《现代控制理论》讲稿
贺廉云
第1章 控制系统的状态空间模型
要点：
1 理解状态空间表示法概念；
2 掌握状态空间图示法；
3 掌握连续系统的数学模型转换；
4 了解多变量系统的传递函数阵及其求法
难点：
连续系统的数学模型转换
一 状态空间表示法
1. 基本术语
状态：完全能描述系统时域行为的一个最少变量组。
状态变量：是能构成系统状态的变量，能完全描述系统时域行为的一个最少变量组中的每一个变量。
状态空间：状态向量X（t）的所有可能值的集合在几何学上叫状态空间。或说由x1轴、x2轴...xn轴所组成的n维空间称为状态空间。
状态空间中的每一个点，对应于系统的某一特定状态。反过来，系统在任意时刻的状态都可用状态空间中的一个点来表示。显然，系统在不同时刻下的状态，可用状态空间中的一条轨迹表示。轨迹的形状，完全由系统在时刻的初态时的输入函数，以系统本身的动力学特性所决定。
2 状态空间模型的一般形式
在现代控制理论中，状态空间模型所能描述的系统可以是单输入单输出的，也可以是多输入多输出的。状态空间表示式是一种采用状态描述系统动态行为（动态特性）的时域描述的数学模型。它包含状态方程输出方程。状态方程是一个一阶向量微分方程，输出方程是一个代数变换方程。
U1 状 态 变 量 y1
U2 y2
... ...
Um x1 x2 ... x4 yp
图1-1 系统表示
描述某一动态的一个状态向量x（t）=[ x1 x2 x3 ...xn]T（这里T 为矩阵的转置），如图1-1所示。显然，该系统是n阶系统，若系统有m个输入u1，u2，u3，...，um，有p个输出y1，y2，y3，...，yp，且分别记u（t）=[ u1 u2 u3 ...un]T和y(t)= [y1 y2 y3 ...yp]T位输入和输出向量。则系统的状态空间模型的一般形式为
（1-1）
（1-2）
式中，f=[ f1 f2 f3 ...fn]T是n维函数向量；Φ是向量函数。式（1-1）是一阶向量微分方程，也可以看作由n个一阶微分方程所构成的方程组，称其为系统的状态方程；式（1-2）是一个代数方程，表示系统的输出量和输入量以及状态变量之间的关系，称之为系统的输出方程，或称为观测方程。这两个方程总称为系统的状态空间表达式。
二 状态空间模型的建立
要建立状态空间表达式，必须先选取状态变量，状态变量一定要是系统中相互独立的变量。对于同一系
统，状态变量选取的不同，所建立的状态空间表达式也不同，通常选取状态变量采取以下三种途径：
（1） 选择系统中贮能元件的输出物理量作为状态变量，然后根据系统的结构用物理定律列写出状态方程。
（2） 选择系统的输出及其各阶导数作为状态变量。
（3） 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。
例1：如图1-2所示的电路，试以电压u为输出，以电容C上的电压uC为输出变量，列写其状态空间表达式。
图1-2 例1电路
解： 图2电路的贮能元件有电感L1，L2和电容C。根据基尔霍夫定律列写电路方程：
考虑到i1、i2、uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量，经整理上式变为
现在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程。
由于前面已指出电容上的电压uc为输出变量，故系统的输出方程为
由此可见，该电路的系统矩阵、控制矩阵、输出矩阵分别为
C=[ 0 0 1]
三状态空间模型的图示法
1. 基本元件
(a) (b) (c)
图1-3 状态结构基本元件
a-积分器 b-加法器 c-比例器
2． 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图
u
图1-4 一阶系统状态结构
3.多输入多输出状态方程
u y
图1-5 MIMO系统状态结构图
状态方程表达式为
4.单输入单输出（SISO）线性定常系统微分方程的标准形式为
（1-3）
5 能控标准形
= + u （1-4）
（1-5）
只要系统状态方程的系数阵A和输出阵B具有式（1-4）的形式，C阵的形式可以任意，则称之为能控标准形，结构图如下
u
图1-6 能控标准形状态结构图
6 能观标准形
（1-6）
（1-7）
只要系统状态空间表达式的A阵和C阵具有式（1-6）和（1-7）的形式，B阵的形式可以任意，则称之为能观标准形，结构图如图1-7所示。
...
U
...
图1-7 能观标准形状态结构图
7 对角标准形
对角标
准形的结构图和空间表达式分别如下：
u y
图1-8 对角标准形状态结构图
（1-8）
8 约当标准形
约当标准形的状态方程式和结构图分别如下
（1-9）
y
u
图1-9 约当标准形状态结构图
四 连续系统的数学模型转换
对于动态系统，高阶微分方程、传递函数、状态方程表示的数学模型实际上是对系统动态过程的三种不同的形式的描述。微分方程和传递函数是古典控制理论中描述系统的数学模型，它们对事物外部特征进行描述，只反映系统输入输出之间的关系。而现代控制理论采用的状态空间表示，可以深入反映系统内容状态之间的关系。因此，两者之间存在着内在联系，可以通过适当的手段进行相互转换。
1 由状态空间模型转换成传递函数
系统的状态方程
L G（s）=
= (1-10)
是A阵的特征多项式 * 表示伴随矩阵
例2 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为
试求其传递函数阵。
解：根据式（1-10），可得
G（s）=
=
=
=
2传递函数阵的状态空间模型的实现
（1） 可控标准形的实现
对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数阵退化成传递函数。要把SISO系统式G(s)=的传递函数形式转换成能控标准性的状态空间模型，即
（1-11）
A= b= (1-12)
上述A阵是nn方阵，它的维数正好是传递函数的阶数，它的最后一行元素正还是传递函数分母（即系统的特征方程）所对应的稀疏，只不过均相差一个负号,其次对角线的元素均为1，其余为零，而b阵是一个列向量，最后一个元素为1，其余为零。正是b阵中的唯一的1对应友阵A的形式，是的输入信号u能对系统的每一个状态进行控制，因此称其为能控标准行。为了得到A阵和b阵的这种形式，应按下列规律选择状态变量：,于是有
（1-13）
现在的问题就是设法求出满足上述关系的输出矩阵c。为此设中间变量Z(s)，对于式 G(s)=分子分母同乘
以Z(s),则有，设
则由
有
即 （1-14）
对上式取拉氏变换 （1-15）
由式（1-13）有 (1-16)
将式（1-16）代入式（1-15），并令，则
（1-17）
写成矩阵形式 （1-18）
故所求的c阵满足式（1-17）的形式。
同理，从式（1-15）的下式可以推出
或写成 （1-19）
可见，式（1-19）正好就是式（1-13）的最后一个表达式。式（1-13）和式（1-17）完全地描述了由传递函数G(s)=所表示的系统。这一组能反映系统状态之间关系和输出变量的方程，也可以直接从能控标准形的结构图写出。
对于输入函数中不含u的异数的特殊情况，或传递函数式G(s)=中不含零点时，能控标准形A阵，B阵不变和式（1-4）相同，但c阵变成
（1-20）
在需要对实际系统进行数学模型转换时，只要把微分方程或传递函数化成式（1-3）或G(s)=的标准形式，不必进行计算就可以方便地一一对应写出状态空间模型的A,b,c矩阵的所有元素。
例3 已知某系统的传递函数试求其能控标准形实现。
解：先将已知传递函数化成式G(s)=的标准形式 从而可得
则其状态空间表达式为
其中，
下面简述多数入多输出（MIMO）系统的传递函数阵状态空间模型实现。设系统的输入u和y分别是m和p维的，则传递函数阵G（s）是一个pm的关于s得多项式矩阵，其元素是s的有理真分式。
设G(s)的所有的元素的分母多项式的最小公倍数为
(1-21)
则可以将G(s)写成
（1-22）
其中，是阶单位阵，是多项式矩阵，它可按的幂数展开成矩阵多项式
（1-23）
同理，可推导出MIMO系统传递函数阵的能控标准形实现为
（1-24）
（1-25）
式中，0和I分别是m阶零矩阵和单位矩阵，是的实数据阵，是维向量。
例4 已知二输入二输出系统的传递函数阵为
试求其能控标准形实现。
解：所给系统的传递函数阵所有的元素的分母多项式的最小公倍式为
将传递函数阵写成
则有
由式（1-21）和式（1-22）可直接得出能控标准形实现
（2） 能观标准形实现
设SISO系统的微分方程或传递函数如式（1-3）或式G(s)=，若选择状态变量满足下列条件
将这几个方程逐个对t求导，并考虑式（1-3）的关系，便得到传递函数阵的能观标准的实现。即
（1-27）
（1-28）
写成矩阵形式 （1-29）
（1-30）
可见，SISO系统能观标准形与
能控标准形是互为对偶的。因此，对MIMO系统可直接根据上述MIMO系统的能控标准形写出式（1-22）的能观标准形实现。即
（1-31）
（1-32）
式中，I，0是阶单位阵与零阵，是维向量。
通过以上对传递函数阵的能控标准形或能观标准形实现的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：
（1）传递函数转化成能控标准形的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。
（2）从能观标准形的实现可以看出，系数阵A的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B的元素。
（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即，状态空间表达式的输出方程中才出现项，否则为零阵。
例5 二输入二输出系统例4所对应的能观标准形实现的阵分别为
（3） 对角标准形实现
若SISO系统的传递函数式G(s)=不存在项统计点，则可得到多对角标准形实现，且实现的系数阵应是
（1-33）
式中，是传递函数的个互异极点，因此需求出和阵。
系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式
（1-34）
式中为系统的零点；为系统的互异极点。
将式（1-34）写成部分分式
（1-35）
其中，，为待定系数，其值为
（1-36）
为了得到如式（1-8）的对角标准形式线，其状态变量的选择原则为
（1-37）
即 （1-38）
对上式拉氏反变换，得
即 （1-39）
写成矩阵形式
+ （1-40）
式中，系数矩阵A为对角阵。对角线上的元素是传递函数G（s）的极点，即系统的特征值。b阵是元素全为1的n×1矩阵。
求c的结构，由式（1-35）有
（1-41）
再由式（1-37）知 （1-42）
将式（1-42）代入式（1-41），有
（1-43）
对上式拉氏反变换，得
（1-44）
上式就是对应A为对角标准形的输出方程。
C阵的结构应是
（1-45）
（4）约当标准形的实现
对单输入输出系统，当其特征值有重时，则通过状态变量的选择，可以得到约当标准形实现。此时实现的系数矩阵A中与重特征值对应的那些子块，都是与这些特征值相对应的约当块，即
（1-46）
设系统的传递函数仍
为G(s)=，当系统具有一个重特征值，其重数为j，而其余不重的特征值为，则传递函数可以用部分分式展开成
（1-47）
式中，待定系数对应的是重极点的系数，其值为
（1-48）
式中，待定系数仍用特征值互异时的公式即
（1-49）