信息科学与技术学院实验报告
课程名称: 数字信号处理实验项目: 窗函数的特性
实验地点:博西105 指导教师: 日期: 2013年5月7日
实验类型:综合性实验（验证性实验综合性实验设计性实验）专业: 电子信息班级:姓名: 学号:
一、实验目的及要求
1.分析各种窗函数时域和频域特性。
2.为灵活运用窗函数分析信号频谱和设计FIR数字滤波器奠定基础。
二、实验仪器、设备或软件
计算机 MATLAB软件
三、实验步骤（或过程）
（一）：实验程序:
N=51;beta=2;
w1=boxcar(N);
W1=fft(w1,256);
w2=hanning(N);
W2=fft(w2,256);
w3=hamming(N);
W3=fft(w3,256);
w4=blackman(N);
W4=fft(w4,256);
w5=bartlett(N);
W5=fft(w5,256);
w6=Kaiser(N);
W6=fft(w6,256);
figure(1);
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],w1);title('Rectangle 窗');
Y1=abs(fftshift(W1));
subplot(2,1,2);plot([-128:127],Y1);title('幅度谱');
figure(2);
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],w2);title('Hanning窗');
Y2=abs(fftshift(W2));
subplot(2,1,2);plot([-128:127],Y2);title('幅度谱');
figure(3);
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],w3);title('Hamming窗');
Y3=abs(fftshift(W3));
subplot(2,1,2);plot([-128:127],Y3);title('幅度谱');
figure(4);
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],w4);title('Blacekman窗');
Y4=abs(fftshift(W4));
subplot(2,1,2);plot([-128:127],Y4);title('幅度谱');
figure(5);
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],w5);title('Bartlett窗');
Y5=abs(fftshift(W5));
subplot(2,1,2);plot([-128:127],Y5);title('幅度谱');
figure(6);
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],w6);title('Kaiser 窗');
Y6=abs(fftshift(W6));
subplot(2,1,2);plot([-128:127],Y6);title('幅度谱');
(二)程序设计实验：
1.利用fft 函数分析常用窗函数的频谱特性，并从主瓣宽度和旁瓣相对幅度两个角度分析比较。
2.序列??
? ??∏+??? ??∏=k k k x 209cos 2011cos 5.0][，使用fft 分析其频谱。 （1）利用不同宽度N 的矩形窗截短该序列，分别取N=20,40,160,观察不同长度N 的窗对谱分析结果的影响；
（2）分别利用汉明窗、凯泽窗重做（1），比较分析三种窗的结果；
（3）总结不同程度或类型的窗函数对谱分析结果的影响。
四、实验结论
1、实验结果
(二)程序设计实验结果：
1.为进一步了解窗函数对频谱的影响，我们考察一下窗函数的频率特性。输入数据通过一个窗函数相当于原始数据的频谱与窗函数频谱的卷积。窗函数的频谱由一个主瓣和几个旁瓣组成，主瓣以时域信号的每个频率成份为中心。旁瓣在主瓣的两侧以一定的间隔衰减至零。FFT 产生离散的频谱，出现在FFT 每个谱线的是在每个谱线上的连续卷积频谱。如果原始信号的频谱成份与FFT 中的谱线完全一致，这种情况下采样数据的长度为信号周期的整数倍，频谱中只有主瓣。没有出现旁瓣的原因是旁瓣正处在窗函数主瓣两侧采样频率间隔处的零分量点。如果时间序列的长度不是周期的整数倍，窗函数的连续频谱将偏离主瓣的中心，频率偏移量对应着信号频率和FFT 频率分辨率的差异，这个偏移导致了频谱中出现旁瓣，所以，窗函数的旁瓣特性直接影响着各频谱分量向相邻频谱的泄漏宽度。
2.（1）
矩形窗N=20；
N=20;
w=boxcar(N);
k=0:N-1;
n=0.5*cos(11*pi*k/20)+cos(9*pi*k/20);
a=w.*n'
W=fft(a,256);
figure(1)
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],a);title('boxcar窗N=20');
Y=abs(fftshift(W));
subplot(2,1,2);plot(Y);title('幅度谱');
矩形窗N=40；
N=40;
w=boxcar(N);
k=0:N-1;
n=0.5*cos(11*pi*k/20)+cos(9*pi*k/20);
a=w.*n'
W=fft(a,256);
figure(1)
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],a);title('boxcar窗N=40');
Y=abs(fftshift(W));
subplot(2,1,2);plot(Y);title('幅度谱');
矩形窗N=160；
N=160;
w=boxcar(N);
k=0:N-1;
n=0.5*cos(11*pi*k/20)+cos(9*pi*k/20);
a=w.*n'
W=fft(a,256);
figure(1)
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],a);title('boxcar窗N=160');
Y=abs(fftshift(W));
subplot(2,1,2);plot(Y);title('幅度谱');
（2）汉明窗N=20；
N=20;
w=Hamming(N);
k=0:N-1;
n=0.5*cos(11*pi*k/20)+cos(9*pi*k/20);
a=w.*n'
W=fft(a,256);
figure(1)
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],a);title('Hamming窗N=20');
Y=abs(fftshift(W));
subplot(2,1,2);plot(Y);title('幅度谱');
汉明窗N=40；
N=40;
w=Hamming(N);
k=0:N-1;
n=0.5*cos(11*pi*k/20)+cos(9*pi*k/20);
a=w.*n'
W=fft(a,256);
figure(1)
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],a);title('Hamming窗N=40');
Y=abs(fftshift(W));
subplot(2,1,2);plot(Y);title('幅度谱');
汉明窗N=160；
N=160;
w=Hamming(N);
k=0:N-1;
n=0.5*cos(11*pi*k/20)+cos(9*pi*k/20);
a=w.*n'
W=fft(a,256);
figure(1)
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],a);title('Hamming窗N=160');
Y=abs(fftshift(W));
subplot(2,1,2);plot(Y);title('幅度谱');
凯泽窗N=20；
N=20;beta=2;
w=Kaiser(N,beta);
k=0:N-1;
n=0.5*cos(11*pi*k/20)+cos(9*pi*k/20);
a=w.*n'
W=fft(a,256);
figure
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],a);title('Kaiser窗N=20');
Y=abs(fftshift(W));
subplot(2,1,2);plot(Y);title('幅度谱');
凯泽窗N=40；
N=40;beta=2;
w=Kaiser(N,beta);
k=0:N-1;
n=0.5*cos(11*pi*k/20)+cos(9*pi*k/20);
a=w.*n'
W=fft(a,256);
figure
subplot(2,1,1);stem([0:N-1],a);title('Kaiser窗N=40');
Y=abs(fftshift(W));
subplot(2,1,2);plot(Y);title('幅度谱');
凯泽窗N=160；
N=160;beta=2;
w=Kaiser(N,beta);
k=0:N-1;
n=0.5*cos(11*pi*k/20)+cos(9*pi*k/20);
a=w.*n'
subplot(2,1,1);stem([0:N
W=fft(a,256);
figure -1],a);title('Kaiser窗N=160');
Y=abs(fftshift(W));
subplot(2,1,2);plot(Y);title('幅度谱');
2、分析讨论
一、什么是信号截短？什么是吉布斯现象？增加长度N能消除吉布斯现象，应该如何解决? 答：信号截短是将无限长的信号乘以有限长的窗函数。吉布斯现象是指将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。解决这个Gibbs现象的方法是后来研究出来的二维余弦变换（DCT）
代替二维付立叶变换。基本思路为：用一个对称的2N*2N 像素的子图像代替原来N*N 子图像。由于对称性，子图像作二维付立叶变换，其变换系数将只剩下实数的余弦项。
二、非矩形窗有哪些？与矩形窗相比，他们有那些优点？
答：除矩形窗外，其他的窗，均为非矩形窗。
矩形窗属于时间变量的零次幂窗.这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
汉宁窗又称升余弦窗.和矩形窗比较，汉宁窗的旁瓣小得多，因而泄漏也少得多，但是汉宁窗的主瓣较宽。
汉明窗本质上和汉宁窗一样，只是系数不同。汉明窗比汉宁窗消除旁瓣的效果要好一些，而且主瓣稍窄，但是旁瓣衰减较慢是不利的方面。适当地改变系数，可得到不同特性的窗函数。四、在信号谱分析中，如何合理的选择窗函数？
答：对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣曲率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
五、指导教师评语及成绩
几种特殊性质的函数的周期： ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ) (1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ③若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数； ④y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数 y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；如：正弦函数 sin y x = ⑤若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数； ⑦正（余）弦型函数定义域为R ，周期为T ，那么，对于任意R m ∈，区间[)T m m +,内有且只有两个量21,x x ，满足()()21x f x f =。正切型函数则只有一个。 ⑧0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(() (1)(≠= +x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 例1．若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01， -上是增函数，且)()2(x f x f -=+，则 ①)(x f 关于 对称； ②)(x f 的周期为 ； ③)(x f 在（1，2）是 函数（增、减）； ④）时，，（若10∈ x )(x f =x 2，则=)(log 18 21f 。 例2．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间 [2，3]上 )(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 。 4．函数（图象）的对称性 1）证明一个函数图象自身的对称问题及证明两个函数图象的对称关系问题
1.概念填空题 C++最重要的特性之一就是代码重用，为了实现代码重用，代码必须具有通用性。通用代码需要不受数据类型的影响，并且可以自动适应数据类型的变化。这种程序设计类型称为参数化程序设计。模板是C++支持参数化程序设计的工具，通过它可以实现参数化多态性性。 函数模板的定义形式是template <模板参数表> 返回类型函数名(形式参数表){…}。其中，<模板参数表>中参数可以有多个，用逗号分开。模板参数主要是模板类型参数。它代表一种类型，由关键字typename或class后加一个标识符构成，标识符代表一个潜在的内置或用户定义的类型参数。类型参数由可以是任意合法标识符。C++规定参数名必须在函数定义中至少出现一次。 编译器通过如下匹配规则确定调用那一个函数：首先，寻找最符合函数名和参数类型的一般函数，若找到则调用该函数；否则寻找一个函数模板，将其实例化成一个模板函数，看是否匹配，如果匹配，就调用该模板函数；再则，通过类型转换规则进行参数的匹配。如果还没有找到匹配的函数则调用错误。如果有多于一个函数匹配，则调用产生二义性，也将产生错误。 类模板使用户可以为类声明一种模式，使得类中的某些数据成员、某些成员函数的参数、某些成员函数的返回值能取任意类型（包括系统预定类型和用户自定义的类型）。类是对一组对象的公共性质的抽象，而类模板则是对不同类的数据类型的抽象，因此类模板是属于更高层次的抽象。由于类模板需要一种或多种类型参数，所以类模板也常常称为参数化类。 2. 简答题 简述函数模板生成函数的过程。 简述类模板生成对象的过程。 简述函数模板与模板函数、类模板与模板类的区别。 3. 选择题 关于函数模板,描述错误的是（A ）。 A.函数模板必须由程序员实例化为可执行的函数模板 B.函数模板的实例化由编译器实现 C.一个类定义中,只要有一个函数模板,则这个类是类模板 D.类模板的成员函数都是函数模板,类模板实例化后,成员函数也随之实例化 下列的模板说明中,正确的是（D ）。
一冲激函数的定义 在信息分析和系统分析中，单位冲激函数δ(t)是一个使用频率极高的奇异函数。对这类奇异函数不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通函数。 1 单位冲激函数的普通数学定义 定义有多种方式，其中 定义1设有一函数P(t) 当n趋近于∞时，函数P(t)的宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大，但其强度仍然等于1。这个函数就定义为单位冲激函数δ(t)。 定义2 狄拉克（Dirac）定义 上面两个对单位冲激函数的定义是不符合普通函数的定义对于普通函数来说当自变量t取某值时，除间断点外，函数有确定的值，而δ(t)在唯一不等于零的点t=0处函数值为无限大．因为单位冲激函数已经不属于普通函数的范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格的定义。 2 单位冲激函数的广义定义 选择一类性能良好的函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数赋于一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有关，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为 式中检验函数是连续的，具有任意阶导数，且用其各阶导数在无限远处急剧下降的普通函数这类函数的全体构成的检验函数空间称为急降函数
空间，用表示．在上定义的广义函数称为缓增广义函数它的全体构成广义函数空间，用这类广义函数有良好的性质。根据以上定义，如有一广义函数f(t)，它与的作用也赋给相同的值，即若 就认为二广义函数相等，记作f(t)=g(t)。按照广义函数的理论，冲激函数δ(t)由式 定义，即冲激函数δ(t)作用于检验函数的效果是给它赋值。如将(1)式中的函数看做广义函数，则有： 当n趋近于∞时在（，）区间内有=，取广义函数(t)的极限(广义极限)，得 比较以上两式，得 按照此定义，冲激函数有多种定义形式，如: δ(t)=高斯钟形函数 δ(t)=取样函数 δ(t)=双边指数函数 等等 而对于离散的δ[n]定义很简单: δ[n]=1,(n=0)
求函数解析式的几种常 用方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
求函数解析式的几种常用方法 一、高考要求: 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. 重难点归纳: 求解函数解析式的几种常用方法主要有: 1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. 二、题例讲解: 例1．(1)已知函数f (x )满足f (log a x )= )1 (1 2x x a a --.(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式. 命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力. 知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解:(1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质 的简单讨论 信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224 有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大. 冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下： 定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ 1 ，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即： ?? ? ?????? ??--??? ??+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1） 冲击信号的波形就如1-1(b)所示. δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值 图 1-2 均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。 也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有 ?? ? ???=∞ →)(lim )(kt Sa k t k πδ （1-2） 对式（1-2）作如下说明： Sa(t)是抽样信号，表达式为 t t t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其 (a)τ逐渐减小的脉冲函数 (b)冲激信号 图1-1 第一章 实数集与函数 习题 §1实数 1、 设a 为有理数，x 为无理数。证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。 3、 设a 、b ∈R 。证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。 4、 设x ≠0，证明|x+x 1|≥2，并说明其中等号何时成立。 5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗 7、 设x>0，b>0，a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b a 之间。 8、 设p 为正整数。证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。 9、 设a 、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|0（a ，b ，c 为常数，且a 1.概念填空题1.1 C++最重要的特性之一就是代码重用，为了实现代码重用，代码必须具有通 用性。通用代码需要不受数据类型的影响，并且可以自动适应数据类型的变化。这种程序设计类型称为参数化程序设计。模板是C++支持参数化程序设计的工具，通过它可以实现参数化多态性性。 1.2函数模板的定义形式是template<模板参数表>返回类型函数名(形式参数表){…}。其中，<模板参数表>中参数可以有多个，用逗号分开。模板参数主要是模板类型参数。它代表一种类型，由关键字typename或class后加一个标识符构成，标识符代表一个潜在的内置或用户定义的类型参数。类型参数由可以是任意合法标识符。C++规定参数名必须在函数定义中至少出现一次。 1.3编译器通过如下匹配规则确定调用那一个函数：首先，寻找最符合函数名和参数类型的一般函数，若找到则调用该函数；否则寻找一个函数模板，将其实例化成一个模板函数，看是否匹配，如果匹配，就调用该模板函数；再则，通过类型转换规则进行参数的匹配。如果还没有找到匹配的函数则调用错误。如果有多于一个函数匹配，则调用产生二义性，也将产生错误。 1.4类模板使用户可以为类声明一种模式，使得类中的某些数据成员、某些成员函数的参数、某些成员函数的返回值能取任意类型（包括系统预定类型和用户自定义的类型）。类是对一组对象的公共性质的抽象，而类模板则是对不同类的数据类型？的抽象，因此类模板是属于更高层次的抽象。由于类模板需要一种或多种类型参数，所以类模板也常常称为参数化类。 2.简答题 2.1简述函数模板生成函数的过程。 2.2简述类模板生成对象的过程。 2.3简述函数模板与模板函数、类模板与模板类的区别。 3.选择题 3.1关于函数模板,描述错误的是（A）。 A.函数模板必须由程序员实例化为可执行的函数模板 B.函数模板的实例化由编译器实现 C.一个类定义中,只要有一个函数模板,则这个类是类模板 D.类模板的成员函数都是函数模板,类模板实例化后,成员函数也随之实例化 3.2下列的模板说明中,正确的是（D）。 A.template §1 . 2四类具有特殊性质的函数 (一)教学目的: 理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念，并会判断函数是否具有这些性质. （二）教学内容： 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念及判断方法. 基本要求：正确理解和掌握函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的概念,掌握其判断方法. （三）教学重点： 有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数. （四）教学难点： 有界函数的概念 教学建议： (1)重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法． (2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性. （五）教学方法： 以课堂讲授为主,辅以课堂讨论、提问、练习。 （六）计划课时：2课时. （七）教学过程： 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，即有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。其中，除有界函数外，其它几个函数的概念在中学已经学习过，在此简单复习一下（参考课本12-13页）。 一、 有界函数 1、定义 设函数)(x f 在数集A 有定义。若函数值的集合{}A x x f A f ∈=)()(有上界（有下界、有界），则称函数)(x f 在A 有上界（有下界、有界），否则称函数)(x f 在A 无上界（无下界、有 无界）.列表如下: 注意:函数)(x f 在数集A 有上界（有下界、有界）必有无限多个上界(无限多个下界、无限多个界)。 2、函数)(x f 在区间[]b a ,有界的几何意义：函数)(x f 在区间[]b a ,上的图像位于以二直线M y M y -==与为上、下边界的带形区域之内，如右下图： 3、举例如下 例1、正弦函数x y x y cos sin ==余弦函数与在R 有 界，如下图所示： 说明：1cos 1sin ,,01≤≤∈?>=?x x R x M 与有 例2、反正切函数x y arctan =与反余切函数x arc y cot =在R 有界，如x 三、单位冲激偶信号 冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。 t t t d ) (d )(δδ= ' （1.3-16） 式（1.3-16）可从极限的角度理解，)(?lim )(0t t δδτ'='→，由图1.3-6，)(? t δ的导数)(?t δ'如图1.3-11(a)所示，用公式表示为 )2(1)2(1)(?τδττδτδ--+='t t t 当0→τ时，)(? t δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。故称它为冲激偶函数，用图1.3-11(b)表示。 （a ） （b ） 图1.3-11 冲激偶函数 设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分 () ()t t t t x t t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'- -=-=-'????∞ ∞-∞∞-∞∞-∞ ∞-∞ ∞-δδδδδ 利用冲激函数的抽样性质，从上式得 )(d )()(00t x t t t t x '-=-'?∞ ∞-δ （1.3-17） 该式称为)(t δ'的抽样性质。 采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得 )()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （1.3-18） 注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。再来考虑)(t δ'的对称性。 t ττt -==-'τδδd ) (d )( 由于)(t δ为偶对称函数，则有 )(d )(d )(t t t t δδδ'-=-=-' （1.3-19） 可见，)(t δ'为奇对称函数。故 ?∞ ∞-='0d )(t t δ 当然，令式（1.3-17）中的1)(=t x ，也可得上式结果 。 几种常见的函数及其应用 1.迭代函数 例1 若()f x = 1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，求()n f x 的表达式。 例2已知()1x f x x = +，0x ≥，若1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，n N +∈，则 2014()f x 的表达式为 . 2.高斯函数：（取整函数）用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[]1.21=,[]00=, []1.42-=-,则()f x 例 设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．． ，则正整数n 的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8.（2013湖北卷文科）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数 ()[]f x x x =-在R 上为 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 3.取小数部分函数 例 对任意x R ∈，函数{}[]()f x x x x ==-，例如{}[]1.2 1.2 1.2 1.210.2=-=-=， {}333330=-=-=，{}[]1.2 1.2 1.2 1.2(2)0.8-=---=---=，则()f x 的图像是 4.符号函数：10()sgn 0010x f x x x x >?? ===??- 例 设x R ∈，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??- 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 第二章：连续信号与系统的时域分析( 学时授课) 学习指导：本章介绍的是连续时间系统响应的时域分析方法。 所谓时域分析方法， 就是如何从微分方程直接求出系统响应的时域表达式。或者说，如何求解一个给 定激励信号的微分方程，直接得到其解的时域表达式。 连续时间系统的时域分析方法之一， 就是在高等数学中关于线性微分方程求 解的方法，这里称之为经典解法。这种解法在求解系统的特解或者是受迫响应的 时侯不太方便。本章主要介绍的另外一种时域解法——卷积法。这种方法将系统 的响应分零状态响应和零输入响应两部分，分别求其响应。无论是经典法还是卷 积法，都是将系统响应分解为两部分求解，而且这两种时域解法对应的两种分解 形式之间有一定的关系，在本章的例题中将对这种关系进行详细讨论. 在本章中，还将介绍与此相关的很多重要的信号和概念，例如冲激函数和阶 跃函数，信号的时域分解，卷积计算及其性质等。 §2-1 引 言 线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分 方程的过程。 一、建立数学模型 ?建立数学模型就是根据力学、电学等物理学规律，得到输入 和输出之间满足的数学表达式。 ?数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。例如，对于经 典力学理论，主要是依赖于牛顿定律；对于微波和电磁场而 言，组要依赖于麦克斯韦尔方程； ?本课程主要研究的是由电阻、电容、电感等器件构成的集总 参数电系统，它的数学模型的建立主要有依赖于KCL和KVL 方程。在物理课程和《电路分析》课程中已经提供了相应的 理论和方法。 由电路建立数学模型的例子 §2-2冲激函数 函数有几种不同的定义方式，其中根据广义函数（或称分配函数）来定义 的，是严格的数学定义，因篇幅所限，本课程将不予讨论。本课程介绍另外两种 定义。 ⑴从某些函数的极限来定义 函数，单位冲激函数可视为幅度与脉宽 的乘积（矩形面积）为1个单位的矩形脉冲，当 趋于零时脉冲幅度趋于无 穷大的极限情况，即 图1表示了 时，上述矩形脉冲的变化过程。 “冲 冲激函数常用图2所示带箭头的线段来表示。 函数只在t=0处有 激”，而在t轴上其它各点取值为零。如果矩形面积为1，则在带箭头的线段旁 注上(1)，表明冲激强度为单位值。如果在图形上将(E)注于箭头旁，则表示冲激 强度为E被单位值的 函数。 函数还可以利用抽样函数取极限来定义，即 冲激信号δ(t)的三种定义与相关性 质的简单讨论 信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224 有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大. 冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下： 定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ 1 ，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即： ?? ? ?????? ??--??? ??+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1） 冲击信号的波形就如1-1(b)所示. δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在 图 1-2 箭头旁边注上E 。 也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有 ?? ? ??? = ∞ → )(lim )(kt Sa k t k πδ （1-2） 对式（1-2）作如下说明： Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为 t t t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其 零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。0→t 时，1)(S →t a ，并且有： (a)τ逐渐减小的脉冲函数 (b)冲激信号 图1-1 D C B A 1.2.2 函数的表示方法 第一课时 函数的几种表示方法 【教学目标】 1．掌握函数的三种主要表示方法 2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】 教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入： 1．函数的定义是什么函数的图象的定义是什么 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么 3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征 二、讲解新课：函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 例如，s=602t ，A=π2 r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解 析式表示函数关系的. 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本 中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 三、例题讲解 例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x ，x ∈{1,2,3,4}. 几种不同类型的函数模型（1） 一选择题 1.下列函数中随x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝50x B．y＝x50 C．y＝50x D．y＝log50x(x∈N*) 2.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设第二年有100只，则到第八年它们发展到( ) A．200只 B．400只 C．500只 D．600只 3.若x∈(0,1)则下列结论正确的是( ) A．2x>x0.5>lgx B．2x>lgx> x0.5 C．x0.5 >2x>lgx D．lgx> x0.5 >2x 4.1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2010年底世界人口数为y(亿)，那么y与x 的函数解析式为( )A．y＝54.8(1＋x%)18 B．y＝54.8(1＋x%)19 C．y＝54.8(x%)18 D．y＝54.8(x%)19 5.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到( ) A．300只 B．400只 C．500只D．600只 6.马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为( ) A．1535.5元 B．1440元 C．1620元 D．1562.5元 7.为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是( ) 8.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10 m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为( ) A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3D．26 m3 9.某地沙化越来越严重，近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷，0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)与年数x(年)的函数关系较为近似的是( )A y＝0.2x B y＝0.1(x2＋2x) C y＝0.1·2x D y＝0.2＋log16x 10.某厂12月份产量是1月份产量的7倍，则该厂这一年的月平均增长率是( )A 7 11 B 7 12 C 12 7－1 D 11 7－1 二填空题 1.某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________ 2.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个 3.某商品前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是________ 4.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06·(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[ 5.1]＝6)，则从甲地到乙地通适时间为5.5分钟的通话费为________ 5.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是 cm2 6.计算机的价格大约每3年下降2／3，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是元 7.假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A，那么广告效应D＝a A－A，当A＝________时，取得最大广告效应. 8.三个变量y1，y2，y3随变量的变化情况如表：其中y呈对数函数型 变化的变量是，呈指数函数型变化的变量是， 呈幂函数型变化的变量是 9.某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是_____________ 10.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价________%。 三解答题 1.将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润 §4具有某些特性的函数 引言 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数．其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下．与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数． 一、有界函数 1.有上界函数、有下界函数的定义 定义１设f 为定义在Ｄ上的函数，若存在数()M L ，使得对每一个x D ∈有()(())f x M f x L ≤≥，则称f 为Ｄ上的有上（下）界函数，()M L 称为f 在Ｄ上的一个上（下）界． 注：（１）f 在Ｄ上有上（下）界，意味着值域()f D 是一个有上（下）界的数集；（２）又若()M L 为f 在Ｄ上的一个上（下）界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f 在Ｄ上的上（下）界．所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：sin y x =，１是其一个上界，下界为－１，则易见任何小于－１的数都可作为其下界；任何大于１的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（１）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义： f 在Ｄ上有界?()f D 是一个有界集?f 在Ｄ上既有上界又有下界?f 在Ｄ上的有上界函数，也为Ｄ上的有下界函数． 2．有界函数定义 定义２设f 为定义在Ｄ上的函数．若存在正数Ｍ，使得对每一个x D ∈有|()|f x M ≤，则称f 为Ｄ上的有界函数． 注：（１）几何意义：f 为Ｄ上的有界函数，则f 的图象完全落在y M =和y M =-之间；（２）f 在Ｄ上有界?f 在Ｄ上既有上界又有下界；例子：sin ,cos y x y x ==；（3）关于函数f 在Ｄ上无上界、无下界或无界的定义． １．无界函数定义 定义'2设f 为定义在Ｄ上的函数．若对每一个存在正数Ｍ，存在M x f D x ≥∈|)(|,00使得，则称f 为Ｄ上的无界函数． 类似可定义无上（下）界函数 例１．证明1()f x x =为(0,1]上的无上界函数．例２．设,f g 为Ｄ上的有界函数．证明：（１）{}inf ()inf ()inf ()()x D x D x D f x g x f x g x ∈∈∈+≤+； （２）{}sup ()()sup ()sup ()x D x D x D f x g x f x g x ∈∈∈+≤+． 单位冲激函数又称为狄拉克函数 δ( ? x) = δ(x) δ(ax) = | a | ? 1δ(x) xδ(x) = 0,xδ(x ? a) = aδ(x ? a) δ(x2 ? a2 = (2 | a | ) ? 1[δ(x + a) + δ(x ? a)] 1.5.1 单位斜变信号 斜变信号是从某一时刻开始随时间成正比例增加的信号。斜变信号也称斜坡信号或斜升信号。若增长的变化率为1，就称为单位斜变信号，其表达式为 其波形如图a所示： (a) (b) 单位斜变信号(a)和截顶的单位斜变信号(b)的波形 单位斜变信号是理想信号，是不可实现的。现实中常见的充电过程可以理想化地表示为截顶的单位斜变信号，其波形如图b, 表达式为 1.5.2 单位阶跃信号 单位阶跃信号u(t)的函数表达式为 其波形如图所示。 单位阶跃信号的波形 单位阶跃函数的物理背景是，在t=0时刻对某一路电路接入单位电源，并且无限持续下去。如果接入电源的时间推迟到t=t0 时刻（t0>0），我们就可以用一个延时的单位阶跃函数来表示。其波形如图 延时的单位阶跃信号的波形 单位斜变信号R(t)与单位阶跃信号U(t)之间的关系为 为了书写方便常常利用阶跃信号与其延时信号之差来表示矩形脉冲,表达式为 R(t)=u(t)-u(t-T) 其波形如图 1.5.3 单位矩形脉冲信号 宽度为t、中心位于原点的单位矩形脉冲信号的表达式为： 其波形如图所示。 单位矩形脉冲信号的波形 显然，利用信号运算，单位矩形脉冲信号以用单位阶跃函数来表示： 在矩形脉冲信号中，有几个概念比较常用。 （1）脉宽：即矩形脉冲的宽度(非零区间的宽度)，简称为脉宽。 （2）脉高：即矩形脉冲的高度，简称脉高。 显然，单位矩形脉冲信号的脉高为1。 有时，我们也称矩形脉冲信号为矩形窗信号、门信号等。 1.5.4 符号函数 符号函数简写作sgn(t)，其定义为： 其波形如下图所示： 函数的概念与基本性质 一．教学目标： 1. 知识与技能： 了解函数的概念；熟悉函数的三种基本性质； 2. 过程与方法： 通过对各个概念的精准定义及其函数性质的详细讲解，让学生回顾并熟悉函数的概念和性质；在讲解的过程中添加必要的典型例题加深学生对函数及其性质的认知； 3. 情感与价值： 通过学习与训练，让学生了解函数的必要性和重要性及其应用的趣味性，激发学习的积极性。 二．教学重点与难点： 教学重点：熟悉和掌握函数的概念及其性质；能运用函数的特性解决问题教学难点：构建函数模型，数形结合解决问题 三．学法与教学用具： 1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2、教学用具：教辅书，纸，笔 四．教学过程： 1.回顾集合的知识，引出函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→ B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 2.函数的表示法： （1）、解析式法（重点掌握），如s=60t+3；（2）、图像法；（3）列表法 例题：（1）f (x+1)= 2 x2 +1，则f (x)=_____________ （2）若2f (x)- f (-x)=x+1,则f (x) =_____________ （3）函数f (x)=ln(x+1)的定义域是__________ 3.分段函数：在不同的定义域里有不同的函数解析式 例：教辅P8 4.函数的基本性质： （1）单调性：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ①任取x1，x2∈D，且x1冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
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