排列组合题目复习
（1）题目：有六个人站成一圈（不分方位），甲和乙不相邻，共有多少种排列方法？
方法一：3 x4！
解析：先定下甲的位置，则乙有3个位置。剩下的4个位置进行全排列。
方法二：若条件中只有不分方位一共有多少种算法？
答案是6
而减去（用捆绑法求出甲和乙相邻时的排列情况）。
所以最后的答案是6。
（2）题目：五个人站成一排，甲和乙必相邻，一共有24种排列方法。
1、甲和丙不相邻
2、乙和丙不相邻
解析：当第一个条件成立时，即甲、丙不相邻时，
利用插空法：首先把甲乙看成一个整体
图示如下
1 ——
2 —— 3
（甲乙）、丙分别插入1、2、3个空隙里面
最后再对甲乙两个进行排列
答案为2
还有一种情况：
对于1——2——3
若（甲乙）丙——————
也不会相邻，则为
答案为2+=36
问题2答案也为36
（3）题目：一共有5个三好名额，8个先进名额。全部分给甲乙两个部门，且每个部门至少分到一个名额，其中共有( )种分配方法？
A、52
B、40
C、38
D、11
E、35
解析：采用隔板法
概率常用的两个结论：
1、概率相等或者不相等，跟事件之间的独立不独立没有任何的关系。
2、抓阄原理：在抓阄中，不放回的取出，只要前者不公布结果，则此次的概率与前者的概率相同。
（4）研究概率的方法
1、已知中没有概率，求概率的考题：
理解为两个排列组合的问题即可
（一般来说先做分母）
2、已知中有概率，求出概率
一般直接应用（+、原理来操作。
3、已知独立多重事件，求概率的考题，直接套用公式操作。
例子、一共打了10发子弹，每发命中的概率为0.7，求以下概率：
A、每一发均明确时，直接算清次幂即可。
1）、在全中的情况下，概率：0.710
2）、只有第二枪、第三枪命中的概率：0.720.38
3）、直到第八枪才中的概率：0.70.37
4）、第八枪命中的概率是：0.7
5）、第八枪中，第五枪、第六枪都不中的概率：0.70.32
B、每发均不太明确时，先用c进行明确，再按明确的状态操作即可。
1）、其中恰有两枪命中的概率：
2)、直到第八枪才中4枪的概率：
解析：直到第八枪才中了4枪，则第八枪肯定中了，而前七枪中了3枪，直接对前边7枪进行排列就可以了。
3）、直到第4枪才连续中两枪的概率。
（参考年数学高分指南2010年MBA考试真题15题）答案非常详细。
4）、其中共中6枪且第3枪中，第4枪不中概率：
解析：由题目可以知道，除了第3枪和第4枪外，一共有5枪中，还有3枪不中，那么对前边的进行排列：
C、其它状态下的概率：
一般要分类操作：
1）、至少中一枪的概率：
1-
2）、至多中一枪的概率：
中0枪+中1枪
5.猜答案
1)、大概率事件，小概率事件（限制越多，概率越小）
2）、答案中若有两个答案加起来之和等于1，则两个答案从二者之中选择一个
3）、平均分组求概率的考题一般用画图秒杀。
例题：
8个人平均分成两组，其中甲和乙不同组的概率是多少？
0 0 0 0
0 0 0 0
如果甲在第一个位置的话，则乙有四种选择
而乙所有的位置选择一共有七个
那么得出结论
老师讲课中书上不会的题目可以在qq群中交流
概率论与数理统计（二）笔记 经济数学基础二（概率论与数理统计）课程教学大纲 一、课程教学目的与基本要求 概率论与数理统计是高等学校（专科）经济、管理类及计算机类专业最重要的基础理论课之一。本课程是我院经济、管理类及计算 机类专业继微积分课程之后的一门基础课。通过本课程的学习，使学生获得概率论与数理统计的基本知识和基本运算技能。教学中要贯彻“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，教学重点放在掌握概念，强化应用，培养技能上。通过各教学环节逐渐培养学生具有比较熟练的分析问题和解决问题的能力，并为专业课程的定量分析打下基础。 1.要正确理解以下概念： 随机试验，随机事件、概率的古典定义、事件的独立性、一元随机变量、分布函数、二元随机变量、联合分布及边缘分布、随机变量相互独立性、随机变量的数字特征、总体与样本、统计量、两类错误、回归的基本概念 2. 要掌握下列基本理论、基本定理和公式： 概率的基本性质。概率加法定理、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式、贝努里概型。切比雪夫大数定律与贝努里大数定律、中心极限定理。常用的统计量的分布。参数估计的基本思想。小概率原理。 3.熟练掌握下列运算法则和方法： 事件的关系与运算。古典概型的概率计算。一元随机变量的分布函数、二元随机变量的边缘分布计算。标准正态分布表的查法。随机变量的数学期望、方差、协方差计算。 4.应用方面： 用数学期望、方差的概念及性质解决具体问题的计算。利用正态分布的理论解决具体问题。用区间估计正确解决实际问题，并能解释其结果。运用小概率原理，对具体问题做假设检验。用一元线性回归方程及相关性检验解决实际问题。 二、课程主要内容 第一章随机事件及其概率（10学时） 1. 理解随机试验、随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件的关系与运算并会能灵活表达。 2. 了解概率的统计定义，理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。 3. 了解概率的公理化定义。掌握概率的基本性质及概率加法定理。
概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(?):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 ?(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. ∪B (和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A-B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=? (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=?且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(?) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,
《概率论和数理统计》笔记 一、课程导读 “概率论和数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科 在自然界，在人们的实践活动中，所遇到的现象一般可以分为两类： 确定性现象随机现象 确定性现象 在一定的条件下，必然会出现某种确定的结果．例如，向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为确定性现象（或必然现象）．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热；等等也都是确定性现象． 随机现象 在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果．例如，抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝上．我们把这类现象称为随机现象（或偶然现象）．同样，自动机床加工制造一个零件，可能是合格品，也可能是不合格品；射击运
动员一次射击，可能击中10环，也可能击中9环8环……甚至脱靶；等等也都是随机现象． 统计规律性 对随机现象，从表面上看，由于人们事先不能知道会出现哪一种结果，似乎是不可捉摸的；其实不然．人们通过实践观察到并且证明了，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性．例如，多次重复抛一枚硬币，正面 朝上和反面朝上的次数几乎相等；对某个靶进行多次射击，虽然各次弹着点不完全相同，但这些点却按一定的规律分布；等等．我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性． ●使用例子 摸球游戏中谁是真正的赢家 在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”： 结果（比数） A (8:0) B (7:1) C (6:2) D (5:3) E (4:4) 奖金（元）10 1 0.5 0.2 -2 注：表中“-2”表示受罚2元
《概率论与数理统计》笔记(考研版) 一、课程导读 “概率论与数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科 统计规律性 对随机现象，从表面上看，由于人们事先不能知道会出现哪一种结果，似乎是不可捉摸的；其实不然．人们通过实践观察到并且证明了，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性．例如，多次重复抛一枚硬币，正面 朝上和反面朝上的次数几乎相等；对某个靶进行多次射击，虽然各次弹着点不完全相同，但这些点却按一定的规律分布；等等．我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性． 应用例子 摸球游戏中谁是真正的赢家 在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：
注：表中“-2”表示受罚2元 解： 此游戏（实为赌博），从表面上看非常有吸引力，5种可能出现的结果．有4种可得奖．且最高奖达10元．而只有一种情况受罚．罚金只是2元．因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加．结果却是受罚的多，何以如此呢？其实．这就是概率知识的具体应用：现在是从16个球中任取8个．所有可能的取法为816C 种．即基本事件总数有限．又因为是任意抽取．保证了等可能性．是典型的古典概型问题．由古典概率计算公式．很容易得到上述5种结果．其对应的概率分别是： 38070487301218000994600001554048 4838 582868 187 8 .C C C P(E); .C C 2C P(D); .C C 2C P(C);.C C 2C P(B); .C 2 P(A)8 168168 16 8 168 16========== 假设进行了1000次摸球试验， 5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、381次，经营游戏者预期可得 2×381-(10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487) =593.6（元）． 这个例子的结论可能会使我们大吃一惊，然而正是在这一惊之中．获得了对古典概率更具体、更生动的知识. 戏院设座问题
第一章 概率论的基本概念 1 随机试验 1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验. 2.随机试验E 的所有结果构成的集合称为E 的样本空间，记为{}S e =， 称S 中的元素e 为基本事件或样本点. 3.可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现. 2.样本空间、随机事件 1.对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本空间的元素，即E 的每个结果称为样本点. 2.一般我们称S 的子集A 为E 的随机事件A ，当且仅当A 所包含的一个样本点发生称事件A 发生.如果将S 亦视作事件，则每次试验S 总是发生，故又称S 为必然事件。为方便起见，记φ为不可能事件，φ不包含任何样本点. 3.若A B ?，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必导致事件的发生。若A B ?且B A ?，即A B =，则称事件A 与事件B 相等.
， 4.和事件{}A B x x A x A A B =∈∈或：与至少有一发生. 5.当AB φ=时，称事件A 与B 不相容的，或互斥的.这指事件A 与事件 B 不能同时发生.基本事件是两两互不相容的. ,{ ,{ ,,A A S A A S A A A B AA AB ===? =? 的逆事件记为若则称互逆，互斥. 6. ,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生.也记作. ,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生,也记作. 7. 事件 A 的对立事件：设 A 表示事件 “A 出现”, 则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件. 事件间的运算规律：,,, A B C 设为事件则有 ,A B B A AB BA ==（１）交换律： ()(),A B C A B C =（２）结合律：()()AB C A BC = ()()()A B C A C B C AC BC ==（３）分配律： ,de Morgan A B A B A B A B ==（４）律： ^ 3.频率和概率 1.记()A n n f A n = ()A n A f A A n --其中n 发生的次数（频数）；n 总试验次数. 称为在这次试验中发生的频率. 频率 反映了事件A 发生的频繁程度. 2.频率的性质： ()n f A
浙江大学概率论与数理统计第4版复习笔记详解|才聪学习网 浙江大学《概率论与数理统计》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解 文章来源：才聪学习网/概率论与数理统计 内容简介 本书是浙江大学盛骤等主编的《概率论与数理统计》（第4版）的学习辅导书，主要包括以下内容： （1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的知识精华。 （2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对盛骤主编的《概率论与数理统计》（第4版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。 （3）精选考研真题，培养解题思路。本书从历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对之做了详尽的解析。所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。
目录 第1章概率论的基本概念 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解 第2章随机变量及其分布 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解 第3章多维随机变量及其分布3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解 第4章随机变量的数字特征4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解 4.3 考研真题详解 第5章大数定律及中心极限定理5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解
5.3 考研真题详解 第6章样本及抽样分布 6.1 复习笔记 6.2 课后习题详解 6.3 考研真题详解 第7章参数估计 7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 7.3 考研真题详解 第8章假设检验 8.1 复习笔记 8.2 课后习题详解 8.3 考研真题详解 第9章方差分析及回归分析 9.1 复习笔记 9.2 课后习题详解 9.3 考研真题详解 第10章bootstrap方法 10.1 复习笔记 10.2 课后习题详解 10.3 考研真题详解 第11章在数理统计中应用Excel软件
目录 第一章概率论的基本概念 (1) 1 随机试验 (1) 2.样本空间、随机事件 (1) 3.频率和概率 (2) 4．等可能概型（古典概型） (3) 5.条件概率 (4) 6.独立性 (5) 第二章随机变量及其分布 (5) 1. 随机变量 (5) 2. 离散型随机变量及其分布律 (6) 3.随机变量的分布函数 (7) 4.连续型随机变量及其概率密度 (8) 5.随机变量的函数分布 (9) 第三章多维随机变量及其分布 (9) 1.二维随机变量 (9) 2.边缘分布 (11) 3.条件分布 (11) 4.相互独立的随机变量 (13) 5.两个随机变量函数的分布 (13)
第四章随机变量的数字特征 (14) 1. 数学期望 (14) 2. 方差 (16) 3. 协方差及相关系数 (17) 4.矩、协方差矩阵 (18) 第五章大数定律和中心极限定理 (19) 1. 大数定律 (19) 2.中心极限定理 (20) 第六章样本及抽样分布....................................... 错误！未定义书签。第七章参数估计 .................................................. 错误！未定义书签。第八章假设检验 .................................................. 错误！未定义书签。第九章回归分析 .................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ................................................................ 错误！未定义书签。
概率论与数理统计复习 笔记 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
概率论与数理统计复习 第一章概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 (事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生. ∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生. 3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生. 4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生. 5. AB= (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生. 6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .
运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P() = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型
《概率论与数理统计》复习参考资料 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P （A ）= 所含样本点数 所含样本点数 ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ Ω所含样本点数：n n n n n =???... Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =??-?-? n n n A P ! )(=∴ 补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(A i )=？ Ω所含样本点数：6444443 ==?? A 1所含样本点数：24234=?? 8 3 6424)(1==∴A P
A 2所含样本点数： 36342 3=??C 16 96436)(2== ∴A P A 3所含样本点数：443 3=?C 16 1 644)(3==∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0
概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A P(A)=0 .
清华大学2000年概率统计研究生入学考试试题 一、设(|)0.5P A B =，(|)0.4P B A =，()0.6P A =。求()P A B ?，并问事件A 与事件B 是否独立，为什么？ 二、设随机向量(,)X Y 服从二维正态分布2 2 1212(,,,,)N a a σσρ。试证明：U X Y =+和 V X Y =-独立。 三、设（12,,,n X X X ）是正态总体2 (,)X N μσ 的一个简单样本，X 为样本均值，求 1 (||)n i i E X X =-∑。 四、设12,,,n X X X 是总体X 的简单样本，而总体101X q r p -?? ? ?? （ 表示遵从），其中01,01,1p q p q r <<<<++=， 1） 求12,,,n X X X 最大值M 的分布。 2） 设0r =。当n 充分大时，利用极限定理求样本均值X 的近似分布。 五、设总体X 的概率密度函数为 (),()0, x e x f x λμλμμ --?>=? ≤?x 。 这里μ和λ（>0）都是参数。又设12,,,n X X X 为该总体的简单样本，而12,,,n x x x 为其样本观察值。 1） 设λ已知，求μ的极大似然估计 L μ 2） 设μ已知，求λ的矩估计 M λ 。 六、设网络中在(0,]t 时段内到某个网站访问的次数(0,]t ξ，0t ≥，是强度为λ（>0）的 Poisson 流。 （1）试求第k 次访问次网站的时间k η的分布，k 为正整数； （2）求比 1 2 ηη的分布和120(|)E t ηη=，00t >；
（3）利用Poisson 流的性质，证明Poisson 的可加性，即若随机变量1X ，2X 独立，且()i i X p λ （服从参数为i λ的Poisson 分布），1,2i =。则12X X +12()P λλ+ 。 清华大学2001年概率统计研究生入学考试试题 一、某项福利彩票的抽奖活动中有n 个号码（1,,n ），中奖的号码定为k 个，采用无放回 随机抽样。求k 个中奖号码算术平均值的期望。 二、12,,,n X X X 为独立2 (,)N μσ分布样本，X 为样本均值， 1） 求(||)i E X X -； 2） 用 1 ||n i i c X X σ==-∑作为σ的估计，确定c 使得次估计是无偏的。 三、1212,,;,,X X Y Y ，为两串随机变量序列。 1） 设当n →∞，n Y 依分布收敛到常数a ，证明n Y 依概率收敛到a 。 2） 设当n →∞，n X 依概率收敛到随机变量X ，n Y 依概率收敛到随机变量Y ，证明 n n X Y +依概率收敛到X Y +。 四、设X 和Y 为两个独立的随机变量，都服从期望值为θ的指数分布。 （1）求在已知X Y t +=的条件下，Y 的条件分布； （2）求 Y X Y +的分布。 五、12,,,n X X X 为独立(,1)N μ分布随机变量，记12(,,,)T n X X X X = ，A 为n 阶对 称矩阵。证明，当下列的三条件: （1）2 A A = （2）()tr A k = （3）AI =0，其中I 为所有元素为1的n 阶向量，0为所有元素为0的n 阶向量 全部满足时，T X AX 服从自由度为k 的2 χ分布。
多次多项式展开 x1+x2+?+x r n= n! 12n x1k1…x r k r k1+k2+?+k r=n Gamma函数和Beta函数 Gamma函数： Γt=x t?1e?x d x ∞ 满足 1. Γ(t+1)=tΓ(t) 2. Γ(1)=1, Γ(1/2)=π 2’. Γ(n) = (n-1)! Beta函数： Βx,y=t x?11?t y?1d t 1 满足 B x,y=ΓxΓy Γx+y 力矩(moment)、均值(mean)和方差(variance) 对于任意正整数r，数学期望E(X r)称为随机变量X的第r阶力矩。 随机变量X的一阶力矩是其均值。它的归零变量X0的二阶力矩是其方差。均值(mean)：随机变量的平均值，即E(X)。定义X0(ω)=X(ω)-E(X) 方差(variance)：(如何证明方差非负？) ?2X=E X02=E X?E X2 =E X2?E X2定义协方差(covariance) cov X,Y=E XY?E X E Y 于是 ?2X=cov(X,X) 关联系数 ρX,Y=Cov X,Y = 00 E X02 E Y02 均值和方差满足 E aX+bY=aE X+bE(Y)
?2X+Y=?2X+?2(Y) ?2aX+bY=a2?2X+b2?2Y+2ab cov(X,Y)均值的线性性质 E X1+?+X n2=E(X j2) n i=1+2E(X j X k) 1≤j . 第四章 随机变量的数字特征 1. 数学期望 1. 定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}k P X x ==k p ，1,2k = 若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑的和为随机变量X 的数 学期望，记为()E X =1 k k k x p ∞ =∑. 2. 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ,若积分()xf x dx ∞ -∞ ?的 值为随机变量X 的数学期望,即()E X =()xf x dx ∞ -∞ ?. 数学期望简称期望，又称均值. 3. 定理：设Y 是随机变量X 的函数: ()Y g X =（g 是连续函数）. 1) 若X 是离散型随机变量，它的分布律为{}k P X x ==k p ，1,2k = 若级数1 ()k k k g x p ∞ =∑绝对收敛，则有()E Y =[]()E g X =1 ()k k k g x p ∞ =∑. 2) 若X 是连续型随机变量，它的概率密度为()f x 若 ()()g x f x dx ∞ -∞ ? 绝对收敛则有()E Y =[]()E g X = ()()g x f x dx ∞ -∞ ?. 4.数学期望的重要性质： （1） 设C 是常数，则有 ()E C C = （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()E CX CE X = （3） 设,X Y 是两个随机变量，则有 ()()()E X Y E X E Y +=+.这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况. （4） 设,X Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =；这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况. 5. 几个重要随机变量的期望 （1）0-1分布的数学期望：()E X p = （2）二项分布(,)b n p =：()E X np = (3) 泊松分布: {}1 1 ~,0,1,2,... ! ()! (1)! k k k k k X P X k e k k E X k e e k k λλλλλ λ λλ --∞ ∞ --==== ====-∑∑ (4) 均匀分布~(,)X U a b . 1~(),0X f x a x b b a ?? =<<-???，，其他 ()=()2 b a x a b E X xf x dx dx b a ∞ -∞+==-?? (5) 指数分布：0 1 ()=()0 x x E X xf x dx x e dx e θ θ θθθ - - ∞ ∞ -∞ ∞==-=?? (6)正态分布2(,)N μσ: ()E X μ= 2. 方差 1.定义:设X 是一个随机变量，若(){ }2 E X E X -???? 存在，则称 (){ } 2 E X E X -???? 为X 的方差，记为()()D X Var X 或即 ()()D X Var X ==(){ }2 E X E X -???? .在应用上引入 ()D X ，记为 ()X σ 称为标准差或均方差. 2.离散型随机变量：[]2 1 ()()k k k D X x E X p ∞ ==-∑, 其中 概率论与数理统计复习 第一章概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二.事件间的关系和运算 1.A?B(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生. 2.A∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生. 3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生. 4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生. 5. AB=Φ (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生. 6. AB=Φ且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德?摩根律B B = A A A =B B A 三.概率的定义与性质 1.定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率. (1)非负性P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A i A j=φ, i≠j, i,j=1,2,…), P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A为不可能事件P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 11121 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i n i i B A P B P ∑=1 当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)= ()() ()() ()() ∑= =n i i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1 . 六.事件的独立性 1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立? P(B)= P (B|A) . 概率论与数理统计复习笔记 2015年12月25日 12:37 第一章随机事件 略 第二章事件的概率 1、古典概型（等可能概型）（P8）: i：试验的可能结果只有有限个； ii：各个可能结果出现是等可能的。 常用排列组合的技巧解决 2、几何概型（P11）： 与古典概型相对，其试验的可能结果有无限个；但各个结果的出现是等可能的。 几何概型建立在各种维度的空间模型之上。 第三章条件概率与事件的独立性 1、条件概率（P19）： 2、全概率公式（P21）： 由原因推算结果：考虑导致结果的所有原因，分别求其概率最后求和得出结果的概率。 3、贝叶斯公式(逆概率公式)（P23): 由“结果”反推“原因"，主要用来计算后验概率。 4、事件的独立性（P25）: 5、二项概率（P29）: 第四章随机变量及其分布: 掌握几种常见的分布及其分布律：明晰概率密度函数与分布函数，分布函数即为概率密度函数的求和（离散型）或积分（连续型）。 离散型随机变量及其分布（P38）： 连续型随机变量及其分布（P44）： 第五章二维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量（P57）： 2、连续型二维随机变量（P59）: 重点可参考高数“二重积分”部分，最主要问题是积分区间D的确定。 3、边缘分布（P61）： 注意区分分布函数及密度函数。 4、随机变量的独立性（P65）： 判断X、Y是否相互独立 第六章随机变量的函数及其分布 1、一维随机变量的函数及其分布（P74）： 分布函数法：即将Y带入密度函数然后积分求其分布函数，再将其分布函数微分。公式法：公式如上，注：y=g(x). 以上方法选一求解即可。 2、多元随机变量的函数分布（P79）： P81 例8 P82 例9 深入理解其含义，通常结合数形结合的思想进行解决。 第七章随机变量的数字特征： 两个重点：数学期望、方差 抓住其定义： 可推导基本分布类型的期望及方差（过程可自己推一遍），其结果如下（P108）： 自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记 前言 概率论与数理统计是经管类各专业的基础课，概率论研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础，数理统计则从应用角度研究如何处理随机数据，建立有效的统计方法，进行统计推断。 概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。 预备知识 （一）加法原则 引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。 【答疑编号：10000101针对该题提问】 解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。 一般地有下面的加法原则： 办一件事，有m类办法，其中： 第一类办法中有n1种方法； 第二类办法中有n2种方法； …… 第m类办法中有n m种方法； 则办这件事共有种方法。 （二）乘法原则 引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。 第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3 第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？ 【答疑编号：10000102针对该题提问】 解：从北京经天津到上海的交通方法共有： ①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。 一般地有下面的乘法原则： 办一件事，需分m个步骤进行，其中： 第一步骤的方法有n1种； 第二步骤的方法有n2种； …… 第m步骤的方法有n m种； 则办这件事共有种方法。 （三）排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法 第二章 随机变量及其分布 §1.随机变量与分布函数 一、随机变量的概念 定义：假设Ω为试验E 的样本空间，对任意的ω∈Ω都赋予一个实数X （ω）与之对应，则实值函数X （）称为随机变量，一般用X ，Y ，Z 或者,ξη 注：1、Z （ω）由ω唯一确定 2、随机变量X 与实数x 的区别 3、对实数x ，事件{X ≤x}有一定的概率，P{X ≤x} 二、分布函数 定义：设（Ω, ,P ）为概率空间，还为定义在Ω上的随机变量，对任意x ∈R ，一元实值函数F （x ）= P{X ≤x}，称为r ，v ，X 的概率分布函数，简称分布函数 注：1、F （x ）= P{X ≤x}，x ∈R 2、分布函数是指描述随机变量分布的根本方法 3、分布函数的性质 性质1、（单调性）对任意的12X X ≤，有F （1X ）≤F （2X ） 注：P （a X b <≤）=F （b ）-F （a ） P （a X b ≤≤）= F （b ）-F （a ）+P （X=a ） P （a X b ≤<）= F （b ）-F （a ）+P （X=a ）-P （X=b ） P （a X b <<）= F （b ）-F （a ）-P （X=b ） P （X a ≤）= F （a ） P （a X <）=1- F （a ） 性质2、（有界性）：0≤F （x ）1≤ 性质3、()lim ()1x F F x →+∞ +∞== ()lim ()0x F F x →-∞ -∞== 性质4、(右连续性) 对任意x ∈R ，有F （x+0）=F （x ） 证明：设x A ={X ≤x+ 1n } 则123......A A A ???且n ={}n A X x +∞ =-∞ ?≤ 所以F(x)=P{X ≤x}=P(1 n n A ∞=?)=lim ()n n P A →+∞ =n +11 lim (x+)=lim ()n n P X F x n →+∞ →∞ ≤+ 由F(x)的单调性 F(x)=F(x+0) 例：设r.v.X 的分布函数为F(x)=A+Barctanx x ∈R 求待定系数A.B 由F(+∞)=1 F(-∞)=0 得到lim (arctan )12 x A B x A B π →+∞ +=+ = lim (arctan x )=a-0 2 x A B B π →∞ += 所以A= 12 B= 1 π 概率论读书笔记 第一节概率空间 一、事件和事件域 1、基本思想：利用集合论描述事件的概念 2、定义：事件和事件域 设Ω为样本空间，F为Ω的一些子集构成的集合，如果它满足以下三个条件： ⑴、φ∈F ⑵、若A∈F，则A C∈F（补集封闭） ⑶、若A1，A2，…∈F，则∪Ai∈F（并操作封闭） 则称F为事件域，F中的元素称为事件 二、概率和概率空间 1、定义：概率 设Ω是样本空间，F是Ω的一个事件域，定义在F上的实数值函数P（A）如果满足以下条件： ⑴、非负性：?A∈F，有P（A）≥0 ⑵、归一性：P（Ω）=1 ⑶、可列可加性：若A1，A2，…∈F且AiAj=φ（?i≠j），则P（∪Ai）=∑P（Ai） 则称P是定义在可测空间（Ω，F）上的概率 2、性质： ⑴、可减性：若A∈F，B∈F，且A?B，则P（B-A）= P（B）-P（A） ⑵、加法公式：P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）（可推广至一般形式） 三、条件概率 1、定义：条件概率 在事件B已经发生的条件下，事件A发生的条件概率为P（A|B）=P（AB）/P（B） 2、性质： ⑴、乘法公式：P（A1…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An |A1A2…An-1） ⑵、全概率公式：P（A）=∑P（Bi）P（A|Bi），其中B1，B2，…Bn为Ω的一个划分 ⑶、贝叶斯公式：P（Bn|A）=P（Bn）P（A|Bn）/∑P（Bk）P（A|Bk） 四、事件的独立性 1、定义：事件A和事件B独立（如果P（AB）=P（A）P（B）） 2、定义：事件A1，A2，…，An独立（关键：所有有限子集都应独立） 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P概率论与数理统计第四章笔记
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