2012年全国中考二次函数的应用
1.（2012黑龙江龙东地区6分）如图，抛物线y=x 2
＋bx ＋c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）。（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B ，且OAB S 3?=，求点B 的坐标。 【答案】解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x 2
＋bx ＋c 得
ì??í?+??c=042b+c=0，解得 ì-??í???b=2c=0
。 ∴此抛物线的解析式为y=x 2
-2x 。
（2）∵y=x 2
-2x=(x-1)2
-1，∴顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1。
（3）设点B 的坐标为（a ，b ），则由′1
2b 2=3
解得b=3或b=－3。
∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1，∴b=－3舍去。∴由x 2
－2x=3解得x 1=3，x 2=－1 ∴点B 的坐标为（3，3）或（－1，3）。
2. （2012上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2
+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD=t ，点E 在第二象限，∠ADE=90°，ta n∠DAE=
1
2
，EF⊥OD，垂足为F ． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC 时，求t 的值．
【答案】解：（1）二次函数y=ax 2
+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），
∴ì??í???16a+24+c=0a-6+c=0，解得ì-??í???
a=2c=8。 ∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x 2
+6x+8。
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。 ∴∠DEF=∠ODA。
∴△EDF∽△DAO。∴
EF DO =ED
DA 。 ∵EF DO =tan ∠DAE=12，∴ED DA =1
2
。
∵OD=t，∴
t
EF =1
2，∴EF=12t 。 同理DF OA =ED DA
，∴DF=2，∴OF=t﹣2。
（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x 2
+6x+8，∴C（0，8），OC=8。 如图，连接EC 、AC ，过A 作EC 的垂线交CE 于G 点． ∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。
在△CAG 与△OCA 中，
∵∠OAC=∠GCA，AC=CA ，∠ECA=∠OAC， ∴△CAG≌△OCA（ASA ）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。 如图，过E 点作EM⊥x 轴于点M ，
则在Rt△AEM 中，EM=OF=t ﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+
1
2
t ， 由勾股定理得： ()2
22
2
2
1AE AM EM 4+t +t 22??
=+=- ???
。
在Rt△AEG 中，由勾股定理得：
在Rt△ECF 中，EF=
12
t ，CF=OC ﹣OF=10﹣t ，
由勾股定理得：EF 2+CF 2=CE 2
，即()2
2
21t +10t =2???- ? ???。 解得t 1=10（不合题意，舍去），t 2=6。 ∴t=6。
3. （2012广东广州14分）如图，抛物线233
y=x x+384
--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在
点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式． 【答案】解：（1）在y=-
38x 2-34x+3中，令y=0，即-38x 2-3
4
x+3=0，解得x 1=﹣4，x 2=2。 ∵点A 在点B 的左侧，∴A、B 点的坐标为A （﹣4，0）、B （2，0）。
（2）由y=-38x 2-3
4x+3得，对称轴为x=﹣1。 在y=-38x 2-34
x+3中，令x=0，得y=3。∴OC=3，AB=6，ACB 11
S AB OC 63922?=?=??=。
在Rt△AOC
中，5=。
设△ACD 中AC 边上的高为h ，则有
12AC?h=9，解得h=18
5
。 如图1，在坐标平面内作直线平行于AC ，且到AC 的距离=h=18
5
，这样的直线有2条，分别
是L 1和L 2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D 。 设L 1交y 轴于E ，过C 作CF⊥L 1于F ，则CF=h=
185
， ∴18
CF CF 9
5CE 4sin CEF sin OCA 2
5
=
====∠∠。 设直线AC 的解析式为y=kx+b ， 将A （﹣4，0），B （0，3）坐标代入，得
4k+b=0b=3-???，解得3
k=
4b=3
???
??。∴直线AC 解析式为y=34x+3。 直线L 1可以看做直线AC 向下平移CE 长度单位（9
2
个长度单位）而形成的， ∴直线L 1的解析式为y=
34x+3-92= 34x-32。 则D 1的纵坐标为343(-1) -32=-94。∴D 1（﹣4，-9
4
）。
同理，直线AC 向上平移92个长度单位得到L 2，可求得D 2（﹣1，27
4
）。
综上所述，D 点坐标为：D 1（﹣4，-94），D 2（﹣1，27
4
）。
（3）如图2，以AB 为直径作⊙F，圆心为F ．过E 点作⊙F 的切线，这样的切线有2条． 连接FM ，过M 作MN⊥x 轴于点N 。
∵A（﹣4，0），B （2，0），∴F（﹣1，0），⊙F 半径FM=FB=3。 又FE=5，则在Rt△MEF 中，-
4=，sin∠M FE=
45，cos∠MFE=35
。 在Rt△FMN 中，MN=MN?sin∠MFE=3345=12
5
，
FN=MN?cos∠MFE=3335=95。则ON=45。∴M 点坐标为（45，125
）。 直线l 过M （
45，125
），E （4，0）， 设直线l 的解析式为y=k 1x+b 1，则有412k+b=554k+b=0
?????，解得3k=4b=3?
-
????。
∴直线l 的解析式为y=-34x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=-3
4
x ﹣3。 综上所述，直线l 的解析式为y=-34x+3或y=-3
4
x ﹣3。
4. （2012广东肇庆10分）已知二次函数2y mx nx p =++图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1﹤0﹤x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan tan CA BO 1O C ∠-∠=． （1）求证： n 4m 0+=； （2）求m 、n 的值；
（3）当p ﹥0且二次函数图象与直线y x 3=+仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 【答案】（1）证明：∵二次函数2y mx nx p =++图象的顶点横坐标是2， ∴抛物线的对称轴为x=2，即n
22m
-
=，化简得：n+4m=0。 （2）解：∵二次函数2y mx nx p =++与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1＜0＜x 2， ∴OA=－x 1，OB=x 2；1212n p
x x x x m m
+=-
?=，。 令x=0，得y=p ，∴C（0，p ），∴OC=|p|。 由三角函数定义得：112p p p
OC OC tan CAO tan CBO OA x x OB x ∠=
==-∠==-，。 ∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即12
p p =1x x -
- ，化简得：
1212x x 1
x x p
+=?。
将1212n p
x x x x m m +=-?=， 代入得：n
1m p m
-
=，化简得：p n 1p =
=±。 由（1）知n+4m=0，∴当n=1时，1m 4=-；当n=－1时，1
m 4
=。
∴m、n 的值为： m=14 ，n=－1（此时抛物线开口向上）或m=-1
4
，n=1（此时抛物线开口向下）。
（3）解：由（2）知，当p ＞0时，n=1，m=-
14
， ∴抛物线解析式为：21
y x x p 4
=-++。
联立抛物线21y x x p 4=-++与直线y=x+3解析式得到：21
x x p x 34
-++=+，
化简得：()2x 4p 30--= ＊。
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，
∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=02
+16（p －3）=0，解得p=3。
∴抛物线解析式为：()2
211y x x 3=x 2+444
=-++--。
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。
∴当p ＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。 5. （2012广东珠海7分）如图，二次函数y=（x ﹣2）2
+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x ﹣2）2
+m 的x 的取值范围． 解(1)将点A(1,0)代入y=（x ﹣2）2
+m 得，(1-2)2
+m=0，解得m=-1 ∴二次函数的解析式是y=（x ﹣2）2-1. 当x=0时，y=4-1=3，∴C 点的坐标是（0，3）。
∵二次函数的解析式是y=（x ﹣2）2-1的对称轴是x=2，C 和D 关于对称轴对称， ∴B 点的坐标是B （4，3）。
将A(1,0)，B （4，3）代入y=kx+b 得ì??í???k+b=04k+b=3 解得ì??í
?-??
k=1b=1 ∵一次函数的解析式是y=x-1 (2) ∵A(1,0)，B （4，3）
当kx+b ≥（x ﹣2）2
+m 时，直线y= x-1的图像在二次函数的解析式是y=（x ﹣2）2
-1的图像上方或相交，此时1≤x ≤4.
6. （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k （x 2
+x ﹣1）的图象交于点A （1，k ）和点B （﹣1，﹣k ）． （1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．【答案】解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），
∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y=m
x
。
将A（1，﹣2）代入得：-2=m
1
，解得：m=﹣2。∴反比例函数的解析式为：y=
2
-
x
。
（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0。
∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+1
2
）2-
5
4
k，∴它的对称轴为：直线x=﹣
1
2
。
要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，
即x＜﹣1
2
时，才能使得y随着x的增大而增大。∴综上所述，k＜0且x＜﹣
1
2
。
（3）由（2）可得：Q(﹣1
2
，
5
4
k)。
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB。
作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分别为点C，D。
∴OQ=
∵OA=
=
7. （2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M，求点M的坐标．
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象交x 轴于A （﹣1，0），B （2，0） ∴设该二次函数的解析式为：y=a （x+1）（x ﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a （0+1）（0﹣2），解得a=1。 ∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x ﹣2），即y=x 2
﹣x ﹣2。
（2）设OP=x ，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC 中，由勾股定理，得x 2
+22
=（x+1）2， 解得，x=
32，即OP=3
2
。 （3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。 （i ）如图1，当H 在点C 下方时，
∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x 轴，∴y M =﹣2。
∴x 2
﹣x ﹣2=﹣2，解得x 1=0（舍去），x 2=1。∴M（1，﹣2）。 （ii ）如图2，当H 在点C 上方时， ∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。
由（2）得，M′为直线CP 与抛物线的另一交点， 设直线CM′的解析式为y=kx ﹣2，
把P （
32，0）的坐标代入，得32k ﹣2=0，解得k=43。∴y=4
3x ﹣2。 由43x ﹣2=x 2
﹣x ﹣2，解得x 1=0（舍去），x 2=73。此时y=373-2=109
。
∴M′（73，10
9
）。
②在x 轴上取一点D ，如图3，过点D 作DE⊥AC 于点E ，使
在Rt△AOC 中， ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，∴△AED∽△AOC，
∴AD DE
=
AC OC 52，解得AD=2。∴D（1，0）或D （﹣3，0）。 过点D 作DM∥AC，交抛物线于M ，如图
则直线DM 的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x ﹣6。 当﹣2x ﹣6=x 2
﹣x ﹣2时，即x 2
+x+4=0，方程无实数根，
当﹣2x+2=x 2
﹣x ﹣2时，即x 2
+x ﹣4=0，解得12x x =
=
∴点M 3 。 8. （2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线2
y x 2mx(m 0)=-+>与x 轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM x ⊥轴于点M ，交抛物线于点B.记点B 关于抛物线对称
轴的对称点为C （B 、C 不重合）.连结CB,CP 。 （1）当m 3=时，求点A 的坐标及BC 的长； （2）当m 1>时，连结CA ，问m 为何值时CA⊥CP？ （3）过点P 作PE⊥PC 且PE=PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并写出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）当m=3时，y=－x 2
＋6x 。
令y=0得－x 2
＋6x=0，解得，x 1=0，x 2=6。∴A（6，0）。 当x=1时，y=5。∴B（1，5）。
∵抛物线y=－x 2＋6x 的对称轴为直线x=3，且B ，C 关于对称轴对称，∴BC=4。
（2）过点C 作CH⊥x 轴于点H （如图1） 由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。∴
=
AH PB
CH BC
。 ∵抛物线y=－x 2＋2mx 的对称轴为直线x=m ，其中m ＞1，且B ，C 关于对称轴对称， ∴BC=2（m －1）。
∵B（1，2m －1），P （1，m ），∴BP=m－1。
又∵A（2m ，0），C （2m －1，2m －1），∴H（2m －1，0）。∴AH=1，CH=2m －1，
∴
-1m-1=
2m 12m-2，解得m=2
3
。 （3）存在。∵B，C 不重合，∴m≠1。
（I ）当m ＞1时，BC=2（m －1），PM=m ，BP=m －1， （i ）若点E 在x 轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP 。 ∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m ，解得m=2。 此时点E 的坐标是（2，0）。 （ii ）若点E 在y 轴上（如图2），
过点P 作PN⊥y 轴于点N ，易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即m －1=1，解得，m=2。此时点E 的坐标是（0，4）。 （II ）当0＜m ＜1时，BC=2（1－m ），PM=m ，BP=1－m ， （i ）若点E 在x 轴上（如图3），易证△BPC≌△MEP， ∴BC=PM，即2（1－m ）=m ，解得，m=23。此时点E 的坐标是（4
3
，0）。
（ii ）若点E 在y 轴上（如图4），
过点P 作PN⊥y 轴于点N ，易证△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。
综上所述，当m=2时，点E 的坐标是（0，2）或（0，4）， 当m=
23时，点E 的坐标是（4
3
，0）。 9. （2012江苏连云港12分）如图，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD 的面积；
(3)将△AOC 绕点C 逆时针旋转90°，点A 对应点为点G ，问点G 是否在该抛物线上？请说明理由．
【答案】解：(1)∵四边形OCEF 为矩形，OF ＝2，EF ＝3， ∴点C 的坐标为(0，3)，点E 的坐标为(2，3)． 把x ＝0，y ＝3；x ＝2，y ＝3分别代入y ＝－x 2
＋bx ＋c ，
得ì??í
?+??c=3-42b+c=3，解得ì??í
???b=2
c=3
。 ∴抛物线所对应的函数解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3。 (2)∵y＝－x 2
＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD 中AB 边的高为4。 令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3。 ∴AB＝3－(－1)＝4。 ∴△ABD 的面积＝
1
2
3434＝8。 (3)如图，△AOC 绕点C 逆时针旋转90°，CO 落在CE 所在的直线上， 由（1）(2)可知OA ＝1，OC=3，
∵点A 对应点G 的坐标为(3，2)。∵当x ＝3时，y ＝－32
＋233＋3＝0≠2， ∴点G 不在该抛物线上。
10. （2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y ＝ 1 2x 2
＋bx ＋c 与x 轴相
交于点B(－0，0)和C ，O 为坐标原点． (1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y ＝ 1 2x 2＋bx ＋c 向上平移 7
2个单位长度、再
向左平移m(m ＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；
(3)设点M 在y 轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM 的长．
【答案】解：（1）将A （0，－4）、B （－2，0）代入抛物线y= 1 2
x 2
+bx+c 中，得：
ì-??í?-??0+c=422b+c=0，解得，ì-??í?-??b=1c=4
。 ∴抛物线的解析式：y= 1 2x 2－x －4。
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y= 1 2(x+m)2
+(x+m)-4+72，
即：y= 1 2x 2+(m-1)x+12m 2-m －1
2。它的顶点坐标P （1－m ，－1）。
由（1）的抛物线解析式可得：C （4，0）。 ∴直线AB ：y=－2x-4；直线AC ：y=x －4。
当点P 在直线AB 上时，－2（1－m ）－4=－1，解得：m=
5
2
；
当点P 在直线AC 上时，（1－m ）＋4=－1，解得：m=－2； 又∵m＞0，∴当点P 在△ABC 内时，0＜m ＜
5
2
。 （3）由A （0，-4）、B （4，0）得：OA=OC=4，且△OAC 是等腰直角三角形。 如图，在OA 上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。 ∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠O MB 。 如图，在△ABN、△AM 1B 中， ∠BAN=∠M 1AB ，∠ABN=∠AM 1B ， ∴△ABN∽△AM 1B ，得：AB 2
=AN?AM 1； 由勾股定理，得AB 2
=（－2）2
+42
=20， 又AN=OA －ON=4－2=2，
∴AM 1=20÷2=10，OM 1=AM 1－OA=10－4=6。
而∠BM 1A=∠BM 2A=∠ABN，∴OM 1=OM 2=6，AM 2=OM 2－OA=6－4=2。 综上，AM 的长为6或2。
11. （2012江苏泰州10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的
顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数22y x bx c
3
=-++的图象经过B 、C 两点． （1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当y>0时x 的取值范围．
【答案】解:（1）∵正方形OABC 的边长为2，∴点B 、C 的坐标分别是（2，2），（0，2）， 将B （2，2），C （0，2）两点坐标代入y=-
23
x 2
+bx+c 得 ì????í
????
2-42b+c=23c=2，解得ì???í????3b=4c=2 ∴二次函数的解析式是y=-23x 2+3
4
x+2 (2)令y=0，则-
23x 2+34
x+2=0，整理得x 2
-2x-3=0 解得x 1=-1，x 2=3，
∴二次函数图像与x 轴的交点坐标为 (-1,0), (3,0),
∴当y ＞0时，二次函数图像在x 轴的上方，x 的取值范是-1＜x ＜
3.
12. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分） 如图，抛物线2
1y x =x 2
b c ++-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2，OC=3． (1)求抛物线的解析式．
(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
注：二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴是直线x =b 2a
-
【答案】解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（－2，0），C （0，3）。
将C （0，3）代入y=-12x 2
+bx+c 得c=3。 将A （－2，0）代入y=-12x 2+bx+3得， -12(-2)2
+(-2)b+3=0，解得b=12。
∴抛物线的解析式为y=-12x 2+1
2
x+3。
（2）如图：连接AD ，与对称轴相交于P ，由于点A 和点B 关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP ，当A 、P 、D 共线时BP+DP=AP+DP 最小。 设AD 的解析式为y=kx+b ，
将A （-2，0），D （2，2）分别代入解析式得，
ì-??í???2k+b=02k+b=2，解得，ì???í
????
1k=2b=1，∴直线AD 解析式为y=12x+1。 ∵二次函数的对称轴为x=-12÷[23(-12)]=1
2
， ∴当x=12时，y=12312+1=54。∴P（12，5
4
）。
13. （2012黑龙江绥化6分）如图，二次函数y=ax 2
－4x ＋c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A （－4，0）． （1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P
，满足S
△AOP =8，请直接写出点P 的坐标． 【答案】解：（1）将O （0，0）A （－4，0）代入y=ax 2－4x ＋c 得
()()2a 444c 0c 0
??--?-+=??=??， 解得ì-??í
???a=1c=0。∴此二次函数的解析式为y=－x 2
－4x 。 （2）∵点A 的坐标为（－4，0），∴AO=4。
设点P 到x 轴的距离为h ，则AOP 1
S 4h 42
?=
??=，解得h=4。
①当点P 在x 轴上方时，－x 2
－4x=4，解得x=－2。 ∴点P 的坐标为（－2，4）。 ②当点
P
在
x
轴下方时，－x 2
－4x=-4，解得
1222x x 22
--=
=
，。
∴点P 的坐标为（22-+ ，－4）或（22
-- ，－4），
综上所述，点P 的坐标是：（－2，4）、，－4）、，－4）。
14. （2012湖北荆门10分）已知：y 关于x 的函数y=（k ﹣1）x 2
﹣2kx+k+2的图象与x 轴有交点．（1）求k 的取值范围；
（2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足（k ﹣1）x 12
+2kx 2+k+2=4x 1x 2．①求k 的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值．
【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x 轴有一个交点。 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点， 令y=0得（k ﹣1）x 2
﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k ）2
﹣4（k ﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。 综上所述，k 的取值范围是k≤2。
（2）①∵x 1≠x 2，由（1）知k ＜2且k≠1。 由题意得（k ﹣1）x 12
+（k+2）=2kx 1（*），
将（*）代入（k ﹣1）x 12+2kx 2+k+2=4x 1x 2中得：2k （x 1+x 2）=4x 1x 2。 又∵x 1+x 2=
-2k k 1，x 1x 2=+-k 2k 1，∴2k?-2k k 1=4?+-k 2
k 1
， 解得：k 1=﹣1，k 2=2（不合题意，舍去）。∴所求k 值为﹣1。
②如图，∵k 1=﹣1，y=﹣2x 2
+2x+1=﹣2（x ﹣
12）2+3
2，且﹣1≤x≤1， 由图象知：当x=﹣1时，y 最小=﹣3；当x=12时，y 最大=3
2
。
∴y 的最大值为3
2
，最小值为﹣3。
15. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x 2
+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．
【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x 2
+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，
ì??í
???-1-b+c=0-4+2b+c=3
，解得ì??í???b=2c=3。∴抛物线的函数关系式为y=﹣x 2+2x+3。 设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，由直线AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得
ì-+??í
???k n=02k+n=3，解得ì??í???
k=1n=1。∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。 （2）作N 点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N （0，3）。∴N′（6， 3） 由y=-x 2
+2x+3=-(x-1)2
+4得D （1，4）。 设直线DN′的函数关系式为y=sx+t ，则
6s+t=3s+t=4??
?，解得1s=5
21t=
5
?
-??????。 ∴故直线DN′的函数关系式为121
y x 55
=-+。
根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小，
∴12118
m 3=555=-?+。∴使MN+MD 的值最小时m 的值为185
。
（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2），
①当BD 为平行四边形对角线时，由B 、C 、D 、N 的坐标知，四边形BCDN 是平行四边形，此时，点E 与点C 重合，即E （2，3）。 ②当BD 为平行四边形边时，
∵点E 在直线AC 上，∴设E （x ，x+1），则F （x ，-x 2
+2x+3）。
又∵BD=2
∴若四边形BDEF 或BDFE 是平行四边形时，BD=EF 。 ∴()2x 2x 3x 1=2-++-+，即2x x 2=2-++。 若-x 2
+x+2=2，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。
若-x 2+x+2=-2，解得，，∴E ??或E ??
。
综上，满足条件的点E 为（2，3）、（0，1）、?
?、??
。 （4）如图，过点P 作PQ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG⊥x 轴于点G ， 设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2
+2x+3）。
∴22PQ x 2x 3x 1x x 2=
-++--=-++（）（）。 ∴APC APQ CPQ 1
S S +S PQ AG 2
???==? 2213127x x 23x 2228=-++?=--+（）（）。 ∵3
02
<-，
∴当x=
12时，△APC 的面积取得最大值，最大值为278
。 16. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C 1:()()1
y x 2(x m)m 0m
=-+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．
(4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线C
1过点M(2，2)，
∴()1
222(2m)m
=-
+-，解得m=4。 （2）由（1）得()1
y x 2(x 4)4
=-+-。
令x=0，得y=2。∴E（0，2），OE=2。
令y=0，得()1
0x 2(x 4)4
=-
+-，解得x 1=－2，x=4。 ∴B（－2，，0），C （4，0），BC=6。 ∴△BCE 的面积=1
6262
??=。
（3）由（2）可得()1
y x 2(x 4)4
=-+-的对称轴为x=1。
连接CE ，交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH 最小。 设直线CE 的解析式为y kx+b =，则
4k+b=0b=2???，解得1k=2b=2
?-????。∴直线CE 的解析式为1y x+22=-。
当x=1时，y=
32。∴H（1，3
2
）。 （4）存在。分两种情形讨论： ①当△BEC∽△BCF 时，如图所示。 则
BE BC BC BF
=
，∴BC 2
=BE?BF。 由（2）知B （－2，0），E （0，2），即OB=OE ， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。 作FT⊥x 轴于点F ，则BT=TF 。 ∴令F （x ，－x －2）（x ＞0）， 又点F 在抛物线上，∴－x －2=()1
x 2(x m)m
-
+-， ∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F （2m ，－2m －2）。
此时BF m 1BE BC m 2=+==+），， 又BC 2=BE?BF，∴（m+2）2
=
?m 1+），解得
m=2±
∵m＞0
，∴m=。
②当△BEC∽△FCB 时，如图所示。 则
BC EC BF BC =
，∴BC 2
=EC?BF。 同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE， ∴
TF OE 2
BT OC m
==。 ∴令F （x ，－
2
m
（x+2））（x ＞0），
又点F 在抛物线上，∴－2m
（x+2）=()1
x 2(x m)m -+-。
∵x+2＞0（∵x＞0）， ∴x=m+2。∴F（m+2，－
2
m
（m+4））
，EC =，BC=m+2。 又BC 2=EC?BF，∴（m+2）2
.
整理得：0=16，显然不成立。
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F ，使得以点B 、
C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似，+2。
17. （2012湖南常德10分）如图，已知二次函数1
y (x 2)(ax b)48
=++的图像过点A(－4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB 是直角三角形；
（3）若点P 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作PH 垂直x 轴于点H ，是否存在以P 、H 、D 、为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）将A(－4，3），B(4，4)代人1
y (x 2)(ax b)48
=
++中， 13(42)(4a b)48
14(42)(4a b)48?=-+-+????=++??
， 整理得：4a b 724a b 32-=??+=? 解得a 13b 20=??
=-? ∴二次函数的解析式为：1
y (x 2)(13x 20)48
=+-，即：21315y x x 4886=+-。
（2）由 21315x x 04886+-=整理得 213x 6x 400+-=，解得1220
x =2x =13-，。
∴C （－2，0），D 20013??
???
，。 ∴AC 2
=4+9 ，BC 2
=36+16，AC 2
+ BC 2
=13+52=65，AB 2
=64+1=65， ∴ AC 2
+ BC 2
=AB 2
。∴△ACB 是直角三角形。
3）设21315P(x x x )4886+- ，（x<0），则PH=21315x x 4886+
-， HD=20
x 13
-。
，
BC=
①当△PHD∽△ACB 时有：PH HD AC CB =
2131520x x x
+--=， 整理得
2135125x x 024439
+-=，解得125020x x 1313=-= ，
（舍去），此时，135
y 13=。 ∴15035
P (1313
- ，）
。 ②当△DHP∽△ACB 时有：DH PH AC BC =，
2201315x x x -+-= 整理 21317305x x 048878+-=，解得1212220x x 1313=-= ，（舍去）
，此时，1284
y 13=。 ∴2122284
P (1313
- ，）
。 综上所述，满足条件的点有两个即15035P (1313- ，），2122284
P (1313
- ，）
。 18. （2012湖南怀化10分）]如图，抛物线m ：21
y (x h)k 4
=-++与x 轴的交点为A 、B ，
与y 轴的交点为C ，顶点为(3,)M 254
,将抛物线m 绕点B 旋转
180，得到新的抛物线n,它
的顶点为D.
（1）求抛物线n 的解析式；
（2）设抛物线n 与x 轴的另一个交点为E ，点P 是线段ED 上一个动点（P 不与E 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF.如果P 点的坐标为(x,y) ，△PEF 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；
（3）设抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ，以G 为圆心，A 、B 两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM 与⊙G 的位置关系，并说明理由. 【答案】解：（1）∵抛物线m 的顶点为25
M(3,)4
， ∴m 的解析式为2125y (x 3)44=--+=1
(x 8)(x 2)4
--+。∴A(2,0),B(8,0)- 。
∵抛物线n 是由抛物线m 绕点B 旋转180 得到，∴D 的坐标为25
(13,)4
- 。
∴抛物线n 的解析式为：2125y (x 13)44=--，即2113
y x x 3642
=-+。
（2）∵点E 与点A 关于点B 中心对称，∴E (18,0) 。
设直线ED 的解析式为y kx b =+，则18k b 02513k b 4+=???+=-??，解得5k 445b 2?=???
?=-??
。
∴直线ED 的解析式为545
y x 42
=-。
又点P 的坐标为(x,y) ， ∴S 111OF FP x y xy 222=
?=?=-=1545x(x )242
--=2545
x x(13x 18)84-+<<。 ∴当90
8
x 952()
8
=-
=?-时，S 有最大值。
但13x 18<<，∴△PEF 的面积S 没有最大值 。 （3）直线CM 与⊙G 相切。理由如下：
∵抛物线m 的解析式为1
y (x 8)(x 2)4
=--+，令x 0=得y 4=。∴C(0,4) 。
∵抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ，∴OC=4，OG=3，25GM 4
=。 ∴由勾股定理得CG=5。
又∵AB=10，∴⊙G 的半径为5，∴点C 在⊙G 上。 过M 点作y 轴的垂线，垂足为N ，
则2222225225
CM CN MN (4)3416=+=-+=
。 又2222
22562525CG CM 5()16164
+=+==，
∴2GM =22CG CM +。
∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=900
。∴CG CM ⊥。 ∴直线CM 与⊙G 相切。
19. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线
2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点，
∴ 16a 4b c 04a 2b c 3 c 3++=??++=??=?，解得3a 83b 4c 3
?
=-??
?
=??
=???
。
∴抛物线的解析式为：y=-
38x 2+34
x+3，其对称轴为：b x 12a =-=。
（2）由B （2，3），C （0，3），且对称轴为x=1，可知点B 、C 是关于对称轴x=1的对称点。 如图1所示，连接AC ，交对称轴x=1于点M ，连接MB ，则MA ＋MB=MA ＋MC=AC ，根据两点之间线段最短可知此时MA ＋MB 的值最小。 设直线AC 的解析式为y=kx ＋b ，
∵A（4，0），C （0，3），∴ 4k b 0 b 3+=??=? ，解得3k 4b 3
?
=-
???=?。
∴直线AC 的解析式为：y=-3
4
x ＋3。 令x=1，得y=
94 。∴M 点坐标为（1，94
）。 （3）结论：存在。
如图2所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC∥AP 1，此时梯形为ABCP 1。
由B （2，3），C （0，3），可知BC∥x 轴，则x 轴与抛物线的另一个交点P 1即为所求。 在y=-
38x 2+3
4
x+3中令y=0，解得x 1=-2，x 2=4。 ∴P 1（－2，0）。
∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A≠BC。 ∴四边形ABCP 1为梯形。
②若AB∥CP 2，此时梯形为ABCP 2。 设CP 2与x 轴交于点N ，
∵BC∥x 轴，AB∥CP 2，∴四边形ABCN
为平行四边形。
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
关于2010年天津中考数学二次函数考点解析 10年关于二次函数的考题整体看难度有所降低，能找到一定的思路，只是计算量大些 分值是16分。考查点：识图，获取信息，不同位置的x 取值所对应的函数值的特点。 识图：开口，对称轴（y 轴的左右），与x 交点（x 的正、负半轴、原点、交点个数），与y 轴 交点（y 轴的正负半轴）等。 （10）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；与x 轴两个交点；结论成立. ②0abc >；a ＞0，b ＜0（与a 左同右异），c ＜0 ③80a c +>；由12b a - =得，2b a =-， 由2x =-，y ＞0，得2(2)(2)(2)a a c -+--+＞0， 所以80a c +>成立。 ④930a b c ++<．由对称轴为1，与x 轴的左交点在-2—-1 之间，可确定与x 轴的右交点在3—4之间（图形直观法：对称轴左右距离相等；代数推导法：20022x a x x b -<<-，其中1a b x <<）。 其中，正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （16）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表： 则该二次函数的解析式为 ．22y x x =+- 考点：待定系数法，解方程，信息的合理（优化）选择。都会做，也都能做（试题的背景公平，关注结果，更关注过程，解题的个性与通性），但怎样做的简捷体现的是个人的数学能力。 信息：顶点（12-，94-），与y 轴的交点（0，-2），与x 轴的一个交点（1，0）推得另一个 交点（-2，0）等。增减性：x 变大，y 变小，拐点（12-，9 4-），y 随x 的增大而增大。 能力：获取、选择、计算、读图表。 特征点：顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点。 第（10）
中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3；(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（ 73，256）或（173，﹣253）． 【解析】 试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣ 34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣ 34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365 ，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94 n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34 n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA ，有C （0，3）， 将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：
25．（2018 14分）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+ 分别与y轴及抛物线交于点C，D． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t 为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值； （3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（13分）（2017烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值； （3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2016 12分）如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF 交BC于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）如图2，过点F作FM∥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN∥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值． 24.(2015 本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2 y ax bx c =++与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(-1，0)，(0，-2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧?DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5。 (1)求点D的坐标及该抛物线的表达式； (2)若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
1 / 17 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是
( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 2 / 17 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac
二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点
2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存
2018中考数专题二次函数 (共40题) 线于点G . (1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式; (2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标; (3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标; ②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求 (x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其 (1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值； (3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式. 1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2 -6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物 F ，H 为 AM+CM 它 顶点为D .
3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式; (2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标; (3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最 1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标. 2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形. ② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. (0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对 称轴是直线X =1
中考试题分类汇编——二次函数 一、选择题 1、（天津市）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；②；③；④；⑤，（ 的实数）其中正确的结论有（）B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、（2007南充）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．B （A）②④（B）①④（C）②③（D）①③ 3、（2007广州市）二次函数与x轴的交点个数是（）B A．0B．1C．2D．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）A 5、（2007四川资阳）已知二次函数（a≠0）的图象开口向上，并经过点（-1，2），（1，0）。下列结论正确的是（）D A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小
C. 存在一个负数x0，使得当x 二次函数经典中考试题（含答案） —、解答题（共30小题） 1. （2013?武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物 分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表） ： 温度 x/C … -4 - 2 0 2 4 4.5 … 植物每天高度增长量 y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度x 的函数，且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种. （1） 请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理 由； （2） 温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3） 如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm ，那么 实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果. 2. （2013?莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛 （花坛为轴对称图形）.矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形 ABCD 的边长AB=4米，/ ABC=60 °设AE=x 米 （0v x V 4），矩形EFGH 的面积为S 米2. （1） 求S 与x 的函数关系式； （2） 学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草?已知红色花草的价格为 20元咪2,黄色花草的价格为40元咪2?当x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求 出最低总费用（结果保留根号）？ y 的二元一次方程组 （1） 若a=3.求方程组的解； （2） 若S=a （3x+y ），当a 为何值时，S 有最值. 4. （2013?南宁）如图，抛物线 y=ax 2+c （a 旳）经过C （2，0），D （0，- 1）两点，并与直 线y=kx 交于A 、B 两点，直线I 过点E （0，- 2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点M 、N . （1） 求此抛物线的解析式； （2） 求证：AO=AM ； （3） 探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时 的值； 3. （2013?资阳）在关于 x ， 中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是 a≠，而b c 全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的 y ax c 性质： 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性 y a x h 质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； （3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）9 4 ；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣ 3）． 【解析】 试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解； （2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答； （3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可； （4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可． 试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）， ∴ 930 10 b c b c ++= ? ? ++= ? ，解得 4 3 b c =- ? ? = ? ，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣ （x﹣3 2 ）2+ 9 4 ．∵a=﹣1＜0，∴当x= 3 2 时，线段PD的长度有最大值 9 4 ； 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（） A、ac＜0 B、当x=1时，y＞0 C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根 D、存 在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小； 当x＞x0时，y随x的增大而增大 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． （1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE 交抛物线于点F，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ ②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式． 如图，已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P． （1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）； （2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式． 1.如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1． （1）当a=﹣1，b=1时，求抛物线n的解析式； （2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由； （3）若四边形AC 1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式． 2020年中考数学二轮专项冲刺——二次函数（真题汇编） 一、选择题 1.（2019年四川省广安市）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc ＜0②b ＜c ③3a +c ＝0④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2. (2019年天津市)二次函数c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，0≠a ）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表： 且当x=2 1 -时，与其对应的函数值0>y ，有下列结论：①0>abc ；② - 2和3是关于x 的方程t c bx ax =++2的两个根；③3 20 0<+ A. B. C. D. 4. （2019年山东省济宁市）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一 个单位长度后，得到的抛物线解析式是（） A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2 5. （2019年山东省青岛市）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣ 2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） A．B． C．D． 6. （2019年四川省资阳市）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过 点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数21(1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线()4222-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．21xy x += B ． 220x y +-= C ． 22y ax -=- D ．2210x y -+= 12．在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、212 y x =的图象，它们共同特点是 ( ) 22 3x y -= 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图 像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线 的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对 称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3， 0） C. （-3， -5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则 下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落 于地面 C. 点火后10s的升空高度为 139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣ 1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中 正确的个数是（） 初中数学二次函数经典测试题及答案 一、选择题 1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】 解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+?? =++? 解得：13 23b c ? =????=-?? ∴二次函数的解析式为：2 21212533636 ??=+-=+ ???-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为25 36 -，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意； C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1 2 01b b c ?-=???=-+? 解得：23b c =-??=-? ∴223y x x =-- 当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ） 全国各地中考数学试卷试题分类汇编 第13章 二次函数 一、选择题 1. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()2 23y x =+-可以由抛物线2 y x =平移得到,则下 列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 【答案】B 2. （2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）． A ．y = x 2 B ．y = x －１ C ． y = 34 x D ．y = 1 x 【答案】D 3. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数()()()() 2 2 113513x x y x x ?--? =?--??≤＞，则使y=k 成立的x 值恰 好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4. （2011山东德州6,3分）已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象 如下面右图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是 【答案】D 第6题图 5. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线2 y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线 与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是 A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2a D ． ac <0 【答案】B 6. （2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2 +bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 则当x =1时，y 的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27 【答案】D 7. （2011山东威海，7，3分）二次函数2 23y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 【答案】A 8. （2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ） A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h 中考数学有关二次函数大题 1、（2007天津市）知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点 C （2，8）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标。 2、（2007贵州省贵阳）二次函数 2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如 图1所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程2 0ax bx c ++=的两个根．（2分） （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（2分） （3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（2分） （4）若方程2 ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4分 3、（2007河北省）如图2，已知二次函数 24y ax x c =-+的图像经过点A （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离． 4、（2008?茂名）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣4）、 B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2﹣x1=5． （1）求b、c的值； （2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由． 5、（2008?宁波）如图4，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B． （1）求点A，B，C的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式 ．二次函数经典中考试题(含答案)
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