习题5—1(A)
1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：
（1）如果函数)(x f 仅在区间],[b a 上有界，它在],[b a 上未必可积，要使其可积，它在
],[b a 上必须连续；
（2）如果积分
?
b a
x x f d )(（b a <）存在，那么n
a
b i n a b a f x x f n
i n b
a
--+
=∑?=∞
→)(lim d )(1
； （3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；
（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”)(ξf 还是被积函数在积分区间上的平均值. 答：（1）前者正确．如狄利克雷函数??
?∈∈=c
Q
x Q x x D ，，
，01)(在区间][b a ，（其中a b >）上有界，但是它在区间][b a ，上不可积，事实上：将][b a ，任意分成n 个小区间][1i i x x ，- )21(n i ，，， =，
（其中b x a x n ==，0）记第i 个小区间长度为i x ?，先在][1i i x x ，-上取i ξ为有理数，则a b x x D n
i i n i i i -=?=?∑∑=→=→0
lim )(lim λλξ，再在][1i i x x ，-上取i ξ为无理数，
则00lim )(lim
=??=?∑∑=→=→n
i i n
i i
i
x x
D λλξ，对于i ξ的不同取法黎曼和的极限不同，所以)
(x D 在区间][b a ，上不可积；后者不正确，参见定理1.2．
（2）正确．事实上：由于)(x f 在区间][b a ，上可积，则对][b a ，的任意分法，i ξ的任意取法，都有
i n
i i b a
x f x x f ?=∑?
=→)(lim d )(1
ξλ，现在对][b a ，区间n 等分，i ξ去在小区间的
右分点，则i n a b a i -+
=ξ，n
a
b x i -=?，并且0→λ等价于∞→n ，所以 i n
i i b a
x f x x f ?=∑?
=→)(lim d )(1
ξλn
a
b i n a b a f n
i n --+
=∑=∞
→)(lim 1
． （3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等． （4）正确．它可以起到去掉积分号的作用
))((d )(a b f x x f b a
-=?
ξ；也可以用来表示连
续函数在区间][b a ，上的平均值
a
b -1)(d )(?
=b a
f x x f ξ，但是由于ξ位置不好确定，一
般不用它来计算平均值，而是直接计算?-b a
x x f a b d )(1
.
2．自由落体下落的速度gt v =，用定积分表示前10秒物体下落的距离.
解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程=
s ?
b a
t t v d )(，所以?
=100
d t gt s ．
3．一物体在力)(x F F =作用下，沿x 轴从a x =点移动到b x =点，用定积分表示力)(x F 所做的功W .
解：将位移区间][b a ，任意分成n 个小区间][1i i x x ，-)21(n i ，，， =，
（其中b x a x n ==，0）记第i 个小区间长度为i x ?，在][1i i x x ，-上任取一点i ξ，用)(i F ξ近似
代替物体从1-=i x x 移动到i x x =时所受的力，则物体从1-=i x x 移动到i x x =时所做的功近似为i i i x F W ?≈?)(ξ，于是∑∑==?≈?=
n
i i
i
n i i
x
F W W 1
1
)(ξ，记}21m a x {
n i x i ，，， =?=λ，
则?
∑=→=?=b a
n
i i
i
x x F x F W d )()(lim
1
ξλ（假定极限∑=→?n
i i i x F 1
)(lim ξλ存在）.
4．用定积分的几何意义求下列积分值：
（1）
x x a a a
d 22?
--； （2）?-2
1
d x x .
解：（1）如图，上半圆的面积2/2
πa A =，
根据定积分几何意义A x x a a a
=-?
-d 22，
所以，
=-?
-x x a a a
d 222/2πa ．
（2）如图，面积22/41==A ，2/12=A ，
根据定积分几何意义2/3d 2121
=-=?
-A A x x ，
所以，
=?
-21
d x x 2/3．
5．若函数)(x f y =在区间],[a a -上连续，用定积分的几何意义说明：
（1） 当)(x f 为奇函数时，
0d )(=?
-a a x x f ；
（2） 当
)(x f 为偶函数时，??
=-a
a a
x x f x x f 0d )(2d )(.
解：（1）如图1，当)(x f 是奇函数时，由对称性，面积21A A =，
根据定积分几何意义，
0d )(21=-=?-A A x x f a a
.
（2）如图2，当)(x f 是偶函数时，由对称性，面积21A A =，
根据定积分几何意义，
??
==+=-a
a a
x x f A A A x x f 0
121d )(22d )(.
6．比较下列各组定积分的大小：
（1）x x I d 10
21?
=
与x x I d 10
32?=； （2）x x I d 21
1?
=与x x I d 21
3
2?
=；
（3）x x I d sin 2
1?
=π与x x I d sin 20
31?=π；（4）x x I d ln 53
1?=与x x I d )(ln 2
5
3
2?=.
解：（1）因为在区间]10[，
上3
2
x x ≥，所以≥
?
x x d 10
2x x d 10
3?
，即21I I ≥．
（2）因为在区间]21[，上3x x ≥，所以
≥?
x x d 2
1
x x d 213
?
，即21I I ≥．
（3）因为在区间]2/0[π，上x x 3
sin sin ≥，所以
≥
?
x x d sin 2
π
x x d sin 20
3?
π
，即21I I ≥．
（4）因为在区间]53[，
上2
)(ln ln x x ≤，所以≤
?
x x d ln 5
3
x x d )(ln 253
?
，即21I I ≤．
7．估计下列定积分的值：
（1）?+=π20d )sin 2(x x I ； （2）?=1
d arctan x x I ；
（3）?
+=
21
2d 1x x
x I ； （4）?+-=202
)d 32(x x x I . 解：（1）设x x f sin 2)(+=，在区间]20[π，上显然有3)(1≤≤x f ，又，1)2/3(=πf 3)2/(=πf ，于是函数)(x f 在区间]20[π，上的最小值为1=m ，最大值3=M ，而区
间长度π2=-a b ，根据)(d )()(a b M x x f a b m b a
-≤≤
-?
，得ππ62≤≤I ．
（2）设x x f arctan )(=，由于函数)(x f 在区间]10[，
上单调增加，于是)(x f 在区间
]10[，上的最小值为0)0(==f m ，最大值4/)1(π==f M ，而区间长度1=-a b ，
根据)(d )()(a b M x x f a b m b a
-≤≤
-?
，得4/0π≤≤I ．
（3）设21)(x x x f +=，则2
22)
1(1)(x x x f +-='，在区间]21[，上0)(≤'x f ，于是函数)(x f 在区间]21[，上单调减少，所以)(x f 在区间]21[，上的最小值为2/5)2(==f m ，最大值2/1)1(==f M ，而区间长度1=-a b ，根据)(d )()(a b M x x f a b m b a
-≤≤-?
，
得2/15/2≤≤I ．
（4）设32)(2
+-=x x x f ，则22)(-='x x f ，有0)(='x f ，在区间)20(，内得驻点
1=x ，又3)2(2)1(3)0(===f f f ，，，所以函数)(x f 在区间]20[，上的最小值为
2)1(==f m ，最大值3)2()0(===f f M ，而区间长度2=-a b ，根据
)(d )()(a b M x x f a b m b
a
-≤≤-?，得64≤≤I ．
8．证明下列不等式：
（1）
x x x x d cos d sin 40
4
??
≤ππ
； （2）x x x x d )1(d e 1
10
??+≥.
证明：（1）在区间]4/0[π，上显然有x x cos sin ≤，所以
x x x x d cos d sin 40
4
??
≤π
π.
（2）设x x f x
--=1e )(，在区间]10[，
上，01e )(≥-='x
x f ，于是函数)(x f 在区间]10[，上单调增加，从而0)0()(=≥f x f ，即在区间]10[，上x x +≥1e ，所以
x x x x d )1(d e 1
10
??
+≥.
习题5—1(B)
1．右图给出了做直线运动的某质点在0到9s 内的速度图象，求它在这段时间间隔内所走的路程. 解：质点在0到9s 内所走的有效路程为阴影面积的 代数和，即
2810d )(90
=-=?
t t v （单位）
； 质点在0到9s 内所实际走的路程为阴影面积的
和，即
18810d )(90
=+=?
t t v （单位）
2．用定积分中值定理求下列极限：
（1）x x
x x n n
n d 2lim 8
2?+∞→； （2）x x
x n n
n d 1
arctan lim
1?
+∞
→．
解：（1）由定积分中值定理，n
n
n n n n n
x x x x ξξξ+=+?26d 28
2（其中82≤≤n ξ），于是 3/126
lim 26lim d 2lim 1
8
2=+=+=+-∞→∞→∞→?n n
n n n n n n n n n n x x x x ξξξξ． （2）由定积分中值定理，
n
n n n
x x x ξξ1
arctan d 1arctan 1=?
+（其中1+≤≤n n n ξ），
由1+≤≤n n n ξ，有∞→n 等价于+∞→n ξ，于是
11
lim 1arctan lim d 1arctan lim 1=?==+∞→+∞→+∞
→?
n
n n n n n
n n n x x x ξξξξξξ．
3．若函数)()(x g x f ，在区间][b a ，（b a <）上连续，)()(x g x f ≤，且)(x f 不恒等于)(x g ，
证明
??
a b a x x g x x f d )(d )(． 证明：设)()()(x f x g x F -=，由题目条件知，在区间][b a ，上函数)(x F 连续且0)(≥x F 又不恒等于零，于是有∈0x ][b a ， ，使得0)(0>=ηx F ，由连续函数的性质，0>?δ，在区间][][00b a x x ，， δδ+-内恒有2/)(η>x F ，设区间][][00b a x x ，， δδ+- ][21c c ，=（12c c >），所以02/)(/2d d )(d )(122 121 >-=≥≥?? ?c c x x x F x x F c c c c b a ηη， 即 0]d )()([>-? b a x x f x g ，再由定积分的线性性，得?? a b a x x g x x f d )(d )(． 4．证明下列不等式： （1）4/1022 e 2d e e 22 ---≤≤-? x x x ； （2） 2 1 1d 2 211 < + n x x x （其中n 是正整数）. 证明：（1）设x x x f -=2 e )(，则x x x x f --='2 e )12()(，由0)(='x f ，在区间)20(，内得驻 点2/1=x ，又24 /1e )2(e )2/1(1 )0(===-f f f ，，，于是函数)(x f 在区间]20[，的最 小值为4 /1e -=m ，最大值为2 e =M ，从而≤ -4 /1e 2220 e 2d e 2 ≤? -x x x ， 因为=?-0 2 d e 2 x x x ?--2 d e 2 x x x ，所以4/10 2 2e 2d e e 22 ---≤≤-?x x x ． （2）在区间]10[， 上显然有x x x x n ≤+≤ 12 ，且等号不恒成立，而函数 n x x x +12 、 、 x 都连续，根据本节习题（B ）3，有?? ? <+<1 10 10 d 1d d 2 x x x x x x x n ，而由定积分的几何 意义得 21 d 10 = ? x x ，2 21d 2 1d 210 10= =? ?x x x x ，所以 2 1 1d 2 2110 < + n x x x ． 习题5—2(A) 1．判断下列叙述是否正确？并说明理由： （1）在定理2.1的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的； （2）若()f x 连续、)(x ?可导， 则? =) (0 d )()(x t t f x F ?的导数等于被积函数在上限处的值； （3）在()f x 连续、)(x ?及)(x ψ可导时，通过将?= ) () (d )()(x x t t f x F ?ψ 化成两个变上限定 积分，可求得()(())()(())()'''=-F x f x x f x x ??ψψ； （4）使用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到被积函数在积分区间上的一个原函数，然后求该原函数在积分区间上的增量． 答：（1）正确．定理的证明中两次用到连续性，一次是使用定积分中值定理时，再一次是最后求极限时． （2）不正确．应该是)()]([)(x x f x F ??'='，即被积函数在上限处的值与上限处函数)(x ?的导数之积． （3）正确．将函数)(x F 改写为? ? -=) () (d )(d )()(x a x a x x f x x f x F ψ?，再根据（2）求导． （4）正确．这就是牛顿—莱布尼兹公式 )()(d )(a F b F x x f b a -=? （其中)(x F 是)(x f 在 区间][b a ，上的一个原函数），但是要注意被积函数的连续性，对分段函数（或分区间连续函数）要分区间求． 2．计算下列定积分： （1）x x x d )123(10 24? -+； （2）x a x a x a d ))((0 ?+-； （3） x x x d )1 1(94+? ； （4）x x d 1123?--+； （5） x x x d 121 3 4? -； （6）?+33/121d x x ； （7）x x x d 311 02 ?+-； （8）?-21 021d x x ； （9） x x d )sin 21(0 ? -π； （10）x x d tan 3 2? π （11） ? -40 sin 1d π x x ； （12）x x d cos 0?π； （13） x x x d 1220 2 ?+-； （14）x x f d )(20 ? ，其中? ? ?≥<=.11e )(x x x x f x ，， ， 解：（1） 15 4]3253[d )123(1 03410 24=-+=-+?x x x x x x ． （2）=-=-= -=+-??3 33 3 02 2 033 d )(d ))((a a a x x a x x a x a x a a a 3 22a -． （3） =-=+=+=+?? 32824]232[d )1(d )11(94 2/39494 x x x x x x x x 344 ． （4） =-=+=+----?2ln 01ln d 11 23 2 3x x x 2ln -． （5） =-=+=-=-?? 1817]212[d )1(d 1212221321 34x x x x x x x x 8 9． （6） =-==+? 63arctan 1d 3 3/133/12ππx x x 6 π． （7） =+-=+-=+-?3ln 214ln 2136)]3ln(213arctan 31[d 311031 02 πx x x x x 43ln 213 6+π． （8） = -==-? 06 arcsin 1d 2 /10 21 2 π x x x 6 π ． （9） =--+=+=-? )11(2cos 2d )sin 21(00 ππππx x x 4-π． （10） = - -=-=-=? ?3 033 tan d )1(sec d tan 3 /0 30 230 2 π π ππ π x x x x x 3 3π - ． （11）=-+=+=+=-??121]sec [tan cos )d sin (1sin 1d 4 /040240ππ πx x x x x x x 2． （12） =---=-=-=??? )10(01sin sin d cos d cos d cos 2/2/02 20 0π πππ ππ π x x x x x x x x 2． （13） x x x x x x x x x d )(d )1(d 1d 122 1 1 2 20 2???? --+-=-=+- =+= -+--=2 1 21)1(2 1 )1(2 1 21 210 2 x x 1． （14） =- +-=+=+=??? 2121e 2 e d d e d )(21 2 10 2 1 1 20 x x x x x x f x x 2 1e +． 3．求下列函数)(x y y =的导数x y d d ： （1）?-=x t t y 0 d e 2 ； （2）? =1 d sin x t t t y ； （3）? =x t t y 0 2 d sin ； （4）?=x x t x y e 2d ln . 解：（1） =x y d d 2 e x -． （2）=x y d d x x sin - ． （3） =?=x x x y 21)sin(d d 2x x 2sin ． （4） ='?-'?=)()ln()e ()e ln(d d 22x x x y x x )ln 2e (2x x x -． 4．求下列极限： （1）x t x t x ln d e lim 1 1 2 ? →； （2）3 20 d sin lim x t t x x ? →； （3）x x t t x x 50 2 sin d cos lim ?-→； （4）? ? →2 2 02 d cos )d sin (lim x x x t t t t t . 解：（1）===→→→?2 2 2 e lim /1e lim ln d e lim 111 1 x x x x x t x x x x t e ． （2）==→→?2203 20 3sin lim d sin lim x x x t t x x x 3 1． （3）=-=-=-=-→→→→??4404205 20 50 20 52/lim 51cos lim d cos lim sin d cos lim x x x x x x t t x x t t x x x x x x 10 1 -． （4）===?=→→→→??? ? 1sin lim d sin lim cos 2sin d sin 2lim d cos )d sin (lim 0004000 2020 2x x x t t t x x x x t t t t t t t t x x x x x x x x 1． 习题5—2(B) 1． 求变力2)(t t t F -= 沿数轴从点1=t 到点2=t 所做的功. 解：根据习题5-1（A ）3， x t t t t F W d )(d )(21 2 21 ? ?-==33 2 4313238324]332[2132/3-=+--= -=t t ． 2．设函数)(x y y =由方程0d 1d 120 220 2 =-++? ? x y t t t t ，求 x y d d . 解：方程 0d 1d 12 220 2 =-++? ? x y t t t t 两边同时对x 求导，有 012d d 4124 2 =-++x x x y y ，解得24411d d y x x x y +-- =． 3．若函数)(x f 连续，设?=x t t xf y 1 d )(，求 x y d d . 解：? =x t t f x y 1 d )(，根据乘积求导法则，x y d d )(d )(1 x xf t t f x +=?． 4．证明：当0=x 时，函数t t x I x t d e )(0 2 ? -= 取得最小值. 证明：函数)(x I 在)(∞+-∞，内有定义，2 e )(x x x I -='，由0)(='x I 得唯一驻点0=x ， 又2 2 e 2e )(2x x x x I ---=''，01)0(>=''I ，于是0=x 是函数t t x I x t d e )(0 2 ?-=的唯一极 小值点，从而也是最小值点，所以当0=x 时，函数t t x I x t d e )(0 2 ? -= 取得最小值. 5．若函数)(x f 在区间][b a ， 上连续，在)(b a ，内可导，且0)(<'x f ，设 ?-= x a t t f a x x F d )(1 )(， 证明：在区间)(b a ， 内0)(≤'x F . 证明：2 ) (d )())(()(a x t t f a x x f x F x a ---= '?． （方法1）由定积分中值定理，a x f x f a x a x f a x x f x F --=----= ') ()() ())(())(()(2 ξξ （其中x a ≤≤ξ），由0)(<'x f ，有函数)(x f 单调减少，而x ≤ξ，得)()(ξf x f ≤， 所以在区间)(b a ， 内证明0)(≤'x F . （方法2）因为 ))((d )(a x x f t x f x a -=? ，所以 2 2 ) (d )]()([) (d )(d )()(a x t t f x f a x t t f t x f x F x a x a x a --= --= '? ?? （t x ≥）， 由0)(<'x f ，有函数)(x f 单调减少，而t x ≥，于是0)()(≤-t f x f ，得 0d )]()([≤-? x a t t f x f ，所以在区间)(b a ， 内证明0)(≤'x F . （方法3）设=)(x g ? - -x a t t f a x x f d )())((，则0))(()(≤-'='a x x f x g ， 于是函数)(x g 在区间][b a ， 上单调减少，0)()(=≤a g x g ，所以0)(≤'x F . 6．若函数)(x f 可导，且0)0(=f ，2)0(='f ，求极限2 d )(lim x t t f x x ?→. 解：='=-==→→→?)0(21 )0()(lim 212)(lim d )(lim 0020 0f x f x f x x f x t t f x x x x 1． （注：由于)(x f '未必连续，因此极限x x f x 2) (lim 0→不能再用洛必达法则） 7．设函数)(x f 在闭区间]10[， 连续，且1)( =? x t t f 在开区间 )10(，有且仅有一个实根. 证明：设- =x x F 2)(1d )(0 -? x t t f ，根据已知，函数)(x F 在闭区间]10[， 连续，又 01)0(<-=F ，- =1)1(F ? 10 d )(t t f ，由于连续函数1)( 从而0)1(>F ，由零点定理得方程- x 21d )(0 =? x t t f 在开区间)10(，至少有一个实根. 而0)(2)(>-='x f x F ，)(x F 单调增加，于是方程0)(=x F 至多有一个实根，即方 程- x 21d )(0 =? x t t f 在开区间)10(，至多有一个实根. 综上，证明方程- x 21d )(0 =? x t t f 在开区间)10(，有且仅有一个实根. 8．若函数???≤≤-=其它，， ， ，010)(6)(2x x x x f 求函数? = Φx t t f x 0 d )()(在),(+∞-∞内的表达式． 解：当0 === Φ?? x x t t t f x ； 当10<≤x 时，320320 20 23]23[d )66(d )()(x x t t t t t t t f x x x x -=-=-== Φ?? ； 当1≥x 时，10]23[d 0d )66(d )()(10321 1 2 =+-=+-== Φ??? t t t t t t t t f x x x ， 所以，?? ???≥<≤-<=Φ.11102300)(3 2x x x x x x ，，，，， 习题5—3(A) 1．判断下列叙述是否正确？并说明理由： （1）在定积分的换元积分法中，要求被积函数)(x f 在区间],[b a 上连续，函数()x t ?=在以βα、为端点的区间上有连续的导数，以保证[()]()f t t ??'在[,]αβ或],[αβ上可积； （2）对定积分进行换元时，需要注意的是换元的同时要换积分限，这时还要特别注意换元后积分的下限要小于上限； （3）定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法，具体采取哪种换元法，其依据与不定积分是相同的； （4）在利用奇、偶函数的积分性质时，不仅要注意被积函数的奇偶性，而且还要注意积分区间关于坐标原点必须是对称的. 答：（1）正确．此时[()]()f t t ??'在[,]αβ或],[αβ上是连续的，因此它可积. （2）不正确．如t x cos =，则t t x x d sin d 10 2 /210 2 ?? -=-π，其中下限大，上限小；对 积分 ? b a x x f d )(作换元)(t x ?=，原积分下限a x =对应的t 值在换元后积分的下限上，原 积分上限b x =对应的t 值在换元后积分的上限上. （3）正确. （4）正确．但是还需注意函数是可积的． 2．计算下列定积分： （1） x x x d 191 ? +； （2） ? -++013 1 1d x x ； （3） x x x d 4511 ?--； （4） x x x d 121 3-? ； （5） ?+31 2 2 1d x x x ； （6） ? -12 12 2 d 1x x x ； （7） ? -21 2 2d 1x x x ； （8）?-324)28(d x x ； （9） ? +30 2d 1x x x ； （10）x x x d sin cos 0 4?π （11） x x d )sin 1(0 3? +π； （12）x x x d e 1 2 ?； （13） x x x d ln 1e 1?+； （14）x x x d 1 sin /3/22 ?π π； （15）?-++21210 2d x x x ； （16）x x x d sin sin 03 ?-π. 解：（1）令t x =，则2 t x =，t t x d 2d =，于是 t t t t t t x x x d )111(2d 12d 1313 1291 ??? ++-=+=+=++-=3 131 2)1ln(24t t 2ln 24+． （2）令t x =+31，则13-=t x ，t t x d 3d 2 =，于是 =++-=++-=+=++--???0 1210 1 020 13)]1ln(3323[)d 111(31d 311d t t t t t t t t t x x 232ln 3-． （3）令t x =-45，则4/)5(2 t x -=，2/d d t t x -=，于是 = - --=--=-?? -)310(81d 8)5(d 451 3 3 1 3211 t x t t t x x x 6 1 ． （4）令t x sin =，则t t x d cos d =，于是 t t t t t t x x x cos d )cos (cos d cos sin d 1220 420 2 32 10 3 -==-? ? ? π π 15 25131]3cos 5cos [2/035=-=-=πt t ． （5）令t x tan =，则t t x d sec d 2 =，于是 =-===+??? 3 /4/3/4/23 /4/2231 22 ]sin 1[sin d c sec tan d sec 1d ππππππt t t ost t t t t x x x 3 3 22- ． （6）令t x sin =，则t t x d cos d =，于是 =- -=-==-??? 4 cot d )1(csc d cot d 12 /4 /2/4/2 2/4/212 122π ππππππt t t t t x x x 4 1π - ． （7）令t x sec =，则t t t x d sec tan d =，于是 ??? -==-3/03/02 21 22d )cos (sec d cos sin d 1ππt t t t t t x x x 3 /0 ]sin sec tan [ln πt t t -+=2 3 )32ln(-+=． （8） =-= -=---=-??)64181(61)28(61 )28()2d(821)28(d 32 3 3243 24x x x x x 384 7 ． （9） =-=+=++= +??)18(31)1(3 1)d(1121d 130 2 /3230223 02x x x x x x 3 7 ． （10）===??πππ0504 04sin 5 1dsin sin d sin cos x x x x x x 0． （11） =-+=-+=+? ? ππ π ππ0 30 2 3 ]cos 3cos [dcos )1(cos d )sin 1(x x x x x x 3 4 +π． （12） = == ?? 1 2 1010222 e 2 1)d(e 21d e x x x x x x )1e (2 1 -． （13） =+ =+=+=+??321)(ln 3 21dln ln ln d ln 1e 1 2 /3e 1 e 1e 1x x x x x x x 3 5． （14） =-= =- =?? 02 1 1cos )1d(1sin d 1 sin /3/2/3/2/3/22 π π π ππ πx ?x x x x x 21． （15） =-=+=+++=++---??)04(3131arctan 313)1()1d(102d 21 21222 12πx x x x x x 12 π ． （16） x x x x x x x x x d cos sin d cos sin d sin sin 0 2 3 ??? ==-πππ x x x x x x d cos sin d cos sin 2 /2/0 ???-?=πππ x x x x dsin sin dsin sin 2 /2/0 ? ? ?-?=πππ =+=-=3232sin 32sin 322/2/32 /02/3πππx x 3 4． 3．计算下列定积分： （1） x x x d sin 02?π； （2）x x x d e 1 ?-； （3） x x d ln e 1 ? ； （4）? 41 d ln x x x ； （5） ? 10 2d arctan x x x ； （6）?21 d arcsin x x ； （7）x x x d cos e 2/0? π； （8）?+4 d )1ln(x x . 解：（1） )d sin sin (2d cos 2cos d sin 0 20 2 2 x x x x x x x x x x x x ??? -+=+-=π ππ ππ π 4cos 22 02-=+=πππx ． （2） =--=+-=----??1 01 1 1 0e e 1d e e d e x x x x x x x x e 21-． （3）=--=-=??)1e (e d ln d ln e 1e 1e 1x x x x x x x 1． （4） =--=-=-=? ? )12(42ln 842ln 8d 2ln 2d ln 41 41 4 141 x x x x x x x x x 42ln 8-． （5）???+-=+-= 102 2 210231031 02 )d(16112d 131arctan 3d arctan x x x x x x x x x x x π ])d(111 [6 112)d(161121 0221 210222? ?++--=+-=x x x x x x ππ =+--= ])1ln(1[6112102x π )2ln 1(6 1 12--π． （6） ? ? --=210 2 2/10 210 d 1arcsin d arcsin x x x x x x x = -+= 2/10 2 112 x π 12 3 12 -+ π ． （7）因为 x x x x x x x x d sin e sin e d cos e 2/0 2 /0 2/0 ?? -=πππ x x x x x x x x d cos e 1e d cos e cos e e 2 /0 22 /0 2 /0 2? ? --=-+=ππ πππ ， 有=? x x x d cos e 2 2/0 π1e 2-π ，所以=? x x x d cos e 2/0 π)1e (2 1 2-π ． （8） ? ? ? +-=+-+=+40 40 4 40 d ) 1(23ln 4d ) 1(2)1ln(d )1ln(x x x x x x x x x x x 对积分 ? +40 d ) 1(2x x x ，令t x =，则2t x =，t t x d 2d =，于是 3ln )]1ln(2[)d 111(d 1d )1(22 02202 024 0=++-=++-=+=+???t t t t t t t t t x x x ， 所以， =-=+? 3ln 3ln 4d )1ln(40 x x 3ln 3． 4．试选择简便的方法计算下列定积分： (1) x x x d sin 147 ?-+π π； (2) x x x x d )e e (1 1 3--+? ； (3) x x x d 111 2 ? -+； （4）x x x d cos sin 2/52 /343? ππ. 解：（1）因为x x x f 47sin 1)(+=是奇函数，所以=+?-x x x d sin 147 ππ0． （2）设)e e ()(3x x x x f -+=，)()e e ()(3x f x x f x x -=+-=--，于是)(x f 是奇函数， 所以 =+--? x x x x d )e e (1 1 30． （3）因为2 1)(x x x f += 是偶函数，所以 =+=+=+? ? -1 2 10 2 11 2 12d 12d 1x x x x x x x )12(2-． （4）因为x x x f 4 3 cos sin )(=是π2为周期的奇函数，所以 ==? ? -x x x x x x d cos sin d cos sin 2/2 /432/52 /343ππππ0． 5．若函数)(x f 连续，证明下列定积分等式： （1） ?? -=a a x x a f x x f 0 d )(d )(； （2） ? ? =20 20 d )(cos d )(sin π πx x f x x f . （3）?? -=-1 10d )1(d )1(x x x x x x m n n m ； （4） ??+=+x x x x x x /1121 21d 1d )0(>x . 证明：（1）令t a x -=，则 ???? -=-=--=a a a a x x a f t t a f t t a f x x f 0 00 d )(d )()d )((d )(． （2）令t x -= 2 π ，则 ????==--=20200 2 2 d )(cos d )(cos )dt )](2[sin(d )(sin π πππ π x x f t t f t f x x f ． （3）令t x -=1，则 ???? -=-=--=-1 10 01 10 d )1(d )1()d ()1(d )1(x x x t t t t t t x x x m n m n n m n m ． （4）令t x 1=，则 ????+=+=+-=+x x x x x x t x t t t x x /112/1121/122 1 21d 1d )/1(1/d 1d ． 习题5—3(B) 1．计算下列定积分： （1） ? -2ln 22 ln 1 e d x x ； （2） )0(d 220 2>-? a x x ax x a ； （3）x x f d )1(20?-， 其中?????≥+<+=.011 0e 11 )(x x x x f x ，， ， （4）?''102d )2(x x f x ， 其中?=='=201d )(0)2(2 1 )2(x x f f f ，，. 解：（1）令t x =-1e ，则)1ln(2 t x +=，2 1d 2d t t t x +=，于是 6)43(2a r c t a n 2d 121 e d 3 131 2 2ln 22 ln πππ=-==+=-? ? t t t x x . （2）令t a a x sin =-，则t t a x d cos d =，于是 x a x a x x x ax x a a d )(d 220 2220 2 ? ? --=- ? - +=22 2 3 d cos )sin 1(π π t t t a =??==? 2212d cos 23 2 2 3 ππ a t t a π2 3 a ． 或：令t a x =-，则t x d d =，于是 ? ? ? --+=--=-a a a a t t a t a x a x a x x x ax x d )(d )(d 22220 2 220 2 =?=-=? 2 2 2 4 2d 2a a t t a a a π π23 a ． （3）令t x =-1，则 t t f t t f t t f x x f d )(d )(d )(d )1(1 01 11 20?? ? ? +==--- 1 001100 1)1ln(d )e 1e 1(1d e 1d t t t t t t t t +++-=+++=???-- =+++-=++-=--2ln )e 1ln(2ln 12ln )e 1ln(1101t )e 1ln(+． （4） ??'-'= ''101 021 02d )2()2(2 1d )2(x x f x x f x x x f x ?+-'=1 010d )2(21)2(212)2(x x f x xf f ?+-=1 d )2(2141x x f ． 对积分 ? 10 d )2(x x f ，令t x =2，则2 1 d )(21d )2(201 == ??t t f x x f ，所以 02 12141d )2(1 2 =?+-=''?x x f x ． 2．设x x I n n d tan 40 ? = π ，证明21 1 ---=n n I n I ．并计算?404d tan π x x . 证明：240 22 40 2 4 tan d tan d )1(sec tan d tan ----=-== ? ? ? n n n n n I x x x x x x x I π ππ 224 /0 11 1 1 tan -----= --= n n n I n I n x π. =-=+-=-=??32d 13131d tan 4002404 π π x I I x x 3 24-π． 3．证明??+=+202 0d sin cos sin d sin cos cos π πx x x x x x x x ，并由此计算该积分值. 证明：记= 1I ? +2 d sin cos sin π x x x x ，= 2I ? +20 d sin cos cos π x x x x ， 令t x -=2π ，则= -+=+??02 20)d (cos sin cos d sin cos sin ππ t t t t x x x x ? +2 d sin cos cos π x x x x . =?=++=+==+??221d sin cos cos sin 21)(21d sin cos sin 2021120ππ πx x x x x I I I x x x x 4 π． 4．若函数)(x f 连续，设? += 21 d )ln ()(t x t f x F ，求)(x F '. 解：（方法1）令u x t =+ln ，则? ? ++=+=x x u u f t x t f x F ln 2ln 121 d )(d )ln ()(，所以 = ?+-? +='x x f x x f x F 1)ln 1(1)ln 2()(x x f x f ) ln 1()ln 2(+-+． （方法2）设)(x f 的原函数为)(x G （连续函数一定有原函数），则 2 121 21 )ln ()ln d()ln (d )ln ()(x t G x t x t f t x t f x F +=++=+= ? ? )ln 1()ln 2(x G x G +-+=， 所以，=?+'-? +'='x x G x x G x F 1)ln 1(1)ln 2()(x x f x f )ln 1()ln 2(+-+． 5．若函数)(x f 连续，证明下列定积分等式： （1）? ? = π π π d )(sin 2d )(sin x x f x x xf ； （2）??-+-=1 d ])([()(d )(x x a b a f a b x x f b a ； （3） ?? -+=a a x x a f x f x x f 0 20 d )]2()([d )(. 证明：（1）令t x -=π，则 ??? -=---=π π π πππ0 00 d )(sin )()d )]([sin()(d )(sin t t f t t t f t x x xf ?? ?? -=-=π π ππ ππ0 d )(sin d )(sin d )(sin d )(sin x x xf x x f t t tf t t f ， 于是，? ? =π π π0 d )(sin d )(sin 2x x f x x xf ， 所以， ? π d )(sin x x xf ? = π π d )(sin 2x x f ． （2）令t a b a x )(-+=，则 ??? -+-=--+=1 10 d ])([()(d )]()([(d )(x x a b a f a b t a b t a b a f x x f b a ． （3） ?? ? +=a a a a x x f x x f x x f 0 220 d )(d )(d )(， 在右式第二个积分中，令t a x -=2，则 ????-=-=--=a a a a a x x a f t t a f t t a f x x f 0 02d )2(d )2()d )(2(d )(，所以 ???? ? -+=+=a a a a a a x x a f x x f x x f x x f x x f 0 0220 d )2(d )(d )(d )(d )( ?-+=a x x a f x f 0 d )]2()([． 6．设函数)(x f 在区间],[ππ-上连续，且满足?-++=ππ x x x f x x x f d sin )(cos 1)(2，求 )(x f . 解：记 I x x x f =?-π πd sin )(，则I x x x f ++= 2 cos 1)(，此等式两边同时乘x sin ，然后再区间],[ππ-上求积分，有???---++=π π ππππx x I x x x x x x x f d sin d cos 1sin d sin )(2，即 ???+=+=?++=--πππππ0222d cos 1sin 2d cos 1sin 0d cos 1sin x x x x x x x x I x x x x I ??-=+-=+=ππ ππππ00202)a r c t a n (c o s c o s 1os d d cos 1sin x x x c x x x 2 )44(2 πππ π=--- -=， 所以，2 cos 1)(2 2 π++=x x x f ． 习题5—4(A) 1．下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由： (1)无论是无穷（限）积分还是无界函数的积分（瑕积分），它们的收敛性都是利用“定积分”与“极限”这两个基本概念作“已知”来定义的； （2）积分? +∞-∞ x x f d )(收敛，是指? -∞ 0d )(x x f 与? +∞0 d )(x x f 都收敛，若? +∞-∞ x x f d )(发散， 则 ? -∞ 0d )(x x f 与? +∞0 d )(x x f 都发散； (3) 无论是无穷（限）积分还是无界函数的积分（瑕积分），在它们收敛时，要计算其值，一般可以利用推广的牛顿—莱布尼兹公式，而不必再利用定义转化为求定积分的极限. 答：（1）正确．参见定义4.1及定义4.2. （2）前者正确．参见教材260P 第8至12行，（注意积分限中的“0”可以是某一个实数c ）；后者不正确．若? +∞-∞ x x f d )(发散，则两个积分? -∞ 0d )(x x f 与? +∞0 d )(x x f 中可能只有一个 发散，如 x x d e ? +∞ ∞ -；也可以两个都发散如x x x d 12 ? +∞ ∞-+． （3）正确．参见教材260P 第13至17行及262P 第1至7行． 2．先判断下列广反常积分是否收敛，然后对于收敛的积分再计算其值： （1） ? +∞1 3d x x ； （2）?+∞+01 d x x ； （3） x ax d e ? +∞-（0>a ） ； （4）?-∞+0 2 1d x x x ； （5） ?+∞ -∞++3 2d 2x x x ； （6）?+∞121d e x x x ； （7）?-∞ d e x x x ； （8）?-+011d x x ； （9） ? -10 2 1d x x x ； （10） ? -10 1d x x ； （11） ?-2 02)1(d x x ； （12）??e 1ln d x x x . 解：（1） 21 )2121(lim ]21[lim d lim d 2 1 2131 3=-=-==+∞→+∞→+∞→+∞?? b x x x x x b b b b b ， 所以，此无穷积分收敛，且积分值为 2 1 ． （2） +∞=-+=+=+=++∞ →+∞ →+∞ →+∞? ? )11(lim 2]12[lim 1 d lim 1 d 0 00 b x x x x x b b b b b ， 所以，此无穷积分发散． （3） a a a x x ab b b ax b b ax b ax 1)e 1(lim 1]e [lim 1d e lim d e 000=-=-==-∞→-∞→-∞→+∞ -??， 所以，此无穷积分收敛，且积分值为a 1 ． （4）-∞=+-=+=+=+-∞→-∞→-∞→-∞??)1ln(lim 2 1)]1[ln(lim 211d lim 1d 2 020202a x x x x x x x a a a a a ， 所以，此无穷积分发散． （5）因为 2 22 1 arctan 212)1()1d(32d 1 1212π = +=+++=++-∞ ---∞--∞ ?? x x x x x x ， 2 22 1 arctan 2132d 1 1 2π = +=++∞ +-+∞-? x x x x ， 以上两个积分都收敛，所以 ? +∞-∞ ++3 2d 2 x x x 收敛，且 ? +∞-∞ ++32d 2x x x +++=?--∞123 2d x x x ? +∞-++1 2 32d x x x 2 2222πππ=+=． （6） 1e e )1d(e d e 1 1 111 21 -=-=-=∞++∞+∞?? x x x x x x ， 所以，此无穷积分收敛，且积分值为1e -． （7） 11e 1 lim e e lim d e e d e 00 -=-=--=-=--∞→∞ ---∞ →-∞ ∞ --∞ ?? x x x x x x x x x x x x x ， 所以，此无穷积分收敛，且积分值为1-． （8）因为∞=++ -→x x 11 lim 1，所以下限1-=x 是瑕点． +∞=+-=+=+=++++-→-→-→-??)1ln(lim )]1[ln(lim 1d lim 1d 1 10101a x x x x x a a a a a ， 所以，此瑕积分发散． （9）因为∞=-- →2 1 1lim x x x ，所以上限1=x 是瑕点． 11lim 1]1[lim 1d lim 1d 2 1 021 2 1 10 2 =--=--=-=-- --→→→? ? b x x x x x x x b b b b b ， 所以，此瑕积分收敛，且积分值为1． 《高等数学（经济数学1）》课程习题 集 西南科技大学成人、网络教育学院版权所有 习题 【说明】：本课程《高等数学（经济数学1）》（编号为01014）共有单选题,填空题1,计算题等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、单选题 1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称（） A 、函数 B 、初等函数 C 、基本初等函数 D 、复合函数 2.设,0 ,0 ,)(???≥+<=x x a x e x f x 当a=（）时，)(x f 在),(+∞∞-上连续 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3.由函数2x u e y u ==，复合而成的函数为（） A 、2 x e y =B 、2 x e x =C 、2 x xe y =D 、x e y = 4.函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数f(lnx)的定义域为（） A 、],[3e e B 、]3,[e C 、[1，3] D 、],1[3e 5.函数x y x y z 2222-+=的间断点是（）A 、{} 02),(2=-x y y x B 、2 1 =x C 、0=x D 、2=y 6.不等式15<-x 的区间表示法是（）A 、(-4,6)B 、(4,6)C 、(5,6)D 、(-4,8) 7.求323 lim 3 x x x →-=-（）A 、３B 、２C 、５D 、－５ 8.求=++→43lim 20 x x x （） A 、１ B 、２ C 、３ D 、４ 9.若f(x)的定义域为[0，1]，则 )(2x f 的定义域为（） A 、[-1,1] B 、（-1,1） C 、[０,1] D 、[-1,０] 10.求=+-→t e t t 1lim 2（）A 、21(1)e -+B 、211(1)2e +C 、)11(212+-e D 、11 (1)2e -+ 11.求0sin lim x x x ω→=（）A 、０B 、１C 、2ωD 、ω 12.求=-∞→x x x )1 1(lim （）A 、e 1B 、１C 、０D 、e 13.求=-+→x x x 11lim （）A 、１ B 、12C 、13D 、1 4 14.已知x x x f +-= 11)(，求)0(f ＝（）A 、１ B 、２C 、３D 、４ 15.求29)(x x f -=的定义域（）A 、[-1,1]B 、（-1,1）C 、[-3,3]D 、（-3,3） 16.求函数y =的定义域（）A 、[1,2]B 、（1,2）C 、[-1,2]D 、（-1,2） 17.判断函数53)(2+=x x f 的奇偶性（）A 、奇函数B 、偶函数C 、奇偶函数D 、非奇非偶函数 18.求13+=x y 的反函数（）A 、113y x = +B 、113y x =-C 、13 x y += D 、31 -=x y 19.求极限lim )x x →+∞的结果是（）A 、0B 、1 2 C 、∞ D 、不存在 20.极限01lim 23x x →+的结果是（）。A 、0B 、不存在C 、15D 、1 2 21.设x x y sin ?=，则y '=（） A 、)cos 2sin ( x x x x +B 、)sin 2cos (x x x x +C 、)cos 2sin (x x x x -D 、)sin 2cos (x x x x - 22.设4)52(+=x y ,则y '=（）A 、34(25)x +B 、3)52(8+x C 、44(25)x +D 、48(25)x + 23.设t e t y sin =则y ''=（）A 、2sin t e t --B 、2sin t e t -C 、2cos t e t -D 、t e t cos 2-- 24.=--→1 1lim 3 1x x x （）A 、1B 、2C 、3D 、4 25.设)()2)(1()(n x x x x x f ---=K ,则)()1(x f n +=（）A 、)!1(+n B 、1n +C 、0D 、1 26.曲线x y sin 2 += π 在0=x 处的切线轴与x 正向的夹角为：（） A 、 2πB 、3πC 、4 πD 、5π 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1) 法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0< 而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以 习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??== （三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为 第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+- →→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos WORD 格式 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 WORD 格式 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x 三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）高等数学经济数学习题集含答案
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