当前位置:文档之家› 专题21.2.3 因式分解法-学易试题君之课时同步练2019-2020学年九年级数学人教版(上)(原卷版)

专题21.2.3 因式分解法-学易试题君之课时同步练2019-2020学年九年级数学人教版(上)(原卷版)

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第二十一章 一元二次方程

21.2.3 因式分解法

班级:________________ 姓名:________________

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.方程x 2=4x 的解是

A .x =0

B .x 1=4,x 2=0

C .x =4

D .x =2

2.方程(x +3)(x ﹣4)=0的两个根为

A .x 1=﹣2,x 2=6

B .x 1=﹣6,x 2=2

C .x 1=﹣3,x 2=4

D .x 1=﹣4,x 2=3

3.方程 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为

A .6

B .8

C .10

D .8或10

4.若方程()()2310x x -+=,则31x +的值为

A .7

B .2

C .0

D .7或0

5.解方程(x -2)2=3(x -2)最适当的方法应是

A .因式分解法

B .配方法

C .直接开方法

D .公式法

6.已知()22222()120a b a b ----=,则22a b -的值是

A .3-

B .4

C .3-或4

D .3或4-

二、填空题:请将答案填在题中横线上.

7.一元二次方程()22x x x -=-的根是__________.

8.方程x 2+x =0的根为__________.

9.若实数a 、b 满足(a +b )(a +b ?2)?8=0,则a +b =__________.

10.用换元法解方程 + = ,设y =

,那么原方程化为关于y 的整式方程是__________. 11.一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是__________.

12.我们知道方程x 2﹣2x +1=0的解是x 1=x 2=1,则给出的另一个方程(x ﹣1)2﹣2(x ﹣1)+1=0的解是__________.

13.关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根的值为3,则另一个根的值是__________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

14.解方程:

(1)2450x x +-=(配方法);

(2) x 2 ?5x +6=0 (因式分解法);

(3)22730x x -+=(公式法).

15.根据要求,解答下列问题:

(1)①方程x 2﹣x ﹣2=0的解为 ;

②方程x 2﹣2x ﹣3=0的解为 ;

③方程x 2﹣3x ﹣4=0的解为 ;

(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:

①方程x 2﹣9x ﹣10=0的解为 ;

②请用配方法解方程x 2﹣9x ﹣10=0,以验证猜想结论的正确性.

(3)应用:关于x 的方程 的解为x 1=﹣1,x 2=n +1.

第九讲 因式分解 (添拆项与最值)

第八讲 因式分解(添拆项与最值) 知识点回顾: 1、因式分解:因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法: (1)提公因式法,即ma+mb+mc=m(a+b+c); (2)运用公式法,平方差公式: ()()b a b a b a -+=-2 2 ; 完全平方公式:222b ab a ++=()2 b a +和)(b a b ab a -= +-2 222 (3)十字相乘法:对于二次三项式2x Px q ++,若能找到两个数a 、b ,使, ,a b p a b q +=???=? 则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++. 注:若q 为正,则a ,b 同号;若q 为负,则a ,b 异号; 立方和差公式: 典型例题: 例1(1)计算 29982 +2998×4+4= 。 (2)若442 -+x x 的值为0,则51232 -+x x 的值是________。 例2:分解因式: 2 2 288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x ) 例3:已知a –b = 1 ,252 2 =+b a 求ab 和a+b 的值。 例4 代数式2x 2+4x+5有最 值,是 ;﹣x 2 +3x 有最 值,是 例 5 题目:分解因式:x 2﹣120x +3456. 分析:由于常数项数值较大,则常采用将 x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解,这样简便易行. (1)x 2﹣140x +4875 (2)4x 2﹣4x ﹣575. 三、强化训练: 1、已知x +y =6,xy =4,则x 2 y +xy 2 的值为 . 2、分解因式: (2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2 (n -m ) 4416n m - (8)4224817216b b a a +- 4、已知:a=2999,b=2995,求65522 2 -+-+-b a b ab a 的值。 5、利用因式分解计算 ?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ?? -2222211......511411311211n 6、已知a 为任意整数,且()2 2 13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数,且n 不等于1),则n 的值为 。 7、已知x(x-1)-(y x -2 )=-2, xy y x -+2 2 2的值。 8、把下列各式分解因式: (1)4x 3﹣31x +15; (2)2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2﹣a 4﹣b 4﹣c 4; (3)x 5+x +1; (4)x 3+5x 2+3x ﹣9;

《因式分解专题训练》有答案

因式分解专题训练 一、整式有关概念:1.单项式(单个字母或数)(次数,系数); 2.多项式(次数,项数) 3.同类项与合并同类项 二、幂的运算性质:1.n m n m a a a +=? 2.()mn n m a a = 3.()n n n b a ab = 4.n n n b a b a =??? ?? 5.n m n m a a a -=÷ 6.10=a 7.p p a a 1=-8.p p b a a b ??? ??=??? ??- 三、整式的运算:加、减、乘、除(乘方、开方) 1.m (a+b+c )=ma+mb+mc 2.(a+b )(m+n )=am+an+bm+bn 3.(a+b )(a-b )=22b a - 4.()2222a b ab a b +±=± 5.()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()()3322b a b ab a b a ±=+±μ 7.()()()ca bc ab c b a a c c b b a 222222222222+++++=+++++ 四、因式分解:1.把一个多项式化成几个整式的积的形式.2.方法(一提二套三分组) (套公式包括十字相乘法) 五、方法·规律·技巧:1.性质、公式的逆向使用;2.整体代入(配方、换元)3.非负数 的运用(配方) 六、实际运用 1.下列变形中,正确的是() A.()123422+-=+-x x x B.()11 2+=+÷x x x x

C.()()22y x y x y x -=+--- D.x x x x -=-11 2.若n m n m b b a ++-224a 52与可以合并成一项,则n m 的值是() A.2 B.0 C.-1 D.1 3.若22=+b a ,ab =2,则22b a +的值为()A.6B.4C.23 D.32 4.把多项式x x x 1212323+-分解因式,结果正解的是() A.()4432+-x x x B.()243-x x C.()()223-+x x x D.()223-x x 5.已知0322=--x x ,则x x 422-的值为() A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30 6.下列等式从左到右的的变形,属于因式分解的是() A.a (x-y )=ax-ay B.()12122++=++x x x x C.()()34312++=++x x x x D.()()11x 3-+=-x x x x 7.因式分解:()()21622---x x x =. 8.分解因式:(a-b )(a-4b )+ab =. 9.分解因式:()9332--+x x x =. 10.分解因式:22my mx -=. 11.多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式,请你写出符合条件的所有的单 项式:. 12.计算:()20172016201642125.0??-=. 13.已知===-n m n m a a a 4323,16,64则. 14.已知=+-=+-634 x 964322x x x ,则. 15.若()()222222,121y x y x y x +=-++=.

(完整版)因式分解竞赛题

因式分解 【例 1】分解因式:2222(48)3(48)2x x x x x x 提示:将248x x u 看成一个字母,可利用十字相乘 【例 2】(“希望杯”培训试题 )分解因式:22(52)(53)12x x x x 【解析】方法1:将25x x 看作一个整体,设25x x t ,则 方法2:将252x x 看作一个整体,设252x x t ,则 方法3:将253x x 看作一个整体, 【巩固】分解因式: (1)(3)(5)(7)15x x x x (1)(2)(3)(4)24a a a a 22(1)(2)12 x x x x 【例 3】证明:四个连续整数的乘积加1是整数的平方.

【巩固】若x ,y 是整数,求证:4234x y x y x y x y y 是一个完全平方数. 【例 4】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91 a a a 【巩固】分解因式22(32)(384)90 x x x x 【例 5】分解因式:22224(31)(23)(44)x x x x x x 提示:可设2231,23x x A x x B ,则244x x A B . 【巩固】分解因式:2 (2)(2)(1)a b ab a b ab 【巩固】分解因式:2 1 (1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y

【例 6】(重庆市竞赛题)分解因式:44(1)(3)272 x x 练习: 1 .分解因式 x x 3234 2.求证:多项式的值一定是非负数 3.分解因式:()()()a b c a b b c 2333 4.在ABC 中,三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100.求证:a c b 25.已知:

因式分解专项练习题(含答案)

因式分解专题过关 1.将下列各式分解因式 (1)3p2﹣6pq (2)2x2+8x+8 2.将下列各式分解因式 (1)x3y﹣xy (2)3a3﹣6a2b+3ab2. 3.分解因式 (1)a2(x﹣y)+16(y﹣x)(2)(x2+y2)2﹣4x2y2 4.分解因式: (1)2x2﹣x (2)16x2﹣1 (3)6xy2﹣9x2y﹣y3 (4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2 5.因式分解: (1)2am2﹣8a (2)4x3+4x2y+xy2 6.将下列各式分解因式: (1)3x﹣12x3(2)(x2+y2)2﹣4x2y2 7.因式分解:(1)x2y﹣2xy2+y3 (2)(x+2y)2﹣y2 8.对下列代数式分解因式: (1)n2(m﹣2)﹣n(2﹣m)(2)(x﹣1)(x﹣3)+1 9.分解因式:a2﹣4a+4﹣b2 10.分解因式:a2﹣b2﹣2a+1 11.把下列各式分解因式: (1)x4﹣7x2+1 (2)x4+x2+2ax+1﹣a2 (3)(1+y)2﹣2x2(1﹣y2)+x4(1﹣y)2(4)x4+2x3+3x2+2x+1 12.把下列各式分解因式: (1)4x3﹣31x+15;(2)2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4;(3)x5+x+1;(4)x3+5x2+3x﹣9;(5)2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2.

因式分解专题过关 1.将下列各式分解因式 (1)3p2﹣6pq;(2)2x2+8x+8 分析:(1)提取公因式3p整理即可; (2)先提取公因式2,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解. 解答:解:(1)3p2﹣6pq=3p(p﹣2q), (2)2x2+8x+8,=2(x2+4x+4),=2(x+2)2. 2.将下列各式分解因式 (1)x3y﹣xy (2)3a3﹣6a2b+3ab2. 分析:(1)首先提取公因式xy,再利用平方差公式进行二次分解即可; (2)首先提取公因式3a,再利用完全平方公式进行二次分解即可. 解答:解:(1)原式=xy(x2﹣1)=xy(x+1)(x﹣1); (2)原式=3a(a2﹣2ab+b2)=3a(a﹣b)2. 3.分解因式 (1)a2(x﹣y)+16(y﹣x);(2)(x2+y2)2﹣4x2y2. 分析:(1)先提取公因式(x﹣y),再利用平方差公式继续分解; (2)先利用平方差公式,再利用完全平方公式继续分解. 解答:解:(1)a2(x﹣y)+16(y﹣x),=(x﹣y)(a2﹣16),=(x﹣y)(a+4)(a﹣4); (2)(x2+y2)2﹣4x2y2,=(x2+2xy+y2)(x2﹣2xy+y2),=(x+y)2(x﹣y)2. 4.分解因式: (1)2x2﹣x;(2)16x2﹣1;(3)6xy2﹣9x2y﹣y3;(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2. 分析:(1)直接提取公因式x即可; (2)利用平方差公式进行因式分解; (3)先提取公因式﹣y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解; (4)把(x﹣y)看作整体,利用完全平方公式分解因式即可. 解答:解:(1)2x2﹣x=x(2x﹣1);

2019-2020年七年级下数学第9章《整式乘法与因式分解》竞赛数学专题训练

2019-2020年七年级下数学第9章《整式乘法与因式分解》竞赛数学 专题训练 【例1】(全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)若2 (1)1x m x -++是完全平方式,则m 的值为( ). A.1- B.1 C. 1或1- D. 1或3- 【解析】12m +=±,解得1m =或3m =-.故选D. 【答案】 D. 【例2】(第12届“华杯赛”浙江赛区决赛复试(初一组)如图,一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起,则ABC V 的面积是 2cm . 【解析】设大正方形的边长为a ,小正方形的边长为b ,则 2111()()() 222 ABC S a b a a b b a b b a =+?- +?---V 22221111122222a ab ab b a ab b =+----+ 25022 a == 【答案】25. 1. 2. (全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)已知1a b -=,221a b -=-则20142014a b -= . 3. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组))新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图,三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为150cm ,那么一块渗水防滑地板的面积是( ). A. 2450cm B. 2600cm C. 2900cm D.2 1350cm

4. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果22 ()()4a b a b +--=,那么 一定成立的是( ). A. a 是b 的相反数 B. a 是b -的相反数 C. a 是b 的倒数 D. a 是b -的倒数 5. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果223x x +=,那么432781315x x x x ++-+= . 6. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请复赛试题)已知4a b -=,2 40ab c ++=, 则a b c ++= . 7. (四川省初中数学联赛)计算: 22222 11111(1)(1)(1)(1)(1)23499100- ?-?-??-?-…. 7. (全国数学竞赛讲座)分解因式: 22 (32)(483)90x x x x ++++-. 参考答案 1. 1- 2. A 3. C 4. 18 5. 0 6. 1 11111(1)(1)(1)(1)(1)(1+)2233100100 -?+?-?+??-?… 132499101=2233 1001001101=2100 101=200???????… 8. 原式(1)(2)(21)(23)90x x x x =++++- [(1)(23)][(2)(21)]90x x x x =++++- 22(253)(252)90x x x x =++++-

活用配方法分解因式

活用配方法分解因式 陈怀东 配方法是数学中极其重要的一个方法。在代数式中,利用添项的方法,给原多项式配上适当的部分,使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式,这种方法叫做配方法。 配方法的难点是配方,要求学生必须熟练掌握公式2 22b ab a +±,判断什么是:“a ”或“b ”,或“ab ”,怎样从ab a 22、这两项去找出“b ”,或“从22b a 、这两项去找出ab 2”,或“从ab 2去找出2a 和2 b ”。同学们要熟练掌握这些基本方法,从而做到心中有数,配方有路可循。 应用配方法分解因式,常能将多项式配成2 2N M -的形式并应用开方差公式分解。 例1 分解因式8612942 2+++-b a b a 分析 第一、三项,第二、四项分别结合后再配以恰当的常数分别构成完全平方公式,进而两者又构成一平方差,因此拆常数项198-=即可。 解:原式)169()9124(2 2 +--++=b b a a ) 432)(232()13()32(2 2+-++=--+=b a b a b a 例2 分解因式4 2 2 4 n n m m ++ 分析 此式中各项均为平方式,可采用添项法将式中某一部分配方,构造平方差公式。 解:原式2 2 4 2 2 4 )2(n m n n m m -++= 2 2 22 )()(mn n m -+= ))((2 2 2 2 mn n m mn n m -+++= 例3 分解因式 )2)(2()(22+--+-n m mn t n m t 分析 将多项式中前两项t n m t )(22 +-进行配方,添上2 2 )()(n m n m +-+即可分组分解。 解:原式)2)(2()()()(22 2 2 +--+-+++-=n m mn n m n m t n m t ]4)(2)[()]([2 2 2 2 mn n m mn n m n m n m t --+++-+-= ) 2)(2() ()(] )()(2)[()(2 2 222mn m t mn n t mn n m n m t mn mn n m n m n m t --+-=+----=+?-+----= 例4 分解因式 42224)()()(b a b a b a -+-++ 分析:此题中只含b a +和b a -两个式子,可分别运用和差换元后再考虑配方。 解:设t b a s b a =-=+,,则 原式2242244224 )2(t s t t s s t t s s -++=++= )] )(()())][()(()()[() )(()()(222222222 222b a b a b a b a b a b a b a b a st t s st t s st t s -+--++-++-++=-+++=-+= )3)(3(2 2 2 2 b a b a ++=

一元二次方程配方法-公式法-因式分解法

一元二次方程的根 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 例1:下面哪些数是方程0121022 =++x x 的根? —4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4 分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可. 复习 ()222 2b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 根据公式完成下面的练习: (1)()2 2____________8-→+-x x x (2)()2 2 ______3______129+→++x x x (3)()2 2____________+→++x px x (4) ()2 2 ____________6+→++x x x (5)()2 2____________5-→+-x x x (6) ()2 2 ____________9-→+-x x x 例2:解方程:2963=++x x 2532 =-x x 解:由已知,得:()232 =+x 解:方程两边同时除以3,得3 2352 =- x x 直接开平方,得:23±=+x 配方,得2 2 2 65326535??? ??+=?? ? ??+-x x 即23=+x ,23-=+x 即 3649652 =??? ? ? -x ,6765±=-x ,6765±=x 所以,方程的两根231+ -=x ,232--=x 所以,方程的两根267651=+= x ,3 167652-=-=x 像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。 练一练: (1)982=+x x (2)015122 =-+x x (3)044 12 =--x x (4) 03832=-+x x (5)08922 =+-x x (6) ()x x 822 =+

因式分解练习题精选(含提高题)

因式分解习题精选 一、填空:(30分) 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是_ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+,则m=_______,n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中,可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ,其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m=_______。 7、_____) )(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。10、()22)3(__6+=++x x x , ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式,则k=- _______。12、若442-+x x 的值为0,则51232 -+x x 的值是________。13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042=+x x ,的解是________。 二、选择题:(10分) 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是( ) A 、-a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ,则m ,k 的值分别是( ) A 、m=—2,k=6, B 、m=2,k=12, C 、m=—4,k=—12、 D m=4,k=12、 3、下列名式:4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有( ) A 、1个, B 、2个, C 、3个, D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是( ) A 、21 B 、2011.,101.,201D C 三、分解因式:(30分) 1 、234352x x x -- 2 、 2 633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5 6、13-x 7、2ax a b ax bx bx -++--2 8、81182 4+-x x

(完整版)初二级竞赛专题:因式分解

初二级竞赛专题:因式分解 一、重要公式 1、a2-b2=(a+b)(a-b);a n-1=(a-1)( a n-1+a n-2+a n-3+…+a2+a+1) 2、a2±2ab+b2=(a±b)2; 3、x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b); 4、a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2); 二、因式分解的一般方法及考虑顺序 1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法; 2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。 3、考虑顺序:(1)提公因式法;(2)十字相乘法;(3)公式法;(4)分组分解法;(5) )。 其它常用方法与技巧(简单概括为:提十公分 .... 三、例题 1、添项拆项 [例1]因式分解:(1)x4+x2+1;(2)a3+b3+c3-3abc (1)分析:x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解:x4+x2+1=x4+2x2+1-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x) (2)分析:a3+b3要配成(a+b)3应添上两项3a2b+3ab2 解:a3+b3+c3-3abc=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3abc-3a2b-3ab2 =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) [例2]因式分解:(1)x3-11x+20;(2)a5+a+1 (1)分析:把中项-11x拆成-16x+5x 分别与x5,20组成两组,则有公因式可提。(注意这里16是完全平方数) 解:x3-11x+20=x3-16x+5x+20=x(x2-16)+5(x+4) =x(x+4)(x-4)+5(x+4) =(x+4)(x2-4x+5) (2)分析:添上-a2和a2两项,分别与a5和a+1组成两组,正好可以用立方 差公式 解:a5+a+1=a5-a2+a2+a+1=a2(a3-1)+a2+a+1 =a2(a-1)( a2+a+1)+a2+a+1=(a2+a+1)(a3-a2+1) 2、待定系数法 [例3]因式分解2x2+3xy-9y2+14x-3y+20 解:∵2x2+3xy-9y2=(2x-3y)(x+3y),故用待定系数法, 可设2x2+3xy-9y2+14x-3y+20=(2x-3y+a)(x+3y+b),

因式分解经典题与解析

2013组卷 1.在学习因式分解时,我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式),事实上,除了这两种方法外,还有其它方法可以用来因式分解,比如配方法.例如,如果要因式分解x2+2x﹣3时,显然既无法用提公因式法,也无法用公式法,怎么办呢?这时,我们可以采用下面的办法: x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =(x+1)2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题: (1)填空:在上述材料中,运用了_________的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解,这种方法就是配方法; (2)显然所给材料中因式分解并未结束,请依照材料因式分解x2+2x﹣3; (3)请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5. 2.请看下面的问题:把x4+4分解因式 分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2) 人们为了纪念菲?热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照菲?热门的做法,将下列各式因式分解. (1)x4+4y4;(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab. 3.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程. 解:设x2﹣4x=y 原式=(y+2)(y+6)+4(第一步) =y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步) =(x2﹣4x+4)2(第四步) 回答下列问题: (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________. A、提取公因式B.平方差公式 C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底_________.(填“彻底”或“不彻底”) 若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________. (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解. 4.找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解(在整数围)的整数值a,并且将其进行因式分解. 5.利用因式分解说明:两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.

因式分解练习题(超经典)

因式分解习题 一、填空: 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+,则m=_______,n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中,可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ,其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x , ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式,则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0,则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ,的解是________。 二、选择题:(8分) 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是( ) A 、-a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ,则m ,k 的值分别是( ) A 、m=—2,k=6 B 、m=2,k=12 C 、m=—4,k=—12 D m=4,k=12 3、下列名式:4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式: 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x 四、代数式求值

1.初二因式分解竞赛例题精选及练习题

初二因式分解竞赛例题精选及练习题 一、提公因式法. 二、运用公式法. 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式:bn bm an am +++ 例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102 练习:分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式:ay ax y x ++-22 例4、分解因式:2222c b ab a -+- 练习:分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习:(1)3223y xy y x x --+ (2)b a ax bx bx ax -+-+-22 (3)181696222-+-++a a y xy x (4)a b b ab a 4912622-++- (5)92234-+-a a a (6)y b x b y a x a 222244+-- (7)222y yz xz xy x ++-- (8)122222++-+-ab b b a a (9))1)(1()2(+---m m y y (10))2())((a b b c a c a -+-+ (11)abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++(12)abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法 例5、分解因式:652++x x 例6、分解因式:672+-x x 练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x 练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 例7、分解因式:101132+-x x 练习7、分解因式:(1)6752-+x x (2)2732+-x x (3)317102+-x x (4)101162++-y y

青岛版九年级数学上册用因式分解法解一元二次方程练习题

4.4 用因式分解法解一元二次方程 一、填空题 1.如果两个因式的积是零,那么这两个因式至少有__________等于零;反之,如果两个因式中有__________等于零,那么它们之积是__________. 2.方程x 2-16=0,可将方程左边因式分解得方程__________,则有两个一元一次方程___________或 ___________,分别解得:x 1=_________,x 2=_________. 3.填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程 解:3x(x+5)__________=0 (x+5)(__________)=0 x+5=__________或__________=0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 4.用因式分解法解一元二次方程的关键是 (1)通过移项,将方程右边化为零 (2)将方程左边分解成两个__________次因式之积 (3)分别令每个因式等于零,得到两个一元一次方程 (4)分别解这两个__________,求得方程的解 5.x 2-(p+q)x ≠qp=0因式分解为____________. 6.用因式分解法解方程9=x 2-2x+1 (1)移项得__________; (2)方程左边化为两个平方差,右边为零得__________; (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得__________; (4)分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________. 二、选择题 1.方程x 2-x=0的根为 A.x=0 B.x=1 C.x 1=0,x 2=1 D.x 1=0,x 2=-1 2.方程x(x -1)=2的两根为 A.x 1=0,x 2=1 B.x 1=0,x 2=-1 C.x 1=1,x 2=-2 D.x 1=-1,x 2=2 3.用因式分解法解方程,下列方法中正确的是 A.(2x -2)(3x -4)=0 ∴2-2x=0或3x -4=0 B.(x+3)(x -1)=1 ∴x+3=0或x -1=1 C.(x -2)(x -3)=2×3 ∴x -2=2或x -3=3 D.x(x+2)=0 ∴x+2=0 4.方程ax(x -b)+(b -x)=0的根是 A.x 1=b,x 2=a B.x 1=b,x 2=a 1 C.x 1=a,x 2=b 1 D.x 1=a 2,x 2=b 2 5.已知a 2-5ab+6b 2=0,则a b b a 等于 21331D.2 31 321C.2 31B.3 21A.2或或

配方法因式分解

配方法因式分解集团标准化办公室:[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

§2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解; 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分 解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法; 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解: 1)962-+x x ;2)2842--x x 小结:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明:配方法的关键是将二次三项式变形为:A 2—B 2 的形式,然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解: 1)12366+--x y x ;2)422497y y x x +-;★3) ab b ax x 2222+--

例2.把下列各多项式因式分解: 1)362025422--+ab b a ;2)16)5(6)5(222--+-x x x x 说明:把一个多项式因式分解的基本步骤: 1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公 因式; 2) 如果多项式各项没有公因式,那么可以尝 试运用公式来分解; 3) 如果上述两种方法不能分解,那么可以尝 试分组或十字相乘法或配方法来分解; 4) 分解因式时,必须进行到每一个多项式因 式都不能再分解为止。 【巩固练习】 把下列各多项式因式分解: 1)18724--x x ;2)22484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法: 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】

因式分解专项练习题

因式分解专项练习题 (一)提取公因式 一、分解因式 1、2x 2y -xy 2、6a 2b 3-9ab 2 3、 x (a -b )+y (b -a ) 4、9m 2n-3m 2n 2 5、4x 2-4xy+8xz 6、-7ab-14abx+56aby 7、6m 2n-15mn 2+30m 2n 2 8、-4m 4n+16m 3n-28m 2n 9、x n+1-2x n-1 10、a n -a n+2+a 3n 11、p(a-b)+q(b-a) 12、a(b-c)+c-b 13、(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2= 14、ab +b 2-ac -bc 15、3xy(a-b)2+9x(b-a) 16、(2x-1)y 2+(1-2x)2y 17、6m(m-n)2-8(n-m)3 18、15b(2a-b)2+25(b-2a)3 19、a 3-a 2b+a 2c-abc 20、2ax +3am -10bx -15bm 21、m (x -2)-n (2-x )-x +2 22、(m -a )2+3x (m -a )-(x +y )(a -m ) 23、 ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2) 24、(ax+by)2+(bx-ay)2 25、-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 26、 a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 二、应用简便方法计算 1、4.3×199.8+7.6×199.8-1.9×199.8 2、9×10100-10101 3、2002×-2001× 4、1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 三、先化简再求值 (2x +1)2(3x -2)-(2x +1)(3x -2)2-x (2x +1)(2-3x )(其中, 32x =) 四、在代数证明题中的应用 例:证明:对于任意正整数n ,323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 课后作业: 1.分解因式:(1)ab+b 2-ac-bc (2)ax 2 -ax-bx+b (3)ax+1-a-x (4)x 4-x 3+4x-4 2.分解因式: (1)6m(m-n)2-8(n-m)3 (2)15b(2a-b)2+25(b-2a)3 (3)a 3-a 2b+a 2c-abc (4)4ax+6am-20bx-30bm (5)-+-41222332m n m n mn

《整式乘法与因式分解》竞赛数学专题训练含答案

《整式乘法与因式分解》竞赛数学专题训练含答案 【例1】(全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)若2 (1)1x m x -++是完全平方式,则m 的值为( ). A.1- B.1 C. 1或1- D. 1或3- 【解析】12m +=±,解得1m =或3m =-.故选D. 【答案】 D. 【例2】(第12届“华杯赛”浙江赛区决赛复试(初一组)如图,一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起,则ABC V 的面积是 2cm . 【解析】设大正方形的边长为a ,小正方形的边长为b ,则 2111()()() 222 ABC S a b a a b b a b b a =+?- +?---V 22221111122222a ab ab b a ab b =+----+ 25022 a == 【答案】25. 1. 2. (全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)已知1a b -=,221a b -=-则20142014a b -= . 3. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初一组))新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图,三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方形的周长为150cm ,那么一块渗水防滑地板的面积是( ). A. 2450cm B. 2600cm C. 2900cm D.2 1350cm 4. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果22()()4a b a b +--=,那么

一定成立的是( ). A. a 是b 的相反数 B. a 是b -的相反数 C. a 是b 的倒数 D. a 是b -的倒数 5. (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第二试)如果2 23x x +=,那么432781315x x x x ++-+= . 6. (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请复赛试题)已知4a b -=,2 40ab c ++=,则a b c ++= . 7. (四川省初中数学联赛)计算: 222221 1111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-?-?-??-?-…. 7. (全国数学竞赛讲座)分解因式: 22(32)(483)90x x x x ++++-. 参考答案 1. 1- 2. A 3. C 4. 18 5. 0 6. 11111 1 (1)(1)(1)(1)(1)(1+)2233100100-?+?-?+??-?… 132499101 =2233100100 1101 =2100101 =200 ???????… 8. 原式(1)(2)(21)(23)90x x x x =++++- [(1)(23)][(2)(21)]90x x x x =++++- 22(253)(252)90x x x x =++++- 令2252y x x =++

因式分解与配方法练习题

分解因式 1、1522--x x ; 2、2 265y xy x +-. 3、3522--x x ; 4、3832-+x x . 5、91024+-x x ; 6、 22157x x ++ 7、 2384a a -+ 8、2 61110y y -- 9、2252310a b ab +- 10、222231710a b abxy x y -+ 11、 22 712x xy y -+ 12、 42718x x +- 13、 22483m mn n ++ 14、532 51520x x y xy -- 15、672+-x x ; 16、1232-+x x ; 17、652-+x x ; 18、9542--x x ; 19、823152+-x x ; 20、121124-+x x 21、6724+-x x ; 22、36524--x x ; 23、4 22416654y y x x +-; 24、633687b b a a --; 25、234456a a a --; 26、2224)3(x x --; 27、9)2(2 2--x x ; 28、 2222)332()123(++-++x x x x 29、60)(17)(222++-+x x x x ; 30、8)2(7)2(2 22-+-+x x x x ; 31、48)2(14)2(2++-+b a b a . 32、 2576x x +-)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+;

33、120)8(22)8(222++++a a a a . 34、90)242)(32(2 2+-+-+x x x x . 35、653856234++-+x x x x . 36、655222-+-+-y x y xy x 37、 a 2-7a+6; 38、8x 2+6x -35; 39、18x 2-21x+5; 40、 20-9y -20y 2; 41、2x 2+3x+1; 42、2y 2+y -6; 43、6x 2-13x+6; 44、3a 2-7a -6; 45、6x 2-11x+3; 46、4m 2+8m+3; 47、10x 2-21x+2; 48、8m 2-22m+15; 49、4n 2+4n -15; 50、6a 2+a -35; 51、5x 2-8x -13; 52、4x 2+15x+9; 53、15x 2+x -2; 54、6y 2+19y+10; 55、7(x -1) 2+4(x -1)-20; 56、.=-+1032x x __________. 57.=--652m m (m +a )(m +b ). a =__________,b =__________. 58.=--3522 x x (x -3)(__________). 59.+2x ____=-22y (x -y )(__________). 60.22____)(____(_____)+=++a m n a . 61.当k =______时,多项式k x x -+732有一个因式为(__________).

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