练习1
一、选择题：
1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是
（ ）
A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行
B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交
C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行
D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行
2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定
3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和
1D N 所成角的正弦值为 ( )
Ａ．
19 Ｂ．23
Ｃ．459 Ｄ．259
4．已知平面α⊥平面β,m 是α内的一直线,n 是β内的一直线,且m n ⊥，则:①m β⊥；
②n α⊥；③m β⊥或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。这四个结论中，不正确．．．
的三个是( ) Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④
5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ） ( )
A.
R π42
B. R 3π
C. R 2π
D. 3
R
7. 直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有下列四个命题： (1)m l ⊥?βα// (2)m l //?⊥βα
(3)βα⊥?m l // (4)βα//?⊥m l 其中正确的命题是 ( ) A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4)
8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是 ( ) A. 6
0π
α<
< B.
4
6
π
απ
<
< C.
3
4
π
απ
<
< D.
2
3
π
απ
<
<
9．ABC ?中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=?，ABC ?所在平面α外一点P 到点A 、
B 、
C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为 ( )
Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．13 10．在一个45?的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45?，则此直线与二面角的
另一个平面所成角的大小为 ( )
Ａ．30? Ｂ．45? Ｃ．60? Ｄ．90?
11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点,沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D.给出下列位置关系: ①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED, 其中成立的有: ( ) Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④
12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6πcm,则地球仪的表面积为( )
A. 24πcm 2
B. 48πcm 2
C. 144πcm 2
D. 288πcm 2
二、填空题
13. 直二面角α—MN —β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ?α，一直角边AC ?β，
BC 与β所成角的正弦值是
4
6
，则AB 与β所成角大小为__________。 14. 在底面边长为2的正三棱锥V —ABC 中,E 是BC 中点,若△VAE 的面积是
4
1
,则侧棱VA 与底面所成角的大小为 15．如图，已知矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，PA ⊥面ABCD 。若
在BC 上只有一个点Q 满足PQ QD ⊥，则a 的值等于______. 16. 六棱锥P —ABCDEF 中，底面ABCDEF 是正六边形，PA ⊥底面ABCDEF ，给出下列四个命题:
①线段PC 的长是点P 到线段CD 的距离；②异面直线PB 与EF 所成角是∠PBC ；③线段AD 的长是直线CD 与平面PAF 的距离；④∠PEA 是二面角P —DE —A 平面角。其中所有真命题的序号是_______________。 三.解答题:
17．如图，已知直棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，
1BC =，16AA =，M 是1CC 的中点。求证：11AB A M ⊥
18．如图，在矩形ABCD 中，33AB =，3BC =
，沿对角线BD 将BCD ?折起，使点
C 移到P 点，且P 在平面AB
D 上的射影O 恰好在AB 上。 （1）求证：PB ⊥面PAD ； （2）求点A 到平面PBD 的距离；
（3）求直线AB 与平面PBD 的成角的大小
P
A B
Q C
D
A
B
C
1
B 1
A 1C M
A B C
D
A B
()
P C D
O
19．如图,已知PA ⊥面,ABC AD BC ⊥,垂足D 在BC 的延长线上,且1BC CD DA ===
(1) 记PD x =,BPC θ∠=,试把tan θ表示成x 的函数,并求其最大值. (2) 在直线PA 上是否存在点Q ,使得BQC BAC ∠>∠
20.正三棱锥V-ABC 的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。 求（1）棱锥的侧棱长； （2）侧棱与底面所成的角的正切值。
21.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为8，面的对角线B 1C=10，D 为AC 的中点，（1）求证：AB 1//平面C 1BD;（2）求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值;（3）求直线AB 1到平面C 1BD 的距离。
22. 已知A 1B 1C 1-ABC 为直三棱柱，D 为AC 中点，O 为BC 中点，E 在CC 1上，∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA 1=6.
（1）证明平面BDE ∥AO ；（2）求二面角A-EB-D 的大小；（3）求三棱锥O-AA 1D 体积.
P
A B
C
D
练习1答案
一．选择题：
二．填空题：
13. 60o 14. 4
1
arctan 15. 2 16. ①④ 三.解答题:
17．解：【法一】90ACB ∠=?1111B C AC ?⊥，又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以11B C ⊥面1A C ，连结1A C ，则1AC 是1AB 在面1A C 上的射影
在四边形11AAC C 中，
111111AA A C A C C M ==，且1111
2
AAC AC M π
∠=∠=， 1111AAC AC M ∴??， 11AC A M ∴⊥ 11AB A M ∴⊥
【法二】以11C B 为x 轴，11C A 为y 轴，1C C 为z 轴建立空间直角坐标系
由1BC
=，1AA =90ACB ∠=?，30BAC ∠=?，
易得1A ，A ，M ，1(1,0,0)B
1(1,AB ∴=，1(0,A M =
1103(02
AB A M ∴=++?
= 11AB AM ?⊥ 所以11AB A M ⊥ 18．解：（1）
P 在平面ABD 上的射影O 在AB 上，PO ∴⊥面ABD 。
故斜线BP 在平面ABD 上的射影为AB 。
又DA AB ⊥，DA BP ∴⊥，又BC CD ⊥，BP PD ∴⊥ AD PD D = BP ?⊥面PAD
（2）过A 作AE PD ⊥，交PD 于E 。
BP ⊥面PAD ，BP AE ∴⊥，AE ∴⊥面BPD 故AE 的长就是点A 到平面BPD 的距
离
AD AB ⊥，DA BC ⊥ AD ?⊥面ABP AD AP ∴⊥
在Rt ABP ?中，AP =
=
在Rt BPD ?中，PD CD ==
在Rt PAD ?
中，由面积关系，得32AP AD AE PD =
==（3）连结BE ，
AE ⊥面BPD ，BE ∴是AB 在平面BPD 的射影
ABE ∴∠
为直线AB 与平面BPD 所成的角
在Rt AEB ?
中，sin 3AE ABE
AB ∠=
=， arcsin 3
ABE ∴∠= 19．(1)
PA ⊥面ABC ,,BD AD BC PD ⊥∴⊥,即90.PDB ∠=
在Rt PDB ?和Rt PDC ?中,21
tan ,tan BPD CPD x x
∠=
∠=, 221
tan tan tan()2121x
x x BPC BPD CPD x x x
θ-
∴=∠=∠-∠==+
+?(1x
>)
1
24
x x
≤
=
+,
当且仅当x =,tan θ取到最大值4.
(2)在Rt ADB ?和Rt DC ?中,tan BAD
∠=2,tan 1CAD ∠= 211tan tan()1213BAC
BAD CAD -∴∠=∠-∠=
=<+?
故在PA 存在点Q (如1AQ =)满足
1tan 34
BQC <∠≤,使BQC BAC ∠>∠ 20. (12分)解：（1）过V 点作V0⊥面ABC 于点0，VE ⊥AB 于点E ∵三棱锥V —ABC 是正三棱锥 ∴O 为△ABC 的中心 则OA=
a a 332332=?，OE=a a 6
3
2331=? 又∵侧面与底面成60°角 ∴∠VEO=60° 则在Rt △VEO 中；V0=OE ·tan60°=
2
363a
a =? 在Rt △VAO 中，VA=
6
2112
7342
2
22
2a
a a a AO VO ==+=
+ 即侧棱长为
a 6
21
（2）由（1）知∠VAO 即为侧棱与底面所成角，则tan ∠VAO=23
3
3
2==a a
AO VO 21解：（1）连结BC 1交B 1C 于点E ，则E 为B 1C 的中点，并连结DE
∵D 为AC 中点 ∴DE ∥AB 1 而DE ?面BC 1D ， AB 1?面BC 1D ∴AB 1∥面C 1BD
（2）由（1）知AB 1∥DE ，则∠DEB 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角 由条件知B 1C=10， BC=8 则BB 1=6 ∵E 三棱柱中 AB 1=BC 1 ∴DE=5 又∵BD=
3482
3
=? ∴在△BED 中 25
1
5524825252cos 222=??-+=?-+=∠DE BD BD DE BE BED
故异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
25
1
（3）由（1）知A 到平面BC 1D 的距离即为直线AB 1到平面BC 1D 的距离
设A 到平面BC 1D 的距离为h ，则由ABD C D BC A V V --=11得
C C S h S AB
D D BC 131
311??=????即h=D
BC ABD S CC S 11??? 由正三棱柱性质得BD ⊥C 1D 则D C BD S D
BC 1:2
1
1=
? ∴1313
12522446642
121
221111
=
=+?=?=???=D C CC AD D
C B
D CC AD BD h 即直线AB 1到平面的距离为
13
13
12 22. 证明： ①设F 为BE 与B 1C 的交点，G 为GE 中点 ∵AO ∥DF ∴AO ∥平面BDE
②α=arctan 2-arctan
2
2
或arcsin1/3 ③用体积法V=
31×2
1
×6×h=1
练习2
一、选择题
1．已知直线a 、b 和平面M ，则a//b 的一个必要不充分条件是 （ ）
A ．a//M, b//M
B ．a ⊥M ，b ⊥M
C ．a//M, b ?M
D ．a 、b 与平面M 成等角 2．正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为 （ ）
A ．
23 B ．63 C ．43 D ．3
3 3.a , b 是异面直线,A 、B ∈a , C 、D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b,且AB=2,CD=1,则a 与b 所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．45°
4．给出下面四个命题：
①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a 、b 不相交； ②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是：l ⊥平面α；
③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；
④“直线a ∥平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”． 其中正确命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．设l 1 、l 2为两条直线，a 、β为两个平面，给出下列四个命题：
(1)若l 1α?, l 2β?
，l 1∥β，l 1∥a 则a ∥β. (2)若l 1⊥a ，l 2⊥a ，则l 1∥l 2
(3)若l 1∥a ，l 1∥l 2，则l 2∥a (4)若a ⊥β，l 1α?，则l 1⊥β
其中，正确命题的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．三棱柱111C B A ABC -中，侧面B B AA 11⊥底面ABC ，
直线C A 1与底面成?
60角，2===CA BC AB ，
B A AA 11=，则该棱柱的体积为（ ）
A ．34
B ．33
C ．4
D ．3 7．已知直线l ⊥面α，直线m ?面β，给出下列命题： (1)α
β//?⊥l m (2)αβ⊥?l m // (3)l m //?⊥αβ (4)l m ⊥?αβ//
其中正确的命题个数是（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8．正三棱锥S ABC -
的底面边长为a ，侧棱长为b ，那么经过底边AC 和BC 的中点且平行于侧棱SC 的截面EFGH 的面积为（ ） A.
ab
B. ab 2
C. ab 4
D. 22
ab 9．已知平面α、β、γ，直线l 、m ，且l m m l
==⊥⊥βγαγγα ,,,，给
出下列四个结论：①γβ⊥；②α⊥l ；③β⊥m ；④αβ⊥.则其中正确的
个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与支线AM 所成角的大小为（ ）
A .45o
B .90o
C .60o
D .不能确定
A
B
C
A 1
B 1
C 1
A 1
D 1 D O
M
A
B
C
S
E
F
G H