第四章：力学量用算符表示
[1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[]
.2)(,2hipf q f p q =
（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q
[]qf p f qp fq p f qp
f p q 2222
2
,-=-=
f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-=
（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=
（证明）同前一论题
)(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-=
（3）ihfp p q f q 2])(,[2
=
[证明]同前一题论据：
fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2
hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-=
（4）i
f p i
h q f p p 22
)](,[=
[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式
i f i h q f p =
)](,[ dq
df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-=
物83-309蒋
~80~
i
f p i
h f p p 22],[=
= （5）p pf i
h p q pf p i
=
])(,[ （证明）论据同（4）：
p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-=
p pf i
h i
= （6）2
2
])(,[p f i
h p q f p i =
（证明）论据同（4）：
2
2222)(],[p f i
h p fp pf fp pfp fp p i =
-=-=
(2)证明以下诸式成立：
(1)
(证明)根据坐标分角动量对易式
为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。
以及
看到
由于轮换对称性，得到特征的公式。
~81~
(2)
（证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律
同理可证明其他轮换式，由此得普通式
取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形：
根据轮换对称性，证明待证式成立。 (3)
注意 与x 没有共同坐标。 (4)
注意
没有共同坐标，因此可以对易即
，故
)()(22
22z y x x z y l l p p l l A +-+=
z
z x x z z x x z z y y x x y y x x y y x x x x y x x y l l p p l l p p l l l l p p l l p p l l l p p l l p p l )()()()(2222-+-+-+-=-+-=z x z x z z y x y x y y l p l p l l l p l p l l ],[],[],[],[+++=
}{z y y z y z z y l p p l l p p l hi ++--= )}(){(y z z y y z z y p l p l l p l p hi ---= })(){(x x p l l p hi *-*=
(3) l
为粒子角动量。F 为另一力学量，证明：
)(],[p
F p r F r hi F l ??*+??*-=
其中r ??
表示空间坐标的梯度，p
??表示动量空间的梯度。 [证明]按照题意
z
k y j x i
r ??
+??+??=?? z
y x p k p j p i r ??+??+??
=??
又F 可看作坐标r ，动量p
的函数，它一般可以表示成
n i ni
ni p r C p r F F )(),( ∑==
),,,3,2,1,0(z y x i n ==
为使证明题给论据清楚，可以先导出两种交换关系，作为后文的准备，设)(r ψ为任意波函数
ψ??=ψ??-ψ??=ψx F
i h x F F x i h F p x })({],[
x
F
i h F p x ??=],[
)(],[ψ-ψ=ψ∑∑X p C P XC F X ni
n i ni ni
n i ni
在前式的最后一项中，当I=x 时，可利用莱勃尼兹公式：
ψ??+ψ=?ψ?+?ψ?=ψ??=ψ--n
x x
n x n n n n n n n
x
P P i h XP x n x X i h X x i h X P )()()()()(11
当ψ=ψψ=ψ=n
z n z n y n y XP X P XP X P z y i )(;)(:,
因此：
∑∑∑ψ??
-
ψ-ψ=ψni
n i
ni x
ni
n i ni ni
n i ni P XC
P i h P XC P XC F x ],[
ψ??=x
P F hi
x
P F
hi
F X ??=],[ 现在利用前二式来证明题给一式的x 分量的关系成立，该式左方：
x x x x Fl F l F l F l -==],[],[
3)()(y z y z zp yp F F zp yp ---= F FyP F yP z z +-=
y
y z z y y y z z z p F z F p Z p F y F p y p Fz zF Fp F p z P Fy yF FP F P y ],[],[],[],[)()()()(--+=-----+-=
86-87
利用（1）和（2）得
同理可得
综合3式得
[4]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算n-1次以后，得
（乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k时该式成立，而k 1，则应有
现在计算有:
利用前述的假设
但又按题目假设
用于前一式得待证一式。
关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述。
但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意
A，
=
B
，-
[A
]
B
[
]
88-89
将第一式对易式中两算符对易得
再将文字A，B对易得
（5）证明
（证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即
从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得
取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有
(6)证明 是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证 (A 等是实数)是厄密算符
（证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则
运用这个关系于下面的计算：
τ?τ
ψτ?τψd P A d P F n n
?)?(∑?≡????
???
????∑=>τ
τ?ψd P
A n n
n n ?0
???-?∑=τ?ψd P P
A n n )?(?1 ???-?∑=τ?ψd P P
A n n )?()?(1 ???-?∑=τ?ψd P P P A n n )?(?)(2 τ?ψd P P P P
A n n )?(?)??(3-?∑= ???-?∑=τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(32 τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(42-?∑= ???-?∑=τ?ψd P P P
A n n )?(?)?(42 ????=τ
τ?ψd P
F ])?([ )?(P
F 满足厄密算符的定义。
（8）证明2
?n m m n nm n m p x x p
A +∑-（nm A 实数）是厄密算符。
（证明）方法同前题，假定已经证明p
?,x ?都是厄密算符，即： τ?ψτ?ψd p d p
???????=?)?(? τ?ψτ?ψd x d x
???????=?)(? 又按题意得证算符是一维的。
dx x p p dx x p m
n m
n ?
?
-?=?)??(???1?ψ?ψ ~90~ 物83-309蒋
dx x p p
m n )??()?(1?ψ-?=? dx x p x dx x p
m n m n ?ψ?ψ1?)??(?)?(-?=?=?? dx p x
n m ?ψ?=?)??( 这证明m m x p
??不是厄密算符，但满足 dx p
x dx x p n m m n ???=??ψ?ψ)??()??( 同理可证明
dx x p dx p
x
m n n m
???=??ψ?ψ)??()??( 将前二式相加除2，得
dx x p p x
dx p x x p m n n m n m m n ???+=+??ψ?ψ)2
????(2???? 因此2
????n m m n p x x p
+是厄密算符。
因此∑-+n
m n m m n nm
p x x p
A 2
????也是。 又假定用0?0
?=*作为厄密算符0?的定义，并设=?*)??( B A )??(**?A B
则本题可用较简方式来证明如下： 因为 *=p p
?? *=x x ?? 所以有 n n p p
)?(?*= m m x x )?(?*= n m n m m n m n p x p x x p x p
??)?()?()}?()?{()??(==?=**** 同理有
m n m n n m n m x p x p p x p x
??)?()?()}?()?{()??(==?=**** 相加除2，得：
这证明右方一式是厄密算符。
（9）证明，
若
当
大时并不趋于0，则
不一定是厄密算符。
~91~
（证明）设, 是任选的两个函数，适用分步法计算下列积分
继续将后一积分作分步运算，共作n 次，其结果将是：
由此计算可知若大括号里总和为0，则算符符合厄密算符定义，但按题
意时，不趋于0，因此我们无法证明大括号里总和为0
[10]证明其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形
i=1,2,3......i 自由度
（证明）本题意思是要证明等号两边式子等效，但左方是算符式，可以使用自变量
间的对易关系进行变形，为了证明方便，可设定
的函数形式如下：
式中
是指两组已知的复数，若
不能用的形式表示，则下面的证法无效，
按此假设，可进行下述的变形运算：
I ≡
[A,B]=
最后一式中出现座标的幂、动量幂之间的对易式，这类对易式的简化并未有过，需做专门的计算；兹以[
]
l
m p q ,的简化为例：
[]
m l l m l m
q p p q p q
-≡,
试将此对易式的第一项加以连续变形，并且运用已证过的公式：
()[]q
f
hi q f p ??-=,
（4） ()
1-?=l m l m p p q p q
（5）
利用（4）式，令()m
q q f =则有以下诸式：
或： 1
-+=m m m h i m q pq p q
（6） 同理有 ()2
111----+=m m m q m hi pq p q
（7）
依次类推…………………………………… 将（6）式代入（5）有：
()
11--+=l m m l m p himq pq p q
112---+=l m l m p himq p pq
（8）
将最后一式第一项分解，重复应用（6）：
()
112---+=l m l m l m p himq p p q p p q
()112
1
----++=l m l m m
p himq p
himq pq p
112
122-----++=l m l m l m p himq p himpq p q p
运用式（7）于前式中的1
-m pq
:
()[]
121221------+=l m m l m l m p q m hi p q him p q p p q
11--+l m p himq
11222---+=l m l m p himq p q p ()2221---+l m p q m m h
（9）
与（8）式比较，增加2h 的高阶次。
312)(--+=l m m l m p himq pq p p q
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq []
32133)1(------+=l m m l m p q m hi p q himp p q p ()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
3222133)1(------++=l m l m l m p pq m m h p himpq p q p
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
()[
]
321331------+=l m m l m p q m hi p q him p q p
()()[
]
332221------+l m m p q m hi p q m m h
物83-309蒋
()2221112-----++l m l m p q m m h p himq
11333---+=l m l m l m p himq p q p p q
()+-+--22213l m p q m m h
()()33321-----l m p q m m im h
（10）
按同样方法连续变形l 次，得到下式；式中假设l m >。
()()()!212
1
2
-?-+=--l l hi p lmq hi q p p q l m m
l l
m
()()()()m
l l hi p q m m l m !
11112
2γγγγ+--+-?---
++---γ
γγl m p q m )1( l m l l q l m m hi --+-?-)1()()1(1
或改写作：
+---=----2211)1(!
2)
1()()(],[l m l
l m l m p q m m l l hi p lmq hi p q 11)1()()1(--+--m l l q l m m hi （11）
将此式代到（3）式中，得下式：
2
1[{],[--∑∑=l m k mn kl
kl mn p hilmq q D C B A
+-+--+----11222
[])1()1(2
n k m n l m p hiknq q p p q m m l l h =+----}.....])1()1(2
1222
l n k p p q k k n n }
)]1()1()1()1([)({222211以上幂 +---+++--+-+-+-+∑∑l n k m l n k m kl mn
kl
mn
p q k k n n m m l l p q kn lm l D C
将这对易式遍乘以i ，则右方各项中，第一项将与i 无关，第二项以后含i 以上的幂，取
极限0→i 时将留下第一项
∑∑??-=-+-+→mn kl kl
mn l n k m D C p q kn lm i B A 110)(]?,?[lim （12） 其次再考察题给公式等号右方的泊松括号，（用正则座标和正则动量表示的式子），我们论证的情形中，自由度1=ε，因而p p i = q q i =按经典力学定义：
∑????-????=i
i
i i i q B
p A p B q A B A )(
},{
~95~
=
n m mn
mn p q C q q B p A p B q A ∑??
=????-????
n m mn l k kl p q C p
p q D p ∑∑??
-?? l k kl p q D q
∑??
=
)(1111l k n m l k n mn
kl m kl mn
p kq p nq p lq p mq D C
----?-?∑∑
∑∑-+-+-=mn
kl
l n k m kl mn p q kn lm D C 11)( （13）
两种计算的结果相同，因而题给的结果相同，因而题给的公式得到证实。
[11]设F(x ，p)是x k ，p k 的整函数，证明：
k
k x F
i F p ??=
],[ ⑴ k
k p F
i p F ??=
],[ ⑵ 整函数是指n i m k mn
ki
mn ki p x C
p x F ∑∑=
123
],[，mn
ki
C 是数值系数 [证明]本题照题给的表示式应当是三维的算符，其展开形式：
}
{],[33332332133132232
2221221311321121111n m mn n m mn n m mn n m mn mn
n
m mn n m mn n m mn n m mn n m mn p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x C p x F ++++++++=∑
先证第一式∑∑∑-+-=-=
=ki
mn z n i n i z m
k n i z m k m k z mn ki ki mn z n
i m k n i m k z mn ki ki
mn
n
i m k mn ki x x p p p p x p p x x p C p p x p x p C
p x C p p x F p )}]
(){(}]
{]
,[]],[,[
∑+=
ki
mn
n i z m
k n i m k z mn ki p p x p x p C
]},[],{[ ⑴
最后一式曲括号内第一项为k z ≠时为0，因为座标不同，k z ≠时
m
z z
m
z z x x i x p ??=
],[
第二对易式],[n i z p p 任何情形是零，因而⑴改写成：
kz n l m
k k kl
mn
mn kl s p x x i c p x F p δ????=∑)()],(,[
n l m k mn kl z
p x c
x i ∑??=
),(p x F x i z
??=
(2) 第二式证明与前半题类似
],[)],(,[∑=kl
mn
n
l m k mn kl z z p x c x p x F x
}{z n
l m k n l z m k n l l m k n l m k z mn kl x p x p x x p x x p x x c -+-=∑
]},[],{[n l z m k n l m k z mn kl p x x p x x c +=∑ （3）
最后一式曲括号内0],[=m k z x x
lz n l l
n l z p p i
p x δ)(],[??
= 这公式的详细证明参看第3题，于是（3）式应写成
lz n l kl
mn
l m
k mn kl z p p i x c p x F x δ)()],(,[∑??=
∑??
=n l m k mn kl z
p x c
p i
),(p x F p i
l
??= 这样，第二式得到了证明，这两类式子形式相似，是因为p x ,是一对正则共轭量的缘故。
[12]设)(r f
是只赖于空间的力学算符，证明：
22)(2)]](,[),([f r f r f ?-=?
（1）
设ψ是依赖于座标的波函数)(r
ψψ=，先作以下计算
ψψψ222)()](,[?-?=?f f r r f
∑=??-??=12322
22})({i i i
x f f x ψψ
}2{222222i i i i i x f x f x x f x f ??-??+????+??=∑ψ
ψψψ
}2{22i i i
x x f x f ??
???+??=∑
???+?=f f 22 （2）
代入题给式（1），并运算于)(r
ψ：
ψψ})2()2({)]](,[),([22222
f x x f x f x x f x f f r f r f i i i i
i i i ?????+??-?????+??=?∑
=
)}(22{2
222ψψψψf x x f f x f x x f f x f f i i i
i i i i ??
???-??-?????+??∑ 消去第一，第三项 前式ψψψψ∑∑??-=?????-?????-?????=
2)(2}222{i
i i i i i
i i x f
x f x f x f x f x x f f
首末两式移去函数ψ，得到特征公式（1）
[13]利用测不准系估计谐振子的基态能量
[解]写下一维谐振子的经典的能量公式，或算符关系式：
2
222??2
222222x m m p x m m H E ωω+=+?-== (1)
取能量的平均值：
2222
21x m p m E ω+= 在一维谐振子的情形，座标的平均值0=x ，动量平均值0=p 计算座标和动量的“不确定度”（即均方根偏差）p x δδ,。
按一般公式 22222)()()(x x x x x x =-=-=δ
22222)()()(p p p p p p =-=-=δ （2） 因此能量平均值公式（1）可改用“不确定度”表示
222
)(2
)(21x m p m E δωδ+= （3） 但根据测不准关系式：
2
≥?x p δδ
作为估计，可以直接取其下限，即认为
2
??x p δδ x p δδ2
?
将此结果代入式（3），并且计算E 的极小值，就是所求的基态能量：
2
22)(8)(2)(x m x m x E δδωδ +
= =2
}12{222ωδωδω +-x m x m 用此取括号内值为零的条件，得 2
min ω
=E 这时ω
δm x 2
=
[14]利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电Ze ）。
（解）本题原是三维问题，但作为估计，计算不需严格正确，方法同前题。
r
Ze m p E 222??-= （1） 取能量的平均值，由于中心对称性，可以认为动量的平均值是零0=p
，（这个平均值本是个矢量，但它的分量都是零）因此22)(p p ?δ，此外，根据计算（第六章九题）知道在氢原子情形，2
3a r = 2
2
3a r =，因而a a
r ?=
23δ。此外a r 1)1(=，222)1(a
r =，
所以a
r
1
)1
(=
δ，因此为计算方便，可取 r
r δδ1
)1(=
对能量关系式取平均值
)
(2)()(22
222r Ze m p r Ze m p E δδ-
=-= （3）
利用测不准关系式，可以计算（3）的极值，但p 与r 之间并无已知的对易关系式，此可作 一维问题处理，认为2
≥
?r p δδ，并用 =?r p δδ （4）
则（3）式成为：)(2)()(2
2p Ze m p p E δδδ
-=
2
422422222}2){(21 me Z e m Z p mZe p m -+-=δδ =
2)(214
222me Z Zme p m --δ 当取 2
Zme p =δ时，E 有极小值
24
2m i n me Z E -=就是基态能量
[15]求证力学量x 与)(x p F 的测不准关系：
x
p F
F x ??≥
???2)()(22 （证明）根据（课本）测不准的普遍公式，若B A
?,?为任两个力学算符，B A ??,为它们的偏差，B A δδ,为不确定度，则：
2
2
2
]?,?[4
1)()(B A B A ≥???
或]?
,?[2
1,B A B A ≥
δδ （1） 本题中)(?,?x
P F B x A ==因此，有关的测不准关系写成： ])(,[2
1
)()(22x P F x F x ≥
??? （2） 在本章第（11）题的第二个公式已指出
x
x p F
i
p F x ??= )](,[ 代入（2），就得到待证的公式。 [16]求证在n l 的本征态下0==y x l l
（证明）角动量分量算符满足对易关系：
x
y z z y l i l l l l ????? =- 两边取平均值，设im Y 是z l 本征态波函数，用标乘积运算符号：
)?,()]????[(im x im im y x x y im Y l Y i Y l l l l Y =- )??]?[?,(im y x im x y im Y l l Y l l Y -
)???,(im y x im y im Y l l Y l m Y -= )??,()?,(im y x im im y im Y l l Y Y l Y m -= )?,?()?,(im y im x im y im Y l Y l Y l Y m -= )?,()?,(im
y im im y im Y l Y m Y l Y m -= 前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符x l ?的厄密性，这样证明0=x l
利用对易关系：y
z x x z l i l l l l ????? =- 可以类似的证明0=y l 。
附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y l ?的平均值不为零，能够证明：
,2
1
2y x y x l l i m l l -==
说明y x l l ??不是厄密的。2?x l ，2?y l 的平均值见下题。 [17]设粒子处于),(?θim Y 状态，求2
x l ?，2
y l ?
（解）),(?θim Y 是算符y l l ?,?2的共同本征状态，在此态中，算符x
l ?，y l ?具有对称性，因而可假设2
2y x l l ?=?，又已知0=?=?y x l l
利用算符恒等式：2222????z
y x l l l l ++= 计算这个式子的各量在态im Y 中的平均值，用标积符号：
))???(,()?,(2222im z y x im im im Y l l l Y Y l Y ++=
))??2(,(22im
y x im Y l l Y += 因im Y 满足本征方程式im im x im im Y m Y l Y l l Y l =+=?)1(?22
第8 章 物质运动状态的量子力学描述 主要公式 自由平动子：能级 22222 22 ,(1,2,3,) 28 t n h n q n ma ma π ===??? h 简并度1 t ω= 刚性转子：能级 2 (1) 2 r J J I ε +h （I为转动惯量） 简并度21 r J ω=+（J=0，1，2，3，…） 三维各向同性谐振子：能级 3 ( 2 r x y z n n n ε=+++hv 简并度 (1)(2) ,() 2 v x y z n n n n n n v ω ++ ==++ = （f为力常数） 分子能量: t r v e n εεεεεε =++++ 分子简并度: t r v e n ωωωωωω = 例题分析 例8.1双原子分子12C16O，其中原子摩尔质量为m(16O )=15.99491g·mol-1，m(12C )=12.00000g·mol-1。 （1）T=298 K ，在a=1.000m范围内平动，请计算n=1及n=2能级的平动能及两能级之间的能量差，各相当于k B T的多少倍。 （2）当发生转动能级跃迁J=0?1，12C16O微波吸收光谱为115271.20MH z，请计算核间距 co r、 转动惯量I几转动能级能量 ,r t ε及 r ε?。
（3）振动激发时，从低分辨的红外吸收光谱，测得，求振动运动的力常数，振动频率，基态和第一激发态的振动能，能级差。 解析：这是从实验数据及量子力学原理去了解粒子的微观运动状态，这也是统计力学的基础。 说明A 代替ε) （2）根据量子力学原理，B 为转动常数 22,,2(1),28e r r C h B I B J B I μγωωπ==+?=61281 1 115271.2(10/1)(1/1)(10/1)2.997925103.84503Z r z z Z MH H MH s H m cm m s cm ω----= ????= 1/2(0)/2 1.92252r r B cm ωω-=?=-= 161216 122-23-123-1 26()()()() (15.9949112.00000)g mol (10kg/g) (15.9949112.00000)g mol 6.02204510mol 1.13851810kg mol m O m C m O m C μ--?=+???=+???=?? 根据 28c h I B π= [ 46 12 2.799310],(/)(/) e cm kg r m μ--?= 461/2 102.799310( ) 1.130910/e r m kg μ--?==? 222 28,12 7,0(1)128.26510J 22242.00910(0,0)r J B r J J h h I I I k T J εεππε--??+?====?=? ???=?==h （3）1/2 1/2 -1212 -1V 10/N m 5.308810cm 2πc /kg f f ωμμ--???? ?= ≥=? ? ? ? ?? ?? 2 26-1-1122142.61 1.13851810N m 1854.5N m 5.308810f --?? =???=? ? ??? 1/2 25V,0 011 3.2371610J 222h f hv επμ-??===? ??? 25,1119.7115102 v hvo J ε-?? =+=? ?? ?
第二章 一维势场中的粒子 §2.2 方 势 一、一维运动 当粒子在势场V (x ,y ,z )中运动时，其 Schrodinger 方程为： 22 [(,,)](,,)(,,)2V x y z x y z E x y z m ψψ-?+= 若势可写成： V (x ,y ,z ) = V 1(x ) + V 2(y ) + V 3(z ) 形式， 2212 [()]()()2x d V x X x E X x m dx -+= 2222 [()]()()2y d V y Y y E Y y m dy -+= 2232 [()]()()2z d V z Z z E Z z m dz -+= ψ(x ,y ,z ) = X (x ) Y (y ) Z (z ) ψ1(x ) x y z E E E E =++ 二、一维无限深势阱 0(0)()(0,) x a V x x x a ?<?? 这是定态问题 一维无限深势阱（0~a ）的求解 解：（1）列出各势域的 S — 方程 22 2 [()]()()2d V x x E x m dx ψψ-+= 20222 2 2202 22()0202()0I I II II III III d m V E dx d mE dx d m V E dx ψψψψψψ?--=???+=???--=?? 00E V << 0()V →∞ ，令k = )(0>k ，β=方程可简化为：22 2 222 222 000I I II II III III d dx d k dx d dx ψβψψψψβψ?-=????+=???-=??
I.波函数与Schrodinger方程 1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？ 答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描 述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为 ，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动 状态。经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入 上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ). 经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经 典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程． 2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ? 答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为， 则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空 间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对 整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化． 3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流
3. 系综与密度算符 1）纯系综和混合系综 相同的物理体系构成系综，例如由具有自旋的粒子构成的系综。 一个自旋为1/2的粒子的自旋态（方位角,αβ） /2/2(,)(,)(,)cos sin 22i i c c e e ααβ β χαβαβχαβχχχ-++--+-=+=+， 其中,χχ+-是?z s 的本征态， cos(/2)sin(/2) i c c e αββ+-=。 如果所有粒子的自旋都取相同方向，则称体系是极化系统，构成的系综是纯系综。 如果粒子的自旋不在同一方向，则构成的系综叫混合系综。例如自旋向上的粒子数占70％，自旋向下的粒子数占30％，体系是部分极化。一个自旋方向完全随机的系综，其自旋向上，向下的几率各有50％，整的表现是相互抵销，自旋为零，完全没极化。 2）系综平均与态密度算符 系统的力学量平均值 ?A A ααα=， 这里态α是固定的，是量子平均。进入任意表象B ， ,' ?''b b A b b A b b ααα=∑， 对表象的维数求和。 系综平均 [ ]A w A ααα=∑ ， 这里w α是体系处于态α的几率，显然满足归一化条件 1w αα =∑， 是统计平均，求和指标不是对表象的维数，而是对态。例如自旋1/2的粒子构成的系综，自旋表象的维数为2，但不同粒子的自旋态可以有很多取向，求和就是对不同的取向。
[],,','??''''b b b b A w b b A b w b b b A b αααααααα??== ??? ∑∑∑。 定义态密度算符 ?w αα ρ αα=∑， 它在表象B 的矩阵元 '?''bb b w b b αα ρρ αα==∑， []() ,'??????''b b b A b b b A b b A b tr A ρ ρρ==≡∑∑。 这是量子统计力学的基本公式。注意：表象变换不改变矩阵的求迹，上式不依赖于表象的选取。 在连续表象，例如坐标表象，密度算符的矩阵元 *'?''()(')xx x x w x x w x x αααααα ρρααψψ===∑∑ ， 系综平均 []() 3????A tr A d x x A x ρρ==? 。 密度矩阵满足归一化条件 ,,? 1 b b tr w b b w b b w w αααααααα ρ ααα α=====∑∑∑∑完备性条件 态的量子归一化条件 态的统计归一化条件 这里用到了归一化条件1α=和表象的完备性条件1b b b =∑。 设密度算符?ρ的本征态为θ， 22 ?,??ρ θθθρθρθθθθ==＝ 对于纯系综，所有系统都取同一个态n ，
第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?，称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：动量算符?p i =-? ， 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有：?????()A B A B C ψψψψ+=+=，则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+，??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积，记为??AB ，定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠，则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=，则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-， 则称?A 和?B 反对易。 例如：算符x , ?x p i x ? =-? 不对易
证明：(1) ?()x xp x i x ψψ?=-? i x x ψ? =-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-? i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以： ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i -= ，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?，??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?，??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)： ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意：当?与?B 对易，?B 与?对易，不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式： 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。
第五章 微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知 ()()0 ?H U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即 ()2004ze U r r πε=- ()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为 ()2 04ze U r r πε=- 在0r r <的区域, ()U r 可由下式 ()r U r e Edr ∞ =-? 其中电场为 () () 3023300000201 4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε?=≤?? =? ?>? ? 则有: ()()()() 2 2 3 2 000 22222 2200 033000000 1443848r r r r r r U r e Edr e Edr Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞ ∞ =--=- - =---=--≤??? ? 因此有微扰哈密顿量为 ()()()() 222 200300 031?220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ???--+ ≤? ?'=-=????>? 其中s e =类氢原子基态的一级波函数为 ()( 32 10010000032 02exp 2Zr a R Y Z a Zr a Z e a ψ-==-?=?? 按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为 ()()()0 0*0011 11 100100 3 2222222000000?1 31sin 4422Zr r a s s E H H d Z e Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτ?θθπ -''==??????=--+?? ? ????????? ? ???
量子力学的通俗讲座 一、粒子和波动 我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.1 粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2 GMm F x （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 经典的多粒子系统
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出
现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为 E= h ν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W 0 ≤0时，即ν≤ν0 = W 0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 ⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。 ???? ? ???? ======n k h k n h P h E λππλων2 ,2
第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze r U 02 4πε- =）（ )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 02 4)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102 00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2??022)0(r U H H +?-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Z e a Z 02/130 3) 0(1)(-=πψ）
量子力学理论处理问题的思路 ① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schr?dinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点； ④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质； ⑤ 联系实际问题，应用所得结果。 有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动 量算符?p 和坐标算符?x 之间的关系是?x p i x ?=-?，在动量表象中它们之间的关系为??x x i p ?=?，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。 这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！ 针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。 第一部分 薛定谔方程与波函数 在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。所以说薛定谔方程和波函数是学好量子力学的基础！ 一．波函数（基本假设I ） 在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数(,)r t ψ表示，2(,)r t d ψτ表示t 时刻粒子处于空间r 处d τ体积元内的几率，即2(,)r t ψ代表粒子的几率密度。 1. 根据波函数的物理意义，波函数(,)r t ψ应具有的性质为： ⑴有限性－在全空间找到粒子的几率2 (,)r t d ψτ?取有限值，即(,)r t ψ是平方可积的； 粒子在全空间出现的几率和等于1，假如2 (,)1r t d ?τ∞≠?，我们找到一个比例系数
第八章：自旋 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ????=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=??? ??????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为 的谐振子, 最小能量为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p ==v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(22=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其 中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z ) 2 (,,)x y z ψ(,,) c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ
第五章 全同粒子 本章主要内容概要 1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。所有自旋为 整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。 如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为 12121212() ()()()()()(,,...,,...,)()()() i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ= 交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。 对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N P q q q q C P q q q αφφφΦ=∑ 其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P ∑表示对所有可能排列求和，由于波色 子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1 ，全不相等时为1/ 2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为 121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=± 这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。对对称空间波函数这个力是吸引力，倾向于把两粒子拉近；对反对称空间波函数，这个力是排斥力，倾向于让两粒子相互远离。固体中属于不同原子的两个电子组成的共价键可以由这种力解释，两电子体系的波函数是反对称的，当两个电子的自旋波函数为反对称的自旋单态时，空间波函数必是对称的，所以这种状态下的两个电子倾向于相互靠近，形成共价键。 3. 元素周期表：原子中一个单粒子态(),,n l m 称之为轨道，因为电子是费米子，受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下）。当原子处于基态时，电子将从最低能态开始依据洪特定则依次填充。1n =这个壳层能容纳两个电子，2n =壳层能容纳8个，3n =容纳18个，第n 个壳层可以容纳2 2n 个电子。（洪特第一定则：在其它量都相同时，总自旋（S ）取最大值的状态的能量最低。第二定则：当
第八章 自旋 8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。 解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x σ ??? ? ? ?=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为??? ? ??b a ，则有??? ? ??=???? ?????? ??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。 ,1=λ 则; b a = ,1-=λ 则b a -= 利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为 ,1=λ ;1121???? ?? ,1-=λ ??? ? ??-1121 。 8.2) 在z σ表象中，求n ?σ的本征态，()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n 是()?θ,方向的单位矢. 解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为 x σ ??? ? ? ?=0110， y σ??? ? ? ?-=00 i i ， z σ??? ? ? ?-=1001 （1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=?= ??? ? ??-=???? ?? -+-=-θθθθ ?? cos sin sin cos i i z y x y x z e e n in n in n n （2） 设n σ的本征函数表示为Φ??? ? ??=b a ，本征值为λ，则本征方程为 ()0=-φλσn ，即 0cos sin sin cos =? ??? ?????? ??----b a e e i i λθθθλ θ? ? （3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。 对于1=λ，代回（3）式，可得 x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ?? θθ θθ 归一化本征函数用()?θ,表示，通常取为 ()???? ? ?=? θθ ?θφi e 2sin 2cos ,1或??? ? ? ? ?-222sin 2cos ? ? θθi i e e （4）
第四章 量子力学的表述形式 （本章对初学者来讲是难点） 表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。 为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比： 矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e ~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维 任意矢展开∑=i i i e A A 任意态展开 ∑=n n n a ψψ ),,(z y x e e e ),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(?θe e e r 取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换 由此可见，可以类似于矢量A ，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。 为此，我们将 ① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。 最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。 4.1希尔伯特空间 狄拉克符号 狄拉克符号“ ”~类比： ),,(z y x A A A 欧氏空间的矢量 A →坐标系中的分量 ),,(?θA A A r ………. )(r ψ →表象下的表示 )(p C ……….
引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。 一、 希尔伯特空间的矢量 定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般 是无限维的。 1、线性：①c b a =+；②a b λ=。 2、完备性：∑=n n n a a 。 3、内积空间： 引入与右矢空间相互共轭的左矢空间 ∑ ==? +n n n a a a a * ; )(:。 定义内积：==* a b b a 复数，0≥a a 。 1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交； m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。 二、 量子体系的态用希尔伯特空间的矢量表示 （此属“符号问题”，仅作简要介绍，主要由学生自己通过练习来熟悉符号） 1、态矢符合线性空间的要求：?λψψψψ=+=21。 2、任意态矢可用一组完备的基矢展开： nm m n n n n f f f a δψ==∑, 。 ∑∑ =→====n n n n m mn n n m n m n f a a a f f a f a ψδψ? 。 3、态可以求内积： ??==dx x x dx x x )(,)(??ψψ ~ 以}{x 为基， 其中 ??ψψx x x x ==)()(。 取ψ的左矢：?=dx x x )(*ψψ，有内积 ????='''='''=dx x x dx x d x x x x x d x x dx x x )()()()()()(***?ψ?ψ?ψ?ψ 上式已利用了连续谱的正交归一性)(x x x x '-='δ。 三、 希尔伯特空间的算符 算符 ψ?F F =: 1、算符对左矢的作用： F b 存在，其意义（定义）为 )()(a F b a F a F ==。
第五章： 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? ]?,??[H p r =? =)],z y （２） ?[r ? x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４） ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-=
x V x i ??=?? （５） 将（４）（５）代入（３），得： }{)???(]?,??[222z V z y V y x V x i p p p i H p r z y x ??+??+??+++=? μ }?{2V r p i ??+= μ 代入（１），证得题给公式： V r p p r dt d ??-=? μ 2?)( （６） 的平均值，按前述习题２的结论，其 则=?p r dt d 由前式 P249 ） （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n 2,== （解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）： ∑=ijk k j i ijk z y x C z y x V ),,( （１）
第8章 自 旋 与 全 同 粒 子 Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。 1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验 2、自旋的提出 (1)、每个电子具有自旋角动量s （电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =± ； (2)、每个电子具有自旋磁矩s μ ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mc μ=- ，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=± =± 2B e mc μ= 为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l （1） 无经典对应量 有经典对应量 （2） 2 z s =± 22(1)l l l =+ ，z l m = （3） sz z e s mc μ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。 §8.1 电子自旋态与自旋算符 一、自旋算符 通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数 ????(,)F F r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s 它是角动量，满足同样的角动量对易关系???s s i s ?= 轨道角动量?l 自旋角动量s ???l l i l ?= ???s s i s ?= ???[,]x y z l l i l = ???[,]x y z s s i s = ???[,]y z x l l i l = ???[,]y z x s s i s = ???[,]z x y l l i l = ???[,]z x y s s i s = 2??[,]0i l l = 2??[,]0i s s = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值， 所以