1．不定方程(组)
2．数论计数
3．数论最值
4．数论行程
解方程
96480
15
a b c
a b c
++=
?
?
++=
?
(其中a、b、c均为自然数)
两个四位数A C C C和C C C B满足，2
5
A C C C
C C C B
=请问A×B×C之值是什么？
如图，三条圆形跑道，每条跑道的长都是1千米，A、B、C三位运动员同时从交点O出发，
分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4
3
千米，每小时6
5
千米，每小时8
9
千米。问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？
方程、计数、最值、行程等
问题中的数论综合（上）
(★★)
(★★★)
(★★★)
2001个连续的自然数之和为a×b×c×d，若a、b、c、d都是质数，则a＋b＋c＋d的最小值是多少？
有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。例如：30就能满足上面的要求，因为30＝9＋10＋11；30＝6＋7＋8＋9；30＝4＋5＋6＋7＋8。请你在700至1000之间找出所有满足上述要求的数。
(★★★★)
(★★★★★)
第二章 不定方程 数学中的许多问题都可以产生不定方程，如张丘建的“百鸡问题”：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？ 设鸡翁、鸡母、鸡雏各有x , y , z 只，根据题意可得下面方程 ?????=++=++100 1003135z y x z y x 消去z ，可得7x +4y =100 ，于是百鸡问题就化为上述方程求非负整数解的问题。 §1 一次不定方程 都不等于零。可以假定并且不失一般性地我们，，其中式为 一次不定方程的一般形n n n n a a a n Z N a a a N x a x a x a ,,,)1(2 ,,,,21212211 ≥∈=+++ 有整数解。的整线性组合，即是可知节定理的倍数，由第一章第二是，则若”“。 ，即则，使得 式有解，即有若”“。 件是有整数解的充分必要条的整数，是全不为零，其中不定方程)1(,,,4|),,,(||),,,(,,,)1(|),,,(2,,,212122112122112121212211n n n n n n n n n n n n a a a N d N N a a a N d x a x a x a a a a d N x a x a x a Z x x x N a a a n a a a N x a x a x a ?'++'+'?='++'+'∈'''?≥=+++证明定理1 。，，为 的全部整数解（通解），则方程的一个整数解（特解）是不定方程，，，，设Z t t b a a y y t b a b x x c by ax y y x x c b a b a Z c b a ∈-=+==+==≠≠∈) ,(),()2() 2(,|),(00,,00002定理 ，于是有的解，所以是因为c by ax y x =+0000)2(,证明
小学奥数计数问题之递推法例题讲解【三篇】 分析与解答： 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 【第三篇】 例题：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的
编号依次是：8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢? 第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500 第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125 第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31 第七次：31÷2＝15 ......1 第八次：15÷2＝7 (1) 第九次：7÷2＝3 ......1 第十次：3÷2＝1 (1) 所以共需报10次数。 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是： 2×2×2×…×2＝1024（号）
三年级学而思 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
第一讲带符号搬家 秘籍导航 在做计算时学会运用带符号搬家的方法，调整运算顺序惊醒凑整数或抵消从而达到巧算的目的。 秘籍1加数互补要带符号搬家 例1（1）计算238+147+62 分析观察算式发现238和62的尾数是“好朋友”，正好能凑成整百，我们把“+62”一起搬到238的后面， 原式=238+124-89 =300+147 =447 （2）计算376-89+124 分析观察算式发现376和124的尾数是“好朋友”，正好能凑成真白，我们把“+124”一起报到376的后面，-89的前面，计算就简便了。 原式=376+124-89 =500-89 =441 （3）计算128+136+72+64 分析观察算式发现128和72的尾数是“好朋友”，136和64的尾数是“好朋友”，正好能凑成整百，所以带着符号搬家进行凑整。 原式=（128+72）+（126+64） =200+200 =400 秘籍2减号同尾要带符号搬家 例2（1）计算363-78-63 分析观察算式发现363和63的个位、十位都相同，而63前面的符号是“-”所以可以把“-63”搬到363的后面，先算363减63等于300，再减去78，使计算更简便。 原式=363-63-78 =300-78 =222 （2）计算637+95-37 分析观察算式发现637和37的个位、十位数都相同，而37后面的符号是“-”，所以可以把“-37”搬到637的后面。 原式=637-37+95 =600+95 =695 （3）计算572+156-172+144 分析观察算式发现156和144尾数是好朋友，正好能凑成整百；572和172的个位、十位数都相同，而172的符号是“-”，所以可以把“-172”移到572的后面。 原式=（426-116）+（228-168）
不定方程 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题. 1．几类不定方程 （1）一次不定方程 在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 )0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下 定理. 定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。 （2）沛尔)(pell 方程 形如12 2 =-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的 解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()] n n n n n n x x x y x x ?=+-?? ??=-?? （1,2,3, n =）给 出. ①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x , 满足的关系：1(n n x y x y +=+；112 11222n n n n n n x x x x y x y y ----=-?? =-? ， （3）勾股方程2 2 2 z y x =+ 这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。 定理三：方程2 2 2 z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为 2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且
方程、计数、最值、行程等 问题中的数论综合（下） (★★) 200以内除以3余1，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个？分别是多少？ (★★) 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？ (★★★)(小学数学奥林匹克预赛) 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是______。 (★★★) 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是______。 (★★★★) 小明打算做一个两位数乘以三位数的乘法，但粗心的他在计算时遗留掉了乘号，从而将两位数直接放在三位数的左边，形成了一个五位数，该五位数恰好为应得的乘积的9倍，问：原来的两个数的乘积是多少？
某单位的职工到郊外植树，其中有男职工也有女职工，并且有13 的职工各带一个孩子参加。男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？ A 、 B 两地相距20.3千米，甲、乙、丙的速度分别是4米/秒，6米/秒，5米/秒。如果甲、乙从A ，丙从B 地同时出发相向而行，那么，在多长时间之后，丙与乙的距离是丙与甲距离的2倍？ 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．300以内除以4余1，除以5余2，除以6余3的自然数有( )个。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．一个大于10的数，除以2余1，除以4余3，除以9余7，那么满足条件的最小自然数 是( )。 A ．40 B ．41 C ．42 D ．43 3．某数除以9余5，除以11余7，除以19余8，那么这个数的最小可能值是( )。 A ．95 B ．194 C ．293 D ．392 4．有a ，b ，c 三个数，已知24,36,54a b a c b c ?=?=?=，那么a b c ++=( )。 A ．19 B ． 20 C ．18 D ．21 (★★★★) (★★★★★)
数论 素数问题、同余问题、中国剩余定理、Nim积、高斯消元法求线性方 程组解、Pell方程、polya计数、矩阵二分快速幂、伪素数、基本数 值计算方法（定积分求解，多项式求根，周期性方程） 1、与整数除法运算相关的算法 整除问题： 欧几里得算法及利用其求最小公倍数： 拓展欧几里得算法及利用其解线性同余方程： a^b%c几种计算方法 中国剩余定理 #include
学而思选拔考试答案(二年级数学) 一、基础题（80分） 1.（共20分）计算 (1)23+65=88 (2)51+12=63 (3)11+36=47 (4)50-11=39 (5)12-8=4 (6)44-22=22 (7)8+19=27 (8)43+10=53 (9)27+39=66 (10)12+33=45 (11)47-19=28 (12)87-25=62 (13)40-23=17 (14)6×9=54 (15)7×3=21 (16)5×7=35 (17)8×4=32 (18)56÷7=8 (19)25÷5=5 (20)16÷4=4 2.（10分）在一条笔直的马路一侧种着很多小树苗，其中梧桐树的左边有12棵树，梧桐树的右边有10棵树，那么马路这一侧总共有________棵树．【解析】考查的排队问题，不仅要将左右相加，还得将梧桐树本身加进去，12+10+1=23（棵）．【答案】23． 3.（10分）小丽在出门前想挑一套自己喜欢的衣服，她一共有2件不同的上衣，3条不同的裤子，请问小丽一共可以搭配出 ________套不一样的衣服． 【解析】衣服的搭配问题，将三件上衣记为A、B、C，两条裤子记为①、②，那么可以是A①、A②、B①、B②、C①、C②，一共有六种不同的搭配． 【答案】6． 4.（共10分）在一根拉直的绳子上剪3刀，可以把这根绳子分成________段；要剪成10段，剪________刀． 【解析】考查间隔问题．剪1刀，分成了两段；剪2刀，分成了三段；那么剪3刀，分成了4段，总结一下规律，段数比刀数多1，所以要剪成10段，只需要剪9刀． 【答案】4；9． 5.（共10分）找规律填数： （1）31，35，39，43，47，________，________． （2）5，7，10，14，19，________，________． （3）2，40，5，35，8，30，11，25，________，________． （4）5，8，13，21，34，________，________． （5）______，_____． 【解析】考查数列和图形的规律． （1）从第二个数开始，每个数都比前面一个数大4，所以接下来应该是51，55． （2）第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，所以这是一个二次等差，接下来应该是25，32． （3）这是一个双重数列，一个隔一个的去看才会发现规律，2，5，8，11……和40，35，30，25……,分别是两个等差数列，因此接下来应该是14，20．
初中奥数：数论问题位值原理的解题技巧 1、一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数 比原来小27，则满足条件的两位数共有______个. 【解析】：11+12+13+14+15+16+17=98.若中心圈内的数用a表示，因三条线的总和中每个数字出现一次，只有a多用3两次，所以98+2a 应是3的倍数，a=11，12，…，17代到98+2a中去试，得到a=11，14，17时，98+2a是3的倍数. (1)当a=11时98+2a=120，120÷3=40 (2)当a=14时98+2a=126，126÷3=42 (3)当a=17时98+2a=132，132÷3=44 相对应的解见上图. 2、一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍于25之差，求这个数。 解答：设它百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c 则100a+10b+c=4(10b+c) 化简得5(20a-6b+5)=3c 因为c为正整数,所以20a-6b+5是3的倍数 又因为0≤c≤9 所以0≤3c/5≤5.4 所以0≤20a-6b+5=3c/5≤5.4 所以3c/5=3 即c=5
所以20-6b+5=3 化简得3b-1=10a 按照同样的分析方法,3b-1是10的倍数,解得b=7 最后再算出10a=3*7-1=20 则a=2 所以答案为275。 3、a、b、c是1——9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍? 解答：组成六个数之和为： 10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b =22a+22b+22c =22(a+b+c) 很显然，是22倍 4、有2个3位数，它们的和是999，如果把较大的数放在较小数的左边，所成的数正好等于把较小数放在较大数左边所成数的6倍，那么这2数相差多少呢? 解答：abc+def=999，abcdef=6defabc，根据位值原 理,1000abc+def=6000def+6abc 化简得994abc=5999def，两边同时除以7得142abc=857def，所以abc=857，def=142 所以857-142=715 5、将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
1 4 7 10 13 … 4 9 14 19 24 … 7 14 21 28 35 … 10 19 28 37 46 … … … … … … … 定理2：不定方程x 2+y 2=z 2满足（x ，y ）=1，x ，y ，z ＞0，2|x 的全部整数解可表示为 x=2ab ，y=a 2－b 2，z=a 2+b 2。其中a ＞b ＞0，a 、b 一奇一偶，（a ，b ）=1为任意整数。 四、例题与练习 1、右表的结构为：第一行是以1为首项，3为 公差的无穷等差数列；第一列中的数与第一行 中的数对应相等；第n （n ≥2）行是公差为2n+1 的无穷等差数列。证明：⑴若N 在表中，则2N+7 不是素数；⑵若N 不在表中，则2N+7是素数。 2、证明：若正整数x 、y 使得2xy | x 2+y 2－x ，则x 是完全平方数。 3、证明：存在一个1997的整倍数，它不超过11位，且各位数字不含2，3，4，5，6，7。 4、设c 为奇自然数，且存在自然数a ≤ 13-c ，使（2a －1）2+8c 为平方数，求证：c 为合数。 5、求最大的正整数x ，使得对任意y ∈N ，有x|（1127-+y y ） 6、证明：方程3 25y x =+无整数解。 7、求方程235=-y x 的全部整数解。 8、给数集M={1，2，…，n －1}（n ≥3）中的数染色，满足⑴i 与n －i 同色；⑵有一个k ∈M ，（k ，n ）=1，使得当i ≠k 时i 与|k －i|同色，求证：M 中有一色。
9、在一个圆周上标记了4个整数，规定一个方向，使每个整数都有相邻的下一个数，每一步操作是指对每一个数，同时用该数与下一个数之差来替换，即对于a 、b 、c 、d 依次用a －b 、b －c 、c －d 、d －a 来替换。问经过1996步这样的替换之后，是否可以得到4个数a 、b 、c 、d ，使得|bc －ad|、|ac －bd|、|ab －cd|都是素数。（IMO －37预选题） 10、求所有大于3的自然数n ，使得1+321n n n C C C ++整除20002（CMO － 1998） 11、有多少个正整数对x 、y ，x ≤y ，使得（x ，y ）=5！和[x ，y]=50！成立？（1997年加拿大） 12、设w （n ）表示自然数n 的素因数的个数，n ＞1。证明：存在无穷多个n ，使得w （n ）＜w （n+1）＜w （n+2）。 13、求最小的整数n （n ≥4），满足从任意n 个不同的整数中能选出四个不同的数a 、b 、c 、d ，使a+b －c －d 可以被20整数。 14、求所有实数对（a ，b ），使对所有的正整数n 满足a[bn]=b[an]，其中[x]表示不超过x 的最大整数。（IMO －39预选题）
第二讲 加加减减我会算 一、运算顺序 1、从左→右 2、有括号先算括号里的数 二、递等式：两步及两步以上计算时 1、等号在前 2、上下对齐 三、加减巧算 核心：凑整法（看个位） 1、加法：找好朋友 1+9,2+8,3+7,4+6,5+5 2、减法：找相同 ——王莉老师
例1： 解析：一般顺序是从左到右，有括号先算括号里的数。现在算式中不但有加有减还有括号，括号比较高级所以我们先算括号里面的，然后再按照从左到右的顺序计算。 7+（9-3）= 13 19-（4+6）=9 9-（15-8）=2 19-（17-8）=10 18-（9+8）=1 例2： 解析：两步及两步以上计算时，写递等式。等号在前，上下对齐。 现在的算式有加、有减还有括号，算式变长了，所以一下子我们可能不能算出结果，所以我们把我们的等号搬一下家，搬到算式的左下方。在计算的时候一次算一步，原来没有算的把它们全部抄下来，并且等号要对齐。
8-（15-7）+18 7+6-（15-2）6+（17-9）-10 =8-8+18 =7+6-13 =6+8-10 =0+18 =13-13 =14-10 =18 =0 =4 例3：请在下面的四个数中，给每个算式找到正确答案。 29 15 29 28 解析：加法巧算——找好朋友（看个位）。 让小朋友来算的时候，一般小朋友会从左往右来算，但还有其他更快的方式来计算，以8+5+2为例，发现8+2=10，然后再计算10+5=15，我们会发现有整十的数出现的时候，计算会来比较快、比较简单。像8和2加起来结果是10的两个数字我们称为一对好朋友，那我们还知不知道别的加起来也是10的好朋友呢？1和9、3和7、4和6、5和5。所以以后我们只要看到有好朋友我们就画一个彩虹桥把它们连起来。然后再看7+9+13这时候我们可以找到好朋友吗？小朋友会发现3和7，1和9是好朋友，但是我们不能把1和9连起来，我们在找的时候只能看个位来找。在找的时候一定要连线。 7+9+13=29；12+9+8=29；4+8+16=28
分数基本计算与比例初步 内容提要： 分数 比例 分数 分数的概念 把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如2 5 表示把整体平均分成5份，占其中的2份 分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为0 分数的种类 真分数：分子比分母小的分数，如2 3 假分数：分子比分母大的分数，如3 2 带分数：把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如3 2＝1＋ 2 １ ＝11 2 1 / 16
分数的性质 1．分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变 如2463 6 9 ＝＝， 842100 5025 ＝＝ 2．约分与通分 42 50 25 ＝ 最简分数 通分：把多个分数的分母变成一样，如 2248 3412 ??＝＝ 比较大小 33394 43 12 ??＝＝ 注意：有时通分也可把分子变成一样
1．加减法 同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数 异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减 如： 347 888＋＝ 23342761 917153153153 +=+= 2．乘除法 乘法：分子乘分子，分母乘分母 如 331231188882243?4?4=?====1?1 33123 8884010 443?4?=?=== 55?5 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数 如331218 8 824 2 343?4÷=?===4 3 ?3 注意： 分数的乘除法运算过程中可以先约分 分数的四则混合运算的规律与整数一样
整体约分 连锁约分：44 33 22 1???=122?33?4 4?1= 整体约分：3333123123246369123(123)13526103915135(123)????+??+?????++??+??+?????++＝＝33 (123)?++13?335(123)??++2 5 ＝ 我们来看看分数的乘除法 计算下列各式：28157549?＝；315711 ÷＝。 例2 先看看分数的加减法吧 ！ 计算下列各式：2747111111 +＝；127 35 28 - ＝。 例1
100个著名初等数学问题 https://www.doczj.com/doc/0f10610042.html,/xyp 2003-10-26 数学园地 第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7. 在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7. 问这牛群是怎样组成的？ 第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物. 问这4块砝码碎片各重多少？ 第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了； a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了； a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了； 求出从a到c"9个数量之间的关系？ 第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens 在下面除法例题中，被除数被除数除尽： * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * 用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？ 第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem
整数的加法拆分 加法拆分定义： 把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3=1+2），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。 加法拆分目的： 拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。 要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。 【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。他们每人打了两发子弹。小兵共打中6环，小军 共打中5环。又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。你知道他俩打中的都是哪几环吗？ 【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱 靶现象)。强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。又已知没有哪两发子弹打在同一环中， 请你推算一下他俩打中的是哪几环？ 整数分拆之分类与计数 例1图 巩固图
【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？ 【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？ 【巩固】按下面的要求，把自然数6进行拆分。 ⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？ ⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？ ⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？ 【例4】按下面的要求，把15进行拆分。 ⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。 ⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
第21章 不定方程 §21.1 二元一次不定方程 21.1.1★求不定方程2x y -=的正整数解． 解析 因为312-=，422-=，532-=，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是 2, ,x n y n =+?? =? 其中n 可以取一切正整数． 21.1.2★求11157x y +=的整数解． 解析1 将方程变形得 71511 y x -= ． 因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =，01y =-是这个方程的一组整数解， 所以方程的解为 215, 111,x t y t =-?? =-+? t 为整数． 解析2 先考察11151x y +=，通过观察易得 ()()1141531?-+?=， 所以 ()()114715377?-?+??=， 可取028x =-，0 21y =．从而 2815, 2111,x t y t =--?? =+? t 为整数． 评注 如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程 ax by c += ① 有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为 00, ,x x bt y y at =-?? =+? 其中0t =，±1，±2，±3，…． 21.1.3★求方程62290x y +=的非负整数解． 解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得 31145x y +=． ① 由观察知，14x =，11y =-是方程 3111x y += ② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
()00 454180, 45145,x y =?=??? =?-=-?? 所以方程①的一切整数解为 18011, 453.x t y t =-?? =-+? 因为要求的原方程的非负整数解，所以必有 180110,4530.t t -?? -+? ≥③ ≥④ 由于t 是整数，由③、④得15≤t ≤16，所以只有t =15，t =16两种可能． 当t =15时，x =15，0y =；当t =16时，x =4，y = 3．所以原方程的非负整数解是 15,0, x y =?? =?4, 3.x y =??=? 21.1.4★求方程719213x y +=的所有正整数解． 解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解． 用方程 719213x y +=① 的最小系数7除方程①的各项，并移项得 213193530277 y y x y --= =-+ ．② 因为x 、y 是整数，故 357 y u -=也是整数，于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255 u u y u --= =-+ ．③ 令 325 u v -= (整数)，由此得 253u v +=．④ 由观察知1u =-，1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于 是方程①有一组解025x =，02y =，所以它的一切解为 2519, 27.x t y t =-?? =+? 0,1,2,t =±± 由于要求方程的正整数解，所以 25190, 270.t t ->?? +>? 解不等式，得t 只能取0，1．因此得原方程的正整数解为 25,2, x y =?? =?6, 9.x y =??=?
第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012 21 11010 10 a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012 21 1a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；
“I’m 小算手”计算大赛笔算样卷 一、口算（每题0.5分，共50分） 1、44－12＝ 2、30－27＝ 3、46－31＝ 4、63－27＝ 5、69－37＝ 6、16÷2＝ 7、24－12＝ 8、92－55＝ 9、33－11＝10、9×8＝11、14＋36＝12、83＋87＝13、76－39＝14、35－27＝15、69－27＝16、80＋14＝17、4×5＝18、69＋83＝19、47＋70＝20、34＋60＝21、85＋25＝22、22－14＝23、30－11＝24、60－37＝25、60－37＝26、15－14＝27、76－52＝28、81÷9＝29、32＋36＝30、66＋26＝31、47＋19＝32、49＋47＝33、3×9＝34、54－37＝35、24－19＝36、11－11＝37、84－68＝38、96－87＝39、63－23＝40、18－15＝41、29－12＝42、90－14＝43、12＋81＝44、5×5＝45、63＋84＝46、79＋74＝47、88＋43＝48、21＋57＝49、37＋40＝50、28＋46＝51、36＋34＝52、98－68＝53、13－11＝54、89－41＝55、6×6＝56、73－68＝57、92－66＝58、23＋81＝59、76＋24＝60、38＋21＝61、53－16＝62、62－46＝63、12÷3＝64、28＋29＝65、68＋44＝66、73＋17＝67、18＋64＝68、64＋21＝69、51＋51＝70、96＋57＝71、8×4＝72、97＋14＝73、84－24＝74、76－69＝75、98－23＝76、15－12＝77、94－76＝78、40－21＝79、48－47＝80、18－15＝81、11－11＝82、79＋93＝83、77＋45＝84、40＋43＝85、36＋28＝86、44＋78＝87、3×6＝88、32＋72＝89、86＋35＝90、12＋65＝91、4×5+17＝92、7×8-25＝93、4+3×9＝94、100-2×6＝95、27+18÷6＝96、27÷9-1＝97、7×5+45＝98、87-3×3＝99、36-9×4＝100、45-72÷8＝
数论综合（二） 教学目标： 1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一 质数合数 【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三 张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31． 【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数． 【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨 记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11． 【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次， 那么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数． 【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数．求这两个整数分别是多少？ 【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了． 把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?． 把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18． 板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、 商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除 数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968． 【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？ 【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998 的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=??，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个． 【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．
第十四讲数论相关的计数 在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等．计数问题是多种多样的，它经常与其他的知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等．今天让我们来研究一下结合了数论知识的计数问题． 例1．恰好能同时被6，7，8，9整除的四位数有多少个？ 「分析」大家还记得公倍数怎么求吗？ 练习1、恰好能同时被4，5，6整除的三位数有多少个？ 例2．用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？
「分析」根据11的整除特性，通过分析奇位数字和与偶位数字和，再结合本题的已知条件可以获得解题的线索． 练习2、用1，2，3，4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？ 例3．从1~10这10个数中选出2个数，请问： （1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？ （2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？ 「分析」（1）两个数的乘积能被3整除，那么这两个数中至少有一个能被3整除．如何选取才能保证选到3的倍数呢？（2）要考虑两个数的和是否能被3整除，只需要考虑每个数除以3的余数的情况，那么怎样的两个数相加才能被3整除呢？ 练习3、从1~12这12个数中选出2个数，请问： （1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？ （2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？ 例4．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？ 「分析」这道题目可以从两方面入手，8的倍数和含有数字8的数，注意其中重复的情况． 练习4、在1至200这200个自然数中，含有数字9或者能被9整除的有多少个？ 前面几个例题都是计数与整除相结合的题目．而除了整除之外，与数字相关的问题也属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题． 例5．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”