2011立体几何之解答题
1.(江苏16)如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB=AD ,∠BAD=60°,E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证:(1)直线EF ∥平面PCD ;
(2)平面BEF ⊥平面PAD
2.(安徽理17)如图,A B C D E F G 为多面体,平面A B E D 与平面A G F D 垂直,点O 在线段A D
上,1,2,OA OD ==△OAB ,,△O AC ,△O D E ,△O D F 都是正三角形。 (Ⅰ)证明直线B C ∥E F ; (II )求棱锥F —OBED 的体积。
A
3.(北京理16) 如图,在四棱锥P A B C D -中,P A ⊥平面A B C D ,底面A B C D 是菱形,
2,60A B B A D =∠=
.
(Ⅰ)求证:B D ⊥平面;PAC (Ⅱ)若,PA AB =求P B 与A C 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面PBC 与平面P D C 垂直时,求P A 的长.
4.(福建理20) 如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,AB+AD=4,CD=2,?=∠45CDA .
(I )求证:平面PAB ⊥平面PAD ; (II )设AB=AP .
(i )若直线PB 与平面PCD 所成的角为?30,求线段AB 的长;
(ii )在线段AD 上是否存在一个点G ,使得点G 到点P ,B ,C ,D 的距离都相等?说明理 由。
5.(广东理18) 如图5.在椎体P-ABCD 中,ABCD 是边长为1的棱形,且∠DAB=60?,
PA PD ==
分别是BC,PC 的中点.
(1) 证明:AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.
6.(湖北理18) 如图,已知正三棱柱111A B C A B C -的各棱长都是4,E 是B C 的中点,动点
F
在侧棱1C C 上,且不与点C 重合.
(Ⅰ)当C F =1时,求证:E F ⊥1A C ;
(Ⅱ)设二面角C A F E --的大小为θ,求tan θ的最小值.
7.(湖南理19)如图5,在圆锥P O中,已知P O,⊙O的直径2
A B=,C是 AB
的中点,
D为A C的中点.
(Ⅰ)证明:平面P O D⊥平面PAC; (Ⅱ)求二面角B P A C
--的余弦值。
8.(辽宁理18)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=1
2PD.
(I)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(II)求二面角Q—BP—C的余弦值.
9.(全国大纲理19) 如图,四棱锥S A B C D -中, AB C D ⊥,BC C D ⊥,侧面SA B 为等边三角形,2,1AB BC CD SD ====.
(Ⅰ)证明:SD SAB ⊥平面;
(Ⅱ)求A B 与平面S B C 所成角的大小.
10.(全国新课标理18) 如图,四棱锥P A B C D -中,底面ABCD 为平行四边形,60D A B ∠=?,
2A B A D
=,P D ⊥底面ABCD .
(I )证明:PA BD ⊥;
(II )若PD=AD ,求二面角A-PB-C 的余弦值.
11.(山东理19) 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ ACB=90?,EA⊥平面ABCD,EF ∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;
(Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.
12.(陕西理
16) 如图,在A B C
?中,
60,90,ABC BAC AD
∠=∠=
是B C 上的高,沿A D 把
A B C
?折起,使90BCD ∠=
。
(Ⅰ)证明:平面ADB ⊥平面BDC;
(Ⅱ)设E为BC的中点,求AE
与DB
夹角的余弦值。
13.(上海理21) 已知1111ABC D A B C D -是底面边长为1的正四棱柱,1O 是11A C 和11B D 的交
点。
(1)设1A B 与底面1111A B C D 所成的角的大小为α,二面角111A B D A --的大小为β。
求证:tan βα
=
;
(2)若点C 到平面11A B D 的距离为4
3,求正四棱柱1111ABC D A B C D -的高。
14.(四川理19) 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D 是棱CC1上的一P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA . (I )求证:CD=C1D :
(II )求二面角A-A1D-B 的平面角的余弦值; (Ⅲ)求点C 到平面B1DP 的距离.
D
B
D 1
1
B
15.(天津理17) 如图,在三棱柱111ABC A B C -中,H 是正方形11AA B B
的中心,1AA =1C H ⊥
平面11AA B B
,且1C H =
(Ⅰ)求异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值; (Ⅱ)求二面角111A A C B --的正弦值;
(Ⅲ)设N 为棱11B C 的中点,点M 在平面11AA B B 内,且M N ⊥平面11A B C ,求线段BM 的长.
16.(浙江理20) 如图,在三棱锥P A B C -中,A B A C =,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ)证明:AP ⊥BC ;
(Ⅱ)在线段AP 上是否存在点M ,使得二面角A-MC-B 为直二面角?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由。
⊥,17.(重庆理19)如题(19)图,在四面体A B C D中,平面A B C⊥平面A C D,A B B C
=,C A D
∠=30?.
AD C D
=2,求四面体A B C D的体积;
(Ⅰ)若AD=2,A B B C
--为60?,求异面直线A D与B C所成角的余弦值.(Ⅱ)若二面角C A B D
立体几何之解答题答案
1、证明:(1)在△PAD 中,因为E 、F 分别为
AP ,AD 的中点,所以EF//PD. 又因为EF ?平面PCD ,PD ?平面PCD , 所以直线EF//平面PCD.
(2)连结DB ,因为AB=AD ,∠BAD=60°,
所以△ABD 为正三角形,因为F 是AD 的 中点,所以BF ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,
BF ?平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD=AD ,所以BF ⊥平面PAD 。又因为 BF ?平面BEF ,所以平面BEF ⊥平面PAD. 2、(I )(综合法)
证明:设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以
OB
∥DE
2
1,OG=OD=2,
同理,设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点,有.2=='OD G O
又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上,所以G 与G '重合.
在△GED 和△GFD 中,由OB ∥DE
21和OC ∥DF
2
1
,可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点,
所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF. (向量法)
过点F 作AD FQ ⊥,交AD 于点Q ,连QE ,由平面ABED ⊥平面ADFC ,知FQ ⊥平面ABED ,以Q 为坐标原点,QE 为x 轴正向,QD 为y 轴正向,QF 为z 轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.
由条件知).
23,23,0(),0,2
3,23(
),3,0,0(),0,0,3(-
-C B F E
则有
).
3,0,3(),2
3,
0,2
3(-=-
=EF BC
所以,2BC EF =即得BC ∥EF.
=
=
=
=
(II )解:由OB=1,OE=2,
2
3,60=
?=∠EOB S EOB 知,而△OED 是边长为2的正三角形,
故.3=OED S
所以
.
2
33=
+=OED EOB OBED S S S
过点F 作FQ ⊥AD ,交AD 于点Q ,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F —OBED
的高,且FQ=
3
,所以.
233
1=
?=
-OBED OBED F S FQ V
3、证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD 是菱形, 所以AC ⊥BD.
又因为PA ⊥平面ABCD. 所以PA ⊥BD. 所以BD ⊥平面PAC. (Ⅱ)设AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°,PA=PB=2, 所以BO=1,AO=CO=3.
如图,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O —xyz ,则
P (0,—3,2),A (0,—3,0),B (1,0,0),C (0,3,0). 所以).0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB
4
63
2226cos =
?=
θ
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知).0,3,1(-=BC 设P (0,-3,t )(t>0), 则),3,1(t BP --=
设平面PBC 的法向量),,(z y x m =, 则0,0=?=?m BP m BC
所以????
?-+--=+-03,
03tz y x y x
令
,
3=y 则.
6,3t z x =
=
所以
)
6,
3,3(t
m =
同理,平面PDC 的法向量)
6,
3,3(t n -=
因为平面PCB ⊥平面PDC,
所以n m ?=0,即0
3662
=+
-t
解得6
=
t
所以PA=6 4、解法一:
(I )因为P A ⊥平面ABCD ,
A C ?
平面ABCD ,
所以P A A B ⊥,
又,,AB AD PA AD A ⊥= 所以AB ⊥平面PAD 。
又A B ?平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD 。
(II )以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系
A —xyz (如图)
在平面ABCD 内,作CE//AB 交AD 于点E ,则.C E A D ⊥ 在R t C D E ?中,DE=cos 451C D ??=,
sin 451,CE CD =??=
设AB=AP=t ,则B (t ,0,0),P (0,0,t ) 由AB+AD=4,得AD=4-t ,
所以(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---,
(1,1,0),(0,4,).
C D PD t t =-=--
(i )设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =,
由n CD ⊥ ,n PD ⊥ ,得0,
(4)0.
x y t y tx -+=??
--=?
取x t =,得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-, 又
(,0,)
P B t t =-
,故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30?,得
2
1cos 60|
|,,
2
||||
n PB
n PB ??==
? 即
解得
44
5
t t ==或(舍去,因为AD 40t =->),所以
4.
5A B =
(ii )假设在线段AD 上存在一个点G ,使得点G 到点P ,B ,C ,D 的距离都相等, 设G (0,m ,0)(其中04m t ≤≤-) 则(1,3,0),(0,4,0),(0,,)
G C t m G D t m G P m t =--=--=-
,
由
||||
G C G D = 得
222
(4)t m m t
--=+,(2)
由(1)、(2)消去t ,化简得2
340m m -+=(3)
由于方程(3)没有实数根,所以在线段AD 上不存在一个点G , 使得点G 到点P ,C ,D 的距离都相等。 从而,在线段AD 上不存在一个点G , 使得点G 到点P ,B ,C ,D 的距离都相等。
解法二: (I )同解法一。
(II )(i )以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系A —xyz (如图)
在平面ABCD 内,作CE//AB 交AD 于E , 则C E AD ⊥。
在平面ABCD 内,作CE//AB 交AD 于点E ,则.C E A D ⊥ 在R t C D E ?中,DE=cos 451C D ??=,
sin 451,CE CD =??=
设AB=AP=t ,则B (t ,0,0),P (0,0,t ) 由AB+AD=4,得AD=4-t ,
所以(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---,
(1,1,0),(0,4,).
C D PD t t =-=--
设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =,
由n CD ⊥ ,n PD ⊥ ,得0,
(4)0.
x y t y tx -+=??
--=?
取x t =,得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-, 又
(,0,)
P B t t =-
,故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30?,得
2
1cos 60|
|,,
2
||||
n PB
n PB ??==
? 即
解得
44
5
t t ==或(舍去,因为AD 40t =->),
所以
4.
5
A B =
(ii )假设在线段AD 上存在一个点G ,使得点G 到点P ,B ,C ,D 的距离都相等, 由GC=CD ,得45G C D G D C ∠=∠=?, 从而90C G D ∠=?,即,CG AD ⊥
∴sin 451,GD CD =??=
设,AB λλ=则AD=4-,
3AG AD G D λ
=-=-,
在R t A B G
?中,
GB ==
1,
=
>
这与GB=GD 矛盾。
所以在线段AD 上不存在一个点G ,使得点G 到点B ,C ,D 的距离都相等, 从而,在线段AD 上不存在一个点G ,使得点G 到点P ,B ,C ,D 的距离都相等。 5、法一:(1)证明:取AD 中点G ,连接PG ,BG ,BD 。
因PA=PD ,有P G A D ⊥,在ABD ?中,1,60AB AD DAB ==∠=?,有ABD ?为 等边三角形,因此,BG AD BG PG G ⊥?=,所以
AD ⊥
平面PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥
又PB//EF ,得AD EF ⊥,而DE//GB 得AD ⊥DE ,又FE D E E ?=,所以 AD ⊥平面DEF 。
(2),PG AD BG AD ⊥⊥ ,
P G B ∴∠为二面角
P —AD —B 的平面角,
在
2
2
2
7,4
R t P A G P G P A A G
?=-=
中
在
2
Rt ABG ???中,BG=AB sin60=
222
73
4
cos
27
22
PG BG PB
PG B
PG BG
+-
+-
∴∠===-
?
法二:(1)取AD中点为G,因为,.
PA PD PG AD
=⊥
又,60,
AB AD DAB ABD
=∠=??为等边三角形,因此,B G A D
⊥,
从而AD⊥平面PBG。
延长BG到O且使得PO ⊥OB,又P O?平面PBG,PO ⊥AD,,
AD OB G
?=
所以PO ⊥平面ABCD。
以O为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线OB,OP分别为x轴,z轴,平行于AD 的直线为y轴,建立如图所示空间直角坐标系。
设
11
(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).
22
P m G n A n D n
-
则
||||sin60
2
G B AB
=?=
11
(0,0),(0),(,,0),(,).
22222422
n m
B n
C n E n F
∴++++
由于
(0,1,0),0,0),(0,)
2242
n m
AD D E FE
===+-
得0,0,,,
AD D E AD FE AD D E AD FE D E FE E
?=?=⊥⊥?=
AD
∴⊥平面DEF。
(2
)
1
(,,),(0,)
22
PA n m PB n m =--=+-
22,1,
2
m m n ∴=+===
解之得
取平面ABD的法向量1(0,0,1),
n=-
设平面PAD的法向量2(,,)
n a b c
=
由22
0,0,0,0,
2222
b b
PA n c PD n c ?=--=?=+-=
得由得
取2
(1,
2
n=
12
cos,
7
n n
-
∴<>==-
6、解法1:过E作E N A C
⊥于N,连结EF。
(I)如图1,连结NF、AC1,由直棱柱的性质知,
底面ABC⊥侧面A1C。
又度面ABC 侧面A,C=AC,且E N?底面ABC,
所以E N⊥侧面A1C,NF为EF在侧面A1C内的射影,
在R t C N E
?中,cos60
C N C E
=?=1,
则由1
1
4
C F C N
C C C A
==
,得NF//AC1,
又11,
AC A C
⊥故
1
N F A C
⊥。
由三垂线定理知1.
EF A C
⊥
(II)如图2,连结AF,过N作N M A F
⊥于M,连结ME。
由(I)知E N⊥侧面A1C,根据三垂线定理得,
EM AF
⊥
所以E M N
∠是二面角C—AF—E的平面角,即E M Nθ
∠=,
在R t C N E ?
中,sin 60N E E C =??= 在,sin 3sin ,Rt AMN MN AN a a ?=?=中
故tan .
3sin N E M N
a
θ=
=
又
045,0sin 2a α?<≤?∴<≤
故当
sin 452
a α=
=?
即当时,tan θ达到最小值;
tan 3
3
θ=
=
,此时F 与C1重合。
解法2:(I )建立如图3所示的空间直角坐标系,则由已知可得
1(0,0,0),2,0),(0,4,0),(0,0,4),3,0),(0,4,1),
A B C A E F
于是1(0,4,4),(CA EF =-=
则1(0,4,4)(0440,
CA EF ?=-?=-+=
故
1.
EF A C ⊥
(II )设,(04)CF λλ=<≤,
平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =, 则由(I )得F (0,4,λ)
3,0),(0,4,)
AE AF λ==
,于是由
,m A E m A F
⊥⊥ 可得
0,30,
40.0,m A E y y z m A F λ??=+=??
+=??=??? 即
取,,4).m λ=-
又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为(1,0,0)
n=,
于是由θ为锐角可得
||
cos
||||
m n
m n
θ
?
=
?
sinθ
==
,
所以
tanθ==
由04
λ
<≤,得
11
4
λ
≥
,即
tan
3
θ≥=
故当4
λ=,即点F与点C1重合时,tanθ
取得最小值3
7、解法1:连结OC,因为,
OA OC D AC
=⊥
是的中点,所以AC OD.
又P O⊥底面⊙O,AC?底面⊙O,所以A C P O
⊥,
因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线,所以A C⊥平面POD,
而A C?平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC。
(II)在平面POD中,过O作O H PD
⊥于H,由(I)知,平面,
POD PAC
⊥平面
所以O H⊥平面PAC,又PA?面PAC,所以.
P A O H
⊥
在平面PAO中,过O作O G P A
⊥于G,
连接HG,
则有P A⊥平面OGH,
从而PA H G
⊥,故O G H
∠为二面角B—PA—C的平面角。
在
,sin45
2
Rt O D A O D O A
?=??=
中
在
,
5
Rt PO D O H
?===
中
在
,
3
Rt PO A O G
?===
中
在
,sin 5
3
O H Rt O H G O G H O G
?∠=
=
=中
所以
cos 5O G H ∠=
=
=
故二面角B —PA —C
的余弦值为
5
解法2:(I )如图所示,以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则
(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,
O A B C P -,
11
(,,0)22
D -
设
1111(,,)
n x y z =是平面POD 的一个法向量,
则由110,0n OD n OP ?=?=
,得1
11
1
10,220.x y ?-+=?=
所以111110,,1,(1,1,0).
z x y y n ====取得
设
2222(,,)
n x y z =是平面PAC 的一个法向量,
则由
220,0
n PA n PC ?=?=
,
得22220,0.x y ?--=??
+=?
?
所以22222,.1,x y ===取z
得2(n =。
因为12(1,1,0)(0,n n ?=?= 所以
12.
n n ⊥从而平面P O D ⊥平面PAC 。
(II )因为y 轴⊥平面PAB ,所以平面PAB 的一个法向量为3(0,1,0).
n =
由(I )知,平面PAC
的一个法向量为2(n =
设向量
23
n n 和的夹角为θ,则
立 体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
新课标全国卷 文科数学总结 立 体 几 何 一、选择题 【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径.若该几何体的体积是 28π 3 ,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π 【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点 A ,α∥平面11C B D ,α平面ABCD m =, α 平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A . 2 B .2 C .3 D .13 【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的 正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8 【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】 【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱 【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A .6 B .9 C .12 D .15
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.