第八章不定积分
§1 不定积分概念与基本积分公式
正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样,微分法也有它的逆运算———积分法.我们已经知道,微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,那么与之相反的问题是:求一个未知函数,使其导函数恰好是某一已知函数.提出这个逆问题,首先是因为它出现在许多实际问题之中.例如:已知速度求路程;已知加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等.本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学.
一原函数与不定积分
定义1 设函数f 与F 在区间I 上都有定义.若
F ′( x) = f( x ), x ∈I,
则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.
-
1 例如, 1 3 x 3 是x
2 在( - ∞,+ ∞) 上的一个原函数, 因为(1
3 1 x 3)′= x 2 ; 又如
2 cos 2 x 与- 2
cos 2 x + 1 都是sin 2 x 在(-∞, + ∞) 上的原函数, 因为 ( -1 cos 2 x )′= ( -1
cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
2 2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话,那么
F( x) = x arctan x - 1
ln (1 + x 2 )
2
是f ( x) = arctan x 的一个原函数, 就不那样明显了.事实上, 研究原函数必须解决下面两个重要问题:
1 .满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存在, 是否唯一?
2 .若已知某个函数的原函数存在, 又怎样把它求出来?
关于第一个问题, 我们用下面两个定理来回答; 至于第二个问题, 其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法.
178 第八章不定积分
定理8 .1 若函数f 在区间I 上连续,则f 在I 上存在原函数F , 即F′(x)
= f ( x) , x∈ I .
本定理要到第九章§5 中才能获得证明.
由于初等函数为连续函数,因此每个初等函数都有原函数(只是初等函数的原函数不一定仍是初等函数).当然,一个函数如果存在间断点,那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数(参见本节习题第4题) .
定理8 .2 设F 是f 在区间I 上的一个原函数, 则
(i) F + C 也是f 在I 上的原函数, 其中C 为任意常量函数①;
(ii) f 在I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差一个常数. 证
(i)这是因为[F( x)+ C]′= F′( x)= f( x), x∈I .
( ii) 设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数, 则有
[F( x) - G( x)]′=F′( x) - G′( x)
= f ( x) - f ( x ) = 0 , x ∈ I.
根据第六章拉格朗日中值定理的推论,知道
F( x ) - G( x) ≡ C, x ∈ I .
定义2 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分,记作
∫f ( x ) d x, (1) 其中称∫为积分号, f(x)为被积函数, f( x)d x为被积表达式②, x为积分变量. 尽管记号(1)中各个部分都有其特定的名称,但在使用时必须把它们看作一整体.
由定义2 可见, 不定积分与原函数是总体与个体的关系, 即若F 是f的一个原函数, 则f 的不定积分是一个函数族{ F +C} , 其中C 是任意常数.为方便起见, 写作
∫f ( x) d x = F( x ) +C. (2) 这时又称C 为积分常数, 它可取任一实数值.于是又有
∫f ( x) d x ′= [ F( x )+ C]′= f ( x), (3)
∫d f(x)d x=d[F( x) + C]= f( x)d x. (4) 按照写法(2 ) , 本节开头所举的几个例子可写作
①这里既把C看作常量函数,又把它作为该常量函数的函数值.在不致混淆时,以后常说“C为任
意常数”.
②不久可看到,被积表达式可认同为f的原函数F的微分,即d F= F′(x)d x= f(x)d x.
∫ ∫ ∫
§1 不定积分概念与基本积分公式
179
x 2d x = 1
3
x 3+ C,
sin 2 x d x = - 1
cos 2 x + C,
2
arctan x d x = x arctan x - 1 ln ( 1 + x 2
) + C.
2
此外,一个函数“存在不定积分”与“存在原函数”显然是等同的说法.
不定积分的几何意义若F 是f 的一个原函数,
则称y =F(x)的图象为f 的一条积分曲线.于是,f 的不定积分在几何上表示f 的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族(图8-1).显然,若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线, 则这些切线互相平行.
在求原函数的具体问题中,往往先求出全体
原函数,然后从中确定一个满足条件F(x 0)=
图8 - 1
y 0(称为初始条件,它由具体问题所规定)的原函数,它就是积分曲线族中通过点( x 0 ,y 0)的那一条积分曲线.例如,质点作匀加速直线运动时,a( t)= v ′( t ) = a, 则
v( t) =
∫a d t = at + C .
若已知v( t 0 ) = v 0 , 代入上式后确定积分常数C = v 0 - at 0 , 于是就有
v( t ) = a(t-
t 0 ) + v 0 .
又因s ′(t ) = v (t),所以又有
s( t) =
∫[a( t - t
) + v 0 ] d t
1
2
2
a( t - t 0 ) + v 0t + C 1 .
若已知s( t 0 ) = s 0 , 则C 1 = s 0 - v 0 t 0 ,代入上式得到
s( t) = 1
a(t-
t 0 )2 + v 0 (t -
t 0 ) + s 0 .
2
二基本积分表
怎样求原函数? 读者很快就会发现这要比求导数困难得多.原因在于原函数的定义不像导数定义那样具有构造性, 即它只告诉我们其导数恰好等于某个已知函数f , 而没有指出怎样由f 求出它的原函数的具体形式和途径.因此, 我
=
x
180
第八章不定积分
们只能先按照微分法的已知结果去试探.
首先, 我们把基本导数公式改写成基本积分公式: 1∫
. 2∫.
0d x = C . 1d x =
∫d x =
x + C.
α+ 1
3∫.
x α
d x = x α+ 1
+ C (α≠ - 1 , x >0) .
4∫. 5∫
. 1 d x =ln | x | + C
①
( x ≠0) . x
e x d x =e x
+ C .
6∫
. a x
d x = a ln a
+ C ( a >0 , a ≠ 1 ) .
7∫. 8∫
. 9∫. 10∫. 11∫. 12∫. cos ax d x = 1
sin ax + C ( a ≠ 0 ) .
a sin ax d x = - 1
cos ax + C ( a ≠ 0 ) .
a
sec 2 x d x = tan x + C .
csc 2
x d x = - cot x + C .
sec x · tan x d x = sec x + C .
csc x ·cot x d x = - csc x + C .
13∫.
d x
1 - x
2
= arc sin x + C = - arccos x + C 1 .
14∫
. d x 1 + x 2
= arctan x + C = - arccot x + C 1 .
上列基本积分公式,读者必须牢牢记住, 因为其他函数的不定积分经运算变形后,最后归为这些基本不定积分.当然,仅有这些基本公式是不够用的,即使像ln x,tan x,cot x,sec x,csc x,arcsin x,arctan x 这样一些基本初等函数,现在还不知道怎样去求得它们的原函数.所以我们还需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则,并逐步扩充不定积分公式.
①
公式4适用于不含坐标原点的任何区间,读者容易验证
( ln | x | + C)′= 1
, x ≠ 0 .
x
●
n
n - 1 ∫
=∫
§1 不定积分概念与基本积分公式
181
最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则:
定理8.3 若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数,k 1、k 2 为两个任意常数, 则k 1 f + k 2 g 在I 上也存在原函数, 且
∫[k 1
f( x) +k 2 g( x )]d x=
k ∫1 证这是因为
f( x )d x+k ∫
2
g( x ) d x. (5)
∫k 1
f(x)d x+k ∫
2
g( x )d x ′=
k 1
∫f( x)d x ′+k 2
∫g( x )d x ′
= k 1 f ( x) + k 2 g( x).
线性法则(5 ) 的一般形式为
n
n
∫∑k i f i
( x)
d x =∑ ∫
k i f i ( x)d x
. (6)
i=1
i = 1
根据上述线性运算法则和基本积分公式, 可求得一些简单函数的不定积分.
例1 p( x) = a 0 x +a 1 x + + a n - 1 x + a n .
∫
p ( x ) d x= a 0 x n + 1 + a 1 x n + + a n - 1 x 2 + a x + C .
n+1 n 2 n
4
例2∫x + 1d x =∫
( x 2 - 1+ 2
) d x
x 2+ 1 1 3
3 x x 2+ 1
- x + 2 arctan x + C. 2 2
例3 d x cos 2
x sin 2 x cos x + sin x cos 2 x sin 2 x d x
=∫
( c sc 2 x + sec 2
x ) d x = - cot x + tan x + C .
例4
∫
co s 3x ·s in x d x= 1
(s in4x- s in 2x )d x
2∫
1 2 ( - 1 4 cos 4 x + 1 2 cos 2 x ) + C = - 1
8 ( cos 4 x - 2cos 2 x ) + C .
例5
∫
(10x - 10- x )2
d x=
∫
(102 x +10-2 x
- 2)d x
=
∫
[(102 ) x + (10 - 2 ) x
- 2] d x
1 2x
2 ln10 ( 10
- 10 - 2 x
) - 2x + C .
习题
1 .验证下列等式,并与(3)、(4)两式相比照:
=
=
=
2
1 - x +
182
第八章不定积分
(1∫
)
f ′(x )d x=f(x) +C; (2∫
)
d f ( x) = f ( x) + C .
2.求一曲线y = f ( x ) , 使得在曲线上每一点( x ,y ) 处的切线斜率为2 x , 且通过点 (2 ,5) .
3 .验证y = x sgn x 是| x | 在( - ∞, + ∞) 上的一个原函数.
2
4 .据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?
5 .求下列不定积分:
(1∫
) (1 - x + x 3 - 1
) d x; (2)
( x -
1
)2 d x;
x
2
∫ x (3∫) d x 2 gx (g 为正常数);
(4∫) (2 x
+ 3 x )2
d x ;
2
(5∫)
3
d x;
(6)
x d x; 4 -4 x 2
∫3(1 + x
2
)
(7∫) (9∫)
tan 2x d x; (8∫)
cos 2x
cos x - sin x
d x;
(10)
sin 2
x d x ;
cos 2x cos 2x ·sin 2 x d x;
(11)∫
10t ·32 t d t;
(12∫)
x
x x d x;
(13)
∫ 1 + x 1 -x d x;
(14) 1 + x
( cos x + sin x)2 d x ; (15)∫
co s x ·co s 2x d x; (16∫
) ( e x - e - x ) 3 d x .
§2 换元积分法与分部积分法
一换元积分法
由复合函数求导法, 可以导出换元积分法.
定理8.4 ( 换元积分法)设g( u ) 在[α, β] 上有定义, u = φ(x) 在[ a , b] 上可导, 且α?φ( x ) ?β, x ∈[ a , b] , 并记
f ( x ) = g( φ( x ) ) φ′( x ) , x ∈ [ a, b] .
(i )若g(u)在[α,β]上存在原函数G(u),则f(x)在[a,b]上也存在原函数F( x ) , F( x) =
G( φ( x) ) + C,即
∫f( x )d x=∫g(φ( x ))φ′( x )d x=∫g(u)d u
= G(u) +C=
G( φ( x) ) +C.
(1)
(ii ) 又若φ′( x)≠0, x ∈[a, b ] ,则上述命题(i )可逆,即当f(x)在[a,b ]上
3
φ ∫
∫ u
2 ∫
∫
§2 换元积分法与分部积分法
183
存在原函数F (x ) 时, g (u ) 在[ α, β] 上也存在原函数G (u ) , 且G (u ) = F(φ- 1 ( u) ) + C,即
∫g(u)d u=∫g(φ( x ))φ′( x )d x=∫f( x)d x
= F( x) + C = F(φ- 1
( u) ) + C.
(2)
证( i ) 用复合函数求导法进行验证:
d
d x
G(φ( x ))= G ′(φ( x))φ′(x) =g(φ( x ) ) φ′( x ) = f ( x).
所以f ( x)以G(φ( x) ) 为其原函数, (1 ) 式成立.
(ii ) 在φ′( x)≠0的条件下, u =φ(x)存在反函数x =φ- 1
(u),且
于是又能验证(2)式成立:
d x d u = 1 φ′( x)
x= -1 . ( u )
d -1 1 1
d u F(φ (u))=F ′( x )·φ′( x)
= f( x)·φ′( x)
=g(φ(x))φ′( x )·
1
φ′( x )
= g( φ( x ) ) = g( u ).
上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式,习惯上分别称为
第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二
换元公式) .
下面的例1 至例5 采用第一换元积分法求解.在使用公式( 1 ) 时, 也可把它写成如下简便形式:
∫g(φ( x))φ′(x)d x=∫g(φ( x))d φ( x ) =
G(φ( x )) +C .
(1′)
例1求∫tan x d x.
解由
tan x d x =
sin x
d x =- cos x
( cos x)′
cos x d x,
可令u = cos x , g ( u ) = 1
u
, 则得
∫
tan x d x=-∫
1
d u =- ln |u |+C = - ln | cos x | + C .
例
求
d x a 2+ x 2
( a>0 ) .
∫
∫
4 ∫
解
∫
∫
=
∫ ∫s ec x d x=∫
a
2
184
第八章不定积分
解
∫d x
d x 1
a
x
a
2
+x
2
=
∫a
1 +
2
( 令u=
)
x
a a = 1
a =
1 d u 1 + u
2 = x 1 a
arctan u + C
a arctan a
+ C. 对换元积分法较熟练后,可以不写出换元变量u,而直接使用公式(1′) .
例3求∫
d x
a 2 - x 2
( a>0) .
d x 解
∫
d x =
1 d x
a
a 2
- x
2
∫
=
1 -
x 1 -
a
x 2
a
= arcsin x a
+ C .
例 求 d x x 2- a 2
( a ≠ 0 ) . d x 1 x 2- a 2 = 2a
1 x - a - 1
x + a d x =
1 d (x- a) d ( x + a)
2 a ∫x - a -∫
x + a
=
1 2a
ln |x - a | - ln | x + a| + C
1 2 a ln 例5求∫
s ec x d x.
x - a x+ a
+ C.
解[解法一] 利用例4 的结果可得
∫
s ec x d x=
∫
co s x d x=∫
d (s in x )
cos 2x 1 - sin 2 x = 1 1 + sin x
[解法二]
2 ln 1 -sin x + C.
sec x( sec x + tan x)
sec x + tan x d x
= d(sec x + tan x) sec x + tan x
= a
∫
∫
3
∫
§2 换元积分法与分部积分法
185
= ln | sec x + tan x | + C .
这两种解法所得结果只是形式上的不同, 请读者将它们统一起来.
从以上几例看到, 使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式f (x) d x 凑成g( φ( x ) ) φ′( x ) d x 的形式, 以便选取变换u = φ(x ) , 化为易于积分的
∫g( u ) d u . 最终不要忘记把新引入的变量( u) 还原为起始变量( x) .
第二换元公式(2)从形式上看是公式(1)的逆行,但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原).以下例6至例9采用第二换元积分法求解.
例6求
∫
d u
.
u+ u
解为去掉被积函数中的根式, 取根次数2 与3 的最小公倍数6 , 并令u = x 6
, 则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分:
5 ∫
d u 6x 2 1
3 u+ u
= 3 x + x 3 2d x=∫
6 (x 2
- x + 1 - x +1 ) d x =6 x 3 - x 2 + x - ln | x +1|
+ C
3
6
6
=2
u - 3
u+6
u - 6ln | u + 1 | + C.
例7求
∫
a 2
-
x 2
d x(a >0) .
解令x = a sin t , |t | <π( 这是存在反函数t = arcsin x
的一个单调区
2 a
间) .于是
∫
a 2
-
x 2
d x=
∫
a co s t d (a s in t) =a ∫
2
cos 2
t d t
2
2∫
(1+co s 2t)d t=
2 a 2
2 ( t + 1
2
sin 2t ) + C 2 a x 2 arcsin a + x x
a 1 - a
=
1 2 x 2
2
2 ( a arcsin a
+ x a - x ) + C.
例8求
∫
d x x 2- a 2
( a>0) . 解令x = a sec t , 0 , 于是有 2 ∫ d x x 2- a 2 = a sec t ·tan t d t= sec t d t a tan t = + C 9 ∫ ∫ 3 186 第八章不定积分 = ln | sec t + tan t | + C . 借助图8 -2的辅助直角三角形, 便于求出sec t = x , a 2 2 tan t = x - a ,故得 a 2 2 ∫ d x = x - a + C x 2 - a 2 a + a 图8 - 2 = ln x+ x 2 - a 2 + C 1 . 例 求 d x ( x 2+ a 2 )2 ( a>0). 解令x = a tan t , | t | <π , 于是有 2 2 ∫ d x a sec t 1 2 ( x 2+a 2)2 =∫ a 4s ec 4 t d t= = 1 a ∫ 3 cos t d t ( 1+ cos 2 t ) d t 2 a = 1 ( t + sin t cos t ) + C 2 a 3 图8 - 3 1 x 2a 3 arctan a + ax x 2+ a 2 + C. 有些不定积分还可采用两种换元方法来计算. 例10求∫ d x . x 2 x 2 -1 解[解法一] 采用第一换元积分法: ∫ d x = ∫ d x =∫ 1 · - 1 d 1 x 2 x 2 -1 x 3 1 - 1 x 2 x 1 - 1 x x 2 = ∫ - u 1 - u 2 d u= 1 - u 2 + C 1 2 x x - 1 + C . [ 解法二] 采用第二换元积分法( 令x = sec t ) : ∫ d x =∫ sec t ·tan t d t = cos t d t x 2 x 2 -1 sec 2 t ·tan t ∫ = sin t + C = 1 x x 2 - 1 + C. = = 4 4 §2 换元积分法与分部积分法 187 二分部积分法 由乘积求导法, 可以导出分部积分法. 定理8 .5(分部积分法)若u( x )与v ( x)可导,不定积分∫u ′ ( x ) v ( x )d x 存在,则 ∫u(x)v ′ ( x )d x 也存在,并有 ∫u( x ) v ′( x )d x=u( x)v(x) -∫u ′ (x)v(x)d x. (3) 证由或 [u( x)v(x)]′= u ′( x)v ( x) +u( x ) v ′( x ) u( x)v ′( x) =[u( x ) v ( x )]′- u ′( x ) v ( x ), 对上式两边求不定积分, 就得到( 3) 式. 公式(3 ) 称为分部积分公式, 常简写作 ∫u d v =uv -∫v d u. (4) 例11求 ∫x co s x d x. 解令u = x , v ′= cos x , 则有u ′= 1 , v = sin x .由公式( 3) 求得 ∫x co s x d x= x s in x ∫- sin x d x 例12求∫ a r ctan x d x. = x sin x + cos x + C . 解令u = arctan x , v ′= 1 ,则u ′= 1 , v = x , 由公式( 3) 求得 1 + x 2 ∫ a r ctan x d x= x a r ctan x ∫ - x d x 1 + x 2 例13求 ∫ x 3ln x d x . = x arctan x - 1 ln (1 + x 2 ) + C. 2 解令u = ln x , v ′= x 3 , 由公式(4 ) 则有 4 ∫ x 3 ln x d x= ∫ ln x d x = 1 4 3 4 x ln x ∫ - x d x = x 16 (4 ln x -1 ) + C . 2 a ax ax a 2 + b 2 + C, a 2 +b 2 + C. ∫ 188 第八章不定积分 有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果; 有些还会出现与原不定积分同类的项, 需经移项合并后方能完成求解.现分别示例如下. 例14求 ∫ x 2e - x d x . 解 ∫ x 2e - x d x= ∫ x 2d ( - e - x ) =- x 2e - x +∫ 2 x e - x d x =- x 2e - x +∫ 2 x d ( - e - x ) =- x 2e - x - 2x e - x +∫ 2 e - x d x = -e - x ( x 2 + 2 x + 2) + C . 例15求I 1 = ∫ e ax co s bx d x 和I 2 =∫ e ax s in b x d x. 解I = 1 cos bx d(e ax ) = 1 (e ax co s bx+∫ b e a x sin bx) a ∫ a 1 ax a ( e cos bx + bI 2 ) , 由此得到 I =∫ 1 sin bx d( e a x ) = 1 ( e ax a sin bx- bI 1 ). 解此方程组,求得 aI 1 - bI 2 = e cos bx, bI 1 + aI 2 = e sin bx. I 1 =∫ e ax co s bx d x= b s in bx+a co s bx I 2 = ∫ e ax s in bx d x= a s in bx- b co s bx 习题 1 .应用换元积分法求下列不定积分: (1∫ ) (3∫) co s (3x+4)d x;(2∫ ) d x ; (4) 2 x +1 2 x e 2 x d x ; (1 + x) n d x; (5∫) 1 + 1 d x; (6) 22 x + 3 d x; 3 - x 2 1 -3x 2 ∫ (7∫ ) 8 -3x d x ; (8∫) d x 3 7 -5 x 1 = ; ∫ ∫ ∫ 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ α §2 换元积分法与分部积分法 189 (9∫ ) x sin x 2 d x; (10) d x ; sin 2 2 x + π 4 (11) d x 1 + cos x ; (12) d x ; 1 + sin x (13)∫ c s c x d x ; (14) ∫ x 1 - x d x; (15) x 4 + x 4 4 d x; (16) d x ; x ln x 3 (17)∫ x d x; (18) x d x; ( 1- x 5 )3 (19) d x x(1 + x) ∫x 8 - 2 ; (20) ∫ cot x d x ; (21) cos 5 x d x; (22) d x ; sin x cos x ( 23)∫ d x ; (24) 2 x -3 d x; e x + e - x 2 ∫x 2 - 3x+8 ( 25)∫ x + 2d x; (26) d x ( a>0) ; ( x + 1)3 ∫ x 2+ a 2 5 (27) ∫ d x ( a>0) ; (28) x d x; ( x 2+ a 2 )362/ ∫ 1 - x 2 (29) ∫ x d x; (30) x + 1 -1 d x . 3 1 - x ∫ x + 1 +1 2 .应用分部积分法求下列不定积分: (1∫) (3∫ ) (5∫) a r c s in x d x ; (2∫ ) x 2 co s x d x ; (4∫) (ln x)2d x ; (6∫) ln x d x ; ln x d x ; x 3 x arctan x d x; (7∫) ln( ln x) + 1 ln x d x ; (8∫) ( arcsin x) 2 d x; (9∫) s ec 3x d x ; (10∫) x 2± a 2 d x ( a >0) . 3 .求下列不定积分: (1∫ ) (3∫) [f(x)]f ′( x )d x(α≠- 1) ; (2∫ ) f ′(x) f ′(x ) d x ; 1 + [ f ( x ) ]2 f ( x ) f(x ) d x ; (4∫ ) e f ′(x )d x. 4 .证明: (1) 若I n = ∫ tan n x d x,n =2,3, ,则 m 190 第八章不定积分 I n = 1 n -1 tan n - 1 x - I n - 2 . (2) 若I( m ,n) = ∫ co s m x s in n x d x ,则当m + n ≠0时, m-1 n+1 I ( m , n)= cos x sin x m +n m -1 m + n I( m - 2 , n) m+1 n -1 =- cos x sin x m +n n , m = 2 ,3, . 5 .利用上题的递推公式计算: n -1 m + n I( m , n - 2 ) , (1∫) (3∫ ) tan 3x d x;(2) ∫ tan 4 x d x ; cos 2 x sin 4 x d x. 6 .导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式: (1) I n =∫x n e k x d x ; (2) I n = ∫ (ln x )n d x ; (3) I n = ∫ (a r c s in x )n d x; (4) I n = ∫ e ax s in n x d x. 7 .利用上题所得递推公式计算: (1∫) (3∫ ) x 3e 2 x d x ; (2)∫ (ln x)3 d x ; (a r c s in x )3d x ; (4) ∫ e x s in 3 x d x. §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 至此我们已经学得了一些最基本的积分方法.在此基础上, 本节将讨论某些特殊类型的不定积分,这些不定积分无论怎样复杂,原则上都可按一定的步骤把 它求出来. 一有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数, 其一般形式为 n n -1 R( x) = P(x) α0x +α1 x + +αn = , (1) Q( x) β0x +β1x m - 1 + +βm 其中n, m 为非负整数,α0 ,α1 , ,αn 与β0 ,β1 , ,βm 都是常数,且α0≠0,β0≠0.若m >n,则称它为真分式;若m ?n,则称它为假分式.由多项式的除法可知,假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和.由于多项式的不定积分是容易求得的,因此只需研究真分式的不定积分,故设(1)为一有理真分式. 根据代数知识, 有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和( 称为部分 + + 2 例1 对R ( x)= §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 191 分式分解).因而问题归结为求那些部分分式的不定积分.为此, 先把怎样分解部分分式的步骤简述如下( 可与后面的例1 对照着做) : 第一步对分母Q( x ) 在实系数内作标准分解: λ λ 2 μ 2 μ Q( x) = ( x - a 1 ) 1 (x - a s ) s (x + p 1 x + q 1 ) 1 (x + p t x + q t ) t , ( 2) 其中β0 =1,λi ,μj (i =1,2, ,s;j =1,2, , t)均为自然数,而且 s t ∑λi +2∑μj = m ;p j - 4q j <0, j=1,2, , t. i=1 j =1 第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式: 对于每个形如( x - a) k 的因式, 它所对应的部分分式是 A 1 x - a + A 2 (x- a)2 + + A k (x- a) k ; 对每个形如( x 2 + px + q) k 的因式, 它所对应的部分分式是 B 1 x + C 1 x 2 + px + q + B 2 x + C 2 ( x 2+ px + q)2 + + B k x + C k ( x 2+ px + q) k . 把所有部分分式加起来, 使之等于R ( x ) .( 至此, 部分分式中的常数系数A i , B i , C i 尚为待定的.) 第三步确定待定系数:一般方法是将所有部分分式通分相加,所得分式的分母即为原分母Q(x),而其分子亦应与原分子P(x)恒等.于是,按同幂项系数必定相等,得到一组关于待定系数的线性方程, 这组方程的解就是需要确定的系数. 4 3 2 2x - x + 4 x + 9 x -10 x 5+ x 4 - 5 x 3 - 2 x 2 + 4 x - 8 作部分分式分解. 解按上述步骤依次执行如下: Q( x)= x 5 + x 4 - 5 x 3 - 2 x 2 + 4 x - 8 = ( x - 2 ) ( x + 2 )2 ( x 2 - x + 1) . 部分分式分解的待定形式为 R( x ) = A 0 x -2+ A 1 x + 2 + A 2 ( x + 2 )2 + Bx + C x 2 - x +1 . (3) 用Q( x ) 乘上式两边, 得一恒等式 2x 4 - x 3 + 4 x 2 + 9 x -10 ≡ A 0 ( x + 2) 2 ( x 2 - x + 1) + A 1 ( x - 2) ( x + 2) (x 2 - x + 1 ) + A 2 ( x - 2) (x 2 - x +1) + (Bx + C) ( x - 2) ( x + 2)2 . (4) 1 ∫ 192 第八章不定积分 然后使等式两边同幂项系数相等, 得到线性方程组: A 0 + A 1 + B =2, x 4 的系数 3 A 0 - A 1 + A 2 + 2 B + C = - 1, x 3 的系数A 0 - 3 A 1 - 3 A 2 - 4 B + 2 C = 4, x 2 的系数4 A 1 + 3 A 2 - 8 B - 4 C = 9, x 的系数 4 A 0 - 4A 1 - 2 A 2 - 8 C = - 10. 常数项 求出它的解: A 0 = 1 , A 1 = 2 , A 2 = - 1 , B = - 1 , C = 1 , 并代入( 3) 式, 这便完成了对R ( x ) 的部分分式分解: R(x)= 1 x -2 + 2 x + 2 - 1 ( x + 2) 2 x -1 x 2- x + 1 . 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代.例如可将x 的某些特定值(如 Q(x)=0的根)代入(4)式,以便得到一组较简单的方程,或直接求得某几个待定系数的值.对于上例,若分别用x =2和x = -2代入(4)式,立即求得 A 0 = 1和A 2 = - 1 . 于是(4 )式简化成为 x 4 - 3 x 3 + 12 x - 16 = A ( x - 2) ( x + 2) ( x 2 - x + 1) + ( Bx + C) ( x - 2 ) ( x + 2 )2 . 为继续求得A 1 , B , C, 还可用x 的三个简单值代入上式, 如令x = 0 , 1 , - 1 , 相应得到 A 1 + 2 C =4 , A 1 + 3 B + 3 C =2 , 3A 1 - B + C = 8. 由此易得A 1 = 2 , B = - 1 , C = 1 .这就同样确定了所有待定系数. 一旦完成了部分分式分解,最后求各个部分分式的不定积分.由以上讨论知道, 任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分: (Ⅰ∫ ) d x ; (Ⅱ) Lx+ M d x ( p 2 - 4 q <0). (x- a)k 对于( Ⅰ) , 已知 d x (x- a) k = ∫( x 2 + px + q) k ln | x - a |+ C, k = 1, 1 + C, k >1. (1- k) (x- a) k -1 对于( Ⅱ) , 只要作适当换元令t = x + p 2 ∫ Lx +M , 便化为 Lt + N ( x 2+ px + q) k d x =∫ ( t 2 + r 2 ) k d t - ∫ ∫ ∫ 2 2 ∫ ∫ §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 193 =∫ L t d t+N d t , (5) ( t 2 + r 2 ) k 2 ∫( t 2 + r 2 ) k 其中r 2 =q - p , N = M - p L. 4 2 当k = 1 时, (5 ) 式右边两个不定积分分别为 t t 2 + r 2d t = ∫ d t 1 2 2 ln (t 1 + r 2 t ) + C, t 2 + r 2= r arctan r +C. (6) 当k ?2 时, (5 ) 式右边第一个不定积分为 t ( t 2+ r 2 ) k d t = 对于第二个不定积分, 记 1 2 (1 -k) ( t 2 + r 2 ) k - 1 + C. d t ( t 2+ r 2 ) k , 可用分部积分法导出递推公式如下: 1 I k = 2 r ( t 2+ r 2 ) - t 2 d t (t + r ) 1 1 r 2I k -1 - r 2 t 2 ( t 2+ r 2 ) k d t 1 r 2I k - 1 + 1 2 r 2 ( k - 1) 1 t d ( t 2 + r 2 ) k - 1 经整理得到 1 r 2I k - 1 + 1 2 r 2 ( k - 1) t ( t 2+ r 2 ) k - 1 - I k-1 . I k = t 2 r 2 ( k - 1) ( t 2 + r 2 ) k - 1 2 k - 3 2 r 2 ( k - 1 ) I k - 1 . (7) 重复使用递推公式(7 ) , 最终归为计算I 1 , 这已由( 6) 式给出. 把所有这些局部结果代回(5 ) 式, 并令t = x + p , 就完成了对不定积分( Ⅱ) 2 的计算. 2 例2求∫ x +1 d x . ( x 2- 2 x + 2) 2 解在本题中, 由于被积函数的分母只有单一因式, 因此, 部分分式分解能被简化为 x 2 + 1 ( x 2- 2 x + 2 )2 = ( x 2 - 2 x + 2 ) + (2 x - 1) ( x 2- 2 x + 2) 2 I k = ∫ = = = + 2 2 194 第八章不定积分 1 x 2 - 2 x + 2 + 现分别计算部分分式的不定积分如下: 2 x -1 ( x 2- 2 x + 2) 2 . ∫ d x d ( x - 1) x 2 - 2 x + 2 =∫( x - 1) 2 + 1 = arctan ( x - 1 ) + C 1 . ∫ 2 x -1 (2 x -2 ) + 1 ( x 2- 2 x + 2) 2 d x =∫( x 2 - 2 x + 2 )2 d x 2 = ∫ d ( x - 2x+2) d ( x- 1) ( x 2 - 2x+2)2 + ∫ [( x- 1)2 +1]2 = - 1 d t 由递推公式(7),求得其中 x 2- 2x+2 +∫ (t 2 +1)2 . ∫ d t t 1 d t ( t 2+ 1 ) 2 = 2( t 2+1) +2 ∫t 2 +1 于是得到 2 x -1 2( x 2 - 2 x + 2 ) + 1 2 arctan ( x - 1) + C 2 . ∫ x +1 x -3 3 ( x 2 - 2 x + 2 ) 2 d x = 2( x 2 - 2 x + 2 ) + 2 arctan ( x - 1) + C . 下面再介绍几类被积函数能变换为有理函数的不定积分. 二三角函数有理式的不定积分 由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式,并用R(u(x),v(x))表示. ∫R ( sin x,cos x)d x 是三角函数有理式的不定积分.一般通过变换t = tan x 2 , 可把它化为有理函数的不定积分.这是因为 sin x = 2sin x cos x 2 2 = 2 tan x 2 = 2t , (8) sin 2x 2 cos 2x + cos 2x 2 - sin 2x 1 + tan 2x 2 1 -tan 2 x 1 + t 2 cos x = 2 2 = 2 = 1- t , (9) sin 2x 2 + cos 2x 2 1 + tan 2x 2 1 + t d x = 2 d t, (10) 1 + t 2 = = 2 4 ∫ §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 195 所以 ∫R ( sin x , cos x )d x =∫ R 2t ,1 - t 2 d t. 例3求 ∫ 1 +s in x 1 + t 2 1 + t 2 1 + t 2 sin x (1 + cos x ) d x . 解令t =tan x ,将(8)、(9)、(10)代入被积表达式, 2 ∫ 1 +sin x 1 + 2t 1+ t 2 2 · sin x(1 + cos x ) d x = ∫ 2 t 1 - t 2 1 + t 2d t 1+ t 2 1+ 2 1 + t 2 1 2 t + 2+ 1 1 t d t= 2 t 2 + 2 t +ln | t| + C = 1 2 x x 1 x 4 tan 2 + tan 2 + 2 ln | tan 2 | + C . 注意上面所用的变换t = tan x 对三角函数有理式的不定积分虽然总是 2 有效的, 但并不意味着在任何场合都是简便的. 例 求 d x a 2 sin 2 x + b 2cos 2 x ( ab ≠ 0 ) . 解由于 ∫ d x sec 2 x d (tan x) a 2s in 2 x+ b 2co s 2 x =∫ a 2 tan 2 x+ b 2 d x=∫ a 2 tan 2 x+ b 2 , 故令t = tan x ,就有 ∫ d x d t 1 d (at) a 2 s in 2 x+b 2 co s 2 x = ∫ a 2 t 2 + b 2 = ∫a ( at) 2 +b 2 1 ab arctan 1 ab arctan at b + C a b tan x + C. 通常当被积函数是sin 2 x ,cos 2 x 及sin x cos x 的有理式时, 采用变换t = tan x 往往较为简便.其它特殊情形可因题而异, 选择合适的变换. 三某些无理根式的不定积分 1∫ . n ax + b R x, n ax + b cx+ d d x 型不定积分(ad - bc ≠0).对此只需令 t = cx + d , 就可化为有理函数的不定积分. =∫ = = ∫ 2 2 ∫ 2 2 2 2 196 第八章不定积分 例5 求 1 x x +2 x -2 d x. 解令t = x + 2 , 则有x = 2( t + 1 ) , d x = -8t d t, x - 2 t 2 - 1 ( t 2 - 1) 2 ∫ 1 x + 2 4t 2 x x -2 d x =∫ (1 - t 2 ) (1 + t 2 ) d t 2 1 - t 2 - = 2 1+ t 2 d t - 2arctan t + C = - - 2arctan x + 2 + C . x -2 例6求 ∫ d x . (1+ x) 2 + x - x 2 解由于 1 ( 1+ x) 2 + x - x 2 = 1 ( 1+ x )2 1 + x , 2 - x 故令t = 1 + x , 则有x =2t - 1 , d x = 6t d t, 2 - x 1 + t 2 ( 1 + t 2 ) 2 ∫ d x (1+ x) 2 +x - x 2 = 1 ( 1+ x )2 1 + x d x 2 - x = ∫ (1 + t ) 6t 2 9t 4 · t · ( 1+ t 2 ) 2 d t =∫ 3 t 2 d t = -2 3 t + C = - 2 3 2 - x 1 + x + C. 2∫ . R (x, ax 2 +bx+ c)d x 型不定积分(a >0时b 2 -4ac ≠0,a <0时 b 2 - 4 ac > 0) .由于 ax 2 + bx+ c = a x + b 2 a 4 ac - b 4a 2 , 若记u = x + b 2 a ,k 2 = 4 ac - b 4 a 2 , 则此二次三项式必属于以下三种情形之一: | a | ( u 2 + k 2 ) , | a | (u 2 - k 2 ) , | a | (k 2 - u 2 ) . 因此上述无理根式的不定积分也就转化为以下三种类型之一: ∫ R (u, u 2 ± k 2 ) d u , ∫ R(u, k 2 - u 2 ) d u. =∫ 2 + 第八5章不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。 教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 教学时数：18学时 § 1 不定积分概念与基本公式（4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 教学重点：深刻理解不定积分的概念。 一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算. 二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例1填空: ; ( ; ; ; ; . 定义. 注意是的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有. ( 证) 第八章不定积分 §1 不定积分概念与基本积分公式 正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样,微分法也有它的逆运算———积分法.我们已经知道,微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,那么与之相反的问题是:求一个未知函数,使其导函数恰好是某一已知函数.提出这个逆问题,首先是因为它出现在许多实际问题之中.例如:已知速度求路程;已知加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等.本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学. 一原函数与不定积分 定义1 设函数f 与F 在区间I 上都有定义.若 F ′( x) = f( x ), x ∈I, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数. - 1 例如, 1 3 x 3 是x 2 在( - ∞,+ ∞) 上的一个原函数, 因为(1 3 1 x 3)′= x 2 ; 又如 2 cos 2 x 与- 2 cos 2 x + 1 都是sin 2 x 在(-∞, + ∞) 上的原函数, 因为 ( -1 cos 2 x )′= ( -1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x . 2 2 如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话,那么 F( x) = x arctan x - 1 ln (1 + x 2 ) 2 是f ( x) = arctan x 的一个原函数, 就不那样明显了.事实上, 研究原函数必须解决下面两个重要问题: 1 .满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存在, 是否唯一? 2 .若已知某个函数的原函数存在, 又怎样把它求出来? 关于第一个问题, 我们用下面两个定理来回答; 至于第二个问题, 其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法. 第九章 不定积分 1 定积分概念 一、问题提出 1、曲边梯形的面积：设f 为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形. 在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x 0 作的功就近似等于F(ξi )△x i , 从而W ≈∑=n 1 i F (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1). 对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W. 注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”. 二、定积分的定义 定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x 0 定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称 为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法 及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理 第九章定积分 教学要求： 1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 4.理解并熟练地应用定积分的性质； 5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点： 1.深刻理解并掌握定积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 3.理解并熟练地应用定积分的性质； 4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学时数：14学时 § 1 定积分概念（2学时） 教学要求：知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题； 教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想. 一、问题背景： 1.曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功: 二、不积分的定义: 三、举例: 例1已知函数在区间上可积 .用定义求积分. 解取等分区间作为分法, . 取 .= . 由函数在区间上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2已知函数在区间上可积 ,用定义求积分. 解分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分. 例3讨论Dirichlet函数在区间上的可积性 . 四、小结：指出本讲要点 § 2 Newton — Leibniz公式（2学时） 教学要求：深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. Th9.1 （N — L公式）( 证 ) 例1求ⅰ> ; ⅱ> ; 例2 求. §3可积条件（4学时） 教学要求：理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题. 教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题； 一、必要条件: Th 9.2 ，在区间上有界. 二、充要条件: 第八章 不定积分 总练习题 求下列不定积分： (1)∫4 3x 1 x 2x --dx ；(2)∫xarcsinxdx ；(3)∫ x 1dx +；(4)∫e sinx sin2xdx ； (5)∫x e dx ；(6)∫1 x x dx 2-；(7)∫x tan 1x tan 1+-dx ；(8)∫32)2-x (x -x dx ； (9)∫ x cos dx 4；(10)∫sin 4 xdx ；(11)∫4 x 3x 5-x 23+-dx ；(12)∫arctan(1+x )dx ； (13)∫2x x 47+dx ；(14)∫x tan tanx 1tanx 2++dx ；(15)∫100 2 x) -(1x dx ； (16)∫2x arcsinx dx ；(17)∫xln ??? ??+x -1x 1dx ；(18)∫x sinx cos dx 7；(19)∫e x 2 2x 1x -1??? ??+dx ； (20)I n =∫ u v n dx, 其中u=a 1+b 1x ，v=a 2+b 2x ，求递推形式解. 解：(1)∫ 4 3x 1 x 2x --dx=∫41x dx-2∫12 1x dx-∫4 1x - dx =5445x -13241213x -3 4 ∫43 x +C. (2)∫xarcsinxdx=-2 1 ∫arcsinxd(1-x 2)=-2 1(1-x 2)arcsinx+2 1 ∫(1-x 2)darcsinx =-21(1-x 2)arcsinx+21∫2x -1dx =-21(1-x 2)arcsinx+21 ∫t sin -12dsint =-21(1-x 2)arcsinx+21∫cos 2tdt=-21(1-x 2)arcsinx+81 ∫(1+cos2t)d2t =-21(1-x 2)arcsinx+4t +81sin2t+C=-21(1-x 2)arcsinx+41arcsinx +4 1 sintcost+C =2x 2arcsinx-41arcsinx +2x -14 x +C. (3)∫x 1dx +=∫t 1dt 2+=∫t 12tdt +=2∫t 1t 1++dt-2∫t 1dt +=2t-2ln|1+t|+C =2x -2ln|1+x |+C. (4)∫e sinx sin2xdx=2∫e sinx sinxcosxdx=2∫sinxde sinx =2e sinx sinx-2∫e sinx dsinx 8.1 不定积分概念与基本积分公式(2学时) 【教学目的】深刻理解原函数与不定积分的概念；牢记基本积分表；掌握不定积分的线形运算法则。 【教学重点】不定积分的概念，基本积分表，不定积分的线形运算法则。 【教学难点】求不定积分的技巧。 【教学过程】 一、原函数与不定积分 (一) 原函数 定义1 设函数与在区间)(x f )(x F I 上有定义。若 )()(x f x F =′， I x ∈， 则称为在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数。 如：331x 是在R 上的一个原函数；2x x 2cos 21?， 12cos 2 1+x ，，等都有是在R 上的原函数——若函数存在原函数，则其原函数不是唯一的。 x 2sin x 2cos ?x 2sin )(x f 问题1 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？ )(x f 问题 2 若函数的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。 )(x f 定理1 若在区间)(x f I 上连续，则在)(x f I 上存在原函数。 )(x F （证明在第九章中进行。） 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理2 设是在在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数，则（1）设是在在区间C x F +)()(x f I 上的原函数，其中C 为任意常量（若存在原函数，则其个)(x f 数必为无穷多个）。（2）在)(x f I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证：(i)这是因为[] .),()()(I x x f x F C x F ∈=′=′+(ii)设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数，则有 [] I x x f x f x G x F C x F ∈=?=′?′=′+,0)()()()()(根据第六章拉格朗日中值定理的推论，知道I x C x G x F ∈≡?,)()(． 口 （二） 不定积分 定义 2 函数在区间)(x f I 上的原函数的全体称为在)(x f I 上的不定积分，记作： ∫dx x f )( 其中∫积分号；被积函数； ????)(x f ??dx x f )(被积表达式；??x 积分变量。 注1： 是一个整体记号； ∫dx x f )(注2：不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是的一个原函数，则的不定积分是一个函数族)(x F )(x f )(x f {}C x F +)(，其中是任意常数，于是，记为：∫=。 C dx x f )(C x F +)(此时称C 为积分常数，它可取任意实数。故有 ——先积后导正好还原； ∫=′)(])([x f dx x f 或 。 ∫=dx x f dx x f d )()( ∫——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）。 +=′C x f dx x f )()(或 ∫。 +=C x f x df )()(如： C x dx x +=∫332， C x xdx +?=∫2cos 212sin 。 不定积分的风何意义： 若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线。于是，的不定积分在几何上表示的某一条)(x F )(x f )(x F y =)(x f )(x f )(x f 第一篇 分析基础 1.1收敛序列 （收敛序列的定义） 定义：设}{n x 是实数序列，a 是实数，如果对任意0>ε都存在自然数N ，使得只要N n >，就有 ε<-a x n 那么}{n x 收敛，且以a 为极限，称为序列}{n x 收敛收敛于a ，记为 a x n =lim 或者)(+∞→→n a x n 定理1：如果序列}{n x 有极限，那么它的极限是唯一的。 定理2（夹逼原理）：设}{n x ，}{n y 和}{n z 都是实数序列，满足条件 N n z y x n n n ∈?≤≤, 如果a z x n n ==lim lim ，那么}{n y 也是收敛序列，且有 a y n =lim 定理3：设}{n x 是实数序列，a 是实数，则以下三陈述等价 （1） 序列}{n x 以a 为极限； （2） {}n x a -是无穷小序列； （3） 存在无穷小序列{}n a 使得 , 1,2,.n n x a a n =+=L （收敛序列性质） 定理4：收敛序列}{n x 是有界的。 定理5： （1）设a x n =lim ，则a x n =lim 。 （2）设a x n =lim ，b y n =lim ，则b a y x n n ±=±)lim (。 （3）设a x n =lim ，b y n =lim ，则ab y x n n =)lim(。 （4）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，则a x n 11lim =。 （5）设0≠n x ，0lim ≠=a x n ，b y n =lim ，则lim lim lim n n n n y y b x x a ==。 （收敛序列与不等式） 定理6：如果lim lim n n x y <，那么存在0N N ∈，使得0n N >时有 n n x y < 定理7：如果}{n x 和{}n y 都是收敛序列，且满足 0, ,n n x y n N ≤?> 那么 lim lim n n x y ≤ 数学分析9.1定积分 概念 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第九章 不定积分 1 定积分概念 一、问题提出 1、曲边梯形的面积：设f 为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形. 在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x 0 F(x)≈F(ξi ), x ∈[x i-1,x i ], i=1,2,…,n. 于是质点从x i-1位移到x i 时，力F 所作的功就近似等于F(ξi )△x i , 从而W ≈∑=n 1i F (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1). 对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W. 注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”. 二、定积分的定义 定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x 0 数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后，需要修的第一门课，也是最基础最重要的一门课程。但对于非数学专业的朋友们是个陌生的概念，如果身边有人问我数学分析学什么？我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分，那么似乎所有人都会接着提一个问题：那和我们学的微积分有什么差异？为什么我们学一学期你们要学一年半到两年啊？囧... ...这个问题就不容易回答了，于是我只能应付说学得细了，但其实并非仅仅如此。 对这个问题我在学习数学分析的过程中是不能说清楚的，正因为如此，起先学分析完全是乱学，没有重点没有次序的模仿，其结果就是感觉自己学到的东西好比是一条细线拴着好多个大秤砣，只要有一点断开，整个知识系统顿时倾覆。我也一直在思考这个问题，但直到在北师大跟着王昆扬老师学了一学期实变函数论之后，我才意识到数分与高数真正的区别在于何处。 先从微积分说起，在国内微积分这门课程大致是供文科、经济类学生选修的，其知识结构非常清晰，主要内容就是要说清两件事：第一件介绍两种运算，求导与求不定积分，并且说明它们互为逆运算。第二件介绍基础的微分学和积分学，并且给出它们之间的联系——Newton-Leibniz公式。这里需要强调的是，求不定积分作为求导数的逆运算属于微分学而不属于积分学，真正属于积分学的是Riemann定积分。不定积分与定积分虽然在字面上只差一字，但从数学定义来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，而Riemann定积分则是求Riemann和的极限，事实上它们之间毫无关系，既存在着没有原函数但Riemann可积的函数，也存在着有原函数但Riemann不可积的函数。但无论如何Newton-Leibniz公式好比一座桥梁沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是Newton-Leibniz公式被称为微积分基本定理的原因。因此我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本定理而已。 对于高等数学要求的层面就要比微积分高一些了，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么。比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的，对于不易积分，不易求导的实际问题，我们怎么去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念，例如将不易找到原函数的函数进行Taylor展开再逐项积，再例如利用Newton差值法计算方程的近似解。在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，是故高等数学对学生的计算能力要求非常高。于是高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义，熟练运用数学工具求导求积分，会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。 而数学分析与以上两门课程有着本质的区别，数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础。什么是分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。而学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：变限积分（尽管Riemann可积函数的变限积分也是连续的）与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。与微积分、高等代数有明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。 记得在学习数学分析的时候，我曾经查阅过Liouville和Chebyshev的文章，特意去了解那些不具有初等原函数的初等函数。当时去看这些文章的初衷主要是觉得这样的函数太神奇，太不可思议了。对于其中不懂的问题，我曾经请教过老师，但没想到会招来老师极度的不满：“你研究这个毫无意义，你之所以觉得这种函数有趣，是因为你脑子里对初等函数与复杂函数还是有明显的界限，说明你没学懂，如果你把数学分析真的学懂了，你就会认识到研究这种问题，就和讨论Sin(x)为什么不是Ln(x)一模一样的无聊... ...”我正是在听完这句话之后才恍然大悟的。 第八章不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。 教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 教学时数：18学时 § 1 不定积分概念与基本公式（ 4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 教学重点：深刻理解不定积分的概念。 一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算. 二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例1填空: ; ( ; ; ; ; . 是的一个原函数. 定义. 注意 原函数的个数: Th 若 是在区间上的一个原函数, 则对，都是 上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有 数学分析 数学与信息科学学院罗仕乐 第八章不定积分8.1 不定积分的概念与基本积分公式8.2 换元积分法 8.3 分部积分法 8.4几类特殊函数的不定积分 8.1 不定积分的概念和基本积分 公式 第八章第1节 例 ()x x cos sin =' x sin 是x cos 的原函数. ()) 0(1 ln >=' x x x x ln 是x 1 在区间),0(+∞内的原函数. 如果在区间I 内，定义1： 可导函数)(x F 的 即I x ∈?，都有) ()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=，那么函数)(x F 就称为) (x f 导函数为)(x f ，或dx x f )(在区间 I 内原函数.一、原函数与不定积分的概念 原函数存在定理： 如果函数)(x f 在区间 I 内连续，简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 ()x x cos sin =' ()x C x cos sin =' +（ 为任意常数） C 那么在区间I 内存在可导函数)(x F ， 使I x ∈?，都有)()(x f x F ='.(2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， )()(x f x F ='C C x F +)(都是)(x f 的原函数. （2）若 和 都是 的原函数， )(x F )(x G )(x f 则 C x G x F =-)()(（ 为常数） C 证 [] )()()()(x G x F x G x F '-'=' - )()(=-=x f x f C x G x F =-∴)()(（ 为常数） C 数学分析华东师大定积分 Revised by Jack on December 14,2020 第九章定积分 §1 定积分概念 一问题提出 不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆运算, 定积分则是某种特殊和式的极限, 它们之间既有区别又有联系.现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的. 1 . 曲边梯形的面积设 f 为闭区间[ a , b] 上的连续函数, 且 f ( x ) ≥0 . 由曲线y = f ( x ) , 直线x = a , x = b 以及x 轴所围成的平面图形( 图9 - 1) , 称为曲边梯形.下面讨论曲边梯形的面积( 这是求任 何曲线边界图形面积的基础) . 图9 - 1 图9 - 2 在初等数学里, 圆面积是用一系列边数无限增多的内接( 或外切) 正多边形面积的极限来定义的.现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积. 在区间[ a , b] 内任取n - 1 个分点, 它们依次为 a = x0 < x1 < x2 < < x n - 1 < x n = b, 这些点把[ a , b] 分割成n 个小区间[ x i - 1 , x i ] , i = 1 , 2 , , n .再用 直线x = x i , i = 1 , 2, , n - 1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形( 图9 - 2 ) . 在每个小区间[ x i - 1 , x i ]上任取一点ξi , 作以 f (ξi ) 为高, [ x i - 1 , x i ]为底的小矩形.当分割[ a , b] 的分点较多, 又分割得较细密时, 由于 f 为连续函数, 它在每个小区间上的值变化不大, 从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边 第六章 不定积分 §1 不定积分的概念 1． 求下列不定积分： （1 ）53(x x dx +- ?； （2）()35x dx -?； （3 ）dx +?； （4）()421dx x x +?； （5）2 231x dx x +?； （6 ）； （7）(2sin 4cos )x x dx -?； （8）2(3sec )x dx -? ； （9）2(tan 3)x dx +?； （10）222sin cos x dx x +?； （11） 22tan cos sin 22 x dx x x -?； （12）cos 2cos sin x dx x x -?； （13）1cos 2dx x +?； （14）2(51)x dx +? ； （15）(2)5x e dx ?x x 1+（）-3； （16）(1x x e dx --?； （17） 22(cos 1x dx x --+? ； （18）； （19）223x x dx ?； （20） sin )x dx +?． 2．求一曲线()y f x =，它在点(,())x f x 处的切线的斜率为2x ，且通过点(2,5)． 3．已知()f x 满足给定的关系式，试求()f x ： (1)'()1(0)xf x x = >； '()(2)1(0)f x x x = >； (3)()'()10f x f x x = (>)； '1(()0)() f x f x f x ()(4) = >. §2 换元积分法与分部积分法 1．用凑微分法求下列不定积分： （1）156dx x -?； （2）1(12)dx x x +?； （3） ； （4） dx +?； （5）2123dx x +?； （6）2 x e dx -?； 1 定积分的应用 一、写出下图阴影部分面积A 的定积分表达式. 1.求由抛物线2y x =与直线230x y --=所围平面图形的面积． 2.求由抛物线222x y x y -==与所围图形的面积. 3.求星形线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围图形的面积 4. 求二曲线sin r θ= 与r θ=所围公共部分的面积. 二、叙述平行截面面积已知的立体体积公式及阴影部分绕坐标轴旋转而成旋转体的体积公式； 绕x 轴 绕y 轴 1.求0sin ,0y x x π≤≤≤≤所围平面图形分别绕x 轴及y 轴旋转所得立体的体积. 三、非负光滑曲线y = f (x ))(b x a ≤≤绕x 轴旋转，所得旋转曲面面积的定积分表达式为_____________ . 1.设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积． 四、弧长公式(直角坐标、极坐标情形、参数方程). 1）若曲线方程为(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈，则曲线弧长为 2）若曲线方程为],[),(b a x x f y ∈=，则曲线弧长为 3）若曲线方程为],[),(βαθθ∈=r r ，则曲线弧长为 1. 求心形线(1cos )r a θ=+的全长. 2. 计算内摆线2/32/32/3x y a +=()0a >的周长． 3. 求x y = 4在点(2,2)指定点处的曲率. 五、过原点作ln y x =的切线，该切线与ln y x =及x 轴所围图形为D ，（1）求D 的面积；D 周长的定积分表达式；（2）求D 绕x e =旋转所得旋转体的体积及绕x 轴旋转所得旋转体的侧面积的定积分表达式. 六、设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(上大于零，并满足22 3)()(x a x f x f x +='（a 为常数）. 假设曲线)(x f y =与直线1=x 和0=y 所围的图形S 的面积为2. （1） 求函数)(x f ； （2） 当a 为何值时，图形S 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小？ 第八5章不定积分 教学要求: 1、积分法就是微分法的逆运算。要求学生:深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别;掌握不定积分的线性运算法则,熟练掌握不定积分的基本积分公式。 2、换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生:牢记换元积分公式与选取替换函数(或凑微分)的原则,并能恰当地选取替换函数(或凑微分),熟练地应用换元积分公式;牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,熟练地应用分部积分公式;独立地完成一定数量的不定积分练习题,从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3、有理函数的不定积分就是求无理函数与三角函数有理式不定积分的基础。要求学生:掌握化有理函数为分项分式的方法;会求四种有理最简真分式的不定积分,知道有理函数的不定积分(原函数)还就是初等函数;学会求某些有理函数的不定积分的技巧;掌握求某些简单无理函数与三角函数有理式不定积分的方法,从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。 教学重点:深刻理解不定积分的概念;熟练地应用换元积分公式;熟练地应用分部积分公式; 教学时数:18学时 § 1 不定积分概念与基本公式( 4学时 ) 教学要求: 积分法就是微分法的逆运算。要求学生:深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别;掌握不定积分的线性运算法则,熟练掌握不定积分的基本积分公式。 教学重点:深刻理解不定积分的概念。 一、新课引入:微分问题的反问题,运算的反运算、 二、讲授新课: (一)不定积分的定义: 1、原函数: 例1填空: ; ( ; ; ; ; 、 定义、注意就是的一个原函数、 原函数问题的基本内容:存在性,个数,求法、 原函数的个数: Th 若就是在区间上的一个原函数, 则对,都就是在区间上的原函数;若也就是在区间上的原函数,则必有、 ( 证 ) 第九章定积分 §1 定积分概念 一问题提出 不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆运算,定积分则是某种特殊和式的极限,它们之间既有区别又有联系.现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的. 1.曲边梯形的面积设f为闭区间[a,b]上的连续函数,且f(x)?0. 由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的平面图形(图9-1),称为曲边梯形.下面讨论曲边梯形的面积(这是求任何曲线边界图形面积的基础) . 图9 -1 图9 - 2 在初等数学里,圆面积是用一系列边数无限增多的内接(或外切)正多边形面积的极限来定义的.现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积. 在区间[ a , b] 内任取n - 1 个分点, 它们依次为 a= x0 < x1 < x2 < < x n -1 < x n = b, 这些点把[ a , b] 分割成n 个小区间[ x i - 1 , x i ] , i = 1 , 2, , n .再用直线x =x i, i = 1 ,2, , n - 1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形( 图9 - 2 ). 在每个小区间[x i - 1 , x i]上任取一点ξi ,作以f(ξi)为高, [x i - 1 , x i]为底的小矩形.当分割[a,b]的分点较多,又分割得较细密时,由于f为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边 §1 定积分概念201 梯形的面积.于是, 这n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值, 即 n f(ξi)Δx i (Δx i = x i - x i-1) . (1) S ≈ ∑ i = 1 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割,又与所有中间点ξi (i=1,2,,n)的取法有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a,b]无限细分时,如果此和式与某一常数无限接近,而且与分点x i 和中间点ξi 的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S. 2 . 变力所作的功设质点受力F 的作用沿 x 轴由点a 移动到点b, 并设 F 处处平行于x 轴( 图9-3 ).如果F 为常力, 则它对质 点所作的功为W = F( b - a) .现在的问题是, 图9 - 3 F 为变力, 它连续依赖于质点所在位置的坐标x , 即F =F( x) ,x ∈[ a , b]为一连续函数, 此时 F 对质点所作的功W 又该如何计算? 由假设F(x)为一连续函数,故在很小的一段位移区间上F(x)可以近似地看作一常量.类似于求曲边梯形面积那样,把[a,b]细分为n个小区间[x i - 1 , x i],Δx i = x i - x i - 1 , i=1,2, , n;并在每个小区间上任取一点ξi ,就有 F( x) ≈F(ξi ), x∈[x i-1 , x i] , i = 1,2, , n . 于是,质点从x i - 1 位移到x i 时,力F所作的功就近似等于F(ξi)Δx i,从而 n W≈∑F(ξi)Δx i . (2) i = 1 同样地, 对[ a , b]作无限细分时, 若(2 ) 式右边的和式与某一常数无限接近, 则就把此常数定义作为变力所作的功W . 上面两个例子,一个是计算曲边梯形面积的几何问题,另一个是求变力作功的力学问题,它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近.在科学技术中还有许多同样类型的数学问题,解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割,近似求和,取极限”.这就是产生定积分概念的背景. 二定积分的定义 定义1 设闭区间[ a, b]内有n -1 个点, 依次为 a= x0 < x1 < x2 < < x n -1 < x n = b, 它们把[ a , b] 分成n 个小区间Δi = [ x i - 1 , x i ] , i = 1 , 2, , n .这些分点或这些闭子区间构成对[a,b]的一个分割,记为 T= {x0 , x1 , , x n}或{Δ1 ,Δ2 , ,Δn } . 小区间Δi 的长度为Δx i =x i - x i - 1 , 并记数学分析不定积分
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