22.3 实际问题与二次函数(1)
教学目标:
1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y =ax2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3.让学生体验二次函数的函数关系式的应用,提高学生用数学意识。重点难点:
重点:已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2、y=ax2+bx+c的关系式是教学的重点。
难点:已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
教学过程:
一、创设问题情境
如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m,拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢?
分析:为了画出符合要求的模板,通常要先建立
适当的直角坐标系,再写出函数关系式,然后根
据这个关系式进行计算,放样画图。
如图所示,以AB的垂直平分线为y轴,以过
点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系。这
时,屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为: y=ax2 (a<0) (1)
因为y轴垂直平分AB,并交AB于点C,所以CB=AB
2
=2(cm),又CO
=0.8m,所以点B的坐标为(2,-0.8)。
因为点B在抛物线上,将它的坐标代人(1),得-0.8=a×22所以a=-0.2
因此,所求函数关系式是y=-0.2x2。
二、引申拓展
问题1:能不能以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系?
让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的,以A点为原点,AB所在的直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系也是可行的。
问题2,若以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂直为y轴,建立直角坐标系,你能求出其函数关系式吗?
分析:按此方法建立直角坐标系,则A 点坐标为(0,0),B 点坐标为(4,0),OC 所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC =CB ,AC =2m ,O 点坐标为(2;0.8)。即把问题转化为:已知抛物线过(0,0)、(4,0);(2,0.8)三点,求这个二次函数的关系式。
解:设所求的二次函数关系式为y =ax 2+bx +c 。
因为OC 所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC =CB ,AC =2m ,拱高OC =0.8m ,
所以O 点坐标为(2,0.8),A 点坐标为(0,0),B 点坐标为(4,0)。
由已知,函数的图象过(0,0),可得c =0,又由于其图象过(2,0.8)、(4,
0),可得到???4a +2b =0.816+4b =0 解这个方程组, 得???a =-15b =45
所以,所求的二次函数的关系式为y =-15x 2+45
x 。 问题3:根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线,其图象是否与前面所画图象相同?
问题4:比较两种建立直角坐标系的方式,你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?
(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便,这是因为所设函数关系式待定系数少,所求出的函数关系式简单,相应地作图象也容易)
三、课堂练习: P18练习1.(1)、(3)2。
四、综合运用
例1.如图所示,求二次函数的关系式。
分析:观察图象可知,A 点坐标是(8,0),C
点坐标为(0,4)。从图中可知对称轴是直线x =3,
由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形,所以此
抛物线在x 轴上的另一交点B 的坐标是(-2,0),问题转化为已知三点求函数关系式。
解:观察图象可知,A 、C 两点的坐标分别是(8,0)、(0,4),对称轴是直线x =3。因为对称轴是直线x =3,所以B 点坐标为(-2,0)。
设所求二次函数为y =ax 2+bx +c ,由已知,这个图象经过点(0,4),可以
得到c =4,又由于其图象过(8,0)、(-2,0)两点,可以得到???64a +8b =-44a -2b =-4
解这个方程组,得???a =-14b =32
所以,所求二次函数的关系式是y =-14x 2+32
x +4 练习: 一条抛物线y =ax 2
+bx +c 经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐标是3,求这条抛物线的解析式。
五、小结: 二次函数的关系式有几种形式,二次函数关系式的确定,关键在于求出三个待定系数a 、b 、c ,由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式,故可列出三个方程,求出三个待定系数。
六、作业 1.习题 4.(1)、(3)、5。
教后反思:
22.3 实际问题与二次函数(1)作业优化设计
1. 二次函数的图象的顶点在原点,且过点(2,4),求这个二次函数的关系式。
2.若二次函数的图象经过A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三点,求这个二次函数的解析式。
3.如果抛物线y =ax 2+Bx +c 经过点(-1,12),(0,5)和(2,-3),;
求a +b +c 的值。
4.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,求这个二次函数的关系
式;
5.二次函数y =ax 2+bx +c 与x 轴的两交点的横坐标是-12,32
,与x 轴交点的纵坐标是-5,求这个二次函数的关系式。
教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。
初中数学二次函数专题复习教案 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。 〖大纲要求〗 1.理解二次函数的概念; 2.会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象; 3.会平移二次函数y=a x2 (a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax +m)2 +k 的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想; 4.会用待定系数法求二次函数的解析式; 5.利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 (1)二次函数及其图象 如果y=ax 2+bx+c (a,b ,c 是常数,a ≠0),那么,y叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。 (2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx +c(a ≠0)的顶点是)44, 2(2a b ac a b --,对称轴是a b x 2-=,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。 抛物线y =a (x+h)2+k(a ≠0)的顶点是(-h ,k ),对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y =(m-2)x2+m 2-m-2额图像经过原点, 则m 的值是 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数y =k x+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y =kx 2+bx -1的图像大致是( ) y 0 -1 x
九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位,得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ,顶点坐标为 ________ ,它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ,对称轴为 ,顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位,就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位,就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ,函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同,?开口方向相同,则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时,?有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时,函数值相等,则x 取x 什X 2时,函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元,则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中,错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交; 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同,位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3
【教学重点、 对二次函数概念的理解; 1)y=2x+1 (2)y=-x-4 (3)y= s=-2t-4 与半径之间的关系式是 。
y= ( 【巩固新知】 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=x 2 (2)y=2 1x - (3)y=x (1-x ) (4)y=(x-1)2-x 2 2、下列函数关系式中一定是二次函数的是( ) A 、y=2x B 、y=mx 2 C 、21x y = D 、y=(a 2+1)x 2 -ax+a (a 是常数) 3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个. y=(3x-1)2 -9x 2 y=(x+2)2 -4x y=x 2 x 1- y=ax 2 +bx+c x x y 3 = y=65121352-+-x x A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5化成一般形式写出各项系数。 1、写出下列各问题中的函数关系式并指出自变量的取值范围: (1)正方形面积y 和边长x : ; (2)边长为3的正方形,边长增加x 时面积增加y ,则y 与x 关系: ; (3)等边三角形的面积S 与半径之间的函数关系: ;
(4)圆心角120°扇形面积S 与半径r 之间的关系式: 练习、篱笆墙长30m ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围. 2、已知二次函数y=-x 2 +bx+3当x=2时y=3.求二次函数的解析式 练习:已知二次函数y=ax 2 +bx +c ,当x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a 、b 、c ,并写出函数解析式。 【拓展升华】 1. 关于x 的函数y=(m+1)m m x -2是二次函数,求m 的值. 如果它是二次函数,则m+1应该 0,m 2 -m= ,所以m= 注意:二次函数的二次项系数不能为零 2. 若函数2 31--+=m m 2)x (m y 为二次函数求m 的值。
第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1.理解反比例函数的概念;(难点) 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求解析式;(重点) 3.能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型.(重点) 一、情境导入 1.京广高铁全程为2298km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位:h)有什么样的等量关系? 2.冷冻一个物体,使它的温度从20℃下降到零下100℃,每分钟平均变化的温度T(单位:℃)与冷冻时间t(单位:min)有什么样的等量关系? 问题:这些关系式有什么共同点? 二、合作探究 探究点一:反比例函数的定义 【类型一】反比例函数的识别 下列函数中:①y= 3 2x;②3xy=1;③y= 1-2 x;④y= x 2.反比例函数有() A.1个B.2个C.3个D.4个 解析:①y= 3 2x是反比例函数,正确;②3xy=1可化为y= 1 3x,是反比例函数,正确; ③y= 1-2 x是反比例函数,正确;④y= x 2是正比例函数,错误.故选C. 方法总结:判断一个函数是否是反比例函数,首先要看两个变量是否具有反比例关系,然后根据反比例函数的定义去判断,其形式为y= k x(k为常数,k≠0),y=kx -1(k为常数,k ≠0)或xy=k(k为常数,k≠0). 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值 已知函数y=(2m2+m-1)x2m2+3m-3是反比例函数,求m的值.解析:由反比例函数的定义可得2m2+3m-3=-1,2m2+m-1≠0,然后求解即可.
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设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 1.抛物线y =x 2 +2x -2的顶点坐标是 ( ) A.(2,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c >0 D.ab <0,c <0 C A E F B D 第2,3题图 第4题图 3.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A .a >0,b <0,c >0 B .a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b >0,c >0
二次函数的图象与性质 (第一课时) 【教学目标】 知识与技能 通过复习,掌握二次函数 y=ax2+bx+c图象与性质;掌握二次函数解析式求解方法和思路,提高学生的思维能力。 过程与方法 通过二次函数的相关基础知识的复习,培养学生对知识的整合能力和分析问题的能力。 情感态度与价值观 通过复习,激发学生兴趣,感受数学之美。在教学中渗透美的教育,渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索与创造,体验成功的喜悦。 【教学重点】 掌握二次函数y=ax2+bx+c图象与性质。 【教学难点】 会利用二次函数的图象及性质解题,掌握数形结合的思想方法。 【教学方法】 提问法,练习法,总结法 【教学准备】多媒体课件、作图工具 【课型】复习课 【教学过程】 一、创设情境,引入新课 函数问题作为初中数学的重点和难点,在实际生活中有着广泛的应用。二次函数更是历年中考的必考题和压轴题,本节课我们就共同来复习一下二次函数的图像和性质。 二、自主探究,合作交流 第一关知识要点说一说 (一)二次函数的概念 形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。 请你写一个二次函数的解析式。 学生口述教师板书解析式。 课件展示问题: 下列函数中,哪些是二次函数? 1.y=x2 2. 3.y=x-x2 4. 5.y=x2+2x-4 学生口述,教师及时总结归纳。 二次函数的图象是一条抛物线。 利用课件展示图象草图。 1 2- + =x x y x x y 1 2- =
2当x 时,y 随x 的增大而增大, 当x 时,y 随x 的增大而减小, 当x 时,y 有最大值。 (三)用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数解析式时,如果已知抛物线上三点,用 式;如果已知抛物线的顶点坐标,用式;如果已知抛物线与x 轴的交点,用式。 利用课件展示问题。介绍求二次函数解析式的方法。 第二关 基础题目轮一轮 1.二次函数y=x 2 +2x+1写成顶点式为: 对称轴为_____,顶点为______。 2.已知二次函数y= - x 2 +ax-5的图象的顶点在y 轴上,则a=___。 第三关 典型例题显一显 例1已知二次函数y =x 2-4x +3. (1) 用配方法求其图象的顶点C 的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的变化情况; (2)求函数图象与x 轴的交点A ,B 的坐标及△AB C 的面积. 学生小组交流统一答案,学习好的帮扶学习差的,组长安排好组员代表本组进行班级展示; 解:(1)y =x 2-4x +3=x 2-4x +4-1 =(x -2)2-1, ∴其图象的顶点C 的坐标为(2,-1), ∴当x≤2时,y 随x 的增大而减小;当x>2时,y 随x 的增大而增大. (2)令y =0,则x 2-4x +3=0,解得x 1=1,x 2=3. ∴当点A 在点B 左侧时,A(1,0),B(3,0); 当点A 在点B 右侧时,A(3,0),B(1,0). ∴AB =2,过点C 作CD ⊥x 轴于点D , 则△ABC 的面积=12AB ·CD =?1 2 ×2×1=1.
初三数学二次函数教案 二次函数在初三阶段会学习到,而且是数学学习重点,那么同学们应该如何掌握好二次函数的学习呢?教师又应该如何设计教案帮助同学们更好第学习二次函数呢? 教学目标: 1.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验。 2.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质,初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。 3.能根据二次函数y=ax2的图象,探索二次函数的性质(开口方向、对称轴、顶点坐标)。 教学重点:二次函数y=ax2的图象的作法和性质 教学难点:建立二次函数表达式与图象之间的联系 教学方法:自主探索,数形结合 教学建议: 利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时,应尽可能多地运用小组活动的形式,通过学生之间的合作与交流,进行图象和图象之间的比较,表达式和表达式之间的比较,建立图象和表达式之间的联系,以达到学生对二次函数性质的真正理解。 教学过程: 一、认知准备: 1.正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么? 2.画函数图象的方法和步骤是什么?(学生口答)
你会作二次函数y=ax2的图象吗?你想直观地了解它的性质吗?本节课我们一起探索。 二、新授: (一)动手实践:作二次函数y=x2和y=-x2的图象 (同桌二人,南边作二次函数y=x2的图象,北边作二次函数y=-x2的图象,两名学生黑板完成) (二)对照黑板图象议一议:(先由学生独立思考,再小组交流) 1.你能描述该图象的形状吗? 2.该图象与x轴有公共点吗?如果有公共点坐标是什么? 3. 当x<0时,随着x的增大,y如何变化?当x>0时呢? 4.当x取什么值时,y值最小?最小值是什么?你是如何知道的? 5.该图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。 (三) 学生交流: 1.交流上面的五个问题(由问题1引出抛物线的概念,由问题2引出抛物线的顶点) 2.二次函数y=x2 和y=-x2的图象有哪些相同点和不同点? 3.教师出示同一直角坐标系中的两个函数y=x2 和y=-x2 图象,根据图象回答: (1)二次函数y=x2和y=-x2 的图象关于哪条直线对称? (2)两个图象关于哪个点对称? (3)由y=x2 的图象如何得到y=-x2 的图象? (四) 动手做一做:
人教版九年级数学二次函数实际问题(含答案) 一、单选题 2+2t,则当t=4t(米)与时间(秒)的关系式为s=5t时,该物体所经1.在一定条件下,若物体运动的路程s过的路程为][ A.28米 B.48米 C. 68米 米.88 D2 +bx+c的图象过点(1,0)……2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=ax 求证这个二次函数的,题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称.][ A.过点(3,0) B.顶点是(2,-1) C.在x轴上截得的线段的长是3 3)(0,D.与y轴的交点是3.某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m,离地面m,则水流落地点BM垂直),如图,如果抛物线的最高点离墙 A.2m B.3m C .4 m m5 D. 之间的函数关系式是,则该运与水平距离4.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是