第十六章分式
从分数到分式
主备人：初审人：
终审人：
【导学目标】
1．能用分式表示实际问题中的数量关系，感悟分式的模型思想；了解分式的概念，明确整式与分式的区别.
2．理解并掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零的方法.
3．经历用字母表示实际问题中的数量关系的过程，进一步发展符号感，在此基础上掌握分式中字母取值的方法.
【导学重点】
理解并掌握分式的概念，体会其内涵.
【导学难点】
对分式中字母取值范围的认识.
【课前准备】
明确整式的概念.
【学法指导】
类比，延伸.
【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
1．分式的概念.
2．分式中的分母应满足什么条件.
二、检查预习、自主学习
1．课本第2页思考（1）、（2）.
2．分式中的分母应满足什么条件时分式才有意义?
分式无意义的条件是： .
分式的值为零的条件是： .
三、教师引导
1．对思考（1），引导学生温故，采用先讨论再个别提问的方法，回顾分数、整式.并探索思考（2），找出异同点.（按小组思考、交流）.通过观察类比形成分式的概念.
2．区分整式与分式，在考虑为什么分数的分母不能为0，从而知道分式中的分母应满足什么条件时分式才有意义.
四、问题导学、展示交流
例1 下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？
（1）1
a
（2）
6
x
（3）
27
x
x
（4）
24a b + （5）22x y x y -+ （6）221
3
x x -+- 例2 当x 取什么数时，下列分式有意义？
（1）23x
（2）1x x - （3）1
53b - （4）x y x y +-
五、点拨升华、当堂达标
1．课本P4练习1、2、3.
2．当x 为何值时，分式
232x
x -+无意义？ 3．当x 为何值时，分式232
x
x -+无意义？
4．当x 为何值时，分式232x
x x -+的值为0？
5．当x 为何值时，分式5
6x -的值为1？
6．当x 为何值时，分式2
3x
+的值为负数？
六、布置预习
１．当x 取何值时，下列分式有意义？ （1）
32
x + （2）532x x +- （3）2254x x --
２.当x 为何值时，分式的值为0？
（1）75x x + （2）7213x x - (3)221
x x x
--
【课后反思】
练习课
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1．继续了解分式、有理式的概念.
2．继续理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 【导学重点】
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
【导学难点】
能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 【课前准备】
分式的意义． 【学法指导】
类比． 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
1．继续了解分式、有理式的概念.
2．继续理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
二、检查预习、自主学习
１．当x 取何值时，下列分式有意义？
（1）
32
x + （2）532x x +- （3）2254x x --
２.当x 为何值时，分式的值为0？
（1）75x x + （2） 7213x x - (3)221
x x x
--
三、教师引导
分式的值为0时，必须同时满足两个条件：一是分母不能为零；二是分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
四、问题导学、展示交流
１．思考第1页的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
小组讨论设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时.
轮船顺流航行100千米所用的时间为10020v +小时，逆流航行60千米所用时间60
20v
-小时，所以
10020v +=60
20v
-. ２．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
x
7 , 209y
+, 54-m , 238y y -，91-x
五、点拨升华、当堂达标
１．列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？
（1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.
（3）x 与y 的差于4的商是 .
２．当x 取何值时，分式21
32
x x +-无意义？
３．当x 为何值时，分式
2
1
x x x
--的值为0？ 六、布置预习
1．下列分数是否相等？可以进行变形的的依据是什么？
23 46 812 1624 3248
2．分数的基本性质是什么？试着用字母表示分数的基本性质. 3．课本第4—5页内容. 【课后反思】
分式的基本性质（1）
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1．了解分式的基本性质
2．灵活运用分式的基本性质进行分式的变形 【导学重点】
1．了解分式的基本性质
2．灵活运用分式的基本性质进行分式的变形 【导学难点】
灵活运用分式的基本性质进行分式的化简 【课前准备】
分数的基本性质． 【学法指导】
类比、迁移． 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务 1．理解分式的基本性质．
2．运用分式的基本性质进行分式的化简． 二、检查预习、自主学习
1．下列分数是否相等？可以进行变形的的依据是什么？
23 46 812 1624 3248
2．分数的基本性质是什么？试着用字母表示分数的基本性质．
3．类比分数的基本性质，你能猜想出分式有什么性质吗？ 三、教师引导
１.通过具体例子引导学生回忆分数的通分、约分的依据——分数的基本性质，再用类比方法得出分式的基本性质．
２.联想分数的约分，再联想例2，引导学生怎样对分式进行约分．（约分何时为止？）
四、问题导学、展示交流
1．P5例2.填空（学生先独立思考，然后分小组讨论）．
应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变. 2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号.
（1）23a b -- (2)32x y - (3)2
2x a
--
五、点拨升华、当堂达标
1．课本第8页练习1及习题第4、5、6题.
2．利用分式的基本性质，将下列各式化为更简单的形式.
（1）2bc
ac （2）()2x y y xy + （3）()22
x xy x y ++
六、布置预习
阅读教材P6-P8相关内容，思考，讨论，交流下列问题. 1.分数怎么约分？与分数的约分类似，你能把分式
248a
a b
约分吗？分式约分的依据是什么？分式约分约去的是什么？
2．什么叫分数的通分? 类似于分数的通分，你能说出分式的通分吗？什么叫做最简公分母？
【课后反思】
分式的基本性质（2）
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1.类比分数的约分、通分，理解分式约分通分的意义.
2.类比分数的约分、通分，掌握分式约分通分的方法与步骤. 【导学重点】
运用分式的基本性质正确的进行分式的约分通分. 【导学难点】
通分时最简公分母的确定；运用通分法则将分式进行变形. 【课前准备】
分数的基本性质. 【学法指导】
类比、迁移． 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
运用分式的基本性质进行分式的通分. 二、检查预习、自主学习
１．小学学过的约分通分应注意些什么？
２．你预习后对分式的约分通分有什么体会？怎样确定最大公约数与最小公倍数？ 三、教师引导
阅读教材P6-P8相关内容，思考，讨论，交流下列问题. １.做下列各题： （1）
464
(2)20128
你做这些题目的根据是什么?我们称为什么运算？ 2.与分数的约分类似，你能把分式
248a
a b
约分吗？分式约分的依据是什么？分式约分约去的是什么？
3.什么叫做分式的约分？什么叫做最简分式?
4.把分数
12,34,5
6
通分.什么叫分数的通分? 5.类似于分数的通分，你能说出分式的通分吗？什么叫做最简公分母？ 四、问题导学、展示交流 P6例3.约分.
为约分要先找出分子和分母的公因式. P7例4.通分.
通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.
五、点拨升华、当堂达标
1.课本第8页练习2及习题第7题.
2.约分:
(1) 22
220ab a b (2) 22244
x x x x --+ (3)22969
x x x --+ (4)2222
48422x xy y x y -+- 3.通分：
（1）26x ab ,29x a bc (2) 2121a a a -++,2
6
1a - （3） 223a a +，332a -,2215
49
a a +-
六、布置预习
（1) x x x 3222+= ()3+x (2) 32386b b a =()
3
3a
（3) c a b ++1=()cn an + (4) ()
222y x y x +-=()y x -
【课后反思】
练习课
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1.继续类比分数的约分、通分，理解分式约分通分的意义.
2.继续类比分数的约分、通分，掌握分式约分通分的方法与步骤. 【导学重点】
做一些练习. 【导学难点】
熟练通分和约分. 【课前准备】
通分和约分. 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
1.继续类比分数的约分、通分，理解分式约分通分的意义.
2.继续类比分数的约分、通分，掌握分式约分通分的方法与步骤. 二、检查预习、自主学习 填空：
（1) x x x 3222+= ()3+x (2) 32386b b a =()
3
3a
（3) c a b ++1=()cn an + (4) ()
222y x y x +-=()y x - 三、教师引导
要在上节课的基础上更加熟练地进行通分约分的计算. 四、问题导学、展示交流 1．约分：
（1）c
ab b a 2
263 （2）2228mn n
m （3）532164xyz yz x - （4）x y y x --3)(2 3．通分： （1）
321ab 和c b a 2252 （2）xy a 2和23x b
（3）
223ab c 和2
8bc a - （4）11-y 和11+y
五、点拨升华、当堂达标
1．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1) 2
33ab
y x -- (2) 2317b a --- （3) 2135x a -- (4) m b a 2
)(-- ２．判断下列约分是否正确： （1）
c b c a ++=b a
（2）2
2y x y x --=y x +1 （3）
n
m n
m ++=0 ３．通分： （1）
231ab 和b a 272 （2）x x x --21和x
x x +-21 ４．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号. （1）
b
a b
a +---2 （2）y x y x -+--32
六、布置预习
1.阅读教材P10-P12内容，完成下列问题.
2.用语言描述分数的乘除法法则，并用字母表示出来. 【课后反思】
分式的乘除（1）
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1.通过类比分数的乘除运算法则，探究得出并掌握分式的乘除法法则.
2.会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数划归能力.
3.能解决一些与分式有关的简单实际问题.
【导学重点】
分式的乘除法法则. 【导学难点】
运用分式的乘除法法则对分子、分母是多项式的分式进行乘除运算和符号变化. 【课前准备】
分数的乘除运算. 【学法指导】
类比、迁移． 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
分式的乘除法法则，用法则会进行计算. 二、检查预习、自主学习
1．分数乘除法计算法则内容你还清楚吗？
2．P10问题1 的由来依据是_______________，水面的高的由来依据是__________. 3．问题2的数量关系是什么？
4．猜一猜，可以用分数乘除法的法则来推广分式的乘除法法则吗？
三、教师引导
阅读教材P10-P12内容，思考、讨论、交流完成下列问题. １.用语言描述分数的乘除法法则，并用字母表示出来.
２.类比分数的乘除法法则，用语言描述分式的乘除法法则，并用字母表示出来.
３.在进行分式的乘除运算时，如果分式的分子、分母是多项式时，应该怎么办？分式的乘除法对运算结果有什么要求？
四、问题导学、展示交流 P11例1，这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果.
P11例2，这道例题分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
P12例3，这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是（ ）（ ），还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a ＞1,因此()
2
2121a a a -=--＜221a -+,即
()21a -＜21a -，可得出“丰收2号”单位面积产量高.
五、点拨升华、当堂达标
1．课本13页练习第2、3题；
2．课本22页习题16.2第1、2（1）（2）题. 六、布置预习 复习旧知：
1.分式的乘除法法则.
2.乘方的意义. 【课后反思】
分式的乘除（2）
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1．经历探索分式的乘方过程，并结合具体情境说明其合理性. 2．会进行简单分式的乘除乘方的混合计算，具有一定的化归能力. 【导学重点】
熟练地进行分式的乘方运算． 【导学难点】
熟练地进行分式的乘、除、乘方的混合运算． 【课前准备】
乘方的意义． 【学法指导】
类比、迁移． 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务 1.分式的乘方法则；
2.分式的乘、除、乘方混合运算法则. 二、检查预习、自主学习
分式的乘除法法则；2.乘方的意义；3.分数的乘方法则． 三、教师引导
问题1：美术课上需要一张边长为
b
a
cm 的正方形卡纸，你能算出它的面积吗？ 问题2：一个正方体的容器，它的棱长为b
a
,你能求出它的容积吗？
根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算：
=??? ??2b a ． =??
?
??3
b a =??
? ??10
b a ==b a b a b a b a n .
)( 分式的乘方法则： ．
四、问题导学、展示交流 例5.计算：
（1）2223a b c ??- ???； （2）3
2
23322a b a c cd d a ????÷? ? ?-????
分式乘除乘方的混合运算解题步骤是： ． 计算：
(1)()22
22
2xy x xy x x xy y x y
-?÷-+- (2)()()22
2142y x x y xy x y x +-÷?- (３)已知()2
490a b ++-=,求
22222a ab a ab
b a b
+-?-的值. 五、点拨升华、当堂达标
课本15页练习1、2及课本22页习题16.2第2、3题. 六、布置预习
什么叫通分？通分的关键是什么？什么叫最简公分母? 分数的加减运算法则是什么？ 【课后反思】
练习课
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1.通过类比分数的乘除运算法则，探究得出并掌握分式的乘除法法则.
2.会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数划归能力.
3.能解决一些与分式有关的简单实际问题. 【导学重点】
熟练地进行分式的乘方运算． 【导学难点】
熟练地进行分式的乘、除、乘方的混合运算． 【课前准备】
分式的乘除法和分式的乘方． 【学法指导】
类比、迁移． 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
１.会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数划归能力. ２.能解决一些与分式有关的简单实际问题. 二、检查预习、自主学习
什么叫通分？通分的关键是什么？什么叫最简公分母? 分数的加减运算法则是什么？计算下列各式：
（1）
1255+ (2)1255- (3)1123+ (4)1123
- 三、教师引导
分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.
四、问题导学、展示交流
(1))
4(3)98(232b x b a xy y x ab -÷-?
=x
b b a xy y x ab 34)98(23232-?-? (先把除法统一成乘法运算)
=x
b b a xy y x ab 34982323
2?? （判断运算的符号） =3
2916ax b （约分到最简分式） (2) x x x x x x x --+?+÷+--3)
2)(3()3(444622
=x x x x x x x --+?+?+--3)
2)(3(3
1444622
(先把除法统一成乘法运算) =x x x x x x --+?+?--3)2)(3(3
1)2()3(22
(分子、分母中的多项式分解因式) =
)3()
2)(3(31)2()3(22
---+?+?--x x x x x x =2
2--
x 五、点拨升华、当堂达标
（1）)2(216322b a a bc a b -?÷ （2）10332
6423020)6(25b
a c c a
b b a
c ÷-÷ （3）x y y x x y y x -÷
-?--9)()()(34
3
2 （4）22222)(x y x xy y xy x x xy -?+-÷- 六、布置预习 计算
11
23
-，并回忆分数的加减法法则： ． 类比分数的加减法，你能猜想出分式的加减法法则吗？分别用语言和式子表示分式的加减法法则. . 【课后反思】
分式的加减（１）
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1．知道分式加，减的一般步骤，能熟练进行分式的加减运算． 2．进一步渗透类比思想、化归思想． 【导学重点】
异分母分式的加减运算． 【导学难点】
分式的通分．
【课前准备】
分数的加减法．
【学法指导】
类比、迁移．
【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
掌握分式的加减法法则，并能够熟练的运用．
二、检查预习、自主学习
计算11
23
-，并回忆分数的加减法法则：．
类比分数的加减法，你能猜想出分式的加减法法则吗？分别用语言和式子表示分式的加减法法则.．
三、教师引导
阅读教材P15-P16相关内容，思考，讨论，交流后完成下列问题.
1.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？
2.同学们能说出最简公分母的确定方法吗？
3.通分： .
分式通分时，要注意：
4．归纳：
（1）同分母的分式加减法．
（2）异分母的分式加减法．
四、问题导学、展示交流
教材P16例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子是个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号．
五、点拨升华、当堂达标
课本16页练习1、2及习题第4、5题
已知
1
3
ab
a b
=
+
,
1
4
bc
b c
=
+
,
1
5
ca
c a
=
+
,求
abc
ab bc ac
++
的值.
六、布置预习
1.我们已经学习了分式的哪些运算．
2.分式的乘除运算主要是通过进行的，分式的加减运算主要是通过进行的.
3.分数的混合运算法则是什么？
【课后反思】
分式的加减（2）
主备人：初审人：
终审人：
【导学目标】
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 【导学重点】
熟练地进行分式的混合运算. 【导学难点】
熟练地进行分式的混合运算. 【课前准备】
分数的四则混合运算． 【学法指导】
类比、迁移． 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 二、检查预习、自主学习
1.我们已经学习了分式的哪些运算？
2.分式的乘除运算主要是通过 进行的，分式的加减运算主要是通过 进行的.
3.分数的混合运算法则是什么？ 三、教师引导
一、认真阅读P17例7，例8.学习例题的解题方法和步骤. 二、合作探究，生成总结 1.计算：
（1）222
11()x y
x y x y x y +÷
-+- （2）2121()a a a a a -+-÷ 归纳：
1.分式的混合运算步骤为：（1） ，（2） ，（3） .
四、问题导学、展示交流
1.计算
22224
x x x x x x ???÷ ?+--??； 2211xy x y x y x y ??+÷ ?-+-??
. 2.课本P18页练习第2题 五、点拨升华、当堂达标 1.课本第23页习题第6题. 2.若
()()353131
x A B
x x x x -=+-+-+，求A 、B 的值.
六、布置预习
1.回忆正整数指数幂的运算性质.
2.回忆0指数幂的规定.
3.完成P18页练习2. 【课后反思】
练习课
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1.明确分式混合运算的顺序.
2.熟练地进行分式的混合运算. 【导学重点】
熟练地进行分式的混合运算. 【导学难点】
熟练地进行分式的混合运算. 【课前准备】
分数的四则混合运算. 【学法指导】
类比 迁移. 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务 1.明确分式混合运算的顺序. 2.熟练地进行分式的混合运算. 二、检查预习、自主学习
（1) x x x x x 22
)242(2+÷-+- （2）)11()(
b a a b b b a a -÷--- （3）)2
122()41223(
2+--÷-+-a a a a 三、教师引导 （1）x x
x x x x x x -÷+----+4)4
4122(
22
这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边..
解：x x
x x x x x x -÷+----+4)4
4122(
2
2
=)4(])2(1)2(2[2
--?----+x x
x x x x x =)
4(])2()1()2()2)(2([
2
2--?-----+x x
x x x x x x x x =)4()
2(422--?-+--x x x x x x x =4
41
2
+--
x x （2）2
2
2
4442
y
x x y x y x y x y y x x +÷--+?- 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.
解：2
22
4442
y x x y x y x y x y y x x +÷
--+?- =2
2222224))((2
x y x y x y x y x y x y y x x +?-+-+?- =22))((y x y x y x y x xy --
?+- =
))(()
(y x y x x y xy +--
=y
x xy
+-
四、问题导学、展示交流 (1) )1)(1(y
x x y x y +--+ (2) 22
242)44122(
a
a
a a a a a a a a -÷-?+----+ (3) zx
yz xy xy
z y x ++?++)111(
五、点拨升华、当堂达标 计算24)2121(
a
a a ÷--+，并求出当=a -1的值. 六、布置预习
1.回忆正整数指数幂的运算性质.
2.回忆0指数幂的规定.
3.完成P21页练习题. 【课后反思】
整数指数幂（1）
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1．知道负整数指数幂n
a
-=
n
a 1
（0a ≠，n 是正整数）. 2．掌握整数指数幂的运算性质. 【导学重点】
掌握整数指数幂的运算性质. 【导学难点】
掌握整数指数幂的运算性质. 【课前准备】
熟悉正整数指数幂的运算性质. 【学法指导】
类比、迁移. 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
引入负整数指数幂后，前面学习的正整数指数幂的运算性质可推广到整数指数幂. 二、检查预习、自主学习
1.回忆正整数指数幂的 算性质.
2.回忆0指数幂的规定. 三、教师引导 1.前置自学
探索负整数指数幂的运算性质，仿照同底数幂的除法公式来计算：
2555÷= 371010÷=
(2)利用约分计算这两个式子：
22
5
53515555÷== 337
74
10110101010
÷==
由此，我们得到3
5
-= 410-=
整数指数幂的运算法则： . 归纳:一般地,当n 是正整数时，()0_______
≠=-a a n
，这就是说，()0≠-a a n 是n a 的倒数.
2.填空
（1）-22= （2）(-2)2= （3）(-2) 0=
（4）20
= (
5）2 -3
= (
6）(-2) -3
=
3.计算 (1)
()2
32x y - (2)()3
222x y x y --? (3)()()2
3
2223x y x y --÷
四、问题导学、展示交流 1.教学P20例9、10题.
2.将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式. （1）()
2
221a bc --- （2）
()
()
3
2
2
3x y y z ---
（3）()22
5x
y z --- (4)()231x y x y -
五、点拨升华、当堂达标 1.课本第21页练习1、2.
2.已知327x
-=,2439
y
??= ???,251x +=,求x ,y ,z 的值.
六、布置预习
用科学记数法表示下列各数：
（1）光的速度是300000000米/秒；
（2）银河系中的恒星约有160000000000个. 【课后反思】
整数指数幂（2）
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
学会小于1的正数用科学记数法表示的方法. 【导学重点】
掌握小于1的正数用科学记数法表示.
【导学难点】
学会正数指数与负整数指数用于科学记数法的区别. 【课前准备】
熟悉用科学记数法表示较大数的方法. 【学法指导】
知识迁移.
【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
会用科学记数法表示小于1的正数. 二、检查预习、自主学习 用科学记数法表示：
8684000000= ；-8080000000= .
三、教师引导
1.填空： 10-1=0.1；10-2= ；10-3= ；10-4= ；10-5
= ；10-6
= ；10-n
= ；
你发现用10的负整数指数幂表示0.00…01这样较小的数有什么规律吗？请说出你总结的结论：____________________________________________________
2、用科学记数法表示下列各数：
（1）0.001 (2) -0.000001 （3）0.001357 （4）-0.000000034 想一想：从上题的解题过程中你发现了什么？
3.归纳：用科学计数法表示绝对值较小的数可写成10n a -?的形式，其中a 要求1≤│a │＜10，n 为正整数.其中n 的值等于___________.
四、问题导学、展示交流
1.用科学记数法填空：
（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒= 秒 （2）1毫克= 千克
（3）1米是1微米的1000000倍，则1微米= 米 （4）1纳米= 微米 （5）1平方厘米= 平方米 （6）1毫升= 升 2.用科学记数法表示下列结果：
（1）地球上陆地的面积为149000000平方公里，用科学记数法表示为 .
（2）一本200页的书厚度约为 1.8厘米，用科学记数法表示一页纸的厚度约等于 .
3、用科学计数法表示下列各数：
0．00004， -0.034, 0.00000045, 0.003009 五、点拨升华、当堂达标 1.课本第22页练习1、2
2.用科学计数法表示下列各数并保留2个有效数字： 0.000665； 0.0000896 六、布置预习
完成P22页练习题. 【课后反思】
练习课
主备人： 初审人： 终审人：
【导学目标】
1．理解负整数指数幂n
a
-=
n
a 1
（0a ≠,n 是正整数）. 2．熟练掌握整数指数幂的运算性质.
3.复习小于1的正数用科学记数法表示的方法. 【导学重点】
做练习. 【导学难点】
掌握整数指数幂的运算性质. 【课前准备】
负整数指数幂和科学计数法. 【导学流程】
一、呈现目标、明确任务
1．熟练掌握整数指数幂的运算性质.
2.复习小于1的正数用科学记数法表示的方法. 二、检查预习、自主学习
1．回忆正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：n m n m
a a a +=?(,m n 是正整数)；
（2）幂的乘方：mn n m a a =)((,m n 是正整数)； （3）积的乘方：n n n
b a ab =)
((n 是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：n m n m
a a a -=÷(0a ≠，,m n 是正整数，m n ＞)；
（5）商的乘方：n n
n b
a b a =)((n 是正整数)；
2．回忆0指数幂的规定，即当0a ≠时，10
=a .
3．你还记得1纳米=10-9
米，即1纳米=910
1米吗？
4．计算当0a ≠时，5
3
a a ÷=53a a =233a a a ?=21
a
，再假设正整数指数幂的运算性质
人教版八年级数学上册导学案 第十五章 分式 15.2.1分式的乘除 【学习目标】 1. 掌握分式的乘除运算法则，并利用法则进行运算及解决有关的简单的实际问题； 2．能应用分式的乘除法法则进行乘除混合运算。 3．在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。 【课前预习】 1．下列运算正确的是（ ）． A ．22423a a a += B ．222()m n m n -=- C ．331a a a a ??÷-?=- ??? D ．()326x x -=- 2．已知22439 x x x -÷--，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ ） A ．3x - B ．2x - C ．3x + D ．2x + 3．计算21133 x x x ??-? ?+??的结果是（ ） A ．13x x - B ．13x x -- C ．13x x + D ．13x x +- 4．下列运算正确的是（ ） A ．2a 3?a 4＝2a 12 B ．（﹣3a 2）3＝﹣9a 6 C ．a 2÷a×1a ＝a 2 D ．a?a 3+a 2?a 2＝2a 4 5．化简211m m m m --÷的结果是 （ ） A ．m B ．1m C ．1m - D ．1m m -
6．若a 与()b -互为相反数，则221921992020a b ab +的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2020 7．化简221121a a a a a --÷++的结果是（ ） A ．12 B ．1a a + C ．1a a + D ．12 a a ++ 8．下列计算结果正确的有（ ） ①2313x x x x x ?=；②22323864a a b a b ???-=- ???；③222111 a a a a a a ÷=-+-；④1a b a b ÷?=；③()22221a b a b b a ab ????-?-÷= ? ????? ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．222142x x x ÷--的计算结果为（ ） A ．2x x + B ．22x x + C ．22x x - D ．2(2) x x + 10．植树节时，某班学生平均每人植树6棵．如果单独由女生完成，每人应植树15棵，那么单独由男生完成，每人应植树（ ） A ．9棵 B ．10棵 C ．12棵 D ．14棵 【学习探究】 阅读课本，完成下列问题 1、约分：⑴233123ac c b a = ⑵ ()2xy y y x += ⑶ ()22y x xy x ++= ⑷() 222y x y x --= 2、分数的乘除： 32×54=()()()()??,75×92=()()()() ??，
第十五章 分 式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．了解分式的概念，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 2．能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 一、自学指导 自学1：自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空．(5分钟) 总结归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，分 式A B 中，A 叫做分子，B 叫做分母． 点拨精讲：分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性． 自学2：自学课本P128页“思考与例1”，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．(5分钟) 总结归纳：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义；当B ≠0，A ＝0时，分式A B ＝0. 点拨精讲：分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 课本P128－129页练习题1，2，3. 小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 当x 取何值时：(1)分式12x 2x －3有意义？(2)分式12x 2x 2＋3有意义？(3)分式3x 2x －1无意义？(4) 分式12x |x|－3无意义？(5)分式|x|－22x ＋4的值为0？(6)分式x 2－9x －3 的值为0? 解：(1)要使分式12x 2x －3有意义，则分母2x －3≠0，即x ≠32；(2)要使分式12x 2x 2＋3有意义，则分 母2x 2＋3≠0，即x 取任意实数；(3)要使分式3x 2x －1无意义，则分母2x －1＝0，即x ＝1 2；(4)要使分 式 12x |x|－3无意义，则分母|x|－3＝0，即x ＝±3；(5)要使分式|x|－22x ＋4的值为0，则有? ????|x|－2＝02x ＋4≠0，即x ＝2；(6)要使分式x 2－9 x －3的值为0，则有? ????x 2 －9＝0x －3≠0，即x ＝－3. 学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
第十六章分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式. 2.能够确定一个分式有意义、无意义、为零的条件. 3.能用分式表示现实情境中的数量关系. 自学指导：阅读课本2页至4页，完成课前预习. 知识探究（一） 式子 a s ，s v 以及引言中的v 20100+，v -2060有什么特点？ 它们与分数的相同点是：形式相同都有分子和分母； 不同点是：分式中分母含有字母. 它们与整式的相同点是：形式相同，都含有分子和分母，并且都含有字母； 不同点是：整式的分子含有字母，分母不含有字母；分式的分母含有字母. 一般的如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，其中A 叫做分子， B 叫做分母. 自学反馈 独立思考下列各式中，哪些是分式？ （1） s -b 2（2）a -3003000（3）72（4）S V （5）32 S （6）2x 2+51（7）c 5b 4+（8）-5（9）3x 2-1 （10）1 -2x y xy -x 2 2+（11）5x-7 解：分式有（1）（2）（4）（7）（10） 教师点拨：判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件. 知识探究（二） 思考：1.分式AB 的分母有什么限制？ 当B=0时，分式 B A 无意义. 当B≠0时，分式B A 有意义. 2.当B A =0时分子和分母应满足什么条件？ 当A=0且B≠0时，分式 B A 的值为零. 自学反馈 1.当x 取何值时，下列分式有意义?当x 取何值时，下列分式无意义? （1）2x 3+（2）2x -35x +
振兴初中八年级数学（下）导学案 课题：16、1、1 从分数到分式 课型：新课 课时： 主备人：李英 审核人： 编号;SX-8-1-1 学习目标：1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。 重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 一、预习新知： 1、 什么是整式？ 2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 21；2x+y ； 2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 3、 阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式吗？ 4、 自主探究：完成p 2的“思考”，通过探究发现， a s 、s V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 5、 归纳：分式的意义： 。上面所看到的 a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、v +20100、v -2060都是 。 我们小学里学过的分数有意义的条件是 。那么分式有意义的条件 是 。 二、课堂展示： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）、5x-7 ；（2）、3x 2-1 ；（3）123+-a b ；（4）、7 ) (p n m +；（5）、—5 ；（6）、1222-+-x y xy x 。 （7）、 72；（8）、c b +54 。 例2、p 3的“例1” 例3、x 为何值时，下列分式有意义？ （1）、1-x x ； （2）、1 5622++-x x x （3）、242+-a a ； 例4、x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）、1 1 +-x x ；（2）、392+-x x ；（3）、112+-a a （4）11--x x 三、随堂练习： p 4的“练习” 四、课堂检测： 1、下列各式中，（1）y x y x -+（2）1 32+x （3）x x 13-（4）π22y xy x ++（5）14.3--πb a （6）0.整式是 ， 分式是 。（只填序号） 2、当x= 时，分式2 +x x 没有意义。3、当x= 时，分式112+-x x 的值为0 。 4、当x= 时，分式22x x +的值为正，当x= 时，分式1 1 32+-a a 的值非负。 5、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同而行则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙 的速度的（ ）倍. Ａ. b b a + Ｂ.b a b + Ｃ.a b a b -+ Ｄ.a b a b +- 6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场 7、使分式6 3 ||2 ---x x x 没有意义的x 的取值是（ ）A.―3、B.―2、C. 3或―2、D. ±3 五、小结与反思：
鸡西市第十九中学学案 过点P 作1PA OP ⊥，垂足为A ，过点作PM x ⊥轴，垂足为M ，
鸡西市第十九中学学案
2014年（）月（）日班级姓名
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 1.已知α是锐角，若sin α＝3 5 ，则2cos ????α－π4=________. 2. 1cos 2x x - cos x x cos x x + sin π12－3cos π 12 cos )x x - x x sin15cos15o o + (两种方法) 【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】 问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． a sin x ＋b cos x ＝a 2 ＋b 2x x ? ? ?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝ b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋ b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋ b 2 ， 其中φ (a ，b )决定． 辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π 2 . (1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝_________ ____； (3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________； (5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________. 【当堂训练】 1．函数f (x )＝sin ????x ＋π3＋sin ??? ?x －π 3的最大值是 2．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈? ?? ?0，π2的最小值为 3．函数f (x )＝2sin x 2sin ???? π3－x 2的最大值等于 4．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值． 《辅助角公式》专题 2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名
16、1、1 从分数到分式 八年数学 备课人：韩见光 刘恒哲 审核 2012、3、1 学习目标：1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。 重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 一、课前热身： 1、 什么是整式？ 2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 21；2x+y ；2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 3、 自主探究：完成p 2的“思考”，通过探究发现，a s 、s V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 4、 归纳：分式的意义： 。上面所看到的a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、v +20100、v -2060都是 。 我们小学里学过的分数有意义的条件是 。那么分式有意义的条件是 。 二、课堂展示： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）、5x-7 ；（2）、3x 2-1 ；（3）123+-a b ；（4）、7 )(p n m +；（5）、—5 ；（6）、1 22 2-+-x y xy x 。 （7）、72；（8）、c b +54。 例2、p 3的“例1” 例3、x 为何值时，下列分式有意义？
（1）、1 -x x ； （2）、15622++-x x x （3）、242+-a a ； 例4、x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）、1 1+-x x ；（2）、392+-x x ；（3）、112+-a a （4）11--x x 三、随堂练习： p 4的“练习” 四、课堂检测： 1、下列各式中，（1）y x y x -+（2）1 32+x （3）x x 13-（4）π22y xy x ++（5）14.3--πb a （6）0.整式是 ，分式是 。（只填序号） 2、当x= 时，分式2 +x x 没有意义。3、当x= 时，分式112+-x x 的值为0 。 4、当x= 时，分式22x x +的值为正，当x= 时，分式1 132+-a a 的值非负。 5、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同而行则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍. Ａ.b b a + Ｂ.b a b + Ｃ.a b a b -+ Ｄ.a b a b +- 6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场 7、使分式6 3||2---x x x 没有意义的x 的取值是（ ）A.―3、B.―2、C. 3或―2、D. ±3 五、小结与反思：
§3．1 分式（2） 【学习目标】 1.掌握分式的基本性质. 2.能利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形. 3.掌握分式约分的方法，能将分式化简. 【学习重点】 1.分式的基本性质. 2.利用分式的基本性质约分、化简. 【学前准备】 1、分式的定义________________________________________________ 2、下列哪些是分式 3、请你谈谈分数与分式有何区别. 【师生探究，合作交流】 一、分式的基本性质 分数的基本性质：分数的分子与分母都_________________________________，分数的值不变. 1、填空： ______；_______；________（a≠0）； ________(a≠0) ________（d≠0） 类比分数，你发现了什么？ 分式的基本性质：_________________________________________________ __________________________________________________________________ 例1下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）= (y≠0) ；（2）= 解：∵y≠0 ∴== 解：∵ x≠0 ∴
想一想：为什么“x≠0” 二、分式约分 利用分数的基本性质可以对分数进行约分化简.利用分式的基本性质也可以对分式约分化简. 1、复习分数约分： 化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如，3和12的最大公约数是3，所以==. 2、仿照分数约分，对分式进行约分 ==ac； ==； ==； = 3、约分的定义：___________________________________________________ 化简的结果中__________________________________的分式称为最简分式. 4、约分时先把分子分母中的多项式分解因式，化为积的形式，再约分。 5、如何寻找最大公因式： ①取相同字母系数的最大公约数； 它们的乘积就是最大公因式 ②取相同的字母； ③取相同字母中的最低次幂；你用了______分钟完成预习！例 2、化简下列各式（注意书写规范） ；；；；
第十六章分式 从分数到分式 主备人：初审人： 终审人： 【导学目标】 1．能用分式表示实际问题中的数量关系，感悟分式的模型思想；了解分式的概念，明确整式与分式的区别. 2．理解并掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零的方法. 3．经历用字母表示实际问题中的数量关系的过程，进一步发展符号感，在此基础上掌握分式中字母取值的方法. 【导学重点】 理解并掌握分式的概念，体会其内涵. 【导学难点】 对分式中字母取值范围的认识. 【课前准备】 明确整式的概念. 【学法指导】 类比，延伸. 【导学流程】 一、呈现目标、明确任务 1．分式的概念. 2．分式中的分母应满足什么条件. 二、检查预习、自主学习 1．课本第2页思考（1）、（2）. 2．分式中的分母应满足什么条件时分式才有意义? 分式无意义的条件是： . 分式的值为零的条件是： . 三、教师引导 1．对思考（1），引导学生温故，采用先讨论再个别提问的方法，回顾分数、整式.并探索思考（2），找出异同点.（按小组思考、交流）.通过观察类比形成分式的概念. 2．区分整式与分式，在考虑为什么分数的分母不能为0，从而知道分式中的分母应满足什么条件时分式才有意义. 四、问题导学、展示交流 例1 下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？ （1）1 a （2） 6 x （3） 27 x x
（4） 24a b + （5）22x y x y -+ （6）221 3 x x -+- 例2 当x 取什么数时，下列分式有意义？ （1）23x （2）1x x - （3）1 53b - （4）x y x y +- 五、点拨升华、当堂达标 1．课本P4练习1、2、3. 2．当x 为何值时，分式 232x x -+无意义？ 3．当x 为何值时，分式232 x x -+无意义？ 4．当x 为何值时，分式232x x x -+的值为0？ 5．当x 为何值时，分式5 6x -的值为1？ 6．当x 为何值时，分式2 3x +的值为负数？ 六、布置预习 １．当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） 32 x + （2）532x x +- （3）2254x x -- ２.当x 为何值时，分式的值为0？ （1）75x x + （2）7213x x - (3)221 x x x -- 【课后反思】 练习课 主备人： 初审人： 终审人： 【导学目标】 1．继续了解分式、有理式的概念. 2．继续理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 【导学重点】 理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
本章整合 知识网络 专题探究 专题一指数、对数的运算问题 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容． 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 【应用1】已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为() A.6 B．9 C．12 D．18 解析：由2a＝3b＝k(k≠1)，知k>0，且a＝l og2k，b＝l og3k，将它们代入2a＋b＝ab，得2l og2k＋l og3k＝l og2k·l og3k，即 2 12k og ＋ 1 13k og ＝ 1 1213 k k og og ? ，所以2l og k3＋l og k2＝1，l og k9＋l og k2＝1，l og k18＝1，因此k＝18. 答案：D 【应用2】(1)化简 3 41 8 33 22 42 33 a a b b ab a - + ÷3 1 b a ? - ? 3ab (2)求值： 1 2 l g 32 49 － 4 3 l8＋l g 245 提示：利用指数与对数的运算法则运算即可． 解：(1)原式＝ 1 3 1111 22 3333 (8) (2)2() a a b b a b a - ++ × 1 3 11 33 2 a a b - × 1 3 a 1 3 b＝ 1 3(8) 8 a a b a b - - × 1 3 a× 1 3 a 1 3 b ＝3b.
八年级数学下册《第十六章分式》导学案湘 教版 湘教版 16、1 分式 16、1、1 从分数到分式学习目标： 1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。重点： 分式的概念和分式有意义的条件。难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 一、预习新知： 1、什么是整式？ 2、下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？；2x+y ；；；；3a ；5 、 3、阅读“引言”，“引言”中出现的式子是整式吗？
4、自主探究：完成p2的“思考”，通过探究发现，、、、与分数一样，都是的形式，分数的分子A与分母B 都是，并且B中都含有。 5、归纳：分式的意义： 。上面所看到的、、、、、都是。我们小学里学过的分数有意义的条件是。那么分式有意义的条件是。 二、课堂展示：例 1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）、5x-7 ；（2）、3x2-1 ；（3）；（4）、；（5）、”号：（1）、（2）、（3）、（4）”号：（1）、（2）、（3）”号：（1）= 、（2）y2 、（2）x2+xy 、（3）9a2+6ab+b2 、（4）x2+x-6 。猜想利用分式的基本性质能对分式进行上面“2”的运算吗？自主探究：p6的“思考”。归纳：分式的约分： 最简分式： 二、课堂展示： 1、例 1、p6的“例3”通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是什么？ 2、例 2、约分：（1）、（2）、（3）。 三、随堂练习： 1、p8的“练习”中的1 。
第十五章分式导学案 16.1.1 从分数到分式 1、能判断一个代数式是否为分式 2、能说出一个分式有意义的条件 3、会求分式值为零时，字母的取值 会求分式有意义时，字母的取值范围 求分式值为零时，字母的取值 1.自主探究：什么是整式？ 2.完成 P127--128 页思考后回答问题： 一般的，整式A除以整式 ____________ B，可以写成的形 式。如果 B 中含有 __ A 式子A就叫 _ ，其中 A叫___ ， B叫 ___ 。 B 3.分式有意义的条件是什么？分式的值为O的条件是什么？ 4.我的疑惑： 1.下列哪些代数式是整式，哪些代数式是分式？ ① b ② 2a+b ③ - 2 ④ 2x ⑤ a ⑥ 2 ⑦ x- z 2a 3x 3 3 x 5 y 整式有：；分式有： 2.（对照例 1 ）解答： 已知：分式x 2 3x 4 1）当x 取何值时，分式没有意义？ 3.当 x 为何值时，下列各式有意义？2 ）当 x取何值时，分式有意义？ 4. 当 x 取何值时，分式的值为 0？
2x 2x 5x ，，2. 2 x 4 x 1 x21 、质疑导学： 1 ．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
2x 1 时 , 分式 2x 1 无意义 .4. 当 ___ 3x 4 4x 3 __时 , 分式 x 的值为 1.6. 当 时 , 分式 x 有意义 . 8x 6 ___时 , 分式 1 的值为正 . x5 归纳小结： 1. 判别分式的方法： 9x+4, 7 , 9 y x 20 整式有： 2. 当 x 取什么值时，下列分式有意义？ m4 5 8y 3 1 x9 x1 x （ 3） 2x 1 x3 （ 2） 2 1） 1 （ 4） 1 ） 2） 3） 需要的条件为（ 1） 2） 1 、式子① 2 ② x y x5 1 2a A. ①②③⑥ B . ①③⑤ 2、分式有意义的条 件 3. 分式的值为零所 1 ⑤ ＋4 1a C. ①③ D. ① ② y 中，是分式的有 （ 2 、分式 x a 中，当 3x 1 A ．分式的值为零 a 时，下列结论正 确的是 （ B . 1 C. 若 a 时 , 分式的值为零 3 分式无意义 1 D. 若 a 时 , 分式的值为零 3 五、学后反思 ： 时分式 2 x 的 值 为负 1 16.1.2 分式的基本性质（ 1 ）
《分式的概念》学案 一、知识梳理： 1、_________________________________________叫分式。当________________时，分式有意义；当_________________时，分式无意义；当__________________时，分式值为零；当______________时，分式值为1。 2、_____________和____________________统称为有理式。 二、课堂精练： 1、下列各式：①3x ②x 215 ③ x y 4272- ④πe 7 ⑤y x a 572- ⑥x x 22，其中整式有 __________________，分式有________________，有理式有____________________________。 2、下列分式中，一定有意义的是_____________ A 、15 22--x x B 、112+-x x C 、x x 31 2+ D 、12+x x 3、题2中错误的选项要有意义，请你求各式的x 的取值范围。 4、要使分式 1 2 -+x x 的值为零，则x 的取值是____________________。 5、当________________时，分式 ) 3)(1(2 +-+x x x 无意义。 6、对于分式 1 21 -+x x ，当___________时，它的值为正；当______________时，它的值为负。 三、双基巩固： 1、请你写出一个分式，满足当x=2时它无意义，这个分式可以是__________________；当x=2时它的值为零，这个分式可以是______________________。 2、当x_______________时，分式 4 2 -x x 无意义。
第十五章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 15．1分式 15．2分式的运算 15．3分式方程 其中，15．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排
新人教版八年级下册数学导学案（全册） 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 1-m m 3 2+-m m 112 +-m m
第十五章 分式 15.3 分式方程 第2课时 分式方程的应用 学习目标：1.理解实际问题中的数量关系. 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 重点：能通过列分式方程解决实际问题. 难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程. 一、知识链接 1.解方程： 2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？ （1） ；（2） ；（3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案. 3.列方程（组）解应用题的关键是什么？ 二、新知预习 4.完成下面解题过程： 小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？ （1）请找出上述问题中的等量关系； 答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解； 解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得 _________________________. 解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________. 答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为： 第一步，审清题意； 第二步，根据题意设未知数； 第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程； 第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________； 第五步，作答． 三、自学自测 1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( ) A.300x －2060＝3001.2x B.300x －3001.2x ＝20 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 241122x x x x += --
§3.1 分式（1） 课题导入：教师自主设计 学习目标： 1、了解分式的概念，明确分式与整式区别与联系； 2、掌握分式是否有意义以及分式的值是否等于0的方法。 自学过程： 阅读教材，独立完成下列问题，若有疑问请记录下来，在交流评价时解决。 1、下面我们来看几个问题： （1）、正n 边形的每个内角为__________度. （2）、一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m k g ，箱子的质量为n k g ，则每千克苹果的售价是 元。 （3）、有两块棉田，有一块x 公顷，收棉花m 千克，第二块y 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是 千克。 （4）、文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a 元，现降价x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b 元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是 册。 2、上面的几个代数式的共同特征：（1） （2） 3、分式的概念： 4、分式与整式的区别是 . 5、下列各式中， 是整式， 是分式.（填序号） ①5x －7 ②3x 2 －1 ③123+-a b ④7)(p n m + ⑤－5 ⑥1222-+-x y xy x ⑦c b +54 . 交流评价1：把你的结果和想法与同学相互交流。 6、填表 7、你有何发现？ 。 即分式有意义条件是 8、学习例题，完成P67随堂练习和习题。 交流评价2：把你的结果和想法与同学相互交流。 达标检测： 1 、分式 B A 有意义： ，分式B A 无意义： ； 2、分式B A 的值为0，则A 、B 满足的条件是： 。
3、当x 时,分式 1051--x x 有意义；当x 时，分式3 2-x x 的值等于0。 4、当x 时,分式112--x x 无意义；当x 时，分式1 1 2--x x 的值等于0。 5、（1）当x 时,分式 18-x 有意义；（2）当x 时,分式1 2 2+x 有意义； （3）当x 时,分式9 1 2-x 无意义;（4）当a 时,分式a a 21+无意义; 6、当a= 时，分式a a 21 +的值为0；当x = 时，分式3 92--x x 的值为0； 拓展训练： 1、当x 为何值时，分式1 21 22+--x x x ⑴有意义？⑵无意义？⑶值为零。 2、当x 为何值时，下列分式有意义？⑴ 13-+x x ；⑵22-x ；⑶2122++x x ；⑷5 332-+x x 3、x 为何值时，分式的值为0？⑴ 12+x x ⑵33+-x x ⑶x x x 222++⑷1 3 2+x 自我小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 课后作业：课后习题
第16章《分式》题型复习导学案 学习目标:复习和提高同学们解题方法和技巧. 题型1、分式的概念。 下列各式中是分式的（填序号）（ ） ①－x 3 ②53ｘ ③ 21 ④ m s 72- ⑤－x 1＋２ ⑥ｂ＋3 b 知识2、分式有意义的条件：当a 或x 取什么值时，下列分式有意义？ 1、当a 取 时，分式 a a 3334--无意义。2、当x 时，分式912-x 有意义。 题型3、分式值为零的条件：当x 取何值时，下列分式的值为零？ 1、122--x x 2、 6 292--x x 3、当分式||33 x x -+的值为零时,x 的值为( ). A.0 B.3 C.-3 D.±3 题型4、分式的符号法则: 填上使等式成立的符合 - 321+-x x =（ ）321+-x x =( )3 21---x x 题型5、约分： 1、计算2 2()ab a b -的结果是（ ）A ．a B ．b C ．1 D ．－b 2、化简22 2a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a - B ．a b a - C ．a b a + D ．b - 3、化简：22 22444m mn n m n -+-= ． 题型6、通分： 把下列各题中的分式通分:（1）ab h 3，b a k 222 （2）)4(2+m n ，16 52--m mn 题型7、分式的运算。 1、化简：2111x x x x -+=++ ． 2、化简：2 24442x x x x x ++-=-- ．
3、计算21111 a a a ? ?+÷ ?--??= 4、化简b a a a b a -?-)(2的结果是 （ ）A ．b a - B ．b a + C ．b a -1 D ．b a +1 4、化简a a a a a a 2422-??? ? ??+--的结果是（ ）A －4 B ．4 C ．2a D ．－2a 6、化简11y x x y ??? ?-÷- ? ?????的结果是（ ）A ．y x - B ． x y - C ． x y D ．y x 7、分式111(1) a a a +++的计算结果是（ ）A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a + 8、化简22424422x x x x x x x ??--+÷ ?-++-?? ，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82 x + 9、化简：x x x x x 2)242(2-÷+-+ 10、化简：1a b a b b a ++-- 11、化简: 35(2)482y y y y -÷+--- 12、化简：2414a ??+ ?-??·2a a +． 13、计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 14、先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =．
分式小结与复习 【学习目标】： 了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题。 学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。 学习难点 ：分式方程的应用。 学习过程 ： 一、知识点复习： 1. 分式的概念 （1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。 （2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件： 分式的分母不能为 0，即A B 中， B ≠ 0 时，分式有意义。 3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00A B =??≠?时，A B = 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。 A A M B B M ?=?, A A M B B M ÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分 （1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母; （3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母 ①取各分母系数的最小公倍数。 ②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。 ③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 ④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。 （2）将各分式化成相同分母的分式。 7. 分式的约分 （1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。 （3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。 8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。用式子表示为：a a a b b b -==--；a a a a b b b b ---=-==-- 9. 分式的乘除法则 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
15.1.1 从分数到分式 学教目标：1、了解分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。 2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。 3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类 代数式。 学教重点： 分式的概念和分式有意义的条件。 学教过程： 学教难点： 分式的特点和分式有意义的条件。 一、 温故知新： 1、 什么是整式？ ，整式中如有分母， 分母中 （含、不含）字母 2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？ a 2 1；2x+y ； 2y x - ；a 1 ；x y x 2- ；3a ；5 . 3、 阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式吗？ 4、 自主探究：完成p127的“思考”，通过探究发现， a s 、s V 、 v +20100、v -2060 与分数一样， 都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 。 5、 归纳：分式的意义： 。 代数式 a 1 、x y x 2-、a s 、s V 、 v +20100、v -2060 都是 。分数有意义的条件 是 。那么分式有意义的条件是 。 二、 学教互动： 例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）5x-7 （2）3x 2-1 （3） 123+-a b （4）7 ) (p n m + （5）—5 （6） 1 22 2-+-x y xy x （7） 72 （8）c b +54 例2、p 128的“例1”填空： （1）当x 时，分式 x 32有意义 （2）当x 时，分式1-x x 有意义 （3）当b 时，分式b 351 -有意义