应用。
混沌运动的两个定义如下：
定义一不稳定的过度状态导致的始终有限的定常运动称为混沌运动。
定义二除开平衡，周期，拟周期以外的始终有限的定常运动称为混沌运动。
混沌使一个相当难以给出准确定义的数学概念，可以把它看作是确定性系统的随机行为。确定性是指它由原因而不是由外来的噪音干扰所产生；而随机性指的是不规则的和不可预测的行为。
非线性动力系统中的混沌运动具有以下一些特殊性：具有连续的功率谱，奇怪吸引子的维数是分数的，此外，混沌运动具有局部不稳定而整体稳定等特征。
2.1.3 通往混沌的道路
1.倍周期分叉
分叉与混沌有着密切联系，系统周期解在一定条件下，会产生倍周期分叉。随着系统参数的变化，这种分叉可以无限延续下去，直至周期演化为无限的，出现混沌。
2.阵发性分叉
阵发性分叉是指在分叉图上，系统的周期解随着参数的逐渐变化，在达到某一值时，
不经过一系列的分叉，而是突然变成非周期的而成为混沌，分叉过程具有明显的跳变现象。
3.由拟周期（准周期，概周期）通往混沌的道路
系统经过无穷多次准周期分叉进入混沌。只要经过有限次，一般几次即可进入混沌，这条道路是指直接通过若干次分叉进入混沌。
2.1.4 混沌的特性
(1) 对初始条件的敏感依赖性
这是混沌系统的典型特征。意思是初始条件的微小差别导致事情最后结果的极大差别，或者起初小的误差产生灾难性的后果。气象学家洛伦兹根据牛顿定律建立了温度和压强，压强和风速之间的非线性方程组，他将方程组在计算机上模拟，因嫌那些参数的小数点后的位数太多，输入烦琐，便舍去了几位，尽管舍去部分微不足道，可是结果却大大出乎意料地大相径庭。
(2) 极为有限的可预测性…
混沌现象是确定性系统的一种内在随机性，它的确定性是因为它内在的原因，而非受外界干扰而产生的；随机性是指不规则的，不能预测的行为，称这种混沌为非平衡混沌，股票市场所处的混沌状态就是非平衡混沌；系统处于平衡状态时所呈现的杂乱无章的混乱状态，称为平衡态混沌，如分子热运动。无论哪种状态，当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预测性或表现为局部的不可预测性，最终的结果都是不确定的、随机的。
(3)系统内部的有序性
任何混沌系统其内部的结构都是有序的。这种有序性表现为，第一，混沌内部有结构，而且在不同层次上结构具有相似性，即所谓的自相似性。罗辑斯蒂映射中，当参数超过3时，其解的轨迹出现分岔，而且一分再分，分岔点出现得越来越快，最后成为混沌。但将混沌区的任何小部分放大，看起来与整个图相似；第二，不同系统之间跨尺度的相似值，即所谓的普适性，普适性具体表现为复杂形状尺度变换现象，即物体在不同尺度观察时，它们所持有的不规则性( 即分维) 是完全不变的，如街角卷起垃圾的阵风与龙卷风都是空气骚动而形成的连续分布，生物肌体中血管的分支、神经纤维的分支、气管的分支等，这些分支在越来越小的尺度上具有自相似性，混沌系统中的这种尺度的自相似性形状称为分形，提到混沌，自然就要涉及分形，反之，亦然。而分形亦如混沌，
有着广泛的应用和极其重要的价值。
2.1.5 研究混沌的意义及深远影响
(1) 线性系统对初值的依赖性
在牛顿的经典理论框架下，人们一直认为，只要近似地知道了一个系统的初始条件并且理解了自然定律，就可以计算系统的近似行为。这一假定其实存在于科学的哲学核心里，就像一位理论家喜欢对学生们讲的，― 西方科学的基本思想是，当你试图解释地球表面一张台球桌上的运动时，完全不必考虑另一个星系里某个行星上一片树叶的飘落。极小的影响是可以忽略的。事物的行为方式有一种收敛性，任意小的影响是不会放大成为任意大的效果的。‖众所周知，动力学系统的行为或运动轨道决定于两个因素。一个是系统的运行演化规律，在数学上就是动力学方程；另一个就是系统现在的状态，数学上称为初始条件。一个确定性系统在给定了运动方程之后根据― 存在惟一陛‖定理，轨道准一地取决于初始条件，通过一个初值，并且只有一条轨道。这就是系统行为或轨道对初值的依赖性。按照经典力学观点，轨道对初值的依赖性是不敏感的。就是说，从两个相邻近的初值引出的两条轨道始终相互接近，彼此在空间偕游并行。这叫做初值的小改变引起轨道的小偏离。这也是微分学思想的核心，它主导了科学思维达300年之久。可以严格证明，一切线性系统对初值的依赖都是不敏感的。
(2)混沌理论的科学意义
长期以来，人们实际上默认一切确定性系统都是不敏感地依赖于初值的。但是，混沌研究改变了这一观点。处在混沌状态的系统，运动轨道将敏感地依赖于初始条件。从两个邻近的初值出发的两条轨道，在短时间内似乎差距不大，但在足够长的时间以后，必然呈现出显著的差别来。当然这里所说的时间足够长在不同的系统有所不同，彼此的差别可能很大。从长期行为看，初值的小改变在运动过程中不断被放大，导致轨道发生巨大的偏差，以至在空间中的距离要多远就有多远。这就是系统长期行为对初值的敏感依赖性。混沌系统中动力学方程是确定的，既没有随机外力，也没有随机系数或随机初值，随机性完全是在系统自身演化的动力学过程中，由于内在非线性机制作用而自发产生出来的。混沌是确定性系统的内在随机性,一种自发随机性，或动力学随机性。在科学上，发现确定性系统能内在地产生出随机不确定性，须用统计方法描述，预示着有可能把确定论和概率论两种对立的描述体系沟通起来。如果能做到这一点，必将带来科学的极大进步。
(3) 混沌理论研究的哲学意义
混沌理论的发现不仅具有重大科学意义，而且具有重大哲学意义。确定性与随机性历来被科学和形而上学哲学视为完全对立的东西，混沌却证明两者是相通的，或者说是矛盾的统一。确定性内在地包含随机性。自称是混沌福音传教士的物理学家福特写道，― 虽然与通常的意见相反，但在确定性地随机的’这一说法中绝对没有矛盾。确实，可以非常合理地建议，混沌的最一般定义应该写作，混沌意味着确定论的随机。‖
(4) 混沌理论研究的深远影响
20世纪70年代以来，随着混沌理论的发展，混沌理论也直接影响到数学、物理学的许多分支。20世纪80年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌及其混沌的性质特点。20世纪90年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，所以对它的研究，极大地扩展了人们的视野，活跃了人们的思维。过去被人们认为确定论和可逆的某些力学方程，却具有内在的随机性和不可逆性。确定性的方程却得不到确定的结果，这打破了确定论和随机论这两套描述体系间的鸿沟，给传统科学很大的冲击，在某种意义上是传统科学被改造，必将促进其他学科的发展；反之，其他学科又促进了对混沌的深入研究。物理学中一直存在决定论和概率论两套描述体系。二者不仅基本精神相反，而且曾经长期对立，互不相容。可是科学的发展日益表明，这两套体系是互补的。混沌理论的研究更揭示了除广泛存在的外在随机性之外，甚至确定论系统本身也普遍具有内在的随机性。正是这样，混沌才跻身于20世纪科学令人震惊的三大成就，即相对论、量子论和混沌论。所以混沌学是一门未来科学，如今它只是初露峥嵘，新世纪人们不断探索，才能真正看清它的美丽容颜。
2.2 非线性振动的定性分析方法
非线性振动系统一般用非线性微分方程、差分方程或代数方程加以描述，力学中的牛顿定律、达朗贝尔原理、拉格朗日方程等方法都可以用来建立其动力学方程。然而非线性动力学问题的求解却十分困难，除极个别简单问题外，大多数问题没有精确解。直到今天，一百多年来人们持续付出巨大努力试图解决这个问题，但还是不能彻底彻底揭示非线性动力系统的奥秘。
实验法和分析法是研究非线性振动的主要方法，其中分析法又可分为定性分析法和定量分析法两种。定性分析法始于庞加莱(Poincaré,H.)提出的几何法，既在相平面上研究解或平衡点的性质和相图性质，从而定性地确定解的形态。
2.2.1 相空间 相轨线 相平面
设有一n 自由度的完整约束的力学系统，
()t a a
a a F n n i i ,,,,,,a
11 = n i ,,1 = (2-1)
其中，()i i a a ,分别为广义坐标和广义速度，i F 是广义坐标、广义速度和时间t 的非线性函数。
令??
?==+i n
i i
i a x a x ()n i ,,1 =，将方程(2-1)化为一阶的系统状态方程组， ()t x x x f x
N
i i ,,,,21 = N i ,,1 =
()t ,x f x = (2-2)
其中，n N 2=；i x ()N i ,,1 =称为状态变量；()t ,x f 称为向量场。 若以n 2个状态变量作为坐标轴，建立正交坐标系，称为相空间；若将时间t 也作为一个坐标轴，则这个12+n 维的增广空间称为运动空间；运动空间中与方程(2-2)的解所对应的曲线称为解曲线；运动空间的解曲线在相空间中的投影称为相轨线；相轨线的全体称为相图；如果系统是个1=n 的单自由度系统，相空间退化的平面称为相平面。
在相空间中，代表周期性运动的相轨线表现为一条封闭曲线；拟周期性运动表现为一条缠绕在管状封闭曲带上的非封闭曲线；混沌运动表现为一条永远无法封闭的一团乱线，具有局部发散整体有限特征。
2.2.2 Poincaré截面和分叉图
设在相空间N R 中有一个1-n 维超曲面N R ?∑'，其上部分曲面∑'?∑上有任意的
Σ∈x ，Σ的法向矢量()x n 满足与相空间向量场()x f 的无切条件
()()0x f x n T ≠? (2-3)
则称Σ是向量场()x f 的Poincaré截面。
非线性系统的解是随系统参数的变化而随之改变的，这种变化并不仅表现在响应幅度大小的不同，它反映在解的本质属性改变。分叉图采用变化的系统参数作横坐标，将
解曲线在Poincaré截面上的不动点投影到纵坐标，图示反映解的拓扑结构随系统参数改变的演化规律。
周期性运动在相空间内或投影到相平面上都是一条封闭曲线；拟周期性运动的相轨线在相空间中好像缠绕在一条封闭管状曲带上，在相平面上的投影是一条封闭曲带；混沌运动在相空间内或投影到相平面上都好像是一条永不封闭的一团乱麻线。在分叉图上，周期性运动被表现为有限数目的解分支；拟周期性运动和混沌运动表现为无限数目不动点形成的具有有一定疏密结构的线段。
2.3 小结
本章主要介绍了分叉与混沌的概念以及通往混沌的道路，并描述了分叉图，相平面图，轴心轨迹图的形态。
第三章悬臂双圆盘碰摩转子力学模型
3.1 转子碰摩问题研究
转子与定子的碰摩是一类常见的旋转机械故障，通常表现为其它故障的间接结果。目前对碰摩转子系统的振动特性以做了大量研究，主要沿两个方向进行：（1）忽略碰摩时摩擦力影响；（2）考虑碰摩时摩擦力影响。然而，现有文献只对碰摩转子系统中的混沌运动和系统的周期运动作了一些简单分析，目前仍缺乏对这一类系统的混沌运动所展示的各种现象的全面分析。现在大多数汽轮机组的工作转速超过第一阶临界转速，甚至第二阶，第三阶临界转速。通过临界转速时的振动抑制问题一直得到各国专家的高度重视。日，德等国家分别有许多科题组进行了研究，Wauer(1976)讨论了弹性支撑条件下转子振动问题，第一次提出可采用变刚度支撑抑制非稳定周期解。1986年Wauer又考虑了弯，扭变形影响。其间Markertetal(1977-1980)在从简单转子系统到复杂的盘，轴振动系统的研究中做了许多基础性的、重要的工作，采用变刚度支撑抑制通过临界转速时的过大振幅问题的许多问题，许多成果得到重视。
产生转静子碰摩的原因有很多，主要原因有转子不平衡、装配误差、不对中、定子机匣运动或有较大的椭圆度、流体扰动、轴承间隙不当和其它故障引发的异常振动等。最常见的碰摩发生在转子与静子的封套间，最危险的碰磨发生在叶片与叶片或叶片与静子之间，此外得到较多关注的还有转子与干摩擦式限位器之间的碰摩现象，轴颈与颈轴承之间的碰磨现象。
根据碰摩部分接触情况，转子碰摩大致有整圈碰摩和局部碰摩两种，局部碰摩有偏摩、点碰摩和偏摩与点碰摩的混合碰摩三个类型。
完整的转子碰摩过程一般可分为转静子未接触的分离阶段、初始冲击接触、滑动抖振阶段和持续接触四个特定阶段。基于对碰磨过程的研究侧重不同，碰磨力学模型大体上分约束微分系统和分段光滑系统描述的两大类力学模型。
3.2 转子系统简化模型
系统力学模型见图3-1。不考虑摩擦的热效应，转定子间的局部碰撞变形为线弹性，摩擦符合库仑摩擦定律，则碰摩时碰撞力和切向摩擦力(见图3-2)可以表示为:
n
r n fF F e k e e F =??
?≥-<=τδδδ)()()(0
(3-1)
图3-1 系统力学模型
图3-2 碰摩力模型
式(3-1)中r k 为定子径向刚度，f 为摩擦系数，δ为静止时转定子间的间隙，
2
222y x e +=为圆盘2径向位移。当圆盘2径向位移小于静止时转定子间的间隙时，不
发生碰摩，当圆盘2径向位移大于静止时转定子间的间隙时，发生碰摩。发生碰摩时，碰摩力在水平轴和铅垂轴上的投影分别为：
)
(0)(11)(222
2
22δδδ<==≥????????????---=?????e F F e x y f f e e k F F x y r x y (3-2)
3.3 运动微分方程的建立
3.3.1 刚度矩阵的计算
由于刚度矩阵[]1K 与柔度矩阵[]1α
的关系为：
所以对柔度矩阵[]1α进行求解：