2012全国各地模拟分类汇编理：立体几何（2）
【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】若,,,a b c d 是空间四条直线．如果“,,,a c b c a d b d ⊥⊥⊥⊥”，则 (A) //a b 且//c d
(B) ,,,a b c d 中任意两条可能都不平行
(C) //a b 或者//c d
(D) ,,,a b c d 中至少有一对直线互相平行
【答案】D
【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1
的正方形且体积为1
2，则该几何体的俯视图可以是 （ ）
【答案】C
【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】正四面体ABCD 的外接球的球心为0,E 是BC 的中点，则直线OE 与平面BCD 所成角的正切 值为 （ ）
A 1
B
C 2 D
【答案】C
【广东省执信中学2012第一学期期末】设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是（ ）
A ．若αα//,c b ?，则//b c
B ．若,//b b c α?，则//c α
C ．若//,c ααβ⊥，则c β⊥
D ．若//,c c αβ⊥，则αβ⊥
【答案】D
【安徽省六校教育研究会2012届高三联考】一个空间几何体的三视图如图（1）所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为 （ ）
（A ）64，48+B ）32，48+
（C ）64
3，32+（D ）332
，48+
【答案】B
【广东省执信中学2012第一学期期末】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）
A ．24
B ．30
C ．36
D ．42
【答案】C
【甘肃省天水一中2012第一学期高三第四阶段考】正四面体P-ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PB 与CM 所成角的余弦值为（ ）
A. 23
B. 43
C. 63
D. 33
【答案】C
【福建省南安一中2012届高三上期末】已知a ，b ，c 表示三条不同的直线，α表示平面，给出下列命题：
①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ． 其中正确的命题为（ ）
A ．①②
B ．②③ C. ①④ D ．③④
【答案】C
【北京市东城区2012高三第一学期期末】一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中
△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左)
视图的面积为
（A ）21
（B ）1 （C ）23
（D ） 2
【答案】C
【北京市东城区2012高三第一学期期末】下列命题中正确的是 （A ）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B ）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
（C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 【答案】D
【北京市西城区2012第一学期期末】某几何体的三视图如图所示，该几何体的
体积是（ ）
（A ）8（B ）8
3（C ）4（D ）4
3
【答案】D
【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】设,m n
是两条异面直线，下列命题中正确
的是 ( ) A ．过m 且与n 平行的平面有且只有一个 B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个 C ．m 与n 所成的角的范围是
()π，0
D．过空间一点P与m、n均平行的的平面有且只有一个
【答案】A
【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】假设一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形（如图所示），腰长为1，则该四棱锥的体积为．
【答案】3
【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】如图是一个几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则这个几何体的表面积是。
【答案】12
【广东省执信中学2012第一学期期末】如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该三视图中侧视图的面积为．
【答案】3 2
【福建省南安一中2012届高三上期末】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
3
【答案】π+3
【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是.
【答案】
【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体的体积为.
【答案】21
【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小
为α，侧棱与底面所成的角为β，则=
β
α
tan tan .
【答案】2
【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】 如图，已知四棱台ABCD –A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2。
（ I ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1； （Ⅱ）求四棱台ABCD - A1B1C1D1的体积； （Ⅲ）求二面角B —C1C —D 的余弦值．
【答案】
解：（Ⅰ）∵1AA ⊥平面 ABCD ，∴BD AA ⊥1．
底面ABC D 是正方形，BD AC ⊥∴．
1AA 与AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线，∴BD ⊥平面11ACC A ． ?BD 平面11B BDD ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ． ………（4分）
（Ⅱ）过1D 作AD H D ⊥1于H ，则A A H D 11//． ∵1AA ⊥平面 ABCD ，⊥∴H D 1平面ABCD ． 在DH
D Rt 1?中，求得3
1=
H D ．
而
H
D A A 11=，
所以四棱台的体积
()
()3
3734213
1 3
1=
?
++?=
+'+
'=
h S S S S V ． ……（8分）
（Ⅲ）设AC 与BD 交于点O ，连接
1
OC ．
过点B 在平面11BCC B 内作C C BM 1⊥于M ，连接MD ． 由（Ⅰ）知BD ⊥平面11ACC A ，C C BD 1⊥∴． 所以⊥C C 1平面BMD ， MD C C ⊥∴1． 所以，BMD ∠是二面角D C C B --1的平面角．
在OC C Rt 1?中，求得5
1=
C C ，从而求得
5
3011
=
?=
C
C OC OC OM ．
在BMO Rt ?中，求得
5
54=
BM ，同理可求得5
54=
DM ． 在BMD ?中，由余弦定理，求得
41
2cos 2
2
2
-
=?-+=
∠DM
BM BD
DM
BM
BMD ．（12分）
【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】棱长为2的正方体
1111
ABC D A B C D -中，E 为棱
11
C D 的中点，F 为棱B C 的中点
(1)求证A E ⊥1
D A
(2)求在线段1
A A 上找一点G ，使A E ⊥面DFG
【答案】
(1) 连接A 1D , B 1C , 由正方体的性质可知 11AD DA ⊥ ， AB DA ⊥1 ，又A
AD AB =?1 111D ABC DA 面⊥∴ 又AE ?11D ABC 面 AE DA ⊥∴1 (2) 所求G 点即为1
A 点，证明如下：
由(1) 知
1
DA AE ⊥ 取CD 的中点H ，连AH, EH . 由DF ⊥AH , DF ⊥EH
AH ?EH = H 可证DF ⊥平面AHE ∴DF ⊥AE 又
D
D A DF =?1
1
D F A A
E 面⊥∴ 即AE ⊥面DFG
【广东省执信中学2012第一学期期末】如图一，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，
60,90,A C ∠=?∠=?2C D =．
把ABD ?沿BD 折起（如图二），使二面角C BD A --
的余弦值等于3．对于图二，完成以下各小题： （1）求,
A C 两点间的距离；
（2）证明：⊥AC 平面BCD ；
（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值．
【答案】
解：（Ⅰ）取BD 的中点E ，连接CE AE ,， 由CD CB AD AB ==,，得：
BD CE BD AE ⊥⊥,
A E C ∴∠就是二面角C BD A --的平面角，
33
cos =
∠∴AEC …………………………2分
在ACE ?中，2
,6=
=
CE AE
AEC CE AE CE
AE AC
∠??-+=cos 22
22
4
3326226=?
?
?
-+=
2=∴AC …………………………4 分
（Ⅱ）由22===BD AD AC ，2===CD BC AC
∴,22
2
AB BC
AC
=+,
2
2
2
AD CD
AC
=+
∴?=∠=∠90ACD ACB …………………………6分 ,AC BC AC CD
∴⊥⊥，
又C CD BC =
C
B
D A
图1 B
C
D
A
图2
A C ∴⊥平面BCD ． …………………………8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知⊥BD 平面ACE
?BD 平面ABD
∴平面⊥ACE 平面ABD …………………………10分 平面 ACE 平面AE ABD =，
作C F AE ⊥交AE 于F ，则C F ⊥平面ABD ，
CAF ∠就是AC 与平面ABD 所成的角， …………………………12分
sin sin 3C E C AF C AE AE
∴∠=∠=
=
． …………………………14分
方法二：设点C 到平面ABD 的距离为h ， ∵
BCD A ABD C V V --= ………………10分
111160222
32
32
h ∴
????=
????
3
h ∴=
………………………12分
于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦为
33
sin =
=AC
h θ． …………………………14分
方法三：以CA CD CB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系xyz C -，则
)
0,2,0()
0,0,0(),
0,0,2(),
2,0,0(D C B A ． ………10分
设平面ABD 的法向量为n ),,(z y x =，则
3
32
3|
200|sin =
?++=
=
θ． …………………………14分
【福建省南安一中2012届高三上期末】如图，已知三棱柱111
ABC A B C -的侧棱与底面
垂直，11
AA AB AC ===，AB AC ⊥，M ，N 分别是1C C ，B C
的中点，点P 在直
线
11
A B 上，且
111
A P A
B λ=
；
（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有A M P N ⊥；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线P N 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值； （Ⅲ）是否存在点P ，使得平面P M N 与平面ABC 所成的二面角为30o，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】 证明：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），
B1（1，0，1）， M （0，1，21
），N （21
,
21，0）
)0,0,()0,0,1(111λλλ===B A P A ，)1,0,(11λ=+=P A AA AP ，
)
1,21,
21(
--=λPN
（1）∵
)
21,
1,0(=AM ，∴0
21210=-+
=?PN AM
∴无论λ取何值，AM ⊥PN ………………………………4分 （2）∵=m （0，0，1）是平面ABC 的一个法向量。
∴sin θ=|cos<>?PN m |=
45)21(11
4
1)2
1(
|
100|2
2
+
-
=++
--+λλ
∴当λ＝21
时，θ取得最大值，此时sin θ=
54,cos θ=
51
,tan θ=2 ………8分
（3）假设存在，则
111
(,,)
222N M =- ，设),,(z y x n =是平面PMN 的一个法向量。
N
则???????=-+-=++-021)21(02
12121
z y x z y x λ得??????
?-=+=x z x y 322321λλ令x=3，得y=1+2λ,z=2-2λ
∴)22,21,3(λλ-+=n
∴|cos
3)
22()21(9|
22|2
2=
-+++-λλλ化简得4(*)013102
=++λλ
∵△＝100-4?4?13＝-108<0
∴方程（*）无解
∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30o………………………13分
【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面
ABC D
．底面ABC D 为矩形，
,AD AB ==，
SA SD a
==．
（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；
（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小. 【答案】
证明：（Ⅰ）因为平面SAD ⊥
平面ABC D ，
C D A D ⊥
，且面SA D
面ABCD
AD
=，
所以CD ⊥平面SAD . 又因为SA ?平面SAD
所以CD SA ⊥． …………………………………………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD SA ⊥. 在SAD ?中，SA SD a
==
，AD =，
所以SA SD
⊥
，
所以SA ⊥平面SD C . 即SA SD ⊥，SA SC ⊥, 所以C SD ∠为二面角C
SA D
--的平面角．
在Rt CDS
?中，
tan C D C SD SD
a
∠=
=
=
所以二面角C
SA D
--的大小3π
． …………………………………… 13分 法二：取BC 的中点E , AD 的中点P ． 在SAD ?中，SA SD a
==，P 为AD 的中点，所以，SP
AD
⊥． 又因为平面SAD ⊥
平面ABC D ，且平面SA D 平面ABCD
AD
=
所以，SP
⊥
平面ABC D ．显然，有PE AD ⊥． ……………………………… 1分
Q M
D
C
A
P
B
如图，以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PE 为y 轴，PS 为z 轴建立空间直角坐标系，
则(0,)
2S
，,0,0)
2A ，
,0)
2
B
，
(,0)
2
C ，
(,0,0)
2
D -
． ………………………………………………………………3分
（Ⅰ）易知(0,,0),,0,)
2
2
C D SA ==
因为0CD SA ?=
，
所以CD
SA ⊥．
…………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）设(,,)x y z =n 为平面C SA 的一个法向量，则有0
0SA C A ??=???=?
?
n n ，
即02
20
-=??
-=?
，所以=n ． ……………………………… 7分
显然，EP ⊥平面SAD ，所以PE
为平面SAD 的一个法向量，
所以(0,1,0)=m 为平面SAD 的一个法向量．……………………………………… 9分
所以
1cos ,2
<>=
=n m ，
所以二面角C
SA D
--的大小为3
π
． ………………………………………… 13分
【北京市东城区2012高三第一学期期末】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ?
∠=，Q 为A D 的
中点，2PA PD AD ===． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PQB ；
（Ⅱ）点M 在线段P C 上，P M tP C =，试确定t 的值，
P
Q M
D C
A
B
N
使//PA 平面MQB ；
（Ⅲ）若//PA 平面MQB ，平面P A D ⊥平面ABCD ， 求二面角M BQ C --的大小．
【答案】证明：（Ⅰ）连接BD ．因为四边形ABCD 为菱形，
60=∠BAD ， 所以△ABD 为正三角形．又Q 为AD 中点， 所以AD BQ ⊥．
因为PD PA =,Q 为AD 的中点， 所以AD PQ ⊥． 又Q PQ BQ = ，
所以AD ⊥平面PQB ． ………………4分
（Ⅱ）当31
=
t 时，PA ∥平面MQB ．
下面证明：
连接AC 交BQ 于N ，连接MN ． 因为AQ ∥BC ，
所以12A N
A Q N C
B C
==．
因为PA ∥平面MQB ，PA ?平面PAC ，平面MQB 平面PAC M N =， 所以M N ∥PA .
所以12P M
A N M C
N C ==． 所以PC
PM 3
1=，即
31=
t ． 因为
PC
PM 31=
，所以1
2P M
M C
=
． 所以1
2P M
A N M C
N C
==
，所以M N ∥PA .
又?MN 平面MQB ，?PA 平面MQB ，所以PA ∥平面MQB ． ……9分
（Ⅲ）因为AD PQ ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为A D ， 所以⊥PQ 平面ABCD ． 以Q 为坐标原点，分别以QP QB QA ，，所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz Q -．由PA =PD =AD =2，则有)0,0,1(A ，)0,3,0(B ，)3,0,0(P ． 设平面MQB 的法向量为n =),,(z y x ，由)3,0,1(-=PA ，)0,3,0(=QB
且PA ⊥
n ，Q B
⊥ n ，可得???==-.03,
03y z x 令,1=z 得0
3==
y x ，．
所以n =)1,0,3(为平面MQB 的一个法向量．取平面ABCD 的法向量m =)1,0,0(， 则
cos ?=
=
m n m ,n m n
21
1
21=?，故二面角C BQ M --的大小为60°……14分
【北京市西城区2012第一学期期末】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，
90ABC ?
∠=，D 是BC 的中点．
（Ⅰ）求证：
1A B
∥平面
1
A D C ；
（Ⅱ）求二面角1C AD C
--的余弦值；
（Ⅲ）试问线段
11
A B 上是否存在点E ，使A E 与1DC 成60
?
角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由． 【答案】
（Ⅰ）证明：连结
1
A C
，交
1
AC 于点O ，连结O D .
由 111C B A ABC -是直三棱柱， 得 四边形
11
AC C A 为矩形，O 为
1A C
的中点. 又D 为BC 中点，所以O D 为1A BC
△中位线，
所以
1A B
∥O D ， ………………2分
因为 O D ?平面1A D C ，1A B ?平面1
A D C ，
所以
1A B
∥平面
1
A D C . ………………4分
（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ?
∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.
如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .
所以 (1,2,0)A D =-
，1(2,2,1)
AC =-
设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,
0.
n AD n AC ??=???=??
所以 20,
220.
x y x y z -=??
-+=? 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分
易知平面A D C 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分
由二面角
1C AD C
--是锐角，得
||2cos ,3
???=
=n v n v n v
. ………………9分
所以二面角
1C AD C
--的余弦值为2
3.
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E . 因为E 在线段1
1B A 上，
)
1,2,0(1A ，
)
1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.
所以
(0,2,1)
A E λ=-
，
1(1,0,1)
DC =
. ………………11分
因为A E 与
1
DC 成60?
角，所以
11
12A E D C A E D C ?=
. ………………12分
12
=
，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分
所以当点E 为线段11B A 中点时，A E 与
1
DC 成60?
角. ………………14分
【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】如图，在正三棱柱DEF ABC —中，
.1,2==AD AB P 是CF 的沿长线上一点，.t FP =过P B A ,,三点的平面交FD 于M ，交FE 于.N
（Ⅰ）求证：MN ∥平面CDE ；
（Ⅱ）当平面⊥PAB 平面CDE 时，求t 的值.
【答案】（Ⅰ）因为AB ∥DE ，AB 在平面FDE 外，所以AB ∥平面FDE ；…………2分
MN 是平面PAB 与平面FDE 的交线，所以AB ∥MN ，故MN ∥DE ；…………4分
而MN 在平面CDE 外，所以MN ∥平面.CDE ……6分
注：不写“AB 在平面FDE 外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.
（Ⅱ）解法一：取AB 中点G 、DE 中点H 则由GH ∥PC 知H G C P ,,,在同一平面上，并且由PB PA =知.AB PG ⊥而与（Ⅰ）同理可证AB 平行于平面PAB 与平面CDE 的交线，因此，PG 也垂直于该交线，但平面⊥PAB 平面C D E ，所以⊥PG 平面C D E ，
∴CH PG ⊥…………10分
20题
于是，CGH ?∽PCG ?∴GH CG
CG PC
=…………12分即
.
2,1
33
1==
+t t …………14分
注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定
理.
（Ⅱ）解法二：如图，取AB 中点G 、DE 中点H . 以G 为原点，GB 为x 轴、GC 为y 轴、
GH 为z 轴建立空间直角坐标系.则在平面PAB 中,)1,3,0(),0,0,1(t P B +，
向量).1,3,0(),0,0,1(t GP GB +==设平面PAB 的法向量)
,,(111,z y x n =，则由
?????=?=?001
1GP n GB n 即???=++?=?0)1(301111t z y x
得)3,1,0(1-+=t n ……………………9分 在平面CDE 中,
)
0,3,
0(),1,0,0(C H ，向量).0,0,1(),1,3,0(==-=GB HE CH
设平面CDE 的法向量),,(2222z y x n =，由??
?=?=+-?0
10)3(222x z y
得)3,1,0(2=n ……………………12分
平面⊥PAB 平面CDE ，021=?∴n n ，即.2,031=∴=-+t t ……………………14分
高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．
2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．
3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．
5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
（Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E
2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美． 图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________g.
【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A
2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为
（ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是
2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ．
2020年高考数学分类汇编：立体几何 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20°B．40° C．50°D．90° 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为
A ． E B ． F C ．G D ． H 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11．已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ． 3 B ．32 C ．1 D ． 32 16．设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A ． 514 B ． 512 C ． 514 D ． 512
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -
1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .
2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1（2019北京文）（本小题14分） 如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA ⊥BD ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2019新课标Ⅱ理）（12分） 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2 （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值． 3（2019天津理）（本小题满分13分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90?. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值； （Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ，求线段AH 的长. 21 4（2019新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；
2019真题汇编--立体几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ， △ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某 柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图， 该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .
3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D
5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P
高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。
历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）
2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试（十）理 新人教A 版 一、选择题 1．空间中四点可确定的平面有( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面． 2．一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S 底面＝1 2×2×1＝1，棱柱高为h ＝2，∴棱柱的体积为S 棱柱＝S 底面·h ＝1×2＝2. 3．下列命题中，错误的是( ) A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 B ．平面α∥平面β，a ?α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d D ．一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行
答案D 解析A正确，三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面；B正确，两平面平行，一面中的线必平行于另一个平面，平面内的一点与这条线可以确定一个平面，这个平面与已知平面交于一条直线，过该点在这个平面内只有这条直线与a平行；C正确，利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的；D错误，一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，故应选D. 4．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案B 解析作AE⊥BD，交BD于E， ∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AE⊥BC， 而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC， 又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD， 而AB?平面ABD，∴BC⊥AB， 即△ABC为直角三角形．故选B. 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )
2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()
A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0
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