空间向量在立体几何中的应用(教师版)

空间向量在立体几何中的应用

1．一个正方体形状的无盖铁桶1111D C B A ABCD -的 容积是V ，里面装有体积为V 32

的水，放在水平的

地面上（如图所示）. 现以顶点A 为支撑点，将铁 桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点1A 处流出时， 棱1AA 与地面所成角的余弦值为 答案

11

22

2.平面内有两定点A ，B ，且|AB|=4，动点P 满足4||=+PB PA ，则点P 的轨迹是 .答案：以AB 为直径的圆；

3．（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1

中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1=2。

（I ）求证：C 1D//平面ABB 1A 1；

（II ）求直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D —A 1C 1—A 的余弦值。

答案 （I ）证明：四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1//CC 1，

又?1CC 面ABB 1A 1，所以CC 1//平面ABB 1A 1，ABCD 是正方形，所以CD//AB ， 又CD ?面ABB 1A 1，AB ?面ABB 1A 1，所以CD//平面ABB 1A 1，

所以平面CDD 1C 1//平面ABB 1A 1，所以C 1D//平面ABB 1A 1

（II ）解：ABCD 是正方形，AD ⊥CD

因为A 1D ⊥平面ABCD ，所以A 1D ⊥AD ，A 1D ⊥CD ，

如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D —xyz ，1ADA ?中，由已知可得,31=

D A

所以)3,1,1(),0,0,1(),3,0,0(),0,0,0(11-C A A D ),0,1,1(),3,0,1(),3,1,0(11B D B - ),3,1,2(1--=BD 因为A 1D ⊥平面ABCD ，所以A 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，1D ⊥B 1D 1。 又B 1D 1⊥A 1C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1D ，所以平面A 1C 1D 的一个法向量为n=（1，1，0）

设1BD 与n 所成的角为β，则,438

23cos 1-

=-=

?=

BD n β

所以直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为.4

3

（III ）解：平面A 1C 1A 的法向量为),,(c b a m =

则,0,0111=?=?A A m C A m 所以03,0=-=+-c a b a

令,3=

c 可得)3,3,3(=m 则.7

4221

2

6|

|||,cos =

=

?>=

所以二面角A C A D --11的余弦值为

.7

42

4．如图①，正三角形ABC 边长2，CD 为AB 边上的高，E 、F 分别为AC 、BC

中点，现将ABC ?沿CD 翻折成直二面角B DC A --，如图② (1)判断翻折后直线AB 与面DEF 的位置关系，并说明理由 (2)求二面角D AC B --的余弦值 (3)求点C 到面DEF 的距离

图

①

图 ②

答案 解：（1）平行（证明略）

（2）取AE 中点M,角BMD 即所求,余弦值为

7

21

（３）CDF E DEF C V V --=，可得点C 到面DEF 的距离为

7

21

5．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点.

（1）求异面直线1AC 与1B B 所成的角的余弦值； （2）求证：11//AC B CD 面； （3）求证：11A B B CD ⊥面

答案 5. 解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中

11//BB CC 1AC C ∴∠是11AC BB 与所成的角（或其补角）

在1Rt ACC 中，12AC CC =

=1cos 2

A C C ∴∠=

（2）连结1BC 交1B C 于O ，连结O D 。 则O 为1BC 的中点

又D 为AB 的中点 1//OD AC ∴ 111,OD B CD AC B CD ?? 面面 11//AC B CD ∴面 （3）在直三棱柱111ABC A B C -中，1,A A ABC CD ABC ⊥?面面

1A A CD ∴⊥,Ac BC D AB = 是中点C D AB ∴⊥11CD ABB A ∴⊥面 1CD A B ∴⊥ 同理：11B C A B ⊥11A B B CD ∴⊥面…………………………13分

6．

如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，

∠BCF=∠CEF=?90,AD=

3,EF=2．

（1）求证：AE//平面DCF ；

（2）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为?60．

【解析】 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作E G C F ⊥交C F 于G ，连结D G ， 可得四边形B C G E 为矩形，又A B C D 为矩形，所以

A D E G

∥，

从而四边形A D G E 为平行四边形，故A E D G ∥．因为A E ?平面D C F ，

D G ?平面D C F ， 所以A

E ∥平面D C

F ．………6分 （Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交F E 的延长线于H ，连结A H ． 由平面A B C D ⊥平面BEFC ，A B B C ⊥，得AB ⊥平面BEFC ，

从而AH EF ⊥．所以A H B ∠为二面角A E F C --的平面角． 在R t E F G △

中，因为EG AD ==

2E F =，

所以60CFE ∠=

，1F G =．又因为C E E F ⊥，所以4C F =，

从而3B E C G ==

，于是

sin 2

BH BE BEH =∠=

，

因为tan A B B H A H B =∠ 所以当A B 为9

2时，

二面角A E F C --的大小为60

………12分

方法二：如图，以点C 为坐标原点，以C B C F ，和C D 分别作为x 轴，y

轴和z 轴，建立

空间直角坐标系C xyz -．设A B a B E b C F c

===，，，

则(000)

C ，，

，)A a

，0)B ，

，0)E b ，，(00)

F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)A E b a =-，，

，00)C B = ，，(00)

B E b = ，，，

所以0CB CE = ，0CB BE =

，从而C B A E ⊥，C B B E ⊥，

所以C B ⊥平面ABE ．因为C B ⊥平面D C F ，所以平面ABE ∥平面D

故A E ∥平面D C F ．………6分

（Ⅱ）解：因为

(0)

EF c b =-

，，

0)

C E b =

，，所以0E F C E =

，

D

A B E

F

C

H

G

||2

E F = ，从而3()02b c b -+-=?=，，

解得34b c ==，．所以0)E ，，(040)F ，，．设(1)n y z =，，与平面A E F 垂直，

则0n AE = ，0n EF = ，解得(1n a =．又因为B A ⊥平面BEFC ，

(00)

BA a = ，，，所以||1

|cos |2||||B A n n B A B A n <>===

，， 得到

92a =．所以当A B 为92时，二面角A E F C --的大小为60

． 7． 如图，在四棱锥S A B C D -中，底面A B C D 等边三角形，A C 与BD 的交点为O ，E 为侧棱S C

（Ⅰ）当E 为侧棱S C 的中点时，求证：S A ∥平面B D （Ⅱ）求证：平面BD E ⊥平面SA C ；

（Ⅲ）（理科做）当二面角E B D C --的大小为45?

试判断点E 在S C 上的位置，并说明理由． 解法一：

证明：（Ⅰ）连接O E ，由条件可得S A ∥O E ． 因为SA ?平面B D E ，O E ì平面B D E ，

所以S A ∥平面B D E ．

（Ⅱ）由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以B D SO ^． 又因为四边形A B C D 是正方形，所以B D A C ^．

因为AC SO O = ，所以BD SAC ⊥面．又因为BD BDE ?面， 所以平面BD E ⊥平面SA C ．

（Ⅲ）解：连接O E ，由（Ⅱ）知，BD SAC ⊥面． 而OE SAC ?面, 所以B D O E ⊥．又B D A C ⊥．

所以E O C ∠是二面角E B D C --的平面角，即45E O C ∠=?． 设四棱锥S A B C D -的底面边长为2，

在SA C ?中，2SA SC ==, AC = 所以SO =又因为12O C A C =

=

S O O C ⊥,所以SO C ?由45E O C ∠=?可知，点E 是S C 的中点． 解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，A C B D ⊥建立如图所示的空间直角坐标系． 设四棱锥S A B C D -的底面边长为2，

则(0, 0, 0)O

，(0, 0,S

，) 0, 0A

，()

0, 0B ，

() 0, 0C

，(

)0, 0D -

．

所以() 0, 0AC =-

，()

0, 0BD =-

． 设C E a =（02a <<），由已知可求得45E C O ∠=?．

所以(, 0,

)22

E a a +

，(,

)22BE a a =-

．

设平面B D E 法向量为(, , )x y z =n ，

则0,0

B D B E ??=???=?? n n

即0,

()0.22

y a x az =???-+=?? 令1z =，得(

, 0, 1)2a a

=-n ．

易知()

0, 0BD =-

是平面SA C 的法向量．

因为(

, 0, 1)(0, 0)02a B D a

?=?-=-

n ，

所以BD ⊥

n ，所以平面BD E ⊥平面SA C ．

（Ⅲ）解：设C E a =（02a <<），由（Ⅱ）可知， 平面B D E 法向量为(

, 0, 1)2a a

=-n ．因为SO ABCD ⊥底面，

所以(0, 0,O S =

是平面SA C 的一个法向量．

由已知二面角E B D C --的大小为45?

．所以cos , cos 452

O S ??=?=

n ，

2

=

，解得1a =．

所以点E 是S C 的中点． 8． 已知：如图，长方体

中，

、

分别是棱

,

上的点，

,

.

（1） 求异面直线与所成角的余弦值； （2）

证明

平面

；

（3）求二面角的正弦值.

答案解法一：

如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

设,依题意得,,,

（1）易得,,于是

所以异面直线与所成角的余弦值为

（2）已知, ,

于是·=0，·=0.

因此，,,又

所以平面

（3）设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。

由（2）可知，为平面的一个法向量。

于是，从而,

所以二面角的正弦值为

法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA

1

=4,CF=1.CE=

连接B

1C,BC

1

，设B

1

C与BC

1

交于点M,易知A

1

D∥B

1

C，

由,可知EF ∥BC 1. 故是异面直线EF 与A 1D 所成的角，

易知BM=CM=,所以 ,

所以异面直线FE 与A 1D 所成角的余弦值为

（2）连接AC ，设AC 与DE 交点N 因为， 所以，从而，

又由于

,所以

，

故AC ⊥DE,又因为CC 1⊥DE 且

，所以DE ⊥平面ACF ，从而AF ⊥DE.

连接BF ，同理可证B 1C ⊥平面ABF,从而AF ⊥B 1C, 所以AF ⊥A 1D 因为

，所以AF ⊥平面A 1ED.

（3）连接A 1N.FN,由（2）可知DE ⊥平面ACF,

又NF 平面ACF, A 1N 平面ACF ，所以DE ⊥NF,DE ⊥A 1N,

故为二面角A 1-ED-F 的平面角. 易知，所以，

又所以，在

,

连接A 1C 1,A 1F 在

。所以所以

二面角A 1-DE-F 正弦值为.

9．如图，在长方体1111ABC D A B C D -中，122AA AB AD ==，且

11(01)PC CC λλ=<<

．

（I ）求证：对任意01λ<<，总有A P B D ⊥；

（II ）若1

3

λ=，求二面角1P AB B --的余弦值；

（III ）是否存在λ，使得A P 在平面1B A C 上的射影 平分1B A C ∠？若存在, 求出λ的

值, 若不存在，说明理由．

答案解：（I ）以D 为坐标原点，分别以1D A D C D D 、、所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建

立空间直角坐标系，设1AB =，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,2)D A B C B ， 1(0,1,2),(0,1,22)C P λ-，从而(1,1,0),(1,1,22)BD AP λ=--=--

，

0BD AP ∴=

，即A P B D ⊥． （４分）

（II ）由（Ｉ）及13

λ=

得，14

(1,1,),(0,1,2)3

A P A

B =-=

，

设平面1AB P 的法向量为(1,,)n x y = ，则431033202x x y y x y =??-++=??

???=-

??+=??，

从而可取平面1AB P 的法向量为(2,6,3)n =-

，

又取平面1A B B 的法向量为(1,0,0)m =

，且设二面角1P AB B --为θ，

所以 2

cos 7m n m n

θ== （９分）

（III ） 假设存在实数(01)λλ<<满足条件，

由题结合图形，只需满足AP

分别与1AC AB 、所成的角相等，

即 11

AP AB AP AC

AP AC

AP AB =

，即

=

解得

(0,1)4

λ=

．

4，使得A P 在平面1B A C 上

的射影平分1B AC ∠ （14分）

空间向量与立体几何(整章教案)

空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教

材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与

空间向量和立体几何练习题及答案.

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用 【知识网络】 空间向量的定义与运算 空间向量运 算几何意义 空间向量的坐标表示及运算 应用空间向量的运算解决立几问题 证明平行、垂直 求空间角与距离 【考点梳理】 要点一、空间向量 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释： ⑴空间的一个平移就是一个向量。 ⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.共线向量 （1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共 线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 3.向量的数量积 （1）定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ??<> 叫做,a b 的数量积，记作a b ? ，即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<> 。 （2）空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<> ；②0a b a b ⊥??= ；③2||a a a =? ． （3）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；②a b b a ?=? （交换律）；③()a b c a b a c ?+=?+? （分配律）。

4.空间向量基本定理 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 5.空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 {,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角 坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 6.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++ ，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记 作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 7.空间向量的直角坐标运算律： （1）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （2）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ?=++ ，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ，1122330a b a b a b a b ⊥?++= ； ||a == ||b == ． 夹角公式：cos ||||a b a b a b ??==? ．

利用空间向量解立体几何 完整版

向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法

立体几何与空间向量

10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 （一）基本知识梳理：见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . （二）要点梳理： 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［例］已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为＿＿＿＿＿； 解析：要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时，AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ；当A 、B 在平面α的两侧时，AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［例］已知平面βα,，直线b a ,.有下列命题：（1） βαβα////a a ?????；（2）αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ （3）βαβα////??????⊥⊥b a b a ；（4）βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿. 解析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a 可能在平面α.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ；两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下，求二面角往往是指定 的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可. ［例］设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围：（1）A 是直线倾斜角的取值围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值围；（4）D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到＿＿＿. （答案：A C D B ???） 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a . ［例］正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 中点，则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为＿＿＿＿＿. （答案：515 arccos ） 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E

空间向量在立体几何中的应用教案

空间向量在立体几何中的应用 教学目标: （1）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （2）能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题 教学过程： 1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量，则 2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角 设是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角)1800(00≤≤θθ 设 分别为平面 的法向量，则θ与 互补或相等， 注意：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为： （1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。 例1：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1 2AB ，N 为AB 上一点， AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （1）证明：CM ⊥SN ； （2）求SN 与平面CMN 所成角的大小. 分析：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标

系，如图。 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,1 2,0) （1） 111(1,1,),(,,0), 222 11 00 22 1 (II)(,1,0), 2 (,,)CMN 022,(2,1,2) 1021 -1-22|cos |= 22 32 SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=?-+=??==-??-+=??<>=? 因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o 45角为 例2：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥， 2AB EF =，90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 分析：本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解： ,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 A E F B C D H G X Y Z

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用 【重要知识】 一、求平面法向量的方法与步骤: 1、选向量:求平面的法向量时,要选取两个相交的向量,如, 2、设坐标:设平面法向量的坐标为),,(z y x = 3、解方程:联立方程组?????=?=?0 0,并解方程组 4、定结论:求出的法向量中三个坐标不就是具体的数值,而就是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其她坐标 二、利用向量求空间角: 1、求异面直线所成的角: 设b a ,为异面直线,点C A ,为a 上任意两点,点D B ,为b 上任意两点,b a ,所成的角为θ, 则=θcos 【注】由于异面直线所成的角θ的范围就是:?≤=<21,n n θ或><-21,n n π, 其中21,cos n n < 三、利用向量求空间距离: 1、求点到平面的距离 设平面α的法向量为,,α?A α∈B ,则点A 到平面α 2、求两条异面直线的距离

设21,l l 就是两条异面直线,n 就是公垂线段AB 的方向向量,D C ,分别为21,l l 上的任意两点,则21l l 与的距离为n n CD AB ?= 【重要题型】 1、(2012广东,理)如图所示,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为矩形,ABCD PA 平面⊥,点E 在线段PC 上,BDE PC 平面⊥ (1)证明:PAC BD 平面⊥ (2)若2,1==AD PA ,求二面角A PC B --的正切值 2、(2013广东,理)如图①,在等腰三角形ABC 中,?=∠90A ,6=BC ,E D ,分别就是AB AC ,上的 点,2==BE CD ,O 为BC 的中点。将ADE ?沿 DE 折起,得到如图②所示的四棱锥BCDE A -',其中 3='O A 。 (1)证明:BCDE O A 平面⊥' (2)求二面角B CD A --'的平面角的余弦值 3、(2009广东,理)如图,已知正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为2,点 E 就是正方形11B BCC 的中心,点 G F ,分别就是棱11D C 、1AA 的中 点,设,1E 1G 分别就是点G E ,在平面11D DCC 内的正投影。 (1)求以E 为顶点,以四边形FGAE 在平面11D DCC 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线11FEE FG 平面⊥; (3)求异面直线11G E 与EA 所成角的正弦值。

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向 量也叫做共线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ）， a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件 是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量 p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三 个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐 标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，

空间向量及立体几何练习试题和答案解析

. 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，

∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，．

高中数学空间向量与立体几何的教学反思

空间向量与立体几何的教学反思 本部分是高三理科数学复习的一个重要部分，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。 利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系 一、现将原大纲目标与新课程目标进行简单的比较：

《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的

过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。 新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。 二、教学要求 本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程。 本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是： （1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）； （2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。

空间向量与立体几何知识点汇总

立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：

高中数学讲义微专题64 空间向量解立体几何(含综合题习题)

微专题64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?==

高中数学选修2-1教案 第三章 空间向量与立体几何 3.2立体几何中的向量方法

3.2立体几何中的向量方法 第一课时 立体几何中的向量方法（1） 教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？ 2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？ ⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a b a b ??，可求两个向量的数量积或夹角 问题； ⑵利用性质a ⊥b ?a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题． 二、例题讲解 1. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥． 证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ． ∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =． ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 2. 出示例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离． 解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥． 由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120， ∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD ) ＝22222cos120b a b b +++＝22a b +． ∴CD 3. 出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的 棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD +＝12 (2|'|CC ＋'CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )． ∵'CC CD ⊥，'CC BC ⊥，BC CD ⊥，∴'0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝122|'|CC ＝12． …求得 cos ＜,'MN CD ＞12 =，∴＜,'MN CD ＞＝60. 4. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．

空间向量与立体几何知识点学生

用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos ,a b a b a b ?<>= ?， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π?? ? ??， 故实质上应有：cos cos ,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝| cos φ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量；

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：

方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ? = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.