山西大学附属中学
2016~2017学年高三第一学期11月（总第五次）模块诊断 数学试题（理）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则A B = （ ） A.[2,1)- B. (1,1)- C. (1,2] D. (2,1)(1,2]-- 2.已知复数z 满足(1)5i z i -=+，则z =（ ）
A. 23i +
B. 23i -
C. 32i +
D. 32i -
3.若1||,3||==b a 且(3)2a b b +?=-
，则 cos ,a b <>= （ ）
A.6
3
-
B.31- C ．33- D ．63
4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）
A.
243π+ B.243π+ C.43π+ D.43
π+
5. 函数1
()sin(ln
)1
x f x x -=+的图象大致为（ ）
6.已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ）
A. 72种
B. 78种
C. 48种
D. 84种
7.已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤??
+-≥??≤?，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b
m +=，则
14
a b
+的最小值为（ ） A. 9 B. 32
C.34
D.5
2
8.抛物线2
23y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ） A . 2
2
(1)2x y +-= B .2
2
(1)(1)4x y -+-=
C .2
2
(1)1x y -+= D . 2
2
(1)(1)5x y -++= 9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2,2,AB BC AC ===若四面体ABCD 中球
心O 恰好在侧棱DA 上，
DC= ）
A .
254
π
B .4π
C . 16π
D . 8π 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S
a ，…，1515
S a 中最
大的项为（ ）
A ．
77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010
S
a 12.已知函数ln(1),0()11,02
x x f x x x +>??
=?+≤??，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是
（ ）
A. [32ln 2,2)-
B. [32ln 2,2]-
C. [1,2]e -
D. [1,2)e -
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数()121
x
a
f x =+
+（a R ∈）为奇函数，则=a . 14.如图，若4n =时，则输出的结果为
.
15.如图，在长方形OABC 内任取一点(,)P x y ，则点P 落在阴影部分内的概率为 .
16．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若
a C
b B
2s i n s i n c =+
，2=b ，则ABC
?面积是_______.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42
*
∈+=N n a n nS n n ．11=a （Ⅰ）求n a ； (Ⅱ)设n
n a n
b =
，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47 18.（本小题满分12分） A D O C P B E 如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ?和PAD ?是两个边长为2的正三角形，4D C =，O 为B D 的中点， E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求面PAD 与面PBC 所成角的大小． 19.（本小题满分12分） 某技术公司新开发了,A B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为 (Ⅱ)生产一件产品A ，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B ，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在（1）的前提下，记X 为生产1件产品A 和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分列和数学期望． 20.（本小题满分12分） 已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的右焦点， 直线AF O 为坐标原点． （I ）求E 的方程； （II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ?的面积最大时，求l 的方程 21.（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(=，0,2 1)(2 ≠+=a bx ax x g ． （Ⅰ）若2=b ，且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+??=+? (t 为参数)，24cos :3sin x C y θ θ =??=? (θ为参数)． （Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4 π 的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+． （Ⅰ）若2a =，解不等式()3f x ≤； (Ⅱ)若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围． 2016~2017学年高三第一学期11月（总第五次）模块诊断 数学试题 理科参考答案：1-5 C B C D B 6-10 C B D A C 11-12 C A 2- 94 e 23 1- 1 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则A B = （ ） A.[2,1)- B. (1,1)- C. (1,2] D. (2,1)(1,2]-- 【命题意图】本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式与一次不等式的解法，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C 2.已知复数z 满足(1)5i z i -=+，则z =（ ） A. 23i + B. 23i - C. 32i + D. 32i - 【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数等，考查基本的运算能力，是容易 题. 【答案】B 【解析】（方法一）由已知得5(5)(1)46231(1)(1)2 i i i i z i i i i ++++= ===+--+，故23z i =-.故选B. （方法二）设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-. 故由已知方程可得(1)()5i a bi i --=+，即()()5a b a b i i -+--=+. 所以51a b a b -=??--=?，解得2 3 a b =??=-?.所以23z i =-.故选B. 3.若1||,3||==且)2b b +?=- ，则 cos ,a b <>= （ ） A.3 - B.31- C ．3- D 【命题意图】本题主要考查同角三角函数关系式，诱导公式，平面向量的坐标运算、向量的数量积的基本运算等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C 4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ） A. 243π+ B.243π+ C.43π+ D.43 π+ 【命题意图】本题主要考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等，考查空间想象能力和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题. 【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱1OO ）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且P 在AB 上的射影为底面的圆心O . 由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径1r =，高2h =， 故其体积22111 1222 V r h πππ= =??=； 四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且1PO r ==. 故其体积2211421333ABCD V S PO =?=??=正方形.故该几何体的体积124 3 V V V π=+=+. 5. 函数1 ()sin(ln )1 x f x x -=+的图象大致为（ ） 【命题意图】本题主要考查函数图象的识别以及根据函数解析式研究函数性质，考查基本的逻辑推理能力，是中档题. 【答案】B 理6.已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有 A. 72种 B. 78种 C. 48种 D. 84 种 解：484223 3444455=+--A A A A 方法二：a,a,c 232?? c,a,a, 232??, a,c,a 2 4 2A ? 7.已知,x y 满足230 3301x y x y y +-≤?? +-≥??≤?，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则 14 a b +的最小[值为（ ） A. 9 B. 32 C.34 D.5 2 【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题. 【答案】B 【解析】如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）. 设2z x y =+，显然z 的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距. 由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值. 由230 330 x y x y +-=??+-=?，解得(3,0)M ； 所以z 的最大值为2306?+=，即6m =. 所以 6a b +=.故1411414()()(5)66b a a b a b a b a b +=++=++ 143(52)62 b a a b ≥+?=.当且仅当4b a a b =，即2=4b a =时等号成立. 8.抛物线2 23y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ） A . 2 2 (1)2x y +-= B .2 2 (1)(1)4x y -+-= C .2 2 (1)1x y -+= D . 2 2 (1)(1)5x y -++= 【命题意图】本题考查抛物线、二次方程和圆的方程，结合数形结合思想和方程思想考查圆的方程. 【答案】D 9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 答案 A 解答: 便宜没好货?如果便宜，那么不是好货。逆否命题是，如果是好货，那么不便宜 10.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2,AB BC ===若四面体ABCD 中球心O 恰好在侧棱DA 上， DC= ） A . 254 π B .4π C . 16π D . 8π 【命题意图】本题考查与三角形外接圆、三角形中位线和球的表面积计算公式等知识，考查考生的空间想象能力、 运算求解能力和分析问题解决问题的能力. 【答案】C 【解析】由2,AB BC ==可知,2 ABC π ∠= 取AC 中点M ，则OM 为DA 的中位 线，又点M 为ABC ?外接圆圆心，球心O 到面ABC 的距离为1 2 d DA = = 2R ==，故球表面积为2416S R ππ==. 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，2 2S a ，…，1515 S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99 S a D ． 1010 S a 【答案】 C 考点：等差数列的性质. 12.已知函数ln(1),0()11,02 x x f x x x +>?? =?+≤??，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是 （ ） A. [32ln 2,2)- B. [32ln 2,2]- C. [1,2]e - D. [1,2)e - 【命题意图】本题主要考查分段函数与方程的解，导数与函数最值等，考查函数与方程、数形结合的数学思想以及基本的逻辑推理能力，是难题. 【答案】A 【解析】如图，作出函数()y f x =的图象，不妨设()()f m f n t ==， 由()()f m f n =可知函数()f x 的图象与直线y t =有两个交点， 而0x ≤时，函数()y f x =单调递增，其图象与y 轴交于点(0,1)， 所以01t <≤.又m n <，所以0m ≤，0n >， 由01t <≤，得0ln(1)1n <+≤，解得01n e <≤-. 由()f m t =，即 1 12 m t +=，解得22m t =-； 由()f n t =，即ln(1)n t +=，解得1t n e =-； 记()1(22)21t t g t n m e t e t =-=---=-+（01t <≤），()2t g t e '=-. 所以当0ln 2t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减； 当ln 21t <≤时，()0g t '>，函数()g t 单调递增. 所以函数()g t 的最小值为ln2(ln 2)2ln 2132ln 2g e =-+=-； 而0(0)12g e =+=，(1)2112g e e =-+=-<.所以32ln 2()2g t -≤<. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数()121 x a f x =+ +（a R ∈）为奇函数，则=a . 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性以及不等式的求解等，考查函数与方程的数学思想以及基本的运算能力等，是简单题. 【答案】 -2 【解析】函数()f x 的定义域为R ，又因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =，即01021 a +=+，解得2a =-. 14.如图，若4n =时，则输出的结果为 . 【命题意图】本题主要考查循环结构程序框图的输出功能以及基本的计算能力与逻辑推理能力等，是中档题. 【答案】 49 【解析】方法一：开始，1,0k S ==， 故11 0(211)(211)3 S =+ =?-??+，因为14<，故进入循环. 第二次计算，112k =+=，11112 3(221)(221)3355 S =+=+=?-??+?； 因为24<，故进入循环. 第三次计算，213k =+=212135(231)(231)5577 S = +=+=?-??+?； 因为34<，故进入循环，第四次计算，314k =+=， 313147(241)(241)7799S =+=+=?-??+?；因为44<不成立，所以输出S ，即输出 4 9 . 故当4n =时，输出的结果为444 2419 S ==?+. 理15. 如图，在长方形OABC 内任取一点(,)P x y ，则点P 落在阴影部分内的概率 为 . 【命题意图】本题主要考查定积分的应用以及几何概型的求解，考查基本的计算能力以及数形结合、转化与化归的数学思想等，是中等题. 【答案】312e - 【解析】由图知(1,)B e 在函数()x f x a =的图象上，所以1(1)f a e ==，即a e =，所以 ()x f x e =. 而(0,1)D ，(1,0)A ，所以直线AD 的方程为1y x =-.故阴影部分的面积 1 10 [(1)]x S e x dx =--? 2101()|2x e x x =-+ 120211(11)(00)22e e =-+?--+?32 e =-， 而长方形OABC 的面积1S e e =?=.故所求事件的概率为13 3212e S P S e e - ===-. 文 15.从圆42 2=+y x 内任取一点P ，则P 到直线1=+y x 的概率是 _______. A D O C P B E 答案： 2 4ππ + 16．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a C b B 2s i n s i n c =+ ，2=b ，则ABC ?面积是_______. 解析：在ABC ?中， a C b B 2sin sin c =+，∴2sin sin sin sin sin 2≥+=C B B A A ,当且仅当B A sin sin =时取等号,∴1sin ≥A ,又1sin ≤A ，故1sin =A ,2 π = A 则ABC ?面积是1 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．11=a （1）求n a ； （2）设n n a n b = ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47 解(1); n n a n nS 2)1(4+=, (1) 1-21-1-4n n a n S n =）（(2) (1)-(2),得,2 122)1(44)1(---+=n n n a n n a n n a ,3n a n =，11) 1(13 13==-=-a n a n a n n (2)21n b n =,47 147)1(14313212 112<-=?-++?+?++ 18.（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形， //AB CD ，AB AD ⊥，PAB ?和PAD ? 是两个边长为2的正三角形，4DC =， O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ； 理(Ⅱ)求面PAD 与面PBC 所成角的大小． 文(Ⅱ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值． （Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB = ∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ，∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点，∴O 为,AF BD 的交点， ∵ 2PD PB ==， PO BD ⊥， ∵BD = = ∴ PO ==1 2 AO BD == 在三角形PAO 中，222 4PO AO PA +==，∴PO AO ⊥， ∵AO BD O = ，∴PO ⊥平面ABCD ； 理(Ⅱ) 设平面PAD 的法向量为),,( z y x n =，2(-1,-1,-， A D O C P B E F 3 3 sin = =BC d θ 方法二：设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z = ，直线CB 与平面PDC 所成角θ， 则00n PC n PD ??=???=?? ，即111111300x y x y ?+=??--=??， 解得111 0y x =???=??，令11z =，则平面PDC 的一个法向量为)n = ， 又(2,2,0)CB =-- ,则sin cos ,θn CB =<>== ， ∴直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值为3 . 19.（理科）（本小题满分12分） 某技术公司新开发了,A B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82 （2）生产一件产品A ，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B ，若是正品可盈利100 元，次品则亏损20元，在（1）的前提下，记X 为生产1件产品A 和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分列和数学期望． 【答案】（1） 45，34 ；（2）分布列见解析，132． 试题解析：（1）产品A 为正品的概率为 403284 1005 ++=． 产品B 为正品的概率约为402963 1004 ++=． （2）随机变量X 的所有取值为180,90,6030，-， ()433180545P X ==?=；()133905420P X ==?=；()411 60545 P X ==?=； ()111 305420 P X =-=?=． ()()11 180906030132520520 E X =?+?+?+-?=． 考点：1、离散型随机变量的期望与方差；2、列举法计算基本事件数及事件发生的概率；3、 离散型随机变量及其分布列． 20.（本小题满分12分） 已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的右焦点， 直线AF 的斜率为3 ，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程； （II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ?的面积最大时，求l 的方程 解析：（I ）设(,0)F c ，由条件知 23c = ，得c =，又2 c a =，所以2a =，2 2 2 1b a c =-=，故E 的方程为2 214 x y += （II ）当l x ⊥轴时不合题意，故可设:2l y kx =-，1122(,),(,)P x y P x y ， 将:2l y kx =-代入2 214 x y +=中得22(14)16120k x kx +-+=，当216(43)0k ?=->时,即2 34 k >, 由韦达定理得1212 22 1612 ,1414k x x x x k k +==++ 从而||PQ === 又点O 到直线PQ 的距离为 d = 所以POQ ?的面积21||241 OPQ S d PQ k ?=?=+ t =，则0t >，244 4 4OPQ t S t t t ?== ++，因为44t t +≥,当且仅当2t =， 即2k =±时等号成立，且满足0?>.所以当O P Q ?的面积最大时，l 的方程为 22y x =-或22 y x =-- 法二：令2 41k m +=，则2 22 16(4)14 16()OPQ m S m m m ?-= =- 当118m =时， 即 8m = ，2 418k += ，2 k =±时等号成立，且满足0?>. 所以OPQ ?的面积最大时，l 的方程为22y x =- 或22 y x =-- 考点：椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式，二次分式类函数最值的求法 21.（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(=，0,2 1)(2 ≠+= a bx ax x g （Ⅰ）若2= b ，且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行. 解：（I ）x ax x x h b 221ln )(,22 --==时，则.1221)(2x x ax ax x x h -+- =--=' 因为函数h (x )存在单调递减区间，所以)(x h '<0有解. 又因为x >0时，则ax 2+2x －1>0有x >0的解. ①当a >0时，y=ax 2+2x －1为开口向上的抛物线，ax 2+2x －1>0总有x >0的解； ②当a <0时，y=ax 2+2x －1为开口向下的抛物线，而ax 2+2x －1>0总有x >0的解；