不定方程和不定方程组的练习题
二元一次方程具有无数多个解，但在一定条件下，如求整数解，存在有限个解的情况，这样的方程或方程组叫不定方程（组）。
1.写出方程x+2y=5的一个解。
2.写出方程x+2y=5的正整数解。
3.把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，怎样截
不造成浪费？你有几种不同的截法？
4.小明想用100元买15张邮票，现有4元，8元，10元三种面值。
（1）若他只想买4元和8元两种面值的邮票，怎样买？
（2）若这三种面值的邮票他都想买，又怎样买呢？
简易方程练习题及答案 Prepared on 24 November 2020
用字母表示数量关系 一、请你填一填。 1．一只手有5个手指，两只手有10个手指，n只手有（）个手指。 2．四（1）班有学生a人，其中男生有27人，女生有（）人。 3．商店运进n盒彩笔，共计20元，每盒彩笔（）元。 4．明明比红红大2岁，今年红红a岁了，今年明明（）岁。 5．7×x 或 x ×7可以写成（）或（），也可以简写成（）。 二、用含有字母的式子表示。 1． x页 y页 （1）两本字典一共有（）页。 （2）《现代汉语词典》比《新华字典》多（）页。 2．某小学买来54本语文练习本和60本数学练习本。 X 元 y元 买语文练习本花了多少元 买数学练习本花了多少元 各买一本花多少元 三、红红有a本课外书，亮亮比红红少7本，亮亮有（）本，他们俩一共有（） 本。 答案： 一、1. 5n 2. a-27 3. 20÷n +2 5. 7·x x·7 7x 二、1.(1) x+y (2)y-x 2. 54x 60y x+y
三、a-7 2a-7 用字母表示运算定律 一、填一填。 1．a+a+a 可以写成（ ）。 2．b ·b 可以写成（ ），读作b 的（ ）。 3．正方形的边长为a ，则c=（ ），s=（ ） 4．长方形的长是x ，宽是y ，则c=（ ），s=（ ）。 二、根据运算定律在下面的□里填上适当的数。 38+□=41+□ 59+62=□ +59 □+72=72+48 314+288+412=314+（□+□） （18+34）+66=18+（□+□） 三、用简便方法计算。 21+236+79 682+144+318 376+246+254 283+170+230+117 1．厨房的周长是（ ），面积是（ ）。 2．餐厅的周长是（ ），面积是（ ）。 3．整个平面图的周长是（ ），面积是（ ）。 x 答案： 一、1. 3a 2. 平方 3. 4a 4. 2(x+y) xy 二、41 38 62 48 288 412 34 66 三、336 1144 876 800 四、1. 2(x+y) xy 2. 4y 3. 2(x+2y) (x+y)y
考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 —兀一次方程组 二元一次方程的概念 V 二元一次方程组的概念 V 二元一次方程组的解法 V 要点解析 易错点1:代入法解二元一次方程组时，循环代入导致错误. 辨析：在利用代入法解二元一次方程组时，需要将方程组中某一个方程进行变形，然后将变形后的 方程代入到另一个方程中（注意不是变形前的方程） 易错点2:方程变形时，忽略常数项而出现错误. 辨析：在用加减法解二元一次方程组时，为了把两个方程中某一个未知数的系数化成相等或者互为 相反数，需要在方程两边同乘一个不等于零的数，此时不要忘记常数项，造成漏乘导致出现错解. 中考考纟 冈 二元一次方程组的概念及解法
知识精讲 二兀一次方程 含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式一一分母中不能含有字母； ②有两个未知数 "二元”； ③含有未知数的项的最高次数为1―― “一次”. 关于x、y的二元一次方程的一般形式：ax by c ( a 0且b 0 ). 二、二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解?在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示. 如：方程x y 2的一组解为1 ，表明只有当x 1 1和y 1同时成立时，才能满足方程. 般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了. 0是关于X、y的二元一次方程，则a b 1
已知方程 m 3 x |m 2 2y n 1 0是关于x 、y 的二元一次方程，则 m 【例3】 下列方程中，属于二元一次方程的是() A . x y 1 B . xy 5 4 【例2】 2 C . 3x y 89
二元一次方程组练习题 班级 _______ 姓名 ________ 坐号 _______ 成绩 _______ 一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在方程25x y +=中，用x 的代数式表示y ，得_______y =． 2. 若一个二元一次方程的一个解为21x y =??=-?，则这个方程可以是： （只要求写出一个） 3. 下列方程： ①213 y x - =； ②332x y +=； ③224x y -=； ④5()7()x y x y +=+；⑤223x =；⑥1 4x y +=．其中是二元一次方程的是 ． — 4. 若方程456m n m n x y -+-=是二元一次方程，则____m =，____n =． 5. 方程4320x y +=的所有非负整数解为： 6. 若23x y -=-，则52____x y -+=． 7. 若2(5212)3260x y x y +-++-=，则24____x y +=． 8. 有人问某男孩，有几个兄弟，几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟就有几个姐妹．”再问他妹妹有几个兄弟，几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的2倍．”若设兄弟x 人，姐妹y 人，则可列出方程组： ． 9. 某次足球比赛的记分规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场是0分．某队踢了14场，其中负5场，共得19分。若设胜了x 场，平了y 场，则可列出方程组： ． 10. 分析下列方程组解的情况．
①方程组1 2x y x y +=??+=?的解 ；②方程组 1 222 x y x y +=?? +=?的解 ．新 课 标 一 ， 二、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 用代入法解方程组124 y x x y =-??-=?时，代入正确的是（ ） Ａ．24x x --= B ．224x x --= Ｃ．224x x -+= Ｄ．24x x -+= 12. 已知10x y =-??=?和2 3x y =??=?都是方程y ax b =+的解，则a 和b 的值是 （ ） Ａ．1 1 a b =-??=-? Ｂ．11a b =??=? Ｃ．11a b =-??=? Ｄ． 11 a b =??=-? 13. 若方程组4314 (1)6x y kx k y +=??+-=?的解中x 与y 的值相等，则k 为（ ） Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 / 14. 已知方程组5354x y ax y +=??+=?和25 51x y x by -=??+=?有相同的解，则a ，b 的值为 （ ） Ａ．1 2a b =??=? Ｂ．46a b =-??=-? Ｃ．62a b =-??=? Ｄ．14 2a b =??=? 15. 已知二元一次方程30x y +=的一个解是x a y b =??=?，其中0a ≠，那么（ ） Ａ． 0b a > Ｂ．0b a = Ｃ．0b a < Ｄ．以上都不对 16. 如图1，宽为50 cm 的矩形图案 由10个全等的小长方形拼成，其中 一个小长方形的面积为（ ）
不定方程（组）及应用 【知识点拨】 不定方程式数论中的一个古老的分支，我国对不定方程的研究已有数千年的历史，“百鸡问题”、“中国剩余定理”等一直流传至今。 当方程的个数比方程中未知数的个数少的时候，我们就称这样的方程（或方程组）为不定方程（或不定方程组）。 为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也成为丢番图方程，之所以把它们叫不定方程，是因为他们的解不确定（不唯一）。一般情况下，如果不加以限制，不定方程的解有无限个，如果考虑到题中的一些条件所限制的范围后，它只能有几个解，甚至无解，解答这类方程，必须对题中明显或者隐蔽的条件加以推理，才能正确求解。 【典型例题】 例 1、 求不定方程5x ＋9y=104的整数解 【巩固训练】 1、在不定方程89－7a=4b 中，a 、b 均为自然数，求此不定方程的解。 例 2、求三元一次不定方程组 {56203412x y z x y z +-=-+=的正整数解。
【巩固训练】 1、求不定方程组{791168 210 x y z x y ++= +=的正整数解。 例3、甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？ 【巩固训练】 装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。问需要大小盒子各多少个？
例4、某地按下列规定收取电费：每月用电不超过50度，每度收4角5分，如果超过50度，超过部分每度收8角，今年七月，甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？（电的度数按整数算） 【巩固训练】 1、某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度电9角收费；如果超过24度，超过部分按每度电2元收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9元6角钱，甲乙两家各交多少电费？（电的度数按整数算） 例5、把1000拆成两个自然数的和，一个是7的倍数并且要使这个数尽可能大，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能的小，这两个数分别是多少？
第六节 不定方程 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理 数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。 基础知识 1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 以下给出几个关于特殊方程的求解定理： （一）二元一次不定方程（组） 定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(； 定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成 ??? ????-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。 定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++ 2211，(N c a a a n ∈,,,,21 )有解的充要条件是c a a a n |),,,(21 . 方法与技巧： 1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求c by ax =+一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减
第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做 二元一次方程. 2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元 一次方程有无数个解. 4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 1．方程组23x y x y +=+=???■的解为2x y ==???■ ，则被遮盖的两个数分别是（ B ） A ．1，2 B ．5，1 C ．2，-1 D ．-1，9 解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1， 把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5， 则被遮住得两个数分别为5，1， 2．下列方程是二元一次方程的是（ D ） A ． 2132254 y y --=- B ．2x －4y=5 C.xy=x+y D.x+(3－2y )=5 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确； 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ） A ．12xy x y =??-=? B ．52313x y y x -=???-=?? C ．20132x z x y -=???-=?? D ．5723 x x y =???-=?? 解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误； B 、1x 是分式，故该选项错误； C 、含有3个未知数，故该选项错误； D 、符合二元一次方程组的定义； 4．以方程组? ??+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 解：解方程组?? ?+-=+=11x y x y 可得???==10y x ，所以以方程组???+-=+=1 1x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的坐标位于y 轴的正半轴. 5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则a = -1 . 解：把x=-2，y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5，解得a=-1.
中考数学复习专题一元一次不等式组 一、选择题： 1、已知甲、乙两人的年收入之比为3：2，年支出之比为7：4，年终时两人各余400元，若设甲的年收入为x 元，年支出为y元，则可列方程组为 ( ) A. 2、小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x元和每盒笔芯y元，根据题意列方程组正确的是（） A． B． C． D． 3、为处理甲、乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲、乙两种服装的原单价共为880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲、乙两种服装的原单价分别是（） A.400元，480元 B.480元，400元 C.560元，320元 D.320元，560元 4、为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了10000人，并进行统计分析．结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人．如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（） A. B. C. D. 5、已知，用含x的代数式表示y正确的是（） A. B. C. D. 6、方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是（） A．x+2y=1 B．3x+2y=﹣8 C．5x+4y=﹣3 D．3x﹣4y=﹣8 7、方程的正整数解有（） A.一解 B.二解 C.三解 D.无解 8、如果方程组的解使代数式kx＋2y－3z的值为8，则k=（） A. B. C.3 D.－3 9、若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围是（） A．a＞2 B．a＜2 C．a＞4 D．a＜4 10、若2x+5y+4z=0,4x+y+2z=0，则x+y+z的值等于（） A.0 B.1 C.2 D.不能求出.
初中数学几种不定方程和方程组的解题技巧和方法 凯里市大风洞正钰中学曾祥文 摘要：教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。在初中数学教学中不定方程与方程（组）占很大的比例，是中学生经常出错和不懂的部分。本文主要探讨几种不定方程和方程组的解题技巧和方法。 关键词：初中数学不定方程方程 教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是教育工作者所共同追求的。有效教学是教师在达成教学目标和满足学生发展需要方面都很成功的教学行为，它是教学的社会价值和个体价值的双重体现。数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学教学是教师对学生进行数学思维培养的一种认知过程。 方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数时，它的解往往有无数多个，不能唯一确定，因此这类方程常称为不定方程(组)，解不定方程没有固定的方法，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数的特性、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法，解不定方程的技巧是对方程适当变形，灵活运用相关知识。本文就几类常见的不定方程与方程做如下浅析。 1 非负数的巧用 在初中数学中，经常用的非负数有：①a2 ≥0 ；②｜a｜≥0；③a≥0若干个非负数的和为0，那么每个非负数均为0， 例1：已经x2 + y2-x+2y+5/4= 0 ，求x 、y的值。 评析：方程左边配方可变为非负数之和 解：由x2 + y2-x+ 2y+5/4= 0 得( x—1/2 ) 2+ ( y +1 ) 2= 0 所以( x—1/2 ) 2≥0，( y + 1 )2≥≥0 一般地，几个非负数之和为0，则每个非负数均为0。所以x=1/2, y=1 2 二元一次方程的整数解
初中数学二元一次方程组知识点+习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、二元一次方程 含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； ②有两个未知数——“二元”； ③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”． 关于x 、y 的二元一次方程的一般形式：ax by c +=（0a ≠且0b ≠）． 二、二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示． 如：方程2x y +=的一组解为11x y =??=? ，表明只有当1x =和1y =同时成立时，才能满足方程． 一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了． 【例1】 若211350a b x y +-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则a =______，b =______． 【例2】 已知方程()21320m n m x y ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =______， n =______． 【例3】 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） 模块一：二元一次方程 知识精讲 例题解析 二元一次方程组的概念及解法
A ．10x y +-= B ．54xy +=- C ．2389x y += D ．12x y += 【例4】 在方程325x y -=中，若2y =-，则x =________． 【例5】 二元一次方程21x y -=有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ） A ．0 12x y =???=-?? B ．11x y =??=? C ．10x y =??=? D ．11x y =-??=-? 【例6】 求二元一次方程25x y +=的所有非负整数解． 【例7】 已知23 x y =??=?是关于x 、y 的二元一次方程432x y a =+的一组解，求231a a -+的值． 一、二元一次方程组 由几个一次方程组成并且一共．． 含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 特别地，134x y x +=??-=?和31x y =??=-?也是二元一次方程组． 二、二元一次方程组的解 模块二：二元一次方程组的概念 知识精讲
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 二元一次方程组专题训练 1、???=-=+33651643y x y x 2、???=+=-6251023x y x y 3、 ???=-=+15 725 32y x y x 4、???=+-=18435276t s t s 5、 ???=-=+574973p q q p 6、? ??=-=+426 34y x y x 7、???-=-=+22223n m n m 8、???=--=-495336y x y x 9、???=-=+195420 23b a b a 10、?? ?=-=-y x y x 23532 11、???=-=+1 245 32n m n m 12、 ? ? ?=+=+102325 56y x y x 13、???=+=+2.54.22.35.12y x y x 14、?????=-+-= +6 )(3)1(26 132y x x y x 15、?? ???=+--=-+-042 3513042 3512y x y x 16、?????=--= +-4 323122y x y x y x
17、?? ? ??-=-++=-+52251230223x y x y x 二元一次方程组练习题 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．3x －2y=4z B ．6xy+9=0 C ．1 x +4y=6 D ．4x= 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．2284 23119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 3．二元一次方程5a －11b=21 （ ） A ．有且只有一解 B ．有无数解 C ．无解 D ．有且只有两解 4．方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ） A ．3 333 (2422) x x x x B C D y y y y ==-==-????? ? ? ? ===-=-???? 5．若│x －2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ． 32 6．方程组43235 x y k x y -=??+=?的解与x 与y 的值相等，则k 等于（ ） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①xy+2x －y=7； ②4x+1=x －y ； ③ 1 x +y=5； ④x=y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y －1）=2y 2－y 2+x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（ ） A ．246246216246 (22222222) x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+=????? ? ? ? =-=+=+=+???? 二、填空题 9．已知方程2x+3y －4=0，用含x 的代数式表示y 为：y=_______；用含y 的代数式表示x 为：x=________． 10．在二元一次方程－ 1 2 x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 11．若x 3m － 3－2y n － 1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______． 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 12．已知2, 3x y =-?? =? 是方程x －ky=1的解，那么k=_______． 13．已知│x －1│+（2y+1）2=0，且2x －ky=4，则k=_____． 14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________． 15．以5 7 x y =?? =?为解的一个二元一次方程是_________． 16．已知23 16x mx y y x ny =-=???? =--=?? 是方程组的解，则m=_______，n=______．
不定方程及不定方程组集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第二十七讲 不定方程、方程组 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定． 对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有： 设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题： (1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； (2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数） t at y y bt x x (00???-=+=是方程的全部整数解(称通解)． 解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等． 举例 【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ． (新加坡数学竞赛题) 思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值． 注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。通常有以下几个步骤： （1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解． 分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论． 【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )． A ．32千米 B ．37千米 C ．55千米 D ．90千米 (河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解． 【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解． (2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解． (莫斯科数学奥林匹克试题) (3)求方程 6 5 111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)
不定方程与不定方程组 教学目标 1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧 3.学会解不定方程的经典例题 知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 二、不定方程基本定义 1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数； ③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点（能被2、 3、5等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 模块一、利用整除性质解不定方程 【例 1】求方程 2x－3y＝8的整数解 【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答 【解析】方法一：由原方程，易得 2x＝8＋3y，x＝4＋3 2 y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方 程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为： 3 4 2 x k y k ? =+ ? ? ?= ? ，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无 穷多组解． 方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8 成立，y必为偶数， 当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解 【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答 【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即 原方程无整数解． 说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。 【答案】无整数解 【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解 【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答 例题精讲
二元一次方程组专题训练 1、3x 4y 16 5x 6y 33 3y 2x 10 5y 2x 6 2x 3y 5 2x 7y 15 一一2x v 1.5 13、14 3.2x 2.4y 5.2 2 3 6 2(x 1) 3(x y) 6 4、6S 275t 5、3p7q964x 3y 6 、 3s 4t184q7p52x y 4 2x 1 3y 2 门0 15、5 4 3x 1 3y 2 0 5 416 2x y 1 x y 2 3 2x 3y 4 3m 2n 7、286x 、 3y 393a 2b 20 、 2m n25x9y 44a5b19 2x 3y 5 3x 2y 1 1 3x2y 2 0 17、3x 2y12x2 55 2m3n 5126x 、 5y25 4m2n 13x2y10 10、
二元一次方程组练习题 、选择题: 1下列方程中，是二元一次方程的是（ ） 1 A . 3x — 2y=4z B . 6xy+9=0 C . +4y=6 x 2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） x y 4 2a 3b 11 2 c x 9 A . B. C. 2x 3y 7 5b 4c 6 y 2x x y 8 x 2 y 4 x 3 x 3 A . B. y 2 y 4 5.若| x — 2 + (3y+2) 2=0, 则的值是（ A . —1 B . — 2 C . 3.二元一次方程 5a — 11b=21 （） A .有且只有一解 B .有无数解 4 .方程y=1 — x 与3x+2y=5的公共解是（ C . 无解 D .有且只有两解 ) x 3 x 3 C. D y 2 y 2 ) 3 —3 D — 2 4x 3 y k 6 .方程组 的解与x 与y 的值相等，则k 等于（） 2x 3y 5 7.下列各式，属于二兀 次方程的个数有（ ) ① xy+2x — y=7 ; ② 4x+1=x — y ; 1 ③一+y=5 ; x ④ x=y ; ⑤x 2- y 2=2 ⑥ 6x — 2y ⑦x+y+z=1 ⑧y (y — 1): =2y 2— y 2+x A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 &某年级学生共有 246人，其中男生人数 :y 比女生人数 x 的2倍少 2人， ?则下面所列的方程 组中符合题意的有（ ) x y 246 x y 246 x y 216 x y 246 A . B. C. D. 2y x 2 2x y 2 y 2x 2 2y x 2 二、填空题 9.已知方程2x+3y — 4=0 ,用含x 的代数式表示y 为：y= __________ ;用含y 的代数式表示x 为: x= _______ . 10.在二元一次方程— —x+3y=2 中，当 x=4 时，y= 2 ;当 y= — 1 时，x= _____ 11. __________________________________________ 若 x 3m 3— 2y n 1=5 是二元一次方程，则 m= , n= ___________________________________________ . x 2 12. 已知 _________________________________ '是方程x — ky=1的解，那么k= . y 3 13. 已知 |x — 1 | + （2y+1 ） 2=0,且 2x — ky=4，贝U k= ___ . 14. 二元一次方程 x+y=5的正整数解有 _________________ . x 5 15. 以__________________________________ 为解的一个二元一次方程是 . y 7 16. 已知 ％ 2 是方程组 mx y 3的解，贝V m= ______________ , n= ______ . y 1 x ny 6 三、解答题 17. 当y= — 3时，二元一次方程 3x+5y= — 3和3y — 2ax=a+2 （关于x , y 的方程）？有相同的 解， 求a 的值. 18 .如果（a — 2） x+ （b+1） y=13是关于x , y 的二元一次方程，则 a , b 满足什么条件?
第二十七讲 不定方程、方程组 不定方程（组）就是指未知数的个数多于方程的个数的方程 （组）,其特点就是解往往有无穷多个，不能惟 一确定. 对于不定方程（组）,我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定? 二元一次不定方程就是最简单的不定方程 ，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题 加以解决，与之相关的性质有： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程ax by c 有如下两个重要命题: （1）若（a ，b ）=d ，且d 卜c ，则不定方程ax by c 没有整数解； x x 0 bt , ⑵若X 。，y o 就是方程ax by c 且（a ，b ）=1的一组整数解（称特解），则 （t 为整数）就是方程 的 y y o at 全部整数解（称通解）. 解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循 ，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运 用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、 穷举，乘法公式， 不等式分析等. 举例 【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为 _______________ . （新加坡数学竞赛题） 思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）.再结合整除的知识，求出m 的最大值. 注:求整系数不定方程 ax by c 的整数解。通常有以下几个步骤 ： （1）判断有无整数解;（2）求一个特解;（3）写出通解;（4）由整数t 同时要满足的条件（不等式组）,代入⑵中的表 达式，写出不定方程的正整数解. 分离整系数法解题的关键就是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示 ，结合整除的知识讨 论. 【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔 9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志 .问下一个同时设置这两种标志的地点 的千米数就是（ ）. 1115 （3）求方程 的正整数解. x y z 6 （“希望杯”邀请赛试题） p 1 思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为 定方程3+4x=0+9y 的正整数解. 【例3】（1）求方程15x+52y=6的所有整数解. （2）求方程x+y = x 2 一 xy+y 2 的整数 （河南省竞赛题） 3+4x 、10十9y （x,y 为自然数），问题转化为求不 A.32千米 B.37千米 C.55千米 D.90千米
1．(20XX年安徽芜湖)方程组2x＋3y＝7，x－3y＝8的解为________________．2．(20XX年湖南长沙)若实数a，b满足|3a－1|＋b2＝0，则ab的值为______． 3．已知x，y满足方程组2x＋y＝5，x＋2y＝4，则x－y的值为_____________．4．(20XX年山东潍坊)方程组5x－2y－4＝0，x＋y－5＝0的解是__________． 5．(20XX年贵州安顺)以方程组y＝x＋1，y＝－x＋2的解为坐标的点(x，y)在第____象限．6．(20XX年江苏南通)甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了____张． 7．已知x＝2，y＝1是关于x，y的二元一次方程组ax＋by＝7，ax－by＝1的解，则a－b 的值为() A．1 B．－1 C．2 D．3 8．(20XX年山东临沂)关于x，y的方程组3x－y＝m，x＋my＝n的解是x＝1，y＝1，则m －n的值是() A．5 B．3 C．2 D．1 9．(20XX年四川凉山州)雅西高速公路于20XX年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是() A.x＋y＝70，2.5x＋2.5y＝420 B.x－y＝70，2.5x＋2.5y＝420 C.x＋y＝70，2.5x－2.5y＝420 D.2.5x＋2.5y＝420，2.5x－2.5y＝70 10．(20XX年山东日照)解方程组：x－2y＝3，3x－8y＝13. 11．已知x＝1，y＝－2是关于x，y的二元一次方程组ax＋by＝1，x－by＝3的解，求a，b的值． 12．(20XX年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m3)? 13．(20XX年湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18 000元，其中甲种蔬菜每亩获利2 000元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩(注：亩为面积单位)?
不定方程与不定方程组 知识框架 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 二、不定方程基本定义 （1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 （2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 （1）奇偶性 （2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性） （3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 重难点 （1）b利用整除及奇偶性解不定方程 （2）不定方程的试值技巧 （3）学会解不定方程的经典例题
例题精讲 一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解 【考点】不定方程 【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋3 2 y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对 应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解 可表为： 3 4 2 x k y k ? =+ ? ? ?= ? ，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多 组解． 方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解 【考点】不定方程 【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解． 说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。 【答案】无整数解 【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解 【考点】不定方程 【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16…… x＝1时，17－2x＝15，y＝3， x＝6时，17－2x＝5，y＝1， x＝11时，17－2x＝17 －22，无解
第八章二元一次方程组单元测试 姓名：________ 时间：60分钟满分：100分评分：________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．?在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x-y2=0 B．2 x + 1 y =1 C． 3 x - 5 2 y=6 D．4xy=3 2．如果2x-7y=8，那么用含y的代数式表示x正确的是（） A．y=82 7 x - B．y= 28 7 x+ C．x= 87 2 x + D．x= 87 2 x - 3．方程组 3, 1 x y x y += ? ? -= ? 的解是（） A． 2, 1 x y = ? ? = ? B． 1, 2 x y = ? ? = ? C． 4, 1 x y = ? ? =- ? D． 3, x y = ? ? = ? 4．若4x-3y=0，则45 45 x y x y - + 的值为（） A．31 B．-1 4 C． 1 2 D．不能确定 5．已知x=2，y=-1是方程2ax-y=3的一个解，则a的值为（） A．2 B．1 2 C．1 D．-1 6．下列各组数中，既是方程2x-y=3的解，又是方程3x+4y=10的解是（） A． 1, 1 x y = ? ? =- ? B． 2, 4 x y = ? ? = ? C． 2, 1 x y = ? ? = ? D． 4, 5 x y = ? ? = ? 7．若1 2 x a+1y-2b与- 1 3 x2-b y2的和是单项式，则a、b的值分别的（） A．a=2，b=-1 B．a=2，b=1 C．a=-2，b=1 D．a=-2，b=-1 8．方程3x+2y=5的非负整数解的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如果二元一次方程组 3, 9 x y a x y a += ? ? -= ? 的解是二元一次方程2x-3y+12=0的一个解，那么a?