中考数学填空压轴题大
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2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4
1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是． 【答案】8555，
【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：21(11)(211)116+?+==
，222(21)(221)
1256
+?++==，
2223(31)(231)123146+?+++==
，……，2222(1)(21)
123146
n n n n ++++++==…．
∴222229(291)(2291)
123296
+?+++++=
(8555)
2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程： 计算：1＋2＋22＋…＋210.. 解：设S ＝1＋2＋22＋…＋210,① ①×2得
2S ＝2＋22＋23＋…＋211,② ②－①,得
S ＝211－1.
所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1.
运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32017＝______________.
【答案】201831
2
-，
【解析】设S ＝1＋3＋32＋…＋32017,① ①×3得
3S ＝3＋32＋33＋…＋32018,② ②－①,得 2S ＝32018－1. 所以，1＋3＋32
＋…＋3
2017
＝2018312
-.
3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点
P ＇（－y ＋1，x ＋2），我们把点P ＇（－y ＋1，x ＋2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为．
【答案】（2，0），
【解析】根据新定义，得P 1（2，0）的终结点为P 2（1，4），P 2（1，4）的终结点为P 3（－3，3），P 3（－3，3）的终结点为P 4（－2，－1），P 4（－2，－1）的终结点为P 5（2，0），
P 5（2，0）的终结点为P 4（1，4），……
观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P 2017的坐标为（2，0）. 4．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数212=?；
（2）常数项3131(3)-=-?=?-，验算：“交叉相乘之和”；
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211?-+?=，等于一次项系数－1，即：22(x 1)(2x 3)232323x x x x x +-=-+-=--，则223(x 1)(2x 3)x x --=+-，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：23512x x +-＝______． 【答案】（x ＋3）（3x －4）. 【解析】如图．
5．（2017湖北黄石）观察下列各式： ……
按以上规律，写出第n 个式子的计算结果n 为正整数）．（写出最简计算结果即可） 【答案】
1
n
n +，
【解析】先看分子,左边是一个数,分子为1;左边两个数(相加),则为2;左边三个数(相加),则为3,…, 左边n 个数(相加),则分子为n .而分母,就是分子加1,故答案:
1
n n +. 6．（2017年湖南省郴州市）已知a 1＝﹣
32，a 2＝55，a 3＝﹣710，a 4＝9
17
，a 5＝－
11
26
，…… ，则a 8＝． 【答案】17
65
，
【解析】由前5项可得a n ＝(－1)n ·
2211n n ++，当n ＝8时，a 8
＝(－1)8
·228181?++＝1765
． 7．（2017江苏淮安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行 1 第二行 2 3 4 第三行
9
8
7
6
5
第四行
10 11 12 13 14 15 16
第五行 25 24 23 22 21 20 19 18 17 ……
则2017在第________行． 【答案】45，
【解析】观察发现，前5行中最大的数分别为1、4，9、16、25，即为12、22、32、42、52，于是可知第n 行中最大的数是2n ．当n ＝44时，2n ＝1936；当n ＝45时，2n ＝2025；因为1936＜2017＜2025，所以2017在第45行． 8．（2017山东滨州）观察下列各式：
211
1313
=-?， ……
请利用你所得结论，化简代数式213?＋2
24
?＋235?＋…＋2(2)n n +（n ≥3且为整
数），其结果为__________．
【答案】2352(1)(2)
n n
n x +++，
【解析】由这些式子可得规律：
2
(2)
n n+
＝
11
2
n n
-
+
．
因此，原式＝1111111111 132435112
n n n n
-+-+-++-+-
-++
＝1111111111 123134512
n n n n
+++++------
-++
＝1111
1212
n n
+--
++
＝
2
35
2(1)(2)
n n
n x
+
++
．
9．（2017甘肃武威）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的.如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为，第2017个图形的周长为.
【答案】8，6053，
【解析】根据图形变化规律可知：图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是梯形；当图形的个数时偶数个时，正好构成平行四边形，这个平行四边形的水平边是3，两斜边长是1，则周长是8．第2017个图形构成的图形是梯形，这个梯形的上底是3025，下底是3026，两腰长是1，故周长是6053.
10．（2017年贵州省黔东南州）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边
AB垂直且交y轴于点B
1
；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3第三块三角板的斜边B1B2垂直且交
y轴于点B
3
；……按此规律继续下去，则点B2017的坐标为．
【答案】（0，－31009），
【解析】由“含30°角的直角三角形三边关系”可得B的坐标为（
0），则依次可得出B
1
（0，－3），B2（0），B3（0，9），B4（-0），B5（0，－27），…观察这组数据，不难发现坐标以4个为一周期，B2017位于周期中的第一个
位置，这个位置的坐标规律为B n（0,1n+
-），所以B2017（0，－31009）．11．（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点
A，交y轴于点A
1
，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴
上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n ﹣1B n 顶点B n 的横坐标为___________． 【答案】2n ＋1－2，
【解析】由题意得OA ＝OA 1＝2，∴OB 1＝OA 1＝2，B 1B 2＝B 1A 2＝4，B 2A 3＝B 2B 3＝8，∴B 1（2，0），B 2（6，0），B 3（14，0）…，2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴B n 的横坐标为2n ＋1－2．
12．（2017黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12
OA A 的直角边1OA 在y 的正半轴上，且112=1OA A A =，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作第三个等腰直角三角形34OA A ，……，依此规律，得到等腰直角三角形20172018OA A ，则点2017A 的坐标为.
【答案】（0，
10082）或（0）或（0，2016）
【解析】∵112=1OA A A =，
∴2OA ==，
同理3OA =， ……
2017OA
13．（2017黑龙江绥化）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到
第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为。 【答案】
21
12n -，
【解析】规律探究题，求出前面有限个面积，找出规律，根据规律，直接写出结果．腰长为2的等腰直角三角形各边中点的小三角形的两条直角边均为1，所以第
一个小三角形的面积为1112
??＝
12；第2个小三角形的两条直角边长均为1
2
，所以第2个小三角形的面积为111222??＝312；第3个小三角形的两条直角边长均为1
4
，
所以第3个小三角形的面积为111244??＝
5
1
2；依次类推，第n 个小三角形的面积为2112
n -，故填
21
12n -
14．（2017年广西北部湾经济区四市）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐
标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为. 【答案】（4040,1）
【解析】据题意可得1(5,2)P ，2(8,1)P ，3(10,1)P
，4(13,2)P ，以此类推，可得旋转2017次后，点P 的坐标为（4040,1）
15．（2017湖北天门）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A (﹣1，
1)，B (0，﹣2)，C (1，0)．点P (0，2)绕点A 旋转180°得到点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3，点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4，……，按此作法进行下去，则点P 2017的坐标为． 【答案】（﹣2，0），
【解析】根据旋转可得：P 1(﹣2，0)，P 2(2，﹣4)，P 3(0，4)，P 3(0，4)，P 4(﹣2，﹣2)，P 5(2，﹣2)，P 6(0，2)，故6个循环，2017÷6＝336…1，故P 2017(﹣2，0)． 16．（2017湖南衡阳）正方形111C A B O ，2221C C A B ，3332C C A B ，???按如图的方式放
置，点1A ，2A ，3A ，???和点1C ，2C ，3C ，???分别在直线1y x =+和x 轴上，则点2018B 的纵坐标是． 【答案】22017，
【解析】由图知，点B 1的坐标为（1，1）；点A 2的坐标为（1，2）；点B 2的坐标为（3，2）；点A 3的坐标为（3，4）；点B 3的坐标为（7，4）；A 4的坐标为（7，8），……寻找规律知B 2018的纵坐标为22017，故填22017．
17．(2017湖南永州)一小球从距地面1m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．
(1)小球第3次着地时，经过的总路程．．．
为________________m ；
(2)小球第n 次着地时，经过的总路程．．．
为________________m ．
【答案】(1)122
； (2)2
132n --
，
【解析】小球第1次着地时，经过的总路程为1m ；小球第2次着地时，经过的总路
程为1＋
12×2＝2(m )；小球第3次着地时，经过的总路程为2＋1
4
×2＝122(m )；小
球第n 次着地时，经过的总路程为1＋12×2＋212×2＋31
2
×2＋…＋112n -×2＝
21
32
n --(m )． 18．（2017湖南常德）如图，有一条折线11223344
A B A B A B A B ,它是由过()10,0A ，()12,2B ，()24,0A 组成的折线依次平移
4，8，12，
个单位得到的，直线y ＝kx
＋2与此折线恰有2n （1n ≥，且为整数）个交点，则k 的值为_______________. 【答案】0或1
2n
-
（1n ≥）， 【解析】①当k ＝0时，即直线为y ＝2，满足题意；②当直线经过点（0,2）与（4,0）时，满足题意，此时12
k =-；③当直线经过点（0,2）与（8,0）时，满足题意，此时14
k =-；以此类推，即答案为0或1
2n
-
（1n ≥）. 19．（2017江苏徐州）如图，已知1OB =，以OB 为直角边作等腰直角三角形1A BO .
再以1OA 为直角边作等腰直角三角形21A A O ，如此下去，则线段n OA 的长度为．
n
、2
2
n
算对）
【解析】在Rt △AOB 中，OA 1＝sin 45OB ?
OA 2
＝45OA
sib =?
＝2
，……，∴OA n
＝n .
20．（2017山东菏泽）如图AB ⊥y 轴，再将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位
置，使点B 的对应点1B 落在直线y
＝－
x 上，再将△AB 1O 1绕点1B 逆时针旋转
到△AB 1O 2的位置，使点O 1对应点O 2落在直线y
＝－x 上，依次进行下去……
若点B 的坐标是（0,1），则O 12的纵坐标为． 【答案】（
9，9＋
【解析】过点O 2作O 2C ⊥x 轴于点C ，
∵AB ⊥y 轴，点B 的坐标是（0,1），且点B 在直线y x ，
∴点A
），即
OB ＝1,AB ∴OA ＝2，
由题意知，AB
1＝AB AO 1＝OA ＝2，O 2B 1＝OB ＝1，∴OO 2＝3
∵tan ∠O 2OC ＝
，∴∠O 2OC ＝30°，
∴OC ＝O
2O cos ∠O 2OC ＝（3
O
2C ＝O 2O sin ∠O 2OC ＝（312
，
∴O 2（），O 4（O 6（，
……，O
12（9，9＋.
21．（2017山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y x －
与x 轴交于点B 1，以OB 1为边长作等边三角形A 1OB 1，过点A 1作A 1B 2平行于x 轴，交直线l 于点B 2，以A 1B 2为边长作等边三角形A 2A 1B 2，过点A 2作A 2B 3平行于x 轴，交直线l 于点B 3，以A 2B 3为边长作等边三角形A 3A 2B 3，…，则点A 2017的横坐标是__________．
【答案】201721
2
-
【解析】把y ＝0代入y ＝
x －
x －
＝0．解得x ＝1． ∴B 1(1,0)，OB 1＝1．∴A 1B 1＝OB 1＝1.
把x ＝0代入y ＝x ，得y ．
∴M (0, －
),OM ＝.
∵tan ∠OB 1M ＝OM
OB 1＝
，∴∠OB 1M ＝30°．则∠A 1B 2O ＝∠A 2B 3O ＝30°． 又∵∠A 1B 1O ＝60°，
∴∠A 1B 1M ＝60°＋30°＝90°.∴∠A 1B 1B 2＝90°.则∠A 2B 2B 3＝∠A 3B 3B 4＝90°． ∴A 1B 2＝2A 1B 1＝2×1＝2，
A 2
B 3＝2A 2B 2＝2A 1B 2＝2×2＝22， A 3B 4＝2A 3B 3＝2A 2B 3＝2×22＝23． ∴A 1的横坐标是：12OB 1＝12×1＝1
2；
A 2的横坐标是：12O
B 1＋12A 1B 2＝12＋12×2＝12＋2
2；
A 3的横坐标是：12O
B 1＋12A 1B 2＋12A 2B 3＝(12＋22)＋12×22＝12＋22＋22
2； A 4的横坐标是：12OB 1＋12A 1B 2＋12A 2B 3＋12A 3B 4＝12＋22＋222＋23
2； ……；
A 2017的横坐标是：12＋22＋222＋232＋…＋220162＝201721
2
-．
[注：设x ＝1＋22＋23＋24＋…＋22016，则2x ＝(21＋22＋23＋24＋…＋22016)＋22017， ∴2x －x ＝(21＋22＋23＋24＋…＋22016)＋22017－(1＋22＋23＋24＋…＋22016) ∴x ＝22017－1
∴12＋22＋222＋232＋…＋220162＝x 2＝201721
2
- 22．（2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y x =，
点1O 的坐标为（1,0），以1O 为圆心，1O O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点2O ，2O 以为圆心，2O O 为半径画圆，交直线l 于点2P ，交x 轴正半轴于点3O ，3O 以为圆心，3O O 为半径画圆，交直线l 与点3P ，交x 轴的正半轴于点4O ，
按此做法进行下去，其中20172018P O 的长为．
【答案】20152π，
【解析】由题意知12PO 所对的圆心角度数为90°，半径为1，∴12PO 的长为
9011802
ππ
?=；
23P O 所对的圆心角度数为90°，半径为2，∴23P O 的长为902
180
ππ?=；34PO 所对的圆心角度数为90°，半径为4，∴34PO 的长为904
2180
ππ?=；45P O 所对的圆心角度数为90°，半径为8，∴45P O 的长为
908
4180
ππ?=；∴20172018P O 的长为20172201522ππ-=． 23．（2017山东淄博）设△ABC 的面积为1.
如图1，分别将AC ，BC 边2等分，D 1，E 1是其分点，连接AE 1，BD 1交于点F 1，得到四边形CD 1F 1E 1，其面积S 1＝1
3；
如图2，分别将AC ，BC 边3等分，D 1，D 2，E 1，E 2是其分点，连接AE 2，BD 2交于点F 2，得到四边形CD 2F 2E 2，其面积S 2＝1
6；
如图3.分别将AC ，BC 边4等分，D 1，D 2,D 3,E 1，E 2，E 3是其分点，连接AE 3，BD 3交于点F 3，得到四边形CD 3F 3E 3,其面积S 3＝1
10； ……
按照这个规律进行下去，若分别将AC ，BC 边(n ＋1)等分，…，得到四边形CD n F n E n ， 其面积S n ＝________． 【答案】2
(1)(2)n n ++，
【解析】法一：规律猜想：S 1＝13＝1
12+；
S 2＝16＝1123++；
S 3＝110＝11234+++；
……
S n ＝
1
12341n ++++
++＝2
(1)(2)n n ++. 法二：推理论证：如图连接D n E n .
由平行线分线段成比例定理的逆定理，得D n E n ∥A B.
∴n CE BC
＝n CD AC ＝1
1n +.
∴n n n F D BD ＝12
n +.
∴S n ＝n n n AE C AF D S S ??-＝1
1
1(1)(2)n
n n n -?+++＝2
(1)(2)n n ++.
24．(2017四川广安)正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2……按如图所示放置，点A 1、
A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，点C 1、C 2、C 3……在x 轴上，则An 的坐标是______．
【答案】(121n --，12n -)，
【解析】∵点点A 1、A 2、A 3…在直线y ＝x ＋1上，∴A 1的坐标是(0，1)，即OA 1＝1，∵A 1B 1C 1O 为正方形，∴OC 1＝1，即点A 2的横坐标为1，∴A 2的坐标是(1，2)，A 2C 1＝2，∵A 2B 2C 2C 1为正方形，∴C 1C 2＝2，∴OC 2＝1＋2＝3，即点A 3的横坐标为3，∴A 3的坐标是(3，4)，…， 观察可以发现：
A 1的横坐标是：0＝20－1，A 1的纵坐标是：1＝20； A 2的横坐标是：1＝21－1，A 2的纵坐标是：2＝21； A 3的横坐标是：3＝22－1，A 3的纵坐标是：4＝22； ……
据此可以得到A n 的横坐标是：121n --，纵坐标是：12n -． 所以点A n 的坐标是(121n --，12n -)．
25．(2017年四川资阳)按照如图8所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个
图案中黑色小正方形地砖的块数是______．
第1个第2个第3个
A
B
E n
C
D n F n
【答案】365
【解析】图形和黑色小正方形地砖的块数如下表
由此猜想第14个图案中黑色小正方形地砖的块数＝1＋1×4＋2×4＋…＋13×4＝1
＋(1＋2＋3＋…＋13)×4＝1
＋364＝365．
26．（2017浙江衢州）如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B
在第二象限，△ABO 沿x 轴正方形作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B 的对应点的坐标是
，翻滚2017次后AB 中点M
经过的路径长为 ．
【答案】（5
896）π， 【解析】
首先求出B 点坐标（－1
应点横坐标加6，纵坐标不变，故B 点变换后对应点坐标为（－1＋6（5M 点的变化在每个周期中，点M 分别沿着三个圆心角为120°的扇
1、1，又
2017÷3＝672……1，故其运动路径长
×（672＋1）＋23
π
896）π． 27．（2017海南）如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠
ACB ＝45°．若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是___________． 【答案】
【解析】∵点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴MN ＝1
2
BC ，当BC 为⊙O 的直径时，MN 最长，此时△ABC 为等腰直角三角形，易得BC ＝MN ＝
28．（2017湖南怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为cm．
10．
【答案】
【解析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PD的最小值，即可判断．连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10，
∴∠A＝∠C＝60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P 与点D重合时，PA最小，最小值PA＝10；
②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC
10；
上时，AP最小，最小值为
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足
10（cm）．
题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为
29．（2017山东威海）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内的一动点,且满足∠PAB＝∠ACP.则线段PB长度的最小值为
【解析】将△APB绕点B顺时针旋转60°，如图，则△PBD是等边三角形,PB＝P D.因为∠PAB＝∠ACP，∴∠PCD＝60°.在△PCD中，当∠PCD＝60°最小时，PD最小，所以当△PCD时是等边三角形时PD＝PB最小,此时PCDB是菱形.在直角△POB中，OB
＝1，∠PBO＝30°，∴PB
30．（2017四川德阳）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC ＝5，点P为⊙C上一动点，经过O的直线L上有两点A、B且OA ＝ OB, ∠APB＝90°，L不经过点C，则AB的最小值为.
【答案】4，
【解析】几何最值问题、三角形三边关系（两点之间，线段最短）．如答图所示，连接OP 、OC 、PC ，则有OP ≥OC －PC ，当O 、P 、C 三点共线的时候，OP ＝OC －P C. ∵∠APB ＝90°，OA ＝OB ，∴点P 在以AB 位直径的圆上，∴⊙O 与⊙C 相切的时候，
OP 取到最小值，则'OP 'OP ＝OC －'CP ＝2，∴AB －2'OP ＝4
31．(2017浙江金华)在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，AB ＋BC ＝10m .
拴住小狗的10m 长的绳子一端固定在B 点出，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S (m 2)． （1）如图1，若BC ＝4m ，则S ＝m 2．
（2）如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正△CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其它条件不变.则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为m ． 图1图2
【答案】（1）88π；（2）
52
， 【解析】(1)当BC ＝4时，S ＝227010360π?＋2906360π?＋2904360
π
?＝88π；（2）设BC ＝
xm ，则S ＝227010360π?＋230(10)360x π?-＋2
90360x π＝30360π[900＋(10－x )2＋3x 2]
＝
12π(4x 2－20x ＋1000)＝3π(x 2－5x ＋250)＝3π(x －5
2
)2＋3254π．
∴当x ＝5
2
时，S 取得最小值．
32．（2017浙江台州）如图，有一个边长不定的正方形ABCD ，它的两个相对的顶点
A ，C 分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点
B ，D 在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a 的取值范围是________．
a 【解析】如图，根据题意，AC 为正方形对角线，即当A 、C 分别是正六边形平行的两边中点时，此时AC 取最小值，也即正方形边长最短，AC ＝3，∴正方形边长的
最小值为OQ ⊥FP ，∠FOP
＝45°，∠FQP ＝60°，设FP ＝x ，则OP ＝x ，PQ ，∴OQ ＝x ＝1，∴x ＝
3－3，∴正方形边长a 的取值范围是
a 33．（2017湖北恩施）如图，在6×6网格内填如1至6的数字后，使每行、每
列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a ×c ＝ 【答案】2
【解析】由题意，每行每列每个小粗线宫中的数字不重复，则a ＋b ＋c ＝7，a 、b 、
c 的值为1、2、4，∵2、b 、c 在一列，∴a ＝、c 的值为1或4，当b ＝4，c ＝1时，如图1，此时a ×c ＝2；当b ＝1，c ＝4时，此时排列情形不存在；故a ×c ＝2. 34．（2017湖南湘潭）阅读材料设1122(,),(,),a x y b x y ==如果//a b ，则x 1·y 2＝x 2·y 1.
根据该材料填空已知(2,3),(4,)a b m ==，且//a b ，则m ＝_________. 【答案】6，
【解析】由材料可以得到2m ＝3×4,从而求得m ＝6.
35．（2017山东临沂）在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为(),m n ，向量OP 可
以用点P 的坐标表示为OP ＝(m ，n ).已知OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，
y 2），如果12120x x y y ?+?=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量 ①OC ＝（2,1），OB ＝（－1,2）；②OE ＝（cos30°，tan45°），OF ＝（1，sin60°）； ③
OG 2），OH
1
2
）；④OM ＝（π0，2），ON ＝（2，－1）.
其中互相垂直的是（填上所有正确答案的序号）． 【答案】①③④
【解析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
①OC ＝（2,1），OB ＝（－1,2）中，()2112220?-+?=-+=，所以垂直； ②OE ＝（cos30°，tan45°），OF ＝（1，sin60°）中，
cos30°?1＋tan45°?= ③
OG 2），OH
1
2
）中， ()1
22
+-?＝()321-+-＝0，所以垂直；
④OM ＝（π0，2），ON ＝（2，－1）中()0
2210π?+?-=，所以垂直.
36．（2017广东乐山）对于函数y ＝x n ＋x m ，我们定义y’＝nx n －1＋mx m －1（m 、n 为常
数）．
例如y ＝x 4＋x 2，则y’＝4x 3＋2x ． 已知()322113
y x m x m x =+-+．
（1）若方程y’＝0有两个相等实数根，则m 的值为； （2）若方程14
y m '=-有两个正数根，则m 的取值范围为． 【答案】（1）12m =；（2）34m ≤且12
m ≠，
【解析】（1）y’＝x 2＋2(m －1)x ＋m 2，当y’＝0时，有x 2＋2(m －1)x ＋m 2＝0.若方程y’＝0有两个相等实数根，则△＝0，即4(m －1)2－m 2＝0，解得
OA =
（2）y’＝x 2＋2(m －1)x ＋m 2，当
2
π
时，有
x 2＋2(m －1)x ＋m 2－m ＋
AC ==0.
若方程
OA AC ==14，即122=42πππ??≠，解得34m ≤且12
m ≠. 37．（2017四川自贡）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分
割，使分割后能拼成一个大正方形.请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形. 【答案】D ，
【解析】∵13个小正方形的面积为13×12＝13，∴所拼成的大正方形的边长为
.
38．（2017四川雅安）定义若两个函数的图象关于直线y ＝x 对称，则称这两个函
数互为反函数．请写出函数y ＝2x ＋1的反函数的解析式_________．
【答案】y ＝
228181?++x －17
65
， 【解析】可取函数y ＝2x ＋1上任意两点，如（0，1）和（1，3），则这两个点关于直线y ＝x 对称的点为（1，0）和（3，1），则经过（1，0）和（3，1）两点的直线解析式为y ＝C 'x －3
(,0)2
．
39．（2017四川宜宾）规定[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最
小整数，[x ）表示最接近x
n
为整数），例如．[]＝2，（）＝
3，[）＝2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号） ①当x ＝时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝6；②当x ＝－时，[x ]＋(x )＋[x ）＝－7； ③方程4[x ]＋3(x )＋[x )＝11的解为1＜x ＜；
④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋(x )＋x 的图像与正比例函数y ＝4x 的图像有两个交点．
【答案】②③④，
【解析】①当x ＝时，[]＝1，＝2，[）＝2，故[x ]＋(x )＋[x ）＝5；
②当x ＝﹣时，[﹣]＝﹣3，(﹣＝﹣2，[﹣）＝﹣2，故[x ]＋(x )＋[x ）＝－7； ③设x ＝a ＋b （a ＞0，且a 为整数，且0＜b ＜1） （1）当0≤b ＜1
2
时，4a ＋3(a ＋1)＋a ＝11，解得a ＝1，故1＜x ＜； （2）当
12＜b ＜1时，4a ＋3(a ＋1)＋a ＋1＝11，解得a ＝7
8
（舍）． ④当﹣1＜x ＜12-
，y ＝x ﹣1，当1
2-＜x ＜0时，y ＝x ﹣1 当0＜x ＜12时，y ＝x ＋1当1
2
＜x ＜1时，y ＝x ＋1，结合图像，可知，有2个交
点．
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
中考数学填空压轴题大 全 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-
2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4 1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是． 【答案】8555， 【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：21(11)(211)116+?+== ，222(21)(221) 1256 +?++==， 2223(31)(231)123146+?+++== ，……，2222(1)(21) 123146 n n n n ++++++==…． ∴222229(291)(2291) 123296 +?+++++= (8555) 2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程： 计算：1＋2＋22＋…＋210.. 解：设S ＝1＋2＋22＋…＋210,① ①×2得 2S ＝2＋22＋23＋…＋211,② ②－①,得 S ＝211－1. 所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1. 运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32017＝______________. 【答案】201831 2 -， 【解析】设S ＝1＋3＋32＋…＋32017,① ①×3得 3S ＝3＋32＋33＋…＋32018,② ②－①,得 2S ＝32018－1. 所以，1＋3＋32 ＋…＋3 2017 ＝2018312 -.
3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点 P ＇（－y ＋1，x ＋2），我们把点P ＇（－y ＋1，x ＋2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为． 【答案】（2，0）， 【解析】根据新定义，得P 1（2，0）的终结点为P 2（1，4），P 2（1，4）的终结点为P 3（－3，3），P 3（－3，3）的终结点为P 4（－2，－1），P 4（－2，－1）的终结点为P 5（2，0）， P 5（2，0）的终结点为P 4（1，4），…… 观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P 2017的坐标为（2，0）. 4．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数212=?； （2）常数项3131(3)-=-?=?-，验算：“交叉相乘之和”； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211?-+?=，等于一次项系数－1，即：22(x 1)(2x 3)232323x x x x x +-=-+-=--，则223(x 1)(2x 3)x x --=+-，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：23512x x +-＝______． 【答案】（x ＋3）（3x －4）. 【解析】如图． 5．（2017湖北黄石）观察下列各式： …… 按以上规律，写出第n 个式子的计算结果n 为正整数）．（写出最简计算结果即可） 【答案】 1 n n +，
中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），
中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：
24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）
填空题难题突破 备考提示：近几年广东中考填空题中难度较大、考查最多的均为求面积的题目，2016年出现了考圆的综合题，这类几何综合题也值得重视起来，几何图形规律题（常以三角形、四边形为背景）也是需要适当练习. 1．（2017广东，16，4分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H 处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为． 2．（2016广东，16，4分）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与 四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A 到PB和PC的距离之和AE+AF=． 3.（2015广东，16，4分）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则图中阴影部分面积是___. 4.（2014广东，16，4分）如图，△ABC绕点A按顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则图中阴影部分的面积等于____.
5.（2013广东，16，4分）如图，三个小正方形的 边长都为1，则图中阴影部分面积的和是____.（结果保留π） 6.（2012广东，10，4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°.以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则 阴影部分的面积是______ （结果保留π） 7.（2011广东，10，4分）如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图2中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图3中阴影部分，如此下去，……，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为 ____ 强化训练： 1．如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG=2GD，连接BG，若S△ABC=6，则图中阴影部分面积是．
中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交 AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM A B C D E R P H Q
＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积 等于 4 3 ，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围 . P 图 3 B D 图 2 B 图 1
中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形
基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐 标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．． 写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0）
2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
中考数学选择填空压轴题 一、动点问题 1．如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点， 且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示 y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ） 2．如图，A ，B ，C ，D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O —C —D —O 路线作匀速运 动，设运动时间为x （s ）．∠APB=y （°），右图函数图象表示y 与x 之间函数关系，则点M 的横坐标应为 ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=10，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时， 始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则|h 1－h 2| 等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 4．如图，已知Rt △ABC 的直角边AC =24，斜边AB =25，一个以点P 为圆心、半径为1的圆在△ABC 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△ABC 的边相切，当点P 第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（ ） A. 563 B. 25 C. 112 3 D. 56 5．在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 6．如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．4π- C ．π D ．π1- 7．如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且2EF BE =，则AFC S =△（ ）2 cm ． A ．8 B ．9 C ．8 3 D ．9 3 8．△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC ＝60°，D 是的中点，AD ＝ａ，则四边形ABDC 的面积为 ． 在 梯 形 ABCD 中， 9．如图， 90614AD BC ABC AD AB BC ∠====∥，°，，，点M 是 BC 上一定点，且MC =8．动点P 从C 点出发沿线段 A B C Q R M D A D C E F G B D P
中考数学压轴题解题技巧 竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定 义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。