数值计算
探讨求解的几种方法
摘要
很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。设非线性方程为
()0
m f x x n =-=方程的解*x 称为方程的根或函数()f x 的零点。对于非线性方程的求解一般没有特殊公式，因此研究其数值解法是很有必要的，在此以求一个数的n 次方根为例探讨几种求近似根的常用方法，即二分法、牛顿迭代法、简化牛顿迭代法法以及割线法。
一、算法设计
计算机配置内存：2G
处理器主频：2.53GHz MATLAB 版本：R2011b 1.1二分法
设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b ?<，则[,]a b 内有方程的根。取[,]a b 的中点01
()2
x a b =
+，将区间一分为二。若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判别根*x 在0x 的左侧还是右侧。
若0()()0f a f x ?<，则*0(,)x a x ∈，令110,a a b x ==；若0()()0f a f x ?>，则*0(,)x x b ∈，令101,a x b b ==。
不论出现那种情况，11(,)a b 均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根区间的目的。
对压缩了的有根区间，又可施行同样的步骤，再次压缩有根区间。如此反复进行下去，即可得一系列有根区间套
11[,][,][,]n n a b a b a b ????
由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[,]n n a b 的长度为
1
()2n n n
b a b a -=
-若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限的进行下去。当n →∞
时，区间必将最终收缩为一点*x ，显然*x 就是所求之根。若取区间[,]n n a b 的中点01
()2
x a b =
+作为*x 的近似值，则有下述误差估计式*111
()()
22
n n n n x x b a b a +-≤-=-只要n 足够大（即区间二分次数足够多），n x 的误差就可足够小。
值得注意的是，由于在偶重根附近曲线()y f x =为向上凹或向下凹，即()f a 与
()f b 的正负号相同，因此不能用二分法求偶重根。
1.2二分法MATLAB 程序设计
1.3牛顿迭代法
设已知方程()0f x =近似根0x ，且在0x 附近()f x 可用一阶泰勒多项式近似，表示为
'000()()()()
f x f x f x x x ≈+-当'0()0f x ≠时，方程()0f x =可用线性方程近似代替，即
'000()()()0
f x f x x x +-=解此线性方程得
00'0()()
f x x x f x =-
取此x 作为原方程的新近似根1x ，重复以上步骤，于是得迭代公式
1'()()
k k k k f x x x f x +=-
(0,1,)
k = 此式称为牛顿迭代公式，其迭代函数为
'()()()
f x x x f x ?=-
当*x 为单根时，*()0f x =，'*()0f x ≠，故
*''*'
*
'*2
()()
()0
[()]f x f x x f x ?==''*''
*
'*
()
()()
f x x f x ?=''*()x ?不一定为0，根据定理3，牛顿迭代法在根*x 的邻近是平方收敛的。
1.4牛顿迭代法MATLAB
程序设计
1.5简化牛顿迭代法
在牛顿迭代公式1'
()
()
k k k k f x x x f x +=-
中，用一常数M 代替'()k f x ，得1()k k k f x x x M
+=-
(0,1,)
k = 此式称为简化牛顿迭代公式，只要M 选择得当，该式子总是收敛的，不过其收敛速度降为线性。其几何意义可描述为用平行线代替牛顿法中的切线。
1.6简化牛顿迭代法MATLAB
程序设计
1.7割线法
用常数M 来代替'()k f x 虽然简单，但没有充分利用()f x 本身的特性，因此收敛较慢，若在牛顿迭代公式中改用差商11
()()
k k k k f x f x x x ----代替导数'()k f x ，得迭代公
式
111()
()
()()
k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=-
--可以证明，
它的收敛阶为1
(1 1.6182
p =
+≈，确实比简化牛顿迭代公式收敛快。连接曲线()y f x =上的两点(,())k k k P x f x 与111(,())k k k P x f x ---，所得弦线与x 轴交点的横坐标即为由此式求出的1k x +。因此，称之为双点割线法。为了使程序简单，也将上述迭代公式中的1k x -改为0x ，即
100()
()
()()
k k k k k f x x x x x f x f x +=-
--每步迭代时只利用一个新点k x ，这样的迭代格式称为单点割线法，然而它的收敛速度只是线性的。
1.8割线法MATLAB
程序设计
二、数值试验
2.1
二分法求解x =2.1.1运行结果
(1,2)，精度为8；迭代次数为8；最终收敛值*x 为1.7099758；
误差为7.812507e -；运行时间0.188549秒；
2.1.2收敛图
2.2牛顿迭代法求解35
x
精度为8；迭代次数为4；最终收敛值*x为1.7099759；误差为4.822407
e-；运行时间0.000453秒；
2.2.2收敛图
2.3简化牛顿迭代法求解x=
精度为8；迭代次数为11；最终收敛值*x为1.7099761；误差为8.212107
e ；运行时间0.004333秒；
2.3.2收敛图
2.4割线法求解
x=
2.4.1运行结果
精度为8；迭代次数为6；最终收敛值*x为1.7099759；误差为8.719509
e-；运行时间0.005842秒；
2.4.2收敛图
2.5计算结果比较
算法结果误差迭代次数函数值时间二分法 1.70997587.812507
e-8-1.4511e-060.188549
牛顿迭代
法1.7099759 4.822407
e-4 1.1928e-120.000453
简化牛顿迭代法1.70997618.212107
e-11 1.6605e-060.004333
弦截法 1.70997598.719509
e-6-7.6488e-080.005842 2.6计算结果分析
1、二分法相对于其他几种算法，收敛时间较长，即二分法是在大范围内收敛的。
2、牛顿迭代法收敛较快，精度高，误差小。
3、简化牛顿法的收敛也较快，迭代次数多，导致误差较大。
4、弦截法的收敛速度快，迭代次数少，误差最小，总体上较好。
三、参考文献
【1】曹德欣，曹璎珞，计算方法，中国矿业大学出版社，2001。
【2】王正盛，MATLAB与科学计算，国防工业出版社，2011。
§4.1指数 4．1.1n次方根与分数指数幂 4．1.2无理数指数幂及其运算性质 第1课时n次方根 学习目标 1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值． 知识点一n次方根，根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围 n为奇数n a R [0，＋∞) n为偶数 ±n a 3.根式：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 思考根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？ 答案当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为n a，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±n a. 知识点二根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据
(1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作n 0＝0. (3)(n a )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． (4)n a n ＝a (n 为大于1的奇数)． (5)n a n ＝|a |＝? ???? a ，a ≥0， －a ，a <0(n 为大于1的偶数)． 思考 根式化简开偶次方根时应注意什么问题？ 答案 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论． 1．实数a 的奇次方根只有一个．( √ ) 2．当n ∈N *时，( n －2)n ＝－2.( × ) 3．当a ≥0时，n a 表示一个数．( √ ) 4．当n 为偶数，a ≥0时，n a ≥0.( √ ) 5.n a n ＝(n a )n .( × ) 一、由根式的意义求范围 例1 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解 (a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3| a ＋3＝(3－a ) a ＋3成立， 需????? a －3≤0， a ＋3≥0， 解得a ∈[－3,3]． 反思感悟 对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点
笔算开n次方 笔算开n次方的方法： 1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开； 2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a； 3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数； 4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）； 5、设试商为b。如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。 6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。 例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。 3 9 7 1. 1 9 2 9 5√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000 243 ________________________________________________ 744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5 _____________________________________________ 85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商 83 92970 61757................................397^5-390^5 ____________________________________________ 1 4826 2 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商 1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5 ___________________________________________ 23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商 12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5 _________________________________________ 11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商 11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5 _________________________________________ 372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2
数值计算 探讨求解的几种方法
摘要 很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。设非线性方程为 ()0 m f x x n =-=方程的解*x 称为方程的根或函数()f x 的零点。对于非线性方程的求解一般没有特殊公式，因此研究其数值解法是很有必要的，在此以求一个数的n 次方根为例探讨几种求近似根的常用方法，即二分法、牛顿迭代法、简化牛顿迭代法法以及割线法。 一、算法设计 计算机配置内存：2G 处理器主频：2.53GHz MATLAB 版本：R2011b 1.1二分法 设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b ?<，则[,]a b 内有方程的根。取[,]a b 的中点01 ()2 x a b = +，将区间一分为二。若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判别根*x 在0x 的左侧还是右侧。 若0()()0f a f x ?<，则*0(,)x a x ∈，令110,a a b x ==；若0()()0f a f x ?>，则*0(,)x x b ∈，令101,a x b b ==。 不论出现那种情况，11(,)a b 均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根区间的目的。 对压缩了的有根区间，又可施行同样的步骤，再次压缩有根区间。如此反复进行下去，即可得一系列有根区间套 11[,][,][,]n n a b a b a b ???? 由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[,]n n a b 的长度为 1 ()2n n n b a b a -= -若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限的进行下去。当n →∞
筛网目数与孔径微米的换算 筛网目数与孔径微米的换算-筛中直接用于筛分物料的部件就是筛网，对于筛分机筛网目数与用微米表示的孔径的大小的换算是一个令人头疼的问题，在此详细的阐述一下筛网目数与孔径微米的换算。 筛子内径(μm)≈14832.4/筛子目数 计量单位目粒度是指原料颗粒的尺寸,一般以颗粒的最大长度来表示。网目是表示标准筛的筛孔尺寸的大小。在泰勒标准筛中,所谓网目就是2.54厘米(1英寸)长度中的筛孔数目,并简称为目。 泰勒标准筛制：泰勒筛制的分度是以200目筛孔尺寸0.074mm为基准，乘或除以主模数方根（1.141）的n次方（n＝1，2，3……），就得到较200粗或细的筛孔尺寸，如果数2的四次方根（1.1892）的n次方去乘或除0.074mm，就可以得到分度更细的一系列的筛孔尺寸. 目数越大，表示颗粒越细。类似于金相组织的放大倍数。 目数前加正负号则表示能否漏过该目数的网孔。负数表示能漏过该目数的网孔，即颗粒尺寸小于网孔尺寸；而正数表示不能漏过该目数的网孔，即颗粒尺寸大于网孔尺寸。例如，颗粒为-100目~+200目，即表示这些颗粒能从100目的网孔漏过而不能从200目的网孔漏过，在筛选这种目数的颗粒时，应将目数大（200）的放在目数小（100）的筛网下面，在目数大（200）的筛网中留下的即为-100~200目的颗粒。 目数(mesh)微米(μm)目数(mesh)微米(μm)目数(mesh)微米(μm)目数(mesh)微米(μm) 280002860010015025058 367003055011512527053 447503250012012030048 540003542512511532545 633504038013011340038 728004235514010950025 823604532515010660023 101700483001609680018 1214005027017090100013 1411806025017586134010 16100065230180802000 6.5 1888070212200755000 2.6 2083080180230628000 1.6 24700901602406110000 1.3 目数，就是孔数，就是每平方英寸上的孔数目。目数越大，孔径越小。一般来说，目数×孔径（微米数）＝15000。比如，400目的筛网的孔径为38微米左右；500目的筛网的孔径是30微米左右。由于存在开孔率的问题，也就是因为编织网时用的丝的粗细的不同，不同的国家的标准也不一样，目前存在美国标准、英国标准和日本标准三种，其中英国和美国的相近，日本
一、n 次方根的定义 引例 （1）(±2)2＝４，则称±2为4的 ； （2）23=8，则称2为8的 ； （3）(±2)4=16，则称±2为16的 。 定义：一般地，如果x n =a (n>1,且n ∈N*),那么x 叫做a 的n 次方根。 记作 ,其中n 叫根指数,a 叫被开方数。 练习: (1)25的平方根等于_______________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)81的四次方根等于_______________ (5)a 6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________ 二、n 次方根的性质： 1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。 表示 （2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.表示。 （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0。记作00=a 探究： 归纳： 1、当n 为奇数时, 2、当n 为偶数时, 例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零） 练习１： 练习２： (1)当6
常用幂次数 平方数 立方数 多次方数指数 常用幂次数记忆
1．对于常用的幂次数字，考生务必将其牢记在心，这不仅对数字推理的解题很重要，对数学运算乃至资料分析试题的迅速、准确解答都起着至关重要的作用。 2．很多数字的幂次数都是相通的，比如729＝93＝36＝272，256＝28＝44＝162等。 3．“21～29”的平方数是相联系的，以25为中心，24与26、23与27、22与28、21与29，它们的平方数分别相差100、200、300、400。 常用阶乘数 （定义：n的阶乘写作n!。n!=1×2×3×4×…×（n-1）×n） 200以内质数表 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199 “质数表”记忆 1．“2、3、5、7、11、13、17、19”这几个质数作为一种特殊的“基准数”，是质数数列的“旗帜”，公务员考试中对于质数数列的考核往往集中在这几个数字上。 2．83、89、97是100以内最大的三个质数，换言之80以上、100以下的其他自然数均是合数，特别需要留意91是一个合数（91=7×13）。 3．像91这样较大的合数的“质因数分解”，也是公务员考试中经常会设置的障碍，牢记200以内一些特殊数字的分解有时可以起到意想不到的效果，可将其看作一种特殊意义上的“基准数”。 常用经典因数分解
91=7×13111=3×37119=7×17133=7×19117= 9×13143=11×13147=7×21153=9×17161=7×23171=9×19187=11×17209＝19×11 有了上述“基准数”的知识储备，在解题中即可以此为基础用“单数字发散”思维解题。 例如：题目中出现了数字26，则从26出发我们可以联想到： 又如：题目中出现了数字126，则从126出发我们可以联想到： 【例1】4，6，10，14，22，（）。【2004江苏省公务员录用考试行政职业能力测验试卷B类卷】 A．30 B．28 C．26 D．24 ［答案］C ［解析］4，6，10，14，22，（26）分别是2，3，5，7，11，（13）的两倍。 【例2】2，3，10，15，26，（）。【2005国家公务员录用考试行政职业能力测验试卷一类卷-32题】 A．29 B．32 C．35 D．37 ［答案］C ［解析］2＝12+1；3＝22-1；10＝32+1；15＝42-1；26＝52+1；（35＝62-1）。 ［点评］这里用到26＝25＋1。 【例3】0，9，26，65，124，（）。【2007国家公务员录用考试行政职业能力测验试卷-43题】 A．165 B．193 C．217 D．239 ［答案］C ［解析］0＝13-1；9＝23+1；26＝33-1；65＝43+1；124＝53-1；（217＝63+1）。 ［点评］这里用到26＝27－1。 【例4】3，4，8，26，122，（）。
n次方根教案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
12.4n次方根教学目标 1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念； 2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想； 3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根. 教学重点 1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想； 2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根. 教学难点 理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”. 1，
2．分析：设这个数为x，则可以建立方程x n=a，x叫做a的n次方根. 3．小结： （1）如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根； （2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方. 二、问题探索 1．求x： （1）x5=32，x= ，x5=-32，x= . （2）x4=16，x= ，x4=-16，x= . （3）x5=0，x= ， x4=0， x= . 2．思考：观察以上运算结果，类比平方根a与立方根3a，你能否说明当根指数n取不同的值时，a的n次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？ 3．知识归纳： （1）当n为偶数时，a的n次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a的偶次方根； 正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a”；其中 n a为a的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a叫被开方数，n为根指数；读作“n次根号a”. 0的偶次方根等于0，n0 =0； 负数没有偶次方根（即当a<0时，n a无意义）.
立方根、开立方、n 次方根 【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4 B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9 （2）下列说法正确的是（ ） A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数 B 任何一在个数必有立方根与平方根 C 一个数的立方根必与这个数同号 D 负数没有立方根 【知识点】 2、立方根的性质：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根等于零。（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根） 【基本习题训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。 （1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 （2） 只有零的立方根是它本身。 （3） 只有零的平方根是它本身。 （4） 1的平方根与立方根相同。 ————————————————————————————— 【典型例题2】求下列各数的立方根： (1)1000 (2)27 8 - (3)001.0- (4)0 【知识点】 求一个数a 的立方根的运算叫开立方
【基本习题限时训练】 (1)下列各式中值为正数的是( ) (A)()35 5.2- (B)-()32 4.3- (C)30 (D)37- (2)下列说法中正确的是（ ） (A) 278的立方根是3 2 ± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832 =-- （3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根 （D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数 （4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3 a (B)()a b =-3 (C)3a b = (D)a b =3 【典型例题3】求下列各式的值 （1）364- （2）()3 3 8 （3） 364 324+ -- 【知识点】 类似于平方与开平方之间的关系，根据立方的意义，可以得到： a a =33)(，a a =33 【基本习题限时训练】 （1）算式372964+327 1 -的计算结果是（ ） （A ） 91- （B ）91 （C ） 54 （D ）5 4- （2）若033=+y x ，则x 与y 的关系（ ） （A ）x=y=0 (B)x 与y 相等 （C ）x 与y 互为相反数 （D ）y x 1 =
補充教材 開n 次方根的直式計算與原理 范志軒 編輯 壹、二次方根 在10進位的數字中，若要建構開次方根號的直式計算，得要先觀察數字在次方運算下的進位規律，譬如以二次方為例： 一位數字x ：010x <<20100x ?<< 二位數字x ：10100x ≤<210010000x ?≤< 三位數字x ：1001000x ≤<2100001000000x ?≤< ……… n 位數字x ：11010n n x -≤<2(1)221010n n x -?≤< 上述的規律顯示：2n 或21n -位數字的平方根為n 位數字，因此若要反向求出二次方根，例如622521 的平方根，可以先觀察到此數為6位數，所以平方根為3位數。 其次，若已知622521 的平方根為3位數，如何決定其值？ 二次方根直式計算法 (1) 首先，由小數點位置開始向左或向右每二位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第 二小節，……，以622521為例，共可分成三小節，而每一小節恰可計算出平方根的一位數字 (2) 由第一小節開始，估算出正整數a ，使得2a 最接近此節的數字 將第一小節的數減去2a ，連同次一小節的數字下降至下一列 (3) 令110a a =，估算求出正整數b ，使得()12a b +乘以b 最接近此列上的數 用此列上的數減去()12a b +乘以b ，再連同次一小節的數字下降至下一列 62'25'21 49 1325 2a =7 a =取7 77 8b =取81 10a a =
(4) 令()21010a b a ?+=，估算求出正整數c ，使得()22a c +乘以c 最接近此列上的數 用此列上的數減去()22a c +乘以c ，再連同次一小節上的數字降下至下一列 (5) 若此時降下的數字為0，則開二次根號結束，平方根為10010a b c ++ 否則令()31010010a b c a ?++=，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位數為止 計算二次方根的原理 x a β=+ ()()2 222x a a a βββ=+=++ ? ()222x a a ββ-=+ 令b βγ=+，代入上式 ()()222x a a b b γγ-=+++()()222a b b a b γγ =++++ ?()()2 2 222x a a b b a b γγ--+=++ 令c γω=+，代入上式 ()()()22222x a a b b a b c c ωω--+=++++()()22222a b c c a b c ωω=++++++ ()()()22222222x a a b b a b c c a b c ωω--+-++=+++ ………… 重複上述步驟，直到算出所要求的位數為止 由原理對直式運算作檢驗 例如對622521的平方根運算進行觀察 622521()2 700β=+…………觀察兩側數字，估算得700a = ()26225217002700ββ?-=?+ 令80βγ=+，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得80b = ()()262252170027008080γγ?-=?+++ ()()2622521700270080802700280γγ?--?+=?+?+ 令9γ=，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得9c = 49 1325118414121 1 41 210 777148 8 ()22a c +=891569 9 ()2=2a c c +?9 c =取()2 1010a b a ?+=
负幂次数列和幂次数列 幂次数列是数字推理部分中对数字敏感性要求最高的一部分，也是出题率最高的一部分之一，需要记忆一些常规数字幂次知识。本文通过对近十年的考题回放，得出了幂次数列的出规律及解题技巧，以期对参加国考的同学起到参考作用。 （一）真题回放及答案详解： 2009年第102题、105题 1. 7，7，9，17，43，（） A. 119 B. 117 C. 123 D. 121 【解析】C。这是一道幂数列。规律是：原数列后项与前项的差依次是0、2、8、26；新数列依次可以化成：3的0次方减1，3的1次方减1，3的2次方减1，3的3次方减1；所以（）＝43＋80（3的4次方减1）＝123。 2. 153，179，227，321，533，（） A. 789 B. 919 C. 1229 D. 1079 【解析】D。这是一道幂数列。规律是：原数列各项依次可以化成：150＋31，170＋32，200＋33，240＋34，290＋35，其中新数列150，170，200，240，290后项与前项做差得20，30，40，50，故（）＝60＋290＋36＝1079。2008年第44题、45题 3. 67，54，46，35，29，（） A. 13 B. 15 C. 18 D. 20 【解析】D。这是一道幂数列变形题。题干中数列的每两项之和是：121，100，81，64，49，分别是：11、10、9、8、7的平方。所以（）里就是7的平方－29，即20。 4. 14，20，54，76，（） A. 104 B. 116 C. 126 D. 144 【解析】C。这是一道幂数列的变形题。题干中数列各项分别是：3的平方加5，5的平方减5，7的平方加5，9的平方减5，所以（）里就是11的平方加5，即126。 2007年第42题、43题、45题 5. 1，3，4，1，9，（） A．5 B．11 C．14 D．64 【解析】D。本题规律为：（第二项－第一项）的平方＝第三项，所以（）里应为：（1－9）的平方，即64。 6. 0，9，26，65，124，（） A．165 B．193 C．217 D．239 【解析】C。此题是立方数列的变式，其中：0等于1的3次方减1，9等于2的3次方加1，26等于3的3次方减1，65等于4的3次方加1，124等于5的3次方减1，由此可以推知下一项应：6的3次方加1，即217。7．0，2，10，30，（） A．68 B．74 C．60 D．70 【解析】A。数列各项依次可化成：0的3次方加0，1的3次方加1，2的3次方加2，3的3次方加3，所以（）里应为：4的3次方加4，即68。 2006年一卷第32题、33题、34题 8. 1，32，81，64，25，（），1 A．5 B．6 C．10 D．12 【解析】B。这是一道幂数列题目。原数列各项依次可化为：1的6次方，2的5次方，3的4次方，4的3次方，5的2次方，（6的1次方），7的0次方，因此（）里应为6。 9. －2，－8，0，64，（） A．－64 B．128 C．156 D．250 【解析】D。数列各项依次可化成：-2×（1的3次方），-1×（2的3次方），0×（3的3次方），1×（4的3次方），因此（）里应为：2×（5的3次方），即250。 10. 2，3，13，175，（） A．30625 B．30651 C．30759 D．30952
12.4n次方根教学目标 1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念； 2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想； 3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根. 教学重点 1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想； 2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根. 教学难点 理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”. 1，
2．分析：设这个数为x，则可以建立方程x n=a，x叫做a的n次方根. 3．小结： （1）如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根； （2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方. 二、问题探索 1．求x： （1）x5=32，x= ，x5=-32，x= . （2）x4=16，x= ，x4=-16，x= . （3）x5=0，x= ， x4=0， x= . 2．思考：观察以上运算结果，类比平方根a与立方根3a，你能否说明当根指数n取不同的值时，a的n次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？ 3．知识归纳： （1）当n为偶数时，a的n次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a的偶次方根； 正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a”；其中n a 为a的正偶次方根，也叫做算术偶次方根；a叫被开方数，n为根指数；读作“n次根号a”. 0的偶次方根等于0，n0 =0； 负数没有偶次方根（即当a<0时，n a无意义）.
.-n次方根-()
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教学内容：12.4 n次方根 教学目标：1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念； 2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中 体会分类和类比等数学思想； 3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根. 教学重点：1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想； 2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实 数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根. 教学难点：理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”. 教学过程： 一、温故知新 二、概念解析 1、如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根； 2、求一个数的n次方根的运算叫做开n次方； 3、a叫做被开方数，n叫做根指数； 4、当n为奇数时，数x叫做a的奇次方根；
5、 当n 为偶数时，数x 叫做a 的偶次方根。 三、 问题探索 1、 探究 ? 问题1 ? 27=______， (-2)7=_______; 如果x 7=128，那么x=_______。 ? 35 =______， (-3)5=_______; 如果y 5= --243，那么y=_______。 ? 思考 ? 当根指数n 为奇数时，n 次方根应如何表示？ ? 是不是任何一个数都有奇次方根？ ? 问题2 ? 26=______， (-2)6=_______; 如果x 6=64，那么x=_______。 ? 34 =______， (-3)4=_______; 如果y4=84，那么y=_______。 ? 思考 ? 当根指数n 为偶数时，n 次方根应如何表示？ ? 是不是任何一个数都有偶次方根？ 2、 性质归纳 ? 任意一个实数a 的奇次方根有且只有一个，并且与a 有相同的正负性，表示为 n a （读 作“n 次根号a ”，根指数n 是大于1的奇数） ? 正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根表示为 n a ，负n 次方根表示为 -n a （根指数n 是正偶数） ? 负数的偶次方根不存在（即当a<0，根指数n 是正偶数时，n a 无意义） ? 零的n 次方根等于0，表示为 n 0 =0 3、 例题分析 ? 例题1：（1） 求-24332 的5次方根；
第 六 讲 指 数 函 数 ——指数与指数幂的运算 知识点一、根式 1、概念：式子 n a 叫做根式， n 叫根指数， a 叫被开方数（平方根，立方根， n 次方根的概 念）。 0 的任何次方根都等于 0，记作： n 0 = 0 2、两个等式： A 、n>2 时，且 n N 时， ( n a ) n = a B 、n 为正奇数时， n a n = a ； n 为正偶数时候， n a n a aL L a 0 aL L a 知识点二、分数指数幂 m n a m (a 1、正数的正分数指数幂的意义： a n 0, m, n N , n 1) m 1 2、正数的负分数指数幂的意义： a n 1 (a 0, m, n N , n 1) m n a m a n 3、0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义。 知识点三、分数指数幂的运算性质 1、对任意的有理数 r ， s 均有如下性质： A 、 a r a s a r s (a 0,r , s Q) B 、 ( a r ) s a rs ( a 0, r , s Q) C 、 (ab) r r b r (a 0,b 0, r Q) D 、 ( a ) r a r 0, b 0, r Q) a b b r (a E 、 a r a r s (a 0, r , s Q) a s 2、简化过程：①先括号内，再括号外；②先乘除，后加减；③有根号的，按从内到外的顺序计算；④采用同一种形式；⑤结果要最简。 巩固习题 1、如果 a 0, b 0, m, n 都是有理数，下列各式错误的是（） A 、 (a m ) n a mn B 、 a m a n a m n C 、 ( a )n a n b n D 、 a m a n a m n b 2、 x, y R 时，下列各式恒成立的是（） A 、 ( 6 x 6 y ) 6 x y B 、 8 ( x 2 y 2 ) 8 x 2 y 2 C 、 4 x 44 y 4 x y D 、 10 (x y)10 x y 3、下列各式运算错误的是（） A 、 ( a 2b)2 ( ab 2 ) 3 a 7 b 8 B 、 ( a 2 b 3 )3 ( ab 2 )3 a 3b 3
第二讲 立方根、开立方、n 次方根 【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4± B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9 【解】 C （2）下列说法正确的是（ ） A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数 B 任何一在个数必有立方根与平方根 C 一个数的立方根必与这个数同号 D 负数没有立方根 【解】 C 【知识点】 1、立方根概念：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3 a ”表示， 读作“三次根号a ”， 3 a 中的 a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。 2、立方根的性质：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零。（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根） 【基本习题限时训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。 （1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 （2） 只有零的立方根是它本身。 （3） 只有零的平方根是它本身。 （4） 1的平方根与立方根相同。 【解】（1） √ （2）× （3） √ （4）× 【拓展题1】 1、已知：x =b a m +是m 的立方根，而y=36- b 是x 的相反数，且m=3a-7。求a 、b 、m 的 值. 【解】由题意,可得?????-=-=-=+7363a m m b b a 解得?? ? ??=-==825 m b a 2、立方根有如下性质：3 ab =3 a ?3 b ，3b a =33 b a
计算：（1）36.2101.0?的值 （2）设32=m , 3 3=n ,用含m 、n 的代数式表示348、3 81 16 【解】（1）36.2101.0?=3216001.0?=3001.0?3 216=0.1×6=0.6 （2）348=386?=36×38=332?×2=2mn 38116=381163=33 3 2728??=333332728??=n m 32 ————————————————————————————— 【典型例题2】求下列各数的立方根： (1)1000 (2)278 - (3)001.0- (4)0 【解】（1）10 （2）-3 2 （3）-0.1 （4）0 【知识点】 求一个数a 的立方根的运算叫开立方 【基本习题限时训练】 (1)下列各式中值为正数的是( ) (A)()35 5.2- (B)-()32 4.3- (C)30 (D)37- 【解】D (2)下列说法中正确的是（ ） (A) 278的立方根是3 2 ± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832 =-- 【解】C （3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根 （D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数 【解】D （4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3 a (B)()a b =-3 (C)3a b = (D)a b =3 【拓展题2】
第六讲 指数函数 ——指数与指数幂的运算 知识点一、根式 1 n 叫根指数，a 叫被开方数（平方根，立方根，n 次方根的概念）。0的任何次方根都等于0 2、两个等式：A 、n>2时，且n N + ∈ 时，n a = B 、n a =；n a a a a a ≥?==? -∈> 2 、正数的负分数指数幂的意义：10,,,1)m n m n a a m n N n a -+== >∈> 3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 知识点三、分数指数幂的运算性质 1、对任意的有理数r ，s 均有如下性质： A 、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ B 、()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ C 、()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =?>>∈ D 、()(0,0,)r a a r a b r Q r b b = >>∈ E 、(0,,)r a r s a a r s Q s a -=>∈ 2、简化过程：①先括号内，再括号外；②先乘除，后加减；③有根号的，按从内到外的顺序计算；④采用同一种形式；⑤结果要最简。 巩固习题 1、如果0,0,,a b m n >>都是有理数，下列各式错误的是（ ） A 、()m n mn a a --= B 、m n m n a a a --?= C 、()n n n a a b b -=? D 、m n m n a a a ++= 2、,x y R ∈时，下列各式恒成立的是（ ） A 6x y =- B 22x y =+ C x y =- D x y =+ 3、下列各式运算错误的是（ ） A 、2 2 23 78 ()()a b ab a b -?-=- B 、233 23 33 ()()a b ab a b -÷-= C 、32 23 66 ()()a b a b -?-= D 、32 233 1818 [()()]a b a b ?-=-
12.4 n次方根 教学目标 1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念； 2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中体会分类和类比等数学思想； 3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根. 教学重点 1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想； 2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根. 教学难点 理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”.
教学过程设计 一、问题导入 1．问题：如果一个数的n次方（其中n是大于1的整数）等于a，你能否类比平方根和立方根的意义说明这个数是多少？ 2．分析：设这个数为x，则可以建立方程x n=a，x叫做a的n次方根. 3．小结： （1）如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根； （2）求一个数的n次方根的运算叫做开n次方. 二、问题探索 1．求x： （1）x5=32，x= ，x5=-32，x= . （2）x4=16，x= ，x4=-16，x= . （3）x5=0，x= ，x4=0，x= . 2．思考：观察以上运算结果，类比平方根a与立方根3a，你能否说明当根指数n取不同的值时，a的n次方根可以分为几类？每一类方根有什么性质？ 3．知识归纳： （1）当n为偶数时，a的n次方根有与平方根类似的性质，我们称之为a的偶次方根； 正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作“±n a”；其中n a为
筛网目数,滤网目数,筛子目数,目数换算【目数对照表】筛网目数是指物料的粒度或粗细度，一般定义是指在1英寸×1英寸（25.4mm×25.4mm）的面积内有多少个网孔数，即滤网的网孔数，物料能通过该网孔即定义为多少目数：如200目，就是该物料能通过1英寸×1英寸内有200个网孔的筛子（查看[表1]目数对照表）。以此类推，目数越大，说明物料粒度越细，目数越小，说明物料粒度越大。 泰勒标准筛制：泰勒筛制的分度是以200目筛孔尺寸0.074mm为基准，乘或除以主模数方根（1.141）的n次方（n＝1，2，3……），就得到较200粗或细的筛孔尺寸，如果数2的四次方根（1.1892）的n次方去乘或除0.074mm，就可以得到分度更细的一系列的筛孔尺寸。 一般来说，目数×孔径（微米数）＝15000。比如，400目的滤网的孔径为38微米左右；500目的滤网的孔径是30微米左右。由于存在开孔率的问题，也就是因为编织网时用的丝的粗细的不同，不同的国家的标准也不一样，目前存在美国标准、英国标准和日本标准三种，其中英国和美国的相近，日本的差别较大。我国使用的是美国标准，也就是可用上面给出的公式计算。 [表1]目数对照表（孔径、粒度与目数换算表） 目数孔径mm 粒度 μm 目数孔径mm 粒度μm 目数孔径mm 粒度 μm 4 4.7500 4750 50 0.3000 297 650 0.0210 21 5 4.0000 3900 60 0.2500 250 800 0.0190 19 6 3.3500 3350 70 0.2120 1000 0.0150 15 7 2.8000 2800 80 0.1800 178 1100 0.0130 13 8 2.3600 2360 100 0.1500 150 1300 0.0110 11 10 2.0000 2000 120 0.1250 124 1600 0.0100 10 12 1.7000 1700 140 0.1060 104 1800 0.0080 8.00 14 1.4000 1400 170 0.090 89 2000 0.0065 6.50 16 1.1800 1180 200 0.0740 74 2500 5.50 18 1.0000 880 230 0.0630 61 3000 5.00 20 0.8500 840 270 0.0530 53 3500 4.50 25 0.7100 710 300 0.0400 48 4000 3.40 30 0.6000 590 325 0.0450 44 5000 2.70 35 0.5000 500 400 0.0380 38 6000 2.50 40 0.4250 420 460 0.0300 30 7000 1.25 45 0.3550 350 540 0.0260 26