第一讲 函数(文)
第一节 初等函数
函数是高中数学的主干知识，是高中数学的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础. 一般地, 在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. 难度值一般控制在0.5～0.8之间. 考试要求： ①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域；③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；④了解反函数的概念及指数函数x a y =与对数函数x a y log =互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质；. 题型一 判定初等函数的性质 例1 求函数1sin sin
2
1sin
322
3
--+
=
x x x y 的值域.
点拔 函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令s i n ,[1,1
t x t =∈-得3
2
21132
y t t t =
+
--，本题
就转化为求3
2
21132
y t t t =
+
--，[1,1]t ∈-的值域. 三次函数求值域常用导数的方法.
解 sin ,[1,1]
t x t =∈-令,则3
2
21()1
3
2
y f t t t t ==
+
--,∴
2
21(21)(1)y t t t t '=+-=-+,
由0y '>,得12
t >
或1t <-；由0y '<,，得12
1t -<<
，列表：
1,2
t ∴=
函数有极小值1
21111312
3
8
2
4
2
24()1f =
?
+
?
-
-=-
又2113
2
6
(1)11,f -=-+
+-=-
,2153
2
6
(1)11f =
+--=-,∴311
24
6
[,]y ∈-
-.
易错点 ①令sin ,[1,1]t x t =∈-，忽略了[1,1]t ∈-；②错误地认为最值一定在端点处取得.
变式与引申1： 函数3sin 1sin 2
x+y x =-的值域为_____________
题型二 抽象函数的性质
例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且当x >0时，
f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.
点拔 此题()f x 是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一个具体函数满足条件，如
x x f 2)(=，由此
猜想抽象函数()f x 在[]2,1-是递增函数，再用定义证明递增.：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，再利用0,()0x f x >>判断1()f x 与2()f x 的大小关系.下面只要求出
(2),(1)f f -的值就行.
解 设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，
由条件当x >0时，f x ()>0
∴->f x x ()210又)()()()[()(11121122x f x f x x f x x x f x f >+-=+-=
∴f x ()为增函数， 令0x y ==得(0)0f =，再令用1,1x y ==-得出
2)1()1(=-=∴f f ,
令1x y ==- 得f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为]24[，- 易错点 利用性质“当x >0时，()0f x >”证明单调性，易出错.
变式与引申2： 设函数y=)(x f 是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件： ①对任意正数y x ,有)()()(y f x f xy f +=；②当1>x 时，0)( (1)求)9 1()1(f f 、的值; （2）证明+ R x f 在)(上是减函数. 题型三 函数奇偶性的判断 例3 判断函数2()(0,)a x f x x x a R =+ ≠∈的奇偶性. 点拔 利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则 为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证()f x -与()f x 的关系，若 ()()f x f x -=（或()()()0, 1() f x f x f x f x --==-）则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=- （或()()()0, 1() f x f x f x f x +-==--）则()f x 为奇函数.当难于得出()()f x f x -≠和 ()()f x f x -≠-的时候，可以考虑验证特殊值. 解 当0a =时，2()f x x =为偶函数； 当0a ≠时，(1)1,(1)1f a f a =+-=-0,11,()()a a a f x f x ≠∴-≠+-≠ 0,(1)1,()()a a a f x f x ≠∴--≠+--≠ ()f x ∴既不是奇函数也不是偶函数. 易错点 ①用定义判断奇偶性时，容易漏掉0a =的情况. ②0a ≠的情况难于得出()f x -与()f x 的关系，易出错. 变式与引申3： 设a 为实数，函数2()||1()f x x x a x R =+-+∈．讨论()f x 的奇偶性. 题型四 函数思想的应用 例4 关于 x 的方程2||10x x a -+-=有四个不同的解，求a 的取值范围. 点拔 此题有多种思考方法：法1： 原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一 元二次方程：2 10(0)x x a x -+-=>和2 10(0)x x a x -+-=<.原方程有四个不同的解，等价于2 10(0)x x a x -+-=>有2个不等的正解，且2 10(0)x x a x -+-=<有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题. 法2：把原方程看作是关于x 的一元二次方程，则令,0t x t =>，则原问题等价于 2 10t t a -+-=有2个不等的正数解. 法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：2||1x x a -+=-，问题等价于函数 2 ||y x x a =-+和1y =-的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形：2 2 ||1,||1.x x a x x a --=--=- 解 法1 2||10x x a -+-=有四个不同的解等价于2 10(0)x x a x -+-=>有2个不等的 正解， 且210(0)x x a x -+-=<有2个不同的负数解. 2 10(0)x x a x -+-=>有2个不等的正解1212 014(1)0 501410 0a x x a R a a x x ?>-->????∴+>?∈?<>?? 2 10(0) x x a x -+-=<有2个不同的负数解 1212 014(1)0 501410 0a x x a R a a x x ?>-->???? ∴+>?? 综上所述：514 a << . 法2 令,0t x t =>则原问题等价于210t t a -+-=有2个不等的正数解. 1212 014(1)0 501410 0a t t a R a a t t ?>-->???? ∴+>??. 法3 在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2||y x x =-a 的取值必须满足41 41 1 a a ->???; ③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题.. 变式与引申4： （2011年北京卷。文）已知函数32 , 2()(1),2x f x x x x ?≥?=??- 若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同 的实根，则数k 的取值范围是_______ 本节主要考查 ①初等函数的基本性质（定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问题；②通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题；③熟练作出初等函数的图像利用数形结合；④函数思想. 点评 （1）基本方法：①熟练掌握基本初等函数的性质和图像；②初等函数利用变量代换转化为基本初 4 a 111-- 等函数； ③求出中间变量的范围. （2）求定义域的常用方法: 根据函数解析式求函数的定义域，利用函数式有意义，列出不等式组，再解出.函数式有意义的依据是： ①分式分母不为0；②偶次方根的被开放数不能小于0；③对数函数的真数大于0,底数大于 0且不等于1； ④终边在y 轴上的角的正切没有意义；⑤00没有意义；⑥复合函数()f g x ????的定义域，要保证内函数()g x 的值域是外函数()f x 的定义域. ⑦实际问题或几何问题给出的函数定义域除了要考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题或几何问题有意义. （3）求值域的常用方法:①观察法；②配方法；③导数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形结合法； ⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法. （4 习题1—1 1. 函数4 1 2 ()x x f x += 的图象( ). A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴 对称 2. 已知函数1()f x =的值域是[0,) +∞,则实数m 的取值范围是________________． 3. 已知定义域为R 的函数122 ()x x b a f x +-++= 是奇函数，求,a b 的值. 4. 定义在R 上的函数()y f x =,(0)0f ≠,当0x >时,()1f x >,且对任意的a 、b R ∈,有 ()()()f a b f a f b +=. （1）求证：f (0)=1；（2）求证：对任意的x R ∈,恒有()0f x >； 5. 设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+.关于x 的方程:2()f x x x a =++在区间[0,2]上有两个根，求实数a 的取值范围. 第二节 导数 导数是文科生研究函数的单调性，求函数极（最）值等的重要工具之一，导数是历来高考的必考点.导数对文科生来说，在课标中增加了三角函数，指数，对数函数等的导数，导数在文科高考中必须引起重视. 导数在历来高考中一般在一个小题、一个大题中出现.难度值控制在0.5～0.8之间. 考试要求 ①了解导数概念的实际背景,理解导数的概念及其几何意义；②了解函数的单调性与导数的关系,会求函数的极大(小)值及闭区间上的最值；③能求一些初等函数的导数；④了解函数在某点取得极值的充要条件；⑤能够用导数研究函数的单调性,利用导数解决某些实际问题. 题型一 初等函数的导数 例1 设函数3 2 sin 3 2 ()tan f x x x θθθ= + +,其中512 [0, ]πθ∈，且2)1(='f ，求θ. 点拨 看清题目中变量x 和θ，)(x f 的自变量是x ，θ为参变量，因此)(x f 是三次函数；于是先对)(x f 求导，再求)1(f '，从而转化为已知三角函数值求角的问题. 解 ∵,cos 3sin )(2x x x f ?+ ?='θθ ∴(1)sin f θθ'=+ = sin()3 2 π θ+=， 又512 [0, ]πθ∈,33 3 4 [, ]πππθ+ ∈,∴33 4 ππθ+ = ,得512 πθ= . 易错点 ①此题)(x f 中含有两个字母，学生误以为是三角函数，求导数时按三角函数求导法则；. ②容易忽略θ的范围. 变式与引申1： 设函数3 2 sin ()tan 3 2 f x x x θθ= + +，其中 512 [0,]πθ∈，则导数(1)f '的取值范围是_________. 题型二 初等函数的单调区间和极值 例2 已知函数3 2 ()3f x x bx cx d =+++在(,0)-∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，且 ()0f x =的一 个根为b -.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求证：()0f x =还有不同于b -的实根1x 、2x ，且1x 、 b -、2x 成等差数列；（Ⅲ）若函数()f x 的极大值小于16，求(1)f 的取值范围. 点拨 第（Ⅰ）问中由已知得出函数的极大值点是0=x ，即可解出c 的值；第（Ⅱ）问要使21,,x b x -成 等差数列，必须b x x 221-=+，因此关键是将)(x f 因式分解，再借助韦达定理推出1x 、 b -、2x 三者的关系；用函数的思想分析第（Ⅲ）问，将(1)f 看作是关于b 的函数)(b g ，题目即 转化为求)(b g 的值域问题. 解 （Ⅰ）2()36f x x bx c '=++，0x =是极大值点，(0)0, 0f c '==∴. （Ⅱ）令()0f x '=，得0x =或2b -,由()f x 的单调性知22,1b b -≥≤-∴，b -是方程 ()0f x = 的一个根，则323 ()3()02b b b d d b -+-+==-? . ∴ 3232 2 ()32()(22)f x x bx b x b x bx b =+-=++-, 方程22220x bx b +-=的根的判别式22244(2)120b b b ?=--=>. 又222()2()230b b b b b -+--=-≠，即b -不是方程22220x bx b +-=的根 ∴()0f x =有不同于b -的根1x 、2x . 122x x b +=-，∴1x 、b -、2x 成等差数列. （Ⅲ）根据函数的单调性可知0x =是极大值点, ∴ 3 (0)16 216 2f b b -<>-∴，于是21b -<≤-, 令3()(1)231g b f b b ==-++,求导2 ()63g b b '=-+,21b -<≤-时，()0g b '<, ∴()g b 在(2,1]--上单调递减,∴(1)()(2)g g b g -≤<-即0(1)11f ≤<. 易错点 在第（Ⅱ）问中学生对)(x f 进行因式分解时易出错或不能因式分解，分解之后易忽视判断“b - 不是方程2 2 220x bx b +-=的根”； 第（Ⅲ）问中学生不易从函数的角度分析(1)f 的取值范围. 变式与引申2：设函数()sin cos 1,f x x x x =-++02x π<<，求函 数()f x 的单调区间与极值. 题型三 导数与不等式 例3 已知函数32 13 ()f x x x ax b = -++的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程 为.23-=x y (Ⅰ) 求实数b a ,的值；(Ⅱ) 设1 )()(-+=x m x f x g 是[2,)+∞上的增函数. 求实数m 的 最大值； 点拔 ① 过三次函数图像上一点的切线方程可用导数求斜率,再用点斜式求直线方程，从而布列方程组求 出b a ,的值；②利用“函数在某区间上递增(递减),其导数在这区间上恒大于(小于)零”转化为不等式恒成立的问题. 解 (Ⅰ) 由a x x x f +-='2)(2 及题设得???-=='.2)0(,3)0(f f 即? ??-==.2,3b a (Ⅱ) 由1 233 1)(2 3-+ -+-= x m x x x x g 得2 2(1) ()23.m x g x x x -'=-+- ∵)(x g 是[2,)+∞上的增函数， ∴0)(≥'x g 在[2,)+∞上恒成立. 即2 2(1) 230m x x x --+- ≥在[2,+∞]上恒成立, 设2(1)x t -=. ∵[2,)x ∈+∞， ∴[1,)t ∈+∞, 即不等式t m t -+2≥0在[1,)+∞上恒成立. 当0≤m 时，设02≥-+=t m t y 在[1,)+∞上恒成立. 当m ＞0时，设02≥-+=t m t y ，[1,)t ∈+∞. 因为2 1t m y + ='＞0，所以函数t m t y -+=2在[1,)+∞上单调递增. 因此.3min m y -= ∵,0min ≥y ∴,03≥-m 即.3≤m 又0m >, 故03m <≤. 综上，m 的最大值 为3. 易错点 有些学生错用1 )()(-+ =x m x f x g 是[2,)+∞上的增函数0)(≥'?x g 的解为 [2,)+∞. 变式与引申3：设函数3 ()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成 立，求实数a 的值. 题型四 导数与解析几何 例4 已知函数c bx ax x x f ++-=23)(． (Ⅰ) 若函数()y f x =的图像上存在点P ，使P 点处的切线与x 轴平行，求实数a ,b 的关系式； (Ⅱ) 若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，且其图像与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的 取值范围． 点拨 本题的关键是将几何问题转化为代数问题.第(Ⅰ)问中“点P 的存在性问题”转化为“方程0)(='x f 解的存在性问题”；第(Ⅱ)问中“图像与x 轴有且只有3个交点”转化为“)(x f 的极大值大于0，且极小值小于0”. 解 (Ⅰ) b x a x x f +-='23)(2, 设切点为),(00y x P , 则曲线)(x f y =在点P 处的切线的斜率b ax x x f k +-='=02 0023)(, 由题意，知023)(02 00=+-='b ax x x f 有解，∴ 24120a b ?=-≥ 即23a b ≥. (Ⅱ)由已知可得1x =-和3x =是方程2()320f x x ax b '=-+=的两根， ∴ 2133 a -+= ，133 b -?= ，∴ 3a =，9b =-． ∴ ()3(1)(3)f x x x '=+-，∴ ()f x 在1x =-处取得极大值，在3x =处取得极小值． ∵ 函数()y f x =的图像与x 轴有且只有3个交点， ∴ (1)0,(3)0. f f ->?? 又3 2 ()39f x x x x c =--+， ∴ 1390, 2727270c c --++>??--+ 解得527c -<<． 易错点 有些学生对三次函数图像与x 轴（或平行x 轴的直线）的交点问题难以从整体把握， 难以找到几何问题转化为代数问题的切入点. 变式与引申4： 设函数()|1||1|f x x ax =+++，已知)1()1(f f =-，且R a ∈（R a ∈, 且0≠a ），函数32 ()g x ax bx cx =++（R b ∈，c 为正整数）有两个不同的极值点，且该 函数图像上取得极值的两点A 、B 与坐标原点O 在同一直线上. （1）试求a ，b 的值；（2）若0x ≥时，函数()g x 的图像恒在函数()f x 图像的下方，求正整数c 的值. 本节主要考查 初等函数的导数；导数的运算；利用导数研究函数的极值、单调性；求切线等数形结合的思想和函数与方程的思想. 点评： ① 求)(x f 在[]b a ,的最值的方法： ② 求)(x f 单调区间、极值的方法： ③利用导数，求曲线)(x f y =在点()00,y x 处的切线方程，先求)(0x f k '=再求方程 ).)((000x x x f y y -'=- 习题1—2 1．已知2 ()3(2),(2)f x x xf f ''=+则= . 2. 曲线321x y e x =+-在点（0，1）处的切线方程为 ． 3. 设定函数32 ()3 a f x x bx cx d = +++(a ＞0)，且方程 ' ()90f x x -=的两个根分别为1，4. （Ⅰ）当=a 3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围. 4. 已知函数3 2 2 3 ()39f x x ax a x a =--+． （Ⅰ）设1a =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若14 a >，且当[14]x a ∈，时，|()|12f x a '≤恒成立，试确定a 的取值范围． 5. 设函数3 2 13 2 ()a f x x x bx c =- ++，其中0a >，曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线 方程为1=y . （Ⅰ）确定c b ,的值; （Ⅱ）设曲线()y f x =在点11(,())x f x 及22(,())x f x 处的切线都过点(0,2).证明：当12x x ≠时， 12()()f x f x ''≠； （Ⅲ）若过点(0,2)可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围. 第三节 函数的单调性、最值和极值 函数的单调性、最（极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最（极）值的要求提高了，可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法.难度值控制在0.3～0.6之间. 考试要求：①了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数的单调性的方法；②了解函数单调性与导数的关系；③能求函数的最大（小）值；④掌握用导数研究函数的单调性. 题型一 已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值. 例1 设函数ax x a x x f 2)2(36)(2 3+++=. （1）若)(x f 的两个极值点为21,x x 且121=x x ，求实数a 的值； （2）是否存在实数a ，使得)(x f 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 点拨 因为是三次函数，所以只要①利用“极值点0)(='?x f 的根”，转化为一元二次方程根的问题；②利用)(x f 在(,)-∞+∞上单调)(x f '?＞0（＜0），转化为判断一元二次函数图像能否在x 轴上方的问题. 解 2 ()186(2)2f x x a x a '=+++ （1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而12218 1a x x = =,所以9a =； （2）由2 2 36(2)418236(4)0a a a ?=+-??=+>，得()0f x '=总有两个不等的实根， ()f x 不恒大于零，所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数. 易错点 ①三次函数的极值点21,x x 与原函数)(x f 的导数关系不清； ②含参变量a 的问题是逆向思维，学生易出现错误； ③学生不会将)(x f 在(,)-∞+∞上是单调函数的问题转化为()0(0)f x '><恒成立问题. 变式与引申1：(2011年高考江西卷理) 设()f x x x ax 3 2 11=- + +232 （1）若()f x 在(,2 +∞3 ）上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当a 0<<2时，()f x 在[,]14上的最小值为16- 3 ，求()f x 在该区间上的最大值． 题型二：已知最（极）值或其所在区域，通过单调性分析参变量的范围. 例2已知函数32()(1) (2)()f x x a x a a x b a b =+--++∈R ，． （1）若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a ，b 的值； （2）若函数()f x 在区间（-1，1）上至少有一个极值点．．．．．．．． ，求a 的取值范围．点拔：第（1）问利用已知条件可得()00,(0)=0f f '=，求出a ，b 的值.第（2）问利用“极值点()0f x '?=”的根转化为一元二次方程根的分布问题. 解析：（1）由函数()f x 的图像过原点，得0b =， 又2 ()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+，()f x 在原点处的切线斜率是3-， 则(2)3a a -+=-，所以3a =-，或1a =． （2）法一：由()0f x '=，得1223 a x a x +==- ，．又()f x 在(1,1)-上至少有一个极值点， 即112 3a a a -< ，，或2113 23a a a +? -<- ，．解得1112a a -< ??? -- ?- ? ?? ??? ，， ． 法二：2 ()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+,由题意 ①'()0f x =必有一根在(-1,1)上, 故''(-1)(1)0f f ?<,即22(54)(1)0a a a ---<,解得51a -<<-； 或'(-1)=0f ，则1a =±，当1,(1)0a f ==（舍去），当1a =-时，经检验符合题意； 同理'(1)=0f ，则15a =或，经检验，均不符合题意，舍去. ②'()0f x =有两个不同的根在(-1,1)上 故''(-1)0(1)00 f f ?>?>???>? 解得：11 1122a a -<<--<<或 所以，a 的取值范围115122? ??? -- ?- ? ?? ??? ，， . 易错点：①解不等式()0f x '>出错；②第（2）问的解法一，不易分析.；③第（2）问的解法二，分类讨论，不易讨论完整. 变式与引申2：将（2）中改为“()f x 在区间（-1，1）上有两个极值点”，或改为“()f x 存在极值点，但在区间（-1，1）上没有极值点”，如何求a 的取值范围？ 题型三 函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题 例3 设函数2 1 32 ()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （1）求a 和b 的值； （2）讨论()f x 的单调性； （3）设32 23 ()g x x x = -，试比较()f x 与()g x 的大小． 点拔 此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数()f x 与()g x 的大小，可构造新函数()()()F x f x g x =-，再通过分析函数()F x 的单调性来讨论()F x 与0的大小关系. 解 （1）因为1 22()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1 e (2)(32)x x x x ax b -=+++， 又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==， 因此6203320a b a b -+=?? ++=?， ， 解方程组得13 a =- ，1b =-． （2）因为13 a =-，1 b =-，所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-， 令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =． 因为当(2)x ∈-∞-，(01)?，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-?+∞，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的． （ 3 ） 由 （ 1 ）可 知 21 32 1()e 3 x f x x x x -=- -， 故 2 1 32 ()()()e (e ) x x F x f x g x x x x x - - =-=-=-， 令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-．令()0h x '=，得1x =， 因为(]1x ∈-∞， 时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减． 故(]1x ∈-∞， 时，()(1)0h x h =≥； 因为[)1x ∈+∞， 时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增． 故[)1x ∈+∞， 时，()(1)0h x h =≥． 所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又2 0x ≥，因此()()()0F x f x g x =-≥， 故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥． 易错点 ①求导数时，2 1 ()x x e -'易出错；②比较两个函数的大小属于不等式问题，学生容易 只从不等式的简单知识出发，而无法从构造的新函数的单调性来分析. 变式与引申3： 将第（3）问改为：设3 2 2()3 g x x x = -，试证()f x ≥()g x 恒成立． 本节主要考查：（1）用导数研究函数单调性,极值；（2）利用单调性、极值点与导数的关系解决一些综合问题；（3）方程与函数的转化,方程思想和函数思想综合应用；（4）数形结合思想. 点评：（1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； （2）求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等； （3）利用求导的方法研究函数的单调性、最（极）值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题，从而转化为不等式问题，再而研究函数的最（极）值.需灵活应 运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等. 习题1—3 1. 已知：函数?? ?>+-≤<=) 9(11 )90(log )(3 x x x x x f ，若a ，b ，c 均不相等， 且)()()(c f b f a f ==，则c b a ??的取值范围是（ ） .A )9, 0( .B )9, 2( .C )11, 9( .D )11, 2( 2. 已知函数)()(x g x f 与的定义域均为非负实数集，对任意的0≥x ，规定)()(x g x f * 的最大值为 是若)()(,52)(,3)()},(),(min{x g x f x x g x x f x g x f *+= -== . 3.已知函数32()33 1.f x x ax x =-++ （1）设2a =，求()f x 的单调区间； （2）设()f x 在区间(2,3)上不单调，求a 的取值范围. 4.已知函数()f x = ()ln ,g x a x a R =∈. （I ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程； （II ）设函数()()()h x f x g x =-，当()h x )存在最小值时，求其最小值()a ?的解析式； （III ）对（2）中的()a ?，证明：当(0,)a ∈+∞时，()a ?≤1. 5.设函数x b x x f ln )1()(2 +-=，其中b 为常数． （1）当2 1> b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）0b ≤时，求()f x 的极值点； （3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式2 1ln )1ln(n n n >-+都成立． 第四节 函数的综合应用(1) 函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．函数和其它内容如导数、不等式、数列等内容的结合是近几年的考查热点，题目由易到难几乎都有，与导数的结合更是经常作为压轴题出现. 考试要求：（1）了解映射概念，理解函数的概念；（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法；（3）掌握指、对数函数的概念、图象和性质.（4）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 题型一 函数解析式问题 例1 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为( ). A.10 [ ]x y = B.310 []x y += C.410 []x y += D.[510 []x y += 点拨 用具体数据代入选项，确定哪个函数比较符合； 解 法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ，所以选B 法二：设10(09)x m αα=+≤≤,当06α≤≤时,3310 10 10 [][][ ]x x m m α++=+ ==, 当69 α<≤时,3310 10 10 [ ][]1[ ]1x x m m α++=+ =+=+,所以选B. 例2设212()|1|,()65,f x x f x x x =-=-+-函数112212 (),()() (),(),()()f x f x f x g x f x f x f x ≥?=? 同的实数解, 若方程()g x a =有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 _________. 点拨在同一坐标系中画出1()f x 和2()f x 的图象，再根据题意画出()g x ，根据图象得出a 的取值范围. 解在坐标系中作出1()f x 和2()f x 的图象，可知()g x 图象如图所示， 故a 的取值范围是34a <<. 易错点 ⑴对例1中抽象函数理解不强，缺少处理方法容易造成错误；（2）正确理解例2中解析式()g x 所表示的意义是解题的关键，如果讨论1()f x 和2()f x 的大小再得出()g x 的解析式，然后画图，一是计算量比较多，再是容易出错. 变式与引申1： 设函数{ 2 ,0,()2,0. x bx c x f x x ++≤=>若(4)(0),(2)2f f f -=-=-,则关于x 的 方程x x f =)(的解的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 变式与引申2： 设函数)(x f y =由方程1||||=+y y x x 确定，下列结论正确的是 （请将你认为正确的序号都填上） （１）)(x f 是R 上的单调递减函数；[来源:https://www.doczj.com/doc/0d10218528.html,] （２）对于任意R x ∈，0)(>+x x f 恒成立； （３）对于任意R a ∈，关于x 的方程a x f =)(都有解； 题型二 函数的性质与图象 例2 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 f(x)=m(m>0)在区间[8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则 1234_________. x x x x +++= 点拨 由(4)()f x f x -=-求出)(x f 的周期，又根据函数是奇函数且在区间[0,2]上是增函数，得出)(x f 在一个周期[-2,2]中的单调 性，再根据对称性求值. 解 因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函 数，所以)(x f 在区间[2,0]-上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234 x x x x <<<， 由对称性知1212 x x +=-， 344 x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-． 易错点 对函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性等其中的一个知识点掌握不好，都容易出错；不能得出)(x f 是周期函数，或不能得出对称轴及单调区间等错误. 变式与引申3：函数x x y 2 4cos = 的图像大致是 （ ） A ． B ． C ． D ． 变式与引申4：设函数的集合21 12 2 {()log ()|,0,,1;1,0,1}P f x x a b a b ==++=-=-， 平面上点的集合1 1 2 2{(,)|,0,,1;1,0,1}Q x y x y ==-=-, 则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是 ( ) A 4 B 6 C 8 D 10 题型三 函数零点与二分法思想 例4 设函数()|1|,()ln .f x x x m g x x =-+= （1）当1m >时,求函数()y f x =在[0,]m 上的最大值； （2）记函数()()()p x f x g x =-，若函数()p x 有零点，求m 的取值范围. 点拨 （1）这是一道含绝对值的函数题，对x 与1的大小进行讨论，去掉绝对值后求值；（2）函数()p x 有零点转化为方程ln |1|m x x x =--有解，用导数求出该函数的值域得出m 的取值范围. 解 （1）当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x m =-+＝22 11()24 x x m x m -++=--++ ∴当12 x = 时，m ax 1()4 f x m =+ . 当(1,]x m ∈时，()(1)f x x x m =-+＝22 11()24 x x m x m -+=- +- .∵函数()y f x =在 (1,]m 上 单调递增,∴2m ax ()()f x f m m ==,由214 m m ≥+ ,得214 0m m -- ≥,又1m >,解得 12m +≥ , ∴当12 m + ≥ 时,2max ()f x m =,当12 1m +<< 时, m ax 14 ()f x m =+ . （2）函数()p x 有零点即方程()()|1|ln 0f x g x x x x m -=--+=有解，得 l n |1 m x x x =--. 令()ln |1|h x x x x =--，当(0,1]x ∈时，2' 1()ln ,()2110h x x x x h x x x =-+=+ -≥> ， 所以函数()h x 在(0,1]x ∈上是增函数，()(1)0h x h ∴≤=； 当 (1,) x ∈+∞时， 2 () l n h x x x x =- ++ ,因为2 121(1 ) ( 2 1 ()210 x x x x h x x x x x -++-+'=-++==- < ， 所以函数()h x 在(1,)x ∈+∞上是减函数，所以()(1)0h x h <=. 所以方程ln |1|m x x x =--有解时0m ≤，即函数()p x 有零点时m 的取值范围是(,0]-∞. 易错点 （1）去绝对值和对求值大小进行讨论时考虑不周造成的错误；（2）零点问题不能转化成方程有解问题，从而不能使问题得到有效的解决. 变式与引申5：函数()2()ln 1f x x x =+- 的零点所在的大致区间是( ) A.（0，1） B. (1,2) C. (2,3) D. ()3,4 变式与引申6：已知函数x x x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(-- =x x x h 的零点分别 为,,21x x 3x ，则321,,x x x 的大小关系是( )[来源:学.科.网Z.X.X.K] A ．123x x x << B ．213x x x << C ．132x x x << D ．321x x x << 题型四 函数与导数问题 例5 已知函数3()3()f x x ax x R =-∈． (1) 若直线0x y m ++=对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围； (2) 设()|()|g x f x =,[1,1]x ∈-,求()g x 的最大值()F a 的解析式． 点拨 （1）求曲线()y f x =的切线的斜率就是对()f x 的求导，其导数值不能取到已知直线的斜率1-； （2）()g x 是偶函数，只须求()g x 在[0,1]上最大值. 解 （1） ∵2()333f x x a a '=-≥-,∴要使直线x y m ++=0对任意的m R ∈总不是曲线 y =()f x 的切线，当且仅当13a -<-,∴13 a < . （2）因3()|()||3|g x f x x ax ==-在[1,1]-上为偶函数,故只求在[0,1]上最大值, ①当0a ≤时,()0f x '≥,()f x 在[0,1]上单调递增且 (0)0f =,∴()|()|()g x f x f x ==,∴()(1)13F a f a ==-. ② 当0a >时 ,2()333(f x x a x x '=-=+-. 若当 1,即1a ≥时,()0f x '≤,()f x 在[0,1]上单调递减,且(0)0f =,所以在[0,1]上 ()0f x ≤,所以()|()|()g x f x f x ==-,()f x -在[0,1]上单调递增，此时()(1)31F a f a =-=-. 若当01< ,即01a <<时，()|()|g x f x = 在 上单调递减，在上单调递增. 1? 当(1)130f a =-≤,即13 1a ≤<时，()|()|()g x f x f x ==- 在上单调递增， 在上 单调递减，故()2F a f =-=2? 当(1)130f a =->,即13 0a <<时， （ⅰ）当(1)13f f a -≤=-即14 0a <≤时, ()(1)13F a f a ==-. （ⅱ） 当(1)13f f a ->=-即 114 3 a << 时，()2F a f =-=. 综上14 14 13() ()21)31(1)a a F a a a a ?-≤?? =< -≥?? . 易错点 本题第二问分类讨论比较多，计算量也很大，考虑不周都会产生错误. 变式与引申7： 已知函数1163)(2 3 --+=ax x ax x f ，1263)(2++=x x x g ，和直线 9:+=kx y m ，又(1)0f '-=. （1）求a 的值； （2）是否存在k 的值，使直线m 既是曲线)(x f y =的切线，又是)(x g y =的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由． 本节主要考查 （1）函数的解析式和函数的图象，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等函数性质；（2）结合图象，直观地反映函数的性质，考查了数形结合的思想和基本的作图、运算、分析等解题能力；（3）零点和二分法体现了函数和方程的关系；（4）考查了用导数作为工具求曲线的切线和函数的最值等思想方法. 点评 （1）数形结合函数的性质是高考考查的重点内容．解决一些函数单调性和奇偶性，对称性等要从数形结合的角度去认识，以形辅数，以数画形，化抽象为直观；（2）要充分利用导数这一工具，结合函数的一些思考方法解决函数中的如求最大值和最小值等问题；（4）重视计算能力，画图能力及分类讨论的思想方法. 习题1—4 1. 已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,][)(x x g =为取整函数,0x 是函数 2()l n x f x x =- 的零点，则 0()g x 等于( ). A.1 B.2 C.3 D.4 2. 设函数?? ?≤-+>=0 ,1)1(0 ,cos )(x x f x x x f π，则4 3 ()f -的值为__________. 3．已知函数 . )2ln()(2 c bx x x x f ++-+=在点x =1处的切线与直线0273=++y x 垂直， 且f （－1）=0，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值. 4．已知函数2()(1)lg |2|f x x a x a =++++,2)(a a R ≠-∈ （1）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)()(x h x g 和的解 析式； （2）命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2 +∞+a 上是增函数； 命题Q ：函数)(x g 是减函数 如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围； 5．（2011年高考北京卷。文）已知函数()()x f x x k e =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； 2012年新课标1卷数学(文科) 第I 卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合2 {|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ） A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B φ= 2．复数32i z i -+= +的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等） 的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线1 12 y x =+上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0 C ． 12 D ．1 4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF ?是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ A ．12 B ．2 3 C ．34 D ．45 5．已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶 点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部， 则z x y =-+的取值范围是（ ） A ．（12） B ．（0，2） C ．1，2） D ．（0，1+ 6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ） A ．A B +为1a ，2a ，…，N a 的和 B ．2 A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 2012届高考数学二轮复习资料 专题四 三角函数（教师版） 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公 式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、 sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题 等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2 ＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α， l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2 的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3! 11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时， 以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥?? +≤??≥(-)? 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则 a ＝( )． A ．14 B ．1 2 C ．1 D ．2 2012北京理科高考试卷及答案解析精校版 一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合A={x ∈R ｜3x+2>0﹜，B={x ∈ R ｜(x+1)(x-3)>0﹜则A ∩B=( ) A ．（﹣∞，﹣1） B.｛21,3-- ｝ C. ﹙2 ,33 -﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组02 02x y ≤≤?? ≤≤? 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个 点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A.4π B.22π- C.6 π D. 44π- 3.设,a b R ∈.“0a =”是‘复数a bi +是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图. ∟ACB=90o，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则（ ） A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. 2AD AB CD = D.2 CE EB CD = 6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ） A.28+ B. 30+ C.56+ D.60+ 8.某棵果树前n 前的总产量S 与看，前m A.5 B.7 C.9 D.11 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9.直线21x t y t =+?? =--? (t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α α=??=? (α为参数)的交点个数为 10.已知{}n a 等差数列n S 为其前n 项和，若11 2 a =，23S a =，则2a = ，n S = 11.在△ABC 中，若2a =，7b c +=，1 cos 4 B =-，则b = 12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60o.则OAF 的面积为 13.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点.则DE CB 的值为 14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x R ?∈，有()0f x <或 ()0g x <；②(,4)x ?∈-∞-，使得()()0f x g x < 则m 的取值范围是 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -= 。（1）求f （x ）的定义域及最小正周期；（2） 求f （x ）的单调递增区间。 16. （本小题共14分） 如图1，在Rt △ABC 中，∟C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∠BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A1C ⊥CD,如图2. （1）求证：A1C ⊥平面BCDE ； （2）若M 是A1D 的中点，求CM 与平面A1BE 所成角的大小； （3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A1DP 与平面A1BE 垂直？ 说明理由 17．（本小题共13分） 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活 图2 图1 A C C B 函数专题练习 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1 (0,)3 (C )11[,)73 (D )1[,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => ) 2012高考理科数学全国卷1试题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题 （1）复数131i i -+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2 ）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m = （A ）0 （B ）0或3 （C ）1 （D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ， 2AB = ，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （A ）2 （B （C （D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{ }n n a a +的前100项和为 （A ） 100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101100 （6）ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ?= ，||1a = ，||2b = ， 则AD = （A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455 a b - （7）已知α 为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α= （A ）3- （B ）9- （C ）9 （D ）3 （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45 （9）已知ln x π=，5log 2y =，1 2z e -=，则 （A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c = （A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1 （11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37 AE BF ==。动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 2012年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）（2012?北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B= ）， } } 2．（5分）（2012?北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（） =，能求出在复平面内，复数对应的点的坐标．= =1+3i ∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（ 3．（5分）（2012?北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） B =4 4．（5分）（2012?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） 5．（5分）（2012?北京）函数f（x）=的零点个数为（） （ 在定义域上为增函数， 在定义域上为增函数 ＞ 的零点个数为 ，当且仅当 所以 ， ，∴ 7．（5分）（2012?北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（） 8+60+66+120+12 = ， =10 =6 ． 8．（5分）（2012?北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）（2012?北京）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为． 的距离为 2 故答案为： 10．（5分）（2012?北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2= 1，S n=． = +=1 = 11．（5分）（2012?北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为． =，可求得∠ b=， 2012年湖北高考理科数学试题及答案 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工类） 本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1. 方程2x+6x +13 =0的一个根是 A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i 2 命题“?x0∈C R Q，30x∈Q ”的否定是 A ?x0?C R Q，30x∈Q B ?x0∈ C R Q ，30x?Q C ?x0?C R Q ，30x∈Q D ?x0∈C R Q ，30x?Q 3 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示，则它与X轴所围图形的面积为 A.2 5 π B. 4 3 C. 3 2 D. 2 π 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为 A. 8 3 π B.3π C. 10 3 π D.6π 5.设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a= A.0 B.1 C.11 D.12 6.设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则a b c x y z ++ = ++ A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D, 3 4 7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下 函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。 则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. B. C. D. 9.函数f（x）=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式 。人们还用过一些类似的近似公式。根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是 二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题 ．． 卡对应题号 ．．．．．的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 （一）必考题（11-14题） 11.设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c。若（a+b-c）（a+b+c）=ab， 则角C=______________。 12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________. 2015高考数学专题复习：函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______ 2012年全国高考理科数学试题-全国卷2(含解析) 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。．．．．．．．．． 第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1、复数-1+3i= 1+i A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A＝{1.3. m}，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 x2y2x2y2A +=1 B +=1 1612128x2y2x2y2C +=1 D +=1 84124 4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列(A)的前100 项和为1009999101 (B) (C) (D) 101101100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B）(C) (D) （7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α= 3 (A) -5555 （B）- (C) (D) 3993 （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上， |PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1334 （B）(C) (D) 4545 （9）已知x=lnπ，y=log52，z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x 12 (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 绝密★使用完毕前 2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合{ A x =∈R|320} x+>，{ B x =∈R|(1)(3)0} x x +->，则A B= I （A）(,1) -∞-（B） 2 (1,) 3 --（C） 2 (,3) 3 -（D）(3,) +∞ （2）在复平面内，复数10i 3i+ 对应的点的坐标为 （A）(1,3)（B）(3,1)（C）(1,3) -（D）(3,1) - （3）设不等式组 2, 2 x y ? ? ? ≤≤ ≤≤ 表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于2的概率是 （A）π 4 （B） π2 2 - （C） π 6 （D） 4π 4 - （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 数学（文）（北京卷）第 1 页（共10 页） 数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 10 页） （5）函数()12 1()2 x f x x = -的零点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （6）已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是 （A ）13a a +≥22a （B ）2213a a +≥222a （C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a > （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的 表面积是 （A ）28+ （B ）30+（C ）56+（D ）60+ （8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系 如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 4 2 3 4 函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ ， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => ) 绝密*启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 理科数学 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为（ ） ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10 【解析】选D 5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） ()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生：12 2412C C =种 （3）下面是关于复数2 1z i = -+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34 【解析】选C 22(1) 11(1)(1) i z i i i i --= ==---+-+-- 1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1- 2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分) 选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈R｜(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( ) A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-?｝ C. ﹙﹣?，3﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A. B. C. D. 3.设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图. ∠ACB=90o。CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD 2 D.CE·EB=CD 2 6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系 如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年 平均产量最高。m值为（） A.5 B.7 C.9 D.11 第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9.直线(t为参数)与曲线(“为多α数)的交点个数为 10.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则= 11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,=-，则b= 12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A 在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为 13.己知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则.的值为 14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)=-2，若同时满足条件： ①x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0 ②x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0 则m的取值范围是 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 已知函数。 求f（x）的定义域及最小正周期； 求f（x）的单调递增区间。 16. （本小题共14分） 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥ 函数的最值（值域） ●高考要求 掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法 最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了 ●重难点归纳 (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、导数法 数形结合法（图像法）导数法 数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 ●知识点归纳 一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。 2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。 最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。记作()max 0y f x = 最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。记作()min 0y f x = 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x ) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 注意事项： 全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 。 3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 （1）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则 （A ）A B ? （B ）C B ? （C ）D C ? （D ）A D ? （2）函数1)y x = ≥-的反函数为 （A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y （C ）)0(12 ≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y （3）若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=? （A ）2 π （B ）32π （C ）23π （D ）35π （4）已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25 24 （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ）2211612x y += （B ）22 1128 x y += 2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(北京卷) 本试卷共150分．考试时长120分钟． 第一部分(选择题共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝() A．(－∞，－1) B．{－1， 2 3 -} C．( 2 3 -，3) D．(3，＋∞) 2．在复平面内，复数10i 3i+ 对应的点的坐标为() A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为() A．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则() A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为() A．24 B．18 C．12 D．6 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是() A ．28+ B ．30+ C ．56+ D ．60+8．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．直线2,1x t y t =+??=--?(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α α =??=?(α为参数)的交点个数为________． 10．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若11 2 a =，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________． 11．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，1 cos 4 B =- ，则b ＝________． 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线 y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________． 13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ?的值为________， DE DC ?的最大值为________． 14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2．若同时满足条件： ①x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0． 则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数(sin cos )sin2()sin x x x f x x -= ． (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． 16．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．2012年全国高考新课标1卷数学文科高考试题
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