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高中数学必修1-5知识网络结构图

高一数学必修1知识网络

集合

123412n x A x B A B A B A n A ∈???

?????

∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ???????????

???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ?????

??????????

????????

???????????????????????

?????????????????????=???????

函数

,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射

传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作函数及其表示函数{

[][][][][]().,,()()(),,1212()()(),,12f x a b a x x b f x f x f x a b a b f x f x f x a b a b a =≤<≤<>???????????????近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数的三要素值域对应法则

解析法函数的表示方法列表法

图象法

单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。导数定义：在区间[][][][][]()1()2()()00,()0(),,()0(),,y f x I M x I f x M x I f x M M y f x b f x f x a b a b f x f x a b a b =∈≤∈==????>

??最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有；（）存在，使得。则称是函数的最大值最值最上，若，则在上递增,是递增区间；如则在上递减,是的递减区间。 ()1()2()()00(1)()(),()(2)()(),()y f x I N x I f x N x I f x N N y f x f x f x x D f x f x f x x D f x =∈≥∈==-=-∈-=∈?????小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有；（）存在，使得。则称是函数的最小值定义域，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性定义域，则叫做偶函数，其图()()()(0)()()1,()

112y f x f x T f x T f x T T f x y y x a x y f x a a α+=≠=-=?=+??

?????

??????

???

????????象关于轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称

周期性：在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期；

的最小正值叫做的最小正周期，简称周期

（）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：向右平移个平移变换函数图象的画法（）变换法,()

11,()

1110111/()

11)01)1y y x a x y f x a b x x y b y y b f x b x x y b y y b f x x w w w x wx y f wx y A A =+=?=-=+=?-==-=?+=><<=?=><

到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长（或缩短（到{{{{{{/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)0011112(00221010A y y A y f x x x x x x x x y y y f x x y y y y y y

x x x x x x x x y f x x y y y y x x x x y y y y f y y y y y y =?=+==-??-=-+==-+==-=??=-=====??-=+==-?????原来的倍（横坐标不变），即关于点对称：关于直线对称：对称变换关于直线对称：{)11()1x x x y x y f x y y =-=?==???????????????????????????????????????

????????????????

????

???

?????????????????????????

关于直线对称：

附：

一、函数的定义域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；

2、偶次方根的被开方数大于等于零；

3、对数的真数大于零；

4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；

5、三角函数正切函数tan y x =中

()2

x k k Z π

π≠+

∈；余切函数cot y x =中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，

应依据自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法：

1、定义法；

2、换元法；

3、待定系数法；

4、函数方程法；

5、参数法；

6、配方法三、函数的值域的常用求法：

1、换元法；

2、配方法；

3、判别式法；

4、几何法；

5、不等式法；

6、单调性法；

7、直接法

四、函数的最值的常用求法：

1、配方法；

2、换元法；

3、不等式法；

4、几何法；

5、单调性法五、函数单调性的常用结论：

1、若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数

2、若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数

3、若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则[()]y f g x =是减函数。

4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

六、函数奇偶性的常用结论：

1、如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立）

2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。

3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为

()[()()][()()]22

f x f x f x f x f x =+-+--，该式的特点是：右端为一个奇函数

和一个偶函数的和。

,()0()()[,]()()0,

()[,](,),()0,()0()0y f x f x x y f x y f x a b f a f b y f x a b c a b f c c f x f x ====?<=∈===零点：对于函数（）我们把使的实数叫做函数的零点。定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有零点与根的关系那么，函数在区间内有零点。即存在使得这个也是方

程的根。（反之不成立）关系：方程函数与方程函数的应用()()(1)[,],()()0,(2)(,);(3)()()0,()()0,(,)0()()0,0y f x y f x x a b f a f b a b c f c f c c f a f c b c x a b f c f b a c x ε?=?=?<=?<=∈?<=?????有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点确定区间验证给定精确度；求区间的中点计算；

二分法求方程的近似解 ①若则就是函数的零点； ②若则令（此时零点）； ③若则令（此时零点(,)(4)-,();24c b a b a b εε∈<~??????????????????????????????????????????

）；判断是否达到精确度：即若则得到零点的近似值或否则重复。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题

建立实际问题的函数模型(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs

a a a r s Q r r s a

b a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=??????????

????????????????????

为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数。指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,0)log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ?=+=-=>≠>>=>≠??????????

????

?????

???

=>≠>????????

为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函数对数函数性质：见表且y x x αα???????

???

???????????

???????

?=??

???

幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。性质：见表2

)

高中数学必修2知识点

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k tan k α=

当[)

90,0∈α时，0≥k ；当()

180,90∈α时，0

②过两点的直线的斜率公式：)(211

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：11

2121

y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x

④截矩式：

1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C

By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：

000=++C y B x A （C 为常数）

（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程

为

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。（6）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交

交点坐标即方程组??

?=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。方程组无解21//l l ? ；方程组有无数解?1l 与2l 重合

（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，

则||AB

（9）点到直线距离公式：一点)00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2

200B A C By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的

半径。

2、圆的方程

（1）标准方程()()22

r b y a x =-+-，圆心

()b a ,，半径为r ；

（2）一般方程02

2=++++F Ey Dx y x

当042

>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为?

? ?

--2,2

E D ，半径为

F E D r 42

122-+= 当0422=-+F E D 时，表示一个点；当042

2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位臵。 3、直线与圆的位臵关系：

直线与圆的位臵关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离

为

=，则有

相离

与C

>；相切

与C

=；相交

与C

（2）设直线0

l，圆()()2

-，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有

相离

与C

?0；相切

与C

?0；相交

与C

注：如果圆心的位臵在原点，可使用公式2

xx=

+去解直线与圆相切的问题，其中()

x表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为2

xx=

+(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．

4、圆与圆的位臵关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆()()2

-，()()2

两圆的位臵关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当r

>时两圆外离，此时有公切线四条；

当r

=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当r

R+

-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当r

=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当r

<时，两圆内含；当0

d时，为同心圆。

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'

ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥'

P-

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台'

P-

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几

何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图

是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何

体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位臵关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位臵关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位臵关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；

②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'

h 为斜高，l 为母线）

ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2

1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积

')(2

21h c c S +=

正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13

V S h =锥 h r V 23

1π=圆锥

'1()3

V S S h =台

'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台

（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343

R π ； S 球面=2

π 4、空间点、直线、平面的位臵关系

（1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α? 点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ；点A 在直线l 外，记作A ?l ；直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ?α；直线l 不在平面α内，记作l ?α。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一

平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。

符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位臵关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位臵无关。 ②求异面直线所成角步骤：

A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位臵，顶点选在特殊的位臵上。

B 、证明作出的角即为所求角

C 、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位臵关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位臵关系的符号表示：a ?α a ∩α＝A a ∥α

（9）平面与平面之间的位臵关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行?线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行?线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为 0。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所a'

成的角。

（2）直线和平面所成的角

90。

①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0。②平面的垂线与平面所成的角：规定为 ③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．分别作垂直于．．．棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 7、空间直角坐标系

（1）定义：如图，,,,,OBCD D A B C -是单位正方体.以A 为原点，分别以OD,O ,A ,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x 轴.y 轴.z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O 叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位臵。大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位臵。

（3）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组(,,)x y z 来表示，有序实数组(,,)x y z 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作(,,)M x y z （x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标）

（4）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=

高一数学必修3公式总结以及例题

§1 算法初步

◆ 秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n

次多项式，只要作n 次乘法和n 次加法即可。表达式如下：

()()()()1221111......a x a x x a x a x a a x a x a n n n n n n n +++++=+++---- 例

题

：

秦

九

韶

算

法

计

算

多

项

式

, 187654323456++++++x x x x x x , 0.4 x 时当=

?运算需要做几次加法和乘法答案： 6 ， 6

()()()()()1876543x :++++++x x x x x 即

理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，

其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明

书是空调使用的算法… (algorithm )

1. 描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.

2. 算法的特征：

①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去

②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可

以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。

③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在

一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②

控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构

?流程图：（flow chart）: 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。

注意：1. 画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯

2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇

到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。

3. 在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，

一起终结到结束框。

直到型循环

环

Ⅰ.顺序结构（sequence structure ）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、

控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构（selection structure ）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要

是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。Ⅲ.循环结构（cycle structure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。

?基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudo code），且是使用BASIC

语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可

以用y

x=，也可以用y

x← ; 表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“?”Ⅰ. 赋值语句（assignment statement）：用←表示，如：y

x←，表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.

一般格式：“表达式变量←” ，有时在伪代码的书写时也可以用 “y x =”，

但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。注： 1. 赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“ = ”具有计算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的，而a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3

都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。如：a = b = c = 2 , a , b ,

c =2 都是错误的，而 a = 3 是正确的.

例题：将x 和y 的值交换

y y x x

p ←←← , 同样的如果交换三个变量x,y,z 的值 : p

z z

y y

x x

p ←←←←

Ⅱ. 输入语句（input statement ）: Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b

输出语句（out statement ）：Print x ,y 表示一次输出运算结果x ,y

注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句，意旨不能在Print 语句中用 “ = ”4. Print 语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ； ”

隔开.

例题：当x 等于5时，Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5 Ⅲ.条件语句（conditional statement ）：

1. 行If 语句: If A Then B 注：没有 End If

2. 块If 语句：注：①不要忘记结束语句End If ，当有If 语句嵌套使

用时，有几个If ，就必须要有几个End If ②. Else If 是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外Else If 后面也要有End If ③ 注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④ 为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：

例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.

注：1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的

数

Ⅳ.循环语句（ cycle statement ）： ◆ 当事先知道循环次数时用 For 循环，即使是 N 次也是已知次数的循环当循环次数不确定时用While 循环 ? Do 循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.

While 循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While 循环，较为简单，因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用While 循环书写的循环都能用For 循环书写 3. While 循环和Do 循环可以相互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化 5. 注意临界条

件的判定

例题： . 99...531 的一个算法设计计算

????（见课本21P ） S

int Pr End I S S 2 Step 99 T o 3 From I 1

For For S ?←←

int Pr hile End I S S 2I I

97 I hile 1

1W W I S ?←+←≤←←

int Pr hile End 2I I I S S 99 I hile 1

1W W I S +←?←≤←←

◆ ?

int Pr ) 99 I ( 001 I 2

I I I S S o

1>≥+←?←←←或者Until Loop D I S S

int Pr

99 I I S S 2

I I o

11≥?←+←←←Until Loop D I S

? ? S

int Pr

2I I I S S ) 100 I ( 99 I While o 11Loop D I S +←?←<≤←←或者 S

int Pr I S S 2

I I ) 99 I ( 97 I While o 11Loop D I S ?←+←<≤←←或者

颜老师友情提醒：1. 一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。

2. 在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。

3. 书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！

高中数学必修4知识点

???

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα?<

第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?+

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定

()*

n n

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来

是第几象限对应的标号即为n

终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l

r α=．

7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π

，180157.3π??=≈ ???

． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则l r α=，2C r l =+，211

S lr r α==．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点

的距离是()

0r r =>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．

12、同角三角函数的基本关系：()2

1sin cos 1αα+=

()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ??

?．

13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???． ()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数

()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数

()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1

倍（纵坐标不变），

得到函数

sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数

()sin y x ω?=A +的图象．

函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：2π

T =

；③频率：12f ω

=T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?．

函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得

最大值为max y ，则()max min 12y y A =

-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T

=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象

定义域

R R

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

函数性

质

高中数学知识点体系框架超全超完美

高中数学基础知识整合函数与方程区间建立函数模型抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布单调性：同增异减赋值法，典型的函数零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。函数的概念定义列表法解析法图象法表示三要素使解析式有意义及实际意义常用换元法求解析式观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等定义域对应关系值域函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数指数函数与对数函数三角函数定义、图象、性质和应用函数映射第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分退出上一页第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分导数导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；；为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。定积分与微积分定积分概念定理应用性质定理含意微积分基本定理曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程：（2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=

高中数学知识点完整结构图

高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????

高中数学知识结构图(理科)

高中数学知识结构图集合的概念与表示方法集合集合的性质集合之间的关系与运算解析法函数的概念与表示方法列表法图像法定义域函数的三要素对应关系值域单调性奇偶性函数的性质周期性极值最值一次、二次函数反比例函数基本初等函数指数函数与对数函数图像、性质和应用函数函数的分类幂函数复合函数三角函数分段函数函数图像及其变换平移、对称、翻折和伸缩变换概念反函数存在条件与原函数的关系函数与方程函数的零点对应方程的解函数的应用建立函数模型任意角弧度制与三角函数同角三角函数关系诱导公式三角函数中的公式和角、差角公式二倍角公式与半角公式三角函数和差化积与积化和差公式正弦函数三要素三角函数余弦函数性质正切函数图像及其变换正弦定理解三角形余弦定理三角形面积

柱体结构椎体空间几何体台体三视图和直观图球体简单组合体表面积与体积点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的关系直线、平面平行的性质和判定直线、平面垂直的性质和判定立体几何点到点的距离点到直线的距离空间距离点到平面的距离直线到平面的距离平行平面间的距离异面直线形成的角空间的角直线与平面形成的角倾斜角、斜率和截距点斜式斜截式直线直线与方程两点式截距式一般式直线之间的位置关系垂直与平行的条件圆与方程一般方程与标准方程几何圆点与圆的位置关系位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系解析几何圆锥曲线椭圆定义及标准方程双曲线性质离心率点到点的距离点到直线的距离平面距离点到圆的距离两平行线的距离直线到圆的距离相离圆的距离对称问题中心对称关于点对称轴对称关于直线对称平面向量概念向量加减法向量运算向量的数乘向量的数量积空间向量几何意义及应用

高中数学知识结构框图

高中数学知识结构框图必修一：第一章集合集合含义与表示基本关系基本运算列举法{a,b,c,…} 描述法{x|p(x)} 图象法包含关系相等关系交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集:{|} U C A x x U x A =∈? 且韦恩图; 数轴子集; 真子集函数概念定义域对应关系值域表示解析法图象法列表法性质单调性定义图象特征最值奇偶性定义图象特征:对称性映射映射的概念上升或下降第二章函数

第三章基本初等函数(Ⅰ) 基本初等函数(Ⅰ) 指数与指数函数指数根式n a 分数指数幂(0,,*,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 无理数指数幂运算性质指数函数定义(0,1) x y a a a =>≠ 图象: “一撇或一捺”，过点(0,1).见教材P91 性质: 位于x轴上方,以x轴为渐近线对数与对数函数对数定义：x a N x a N = 若则叫以为底的对数运算性质对数函数定义：log(0,1) a y x a a =>≠ 图象：位于y轴右侧，以y轴为渐近线.见教材P103 性质：过点（1，0） log()log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N M M N N M n M ?=+ =- = () () r s r s r s rs r r r a a a a a ab a b + = = = 幂函数定义：y xα = 具体的五个幂函数 2 3 1 2 1 y x y x y x y x y x- = = = = = 特征：过点（1，1），当0 α>时在(0,) +∞ 上递增；当0 α<时，在(0,) +∞上递减。换底公式： log log(0,1,0,1,0) log c a c b b a a c c b a =>≠>≠> 图象：P109

高中数学知识结构框架图

高中数学必修知识框架图

{1.11.2 1.32.12.22.33.1?????????????????????????集合第一章：集合与函数概念函数及其表示函数的基本性质指数函数必修一第二章：基本初等函数（Ⅰ）对数函数幂函数第三章：函数的应用函数与方程1.11.21.32.12.22.33.13.23.3???????????????空间几何体的结构第一章：空间几何体空间几何体的三视图和直观图空间几何体的表面积与体积空间点、直线、平面之间的位置关系第二章：点线面的位置关系直线、平面平行的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质必修二直线的倾斜角与斜率第三章：直线与方程直线的方程直线的交点坐标与距离第四章：圆与方程 4.14.24.3?????????????????????????? 圆的方程直线、圆的位置关系空间之间坐标系1.11.21.32.12.22.33.13.23.3???????????????????????????????? 算法与程序框图第一章：算法初步基本算法语句算法案例随机抽样必修三第二章：统计用样本估计总体变量间的相关关系随机事件的概率第三章：概率古典概型几何概型

1.11.21.31.41.5)1.6 2.12.22.32.42.5x ω?????????+????????????任意角和弧度制任意角的三角函数三角函数的诱导公式第一章：三角函数三角函数的图像与性质函数y=Asin(的图像三角函数模型的简单应用平面向量的实际背景及基本概念必修四平面向量的线性运算第二章：平面向量平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量应用举例第 3.13.2?????????????????????????? 两角和与差的正弦、余弦和正切公式三章：三角恒等变换简单的三角恒等变换1.11.22.12.22.3n 2.42.5n 3.13.23.33.42a b ab ????????????????????????????????+?≤??正弦定理和余弦定理第一章：解三角形应用举例数列的概念与简单表示法等差数列第二章：数列等差数列的前项和必修五等比数列等比数列的前项和不等关系与不等式一元二次不等式及其解法第三章：不等式二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题基本不等式：???????????

高中数学必修1-2知识框架

高一数学知识框架第一章集合与函数概念

第二章基本初等函数（I）

必修二立体几何第一章空间几何体知识结构如下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

第二章点、直线、平面之间的位置关系知识结构如下第三章直线与方程从代数表示到几何直观（通过方程研究几何性质和度量）直线的倾斜角概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地, 当直线l 与x 轴平行或重合时 , 规定 α= 0 ° 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理1作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补直线与平面有三种位置关系： 1）直线在平面内：有无数个公共点 2）直线与平面相交：有且只有一个公共点 3）直线在平面平行：没有公共点平面平行：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行平面互相垂直：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直斜率公式：点到线距离：平行线距离：

高中数学知识点完整结构图71750

高中数学知识点完整结构图71750 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=???????

(完整版)高中数学空间几何体知识点总结

空间几何体知识点总结一、空间几何体的结构特征 1．柱、锥、台、球的结构特征由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴

叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。注：棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

高中数学知识点总结算法初步

高中数学知识点总结第一章算法初步 1.1.1算法的概念 1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下： 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B 框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。 2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。当直到型循环结构注意：1循环结构要在某个条件允许

高中数学框架图

高中数学知识模块框架图模块1 ?? ? ???→→→图、二次函数图像数轴、运算：交、并、补、无序性性质：确定性、互异性元素、集合之间的关系表示方法概念集合V een 模块2 ()?????????????????????? ?? ? ? ????????????? ? ? ? ??????????? ? ???????????→→???→?? ?+=+=→???→→≠>=???→→≠>=??? ???? ??????????→→=++=+=→????????????????????????????→=+=-=+?=→=+→?????=-∈????=+-=∈?→???↓≤↑≥→←→?????→?????→→→函数方程：零点问题特殊性：性质图像余弦函数正弦函数三角函数特殊性：性质图像且对数函数：特殊性：性质图像且指数函数：特殊性：性质图像联系幂函数基本初等函数导数本初等函数图像）数形结合（掌握常见基三角函数基本不等式二次函数最值且对称关于对称性周期性偶函数：奇函数：关于原点对称定义域奇偶性导数单调性性质值域对应关系使解析式有意义）定义域三要素图像法列表法解析法表示定义函数)cos()sin()1,0(log )1,0(2),()()()()()()()(,0)()(0)0(,)(,0)(')(,0)('(22121?ω?ωx A y x A y a a x y a a a y x k y c bx ax y b kx y a x x x f x f x a f a x f a x x f T x f x f x f D x x f x f f D x D x f x f x f x f a x

高中数学知识板块结构关系图(知识点梳理对照表)

第一部分集合、映射、函数、导数及微积分集合映射概念元素、集合之间的关系运算：交、并、补数轴、Venn 图、函数图象性质确定性、互异性、无序性定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性单调性定义域关于原点对称，在x ＝0处有定义的奇函数→f (0)＝0 1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同； 2、证明单调性：作差（商）、导数法； 3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、双钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数. 幂函数对数函数三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数函数与方程二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义导数函数基本初等函数的导数导数的概念导数的运算法则导数的应用表示方法换元法求解析式分段函数几何意义(切线问题）、物理意义单调性导数的正负与单调性的关系生活中的优化问题定积分与微积分定积分与图形的计算注意应用函数的单调性求值域周期为T 的奇函数→f (T )＝f (T 2)＝f (0)＝0 复合函数的单调性：同增异减三次函数的性质、图象与应用一次、二次函数、反比例函数指数函数图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换最值极值

第二部分三角函数与平面向量角的概念任意角的三角函数的定义三角函数弧度制弧长公式、扇形面积公式三角函数线同角三角函数的关系诱导公式和角、差角公式二倍角公式公式的变形、逆用、“1”的替换化简、求值、证明（恒等变形）三角函数的图象定义域奇偶性单调性周期性最值对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x 轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(k π 2 ，0)（k ∈Z ）. 正弦函数y ＝sin x = 余弦函数y ＝cos x 正切函数y ＝tan x y ＝A sin(ωx ＋?)＋b ①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意ω的符号）； ④最小正周期T ＝ 2π | ω |；⑤对称轴x ＝(2k ＋1)π－2?2ω，对称中心为(k π－?ω，b )（k ∈Z ）. 平面向量概念线性运算基本定理加、减、数乘几何意义坐标表示数量积几何意义模共线与垂直共线（平行）垂直值域图象 a →∥ b →?b →＝λa → ? x 1y 2－x 2y 1=0 a →⊥b →?b →·a →＝0 ? x 1x 2＋y 1y 2=0 解三角形余弦定理面积正弦定理解的个数的讨论实际应用 S △＝12ah ＝1 2ab sin C ＝p (p －a )(p －b )(p －c )（其中p ＝a ＋b ＋c 2 ）投影 b →在a →方向上的投影为|b →|cos θ＝a → ·b → ——|a →| 设a →与b →夹角θ，则cos θ＝a → ·b → ——|a →|·|b →| 对称性 |a →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 夹角公式

高一数学必修知识结构图

高一数学必修1知识网络集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ???? ?? ???????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????

高中数学(必修5)知识结构框图

高中数学（必修5）知识结构框图第一章解三角形 1 sin 221sin S ab ca = =

第二章数列

第三章不等式

¤知识要点：结构特征图例棱柱（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；（2）侧棱平行且相等. 圆柱（1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体. 棱锥（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点. 圆锥（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体. 棱台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆台（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分. 球（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. ¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个选D. 【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R +r ，梯形的高即球的直径为 22()()2r R R r rR +--= rR . 第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图 ¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1）建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45?.(2）平行不变：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’或y ’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半. 第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 ¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进¤知识要点：表面积相关公式表面积相关公式棱柱 2S S S S l c =+=侧全底侧侧棱长直截面周长，其中圆柱 222S r rh ππ=+全（r ：底面半径，h ：高）棱锥 S S S =+侧全底圆锥 2S r rl ππ=+全（r ：底面半径，l ：母线长）棱台 S S S S =++侧全上底下底圆台 22('')S r r r l rl π=+++全（r ：下底半径，r ’：上底半径，l ：母线长） ¤知识要点：1. 体积公式：体积公式体积公式棱柱 V S h =底高圆柱 2V r h π=

高中数学必修1知识结构图解

高中数学必修1知识结构图解第一章集合与函数概念集合含义与表示基本关系基本运算列举法{a,b,c,…} 描述法{x|p(x)} 图象法包含关系相等关系交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集:{|} U C A x x U x A =∈? 且韦恩图; 数轴子集; 真子集函数概念定义域对应关系值域表示解析法图象法列表法性质单调性定义图象特征最值奇偶性定义图象特征:对称性映射映射的概念上升或下降

第二章基本初等函数(Ⅰ) 基本初等函数(Ⅰ) 指数与指数函数指数根式n a 分数指数幂(0,,*,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 无理数指数幂运算性质指数函数定义(0,1) x y a a a =>≠ 图象: “一撇或一捺”，过点(0,1).见教材P56 性质: 位于x轴上方,以x轴为渐近线对数与对数函数对数定义：x a N x a N = 若则叫以为底的对数运算性质对数函数定义：log(0,1) a y x a a =>≠ 图象：位于y轴右侧，以y轴为渐近线.见教材P71 性质：过点（1，0） log()log log log log log log log a a a a a a n a a M N M N M M N N M n M ?=+ =- = () () r s r s r s rs r r r a a a a a ab a b + = = = 幂函数定义：y xα = 具体的五个幂函数 2 3 1 2 1 y x y x y x y x y x- = = = = = 特征：过点（1，1），当0 α>时在(0,) +∞ 上递增；当0 α<时，在(0,) +∞上递减。换底公式： log log(0,1,0,1,0) log c a c b b a a c c b a =>≠>≠> 图象见P77图2.3－1

高中数学知识点完整结构图

高中数学知识点完整结构图 Revised by Liu Jing on January 12, 2021

高中数学知识点 1 集合函数附：一、函数的定义域的常用求法： 1、分式的分母不等于零； 2、偶次方根的被开方数大于等于零； 3、对数的真数大于零； 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； 5、三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈；余切函数cot y x =中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法三、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法； 7、直接法四、函数的最值的常用求法： 1、配方法； 2、换元法； 3、不等式法； 4、几何法； 5、单调性法五、函数单调性的常用结论： 1、若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数 2、若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数

3、若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则[()]y f g x =是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。六、函数奇偶性的常用结论： 1、如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立） 2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。 4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为 11 ()[()()][()()]22 f x f x f x f x f x =+-+--，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

高中数学(必修1)知识结构图

高中数学（必修1）知识结构图第一章集合与函数概念集合含义与表示基本关系基本运算列举法{a,b,c,…} 描述法{x|p(x)} 图象法包含关系相等关系交集:A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集:A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集:{|} U C A x x U x A =∈? 且韦恩图; 数轴子集; 真子集函数概念定义域对应关系值域表示解析法图象法列表法性质单调性定义图象特征最值奇偶性定义图象特征:对称性映射映射的概念上升或下降

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高中数学必修1-5知识网络结构图

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(完整版)高中数学空间几何体知识点总结

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