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复数专题

复数的概念与运算

大连二十四中学张宁

一、知识归纳：

1、复数z 的表示方法有四种：（1）代数形式：,,;z a bi a b R =+∈

（2）三角形式：()cos sin ,0,;z r i r R θθθ=+∈≥ （3）指数形式：,0,,cos sin i i z re r R e i θθθθθ=∈=+≥；（4）几何形式：复平面上的点Z(a,b)或由原点出发的向量OZ

；

其中角θ是z 的辐角，当02θπ<≤时记为argz ，称为z 的辐角主值；r 是z 的模，记为|z|; 数a 与b 分别是z 的实部与虚部，记为Re （z ）与Im(z). 2、关于模与共轭复数的运算：

()()()()()()(

)

()()()()()()()(){}()1112121212222

1212121212231231;2;

(3)0;114;5R e ,;

26||||;

7||||||;

8||||||||||||;

9||m ax R e ,;

10,,,,,,,,n n k z z

z z z z z z z z z z z z

z z R z z z Im z z z i

z z z z z z z z z z z z z z z z Im z a a a a b b b b a ??±=±?=?=≠ ???=?∈=

-?===-±+ 1≤≤≥对于两组复数，，有|2

|||||

k b a

b ?∑∑∑n

k=1

≤

当0k b =()1,2,,k n = 时可取等号，当存在实数,λ使()1,2,,k k a b k n λ== 时可取等号，其它情形取不等号（许瓦尔兹不等式）。 3、复数运算的几何意义

设复平面内任意两点12,,z z 其对应复数分别为111,z x y i =+ ()2221212,,,,z x y i x x y y R =+∈ （1）12,,z z 两点间的距离：

12|||d z z z =-=

表示z 到原点的距离。

（2）定比分点所对应的复数：设

Z 为线段12Z Z 中一点，且

12||,||z z z z λ-=-则

121212.111x x y y z z z x yi i λλλλ

+++=+=+=

+++特别地，若Z 为线段12Z Z 的中点，则12

z z z +=

（3）三角形的重心：设123,,Z Z Z 是复平面内不共线三点，其对应复数分别为123,,,z z z 则△123Z Z Z 的重心所对应的复数()1231.3

z z z z =

（4）三角形的垂心：当123||||||O Z O Z O Z ==，则△123Z Z Z 的垂心Z 对应的复数为123.z z z z =++

（5）两直线的夹角：复平面上三点012,,Z Z Z 对应的复数分别为012,,,z z z 则2

10210arg .z z Z Z Z z z ??-∠= ?-??

（6）平行、垂直及共线：在复平面上的A 、B 、C 、D 四点对应的复数是1234,,,,z z z z 以k 表示一实数，则0

2143

1z z k z z -=-的充要条件是AB//CD;

2143

z z ki z z -=-的充要条件是;AB CD ⊥

3,,A B C 三点共线的充要条件是

2123

z z R z z -∈-；

4、复数方法

复数是解决数学问题的工具之一，一些代数与几何利用复数来处理较易得到解决；也可利用复数解决几何问题，探求点的轨迹，解决三角问题，证明代数不等式，求最值，探求数列问题等。一、复数的运算

例1：给定实数,,a b c ，已知复数123,,z z z 满足123||||||1,z z z ===且3122

1,z z z z z z +

=求123||az bz cz ++的

值。

解法1：记cos sin ,i e i θθθ=+可设

()

3122

i i i z z z e e e

z z z θ?θ

-+===，

由题设，有()

1,i i i e e e

θ?θ?-+++=，两边取虚部等于0，即：()0sin sin sin θ?θ?=+-+

2sin cos 2sin

cos

2sin

cos

4sin

sin

θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?+-+++-+??=-=- ??

故2k θπ=或2k ?π=或2k θ?π+=，因而有12z z =或23z z =或31z z =。

如果12,z z =代入原已知等式，即313

11,z z z z +

+=故2

33211,,

z z iz z ??

=-=± ???

这时

1231

|||||.a z b z c z

z a b

++=++

类似地，如果23,z z =，则

123||az bz cz ++=

如果31,z z =

，则123||az bz cz ++=

所以：123||az bz cz ++

解法2：设

3121232

,z z z x x x z z z ===则1231223311231,1,1,x x x x x x x x x x x x ++=++==

由多项式根与系数的关系得123,,x x x 是方程3210x x x -+-=的三根，而()()()3

11,x x x x x i x i -+-=--+所以{}{}123,,1,,.x x x i i =-

当11x =时，12,z z =当21x =时23,z z =当31x =时31.z z = 例2：

设复数)

122,1z ai z b i =-+=

的模相等，12z z 的辐角主值是

求实数,a b 的

值。

解：因()11212

||||,0,|

|1,

1z z z z z =≠∴=

依题设，12z z 的辐角主值是

而()

()2

21211211||,arg arg ,22z z z z z z z z z π??=∴== ???

由（1）（2）知：

,z i z =即()21.

3z z i =

依题设

)

)(

)

12.12.b i i ai b i a i ??-+

+∴-+

=-+-

由复数相等知：11.2

a b b -=-∴===-

二、复数与数列、不等式

例3：设2008,N n n *

∈≤，且存在θ满足()sin cos sin cos n

i n i n θθθθ+=+，那么这种n 的总个数是多

少？

解：()

sin cos cos sin cos sin 2222n

n n i i n i n ππππθθθθθθ??????????+=-+-=-+- ? ? ? ????????????

sin cos cos sin .22n i n n i n ππθθθθ????

+=-+- ? ?????

()()2.41.

120080501,

n n k n k Z n k k Z n k ππ

θπθ-=+

-∈∴=+∈∴ ≤≤≤≤

所以：所求n 的总个数是502。

例4：n 个复数12,,,n z z z 成等比数列，其中1||1,z ≠公比为,||1q q =且1,q ≠± 复数12,,,n ωωω 满足条件：1,k k k

z h z ω=+

+其中0,1,,,k n h = 为已知实数，

求证：复平面内表示12,,,n ωωω 的点12,,,n P P P 都在一个焦距为4的椭圆上。分析：运算涉及乘方，宜用三角形式。

设()1cos sin ,cos sin ,z r i q i ααθθ=+=+其中1,.r k θπ≠≠ 则()()()()11cos 1sin 1.k k z z q r k i k αθαθ-??==+-++-??

从而：()()1

11cos 1sin 1k k k h z r k i r k z r r ωαθαθ???

?-=+

=++-+-?+-???? ? ????????? （1）令(),,k x yi x y R ω=+∈由（1）得()()1cos 1,

1sin 1,

x h r k r y r k r αθαθ??

?-=++-?? ??????

?????=-?+-?? ???????

于是，消去,αθ可得：

()

1.11x h y

r r r r -+

?+- ?

???

说明点()1,2,,i P i n =

都在同一个椭圆上，其焦距为 4.=

例5：已知实数列{}{},n n a b 的各项均不为0，且1111cos sin ,sin cos ,n n n n n n a a b b a b θθθθ----=-=+且

111,tan ,a b θθ==为已知数，求{}{},n n a b 的通项公式。

解：构造复数(),n n n z a b i n N *=+∈ 则

()()11111

1cos sin sin cos cos sin .n n n n n n n n z a b a b i i z a ib θθθθθθ-------=-++?

=+????+

所以{}n z 是以11tan z i θ=+为首项，cos sin i θθ+为公比的等比数列，易得：()()

1tan cos sin n n z i i θθθ-=++

()()

()

sec cos sin cos sin sec cos sin sec cos sec sin sec cos ,sec sin .

n n

n n i i i n i n a n b n θθθ

θθθ

θθθθθθθθ-=++=+=+∴==

例6：设12,,,n z z z 为复数，满足12||||||1,n z z z +++= 求证：上述n 个复数中，必存在在若干个复数，它们的和的模不小于

。

证明：设(),,z a bi a b R =+∈则必有||||||,z a b +≤

从而：()()()

1||||||

2||||||

3i i i i n

i i

i i i n

i i i i a a n

i i i a a z

a b

a a a b

b b ====<=<=

+∑∑∑∑∑

∑∑∑

∑≥≥≤ 由（1）（2）（3）知：0

||,||,||,||i i i i i i i i a a b b a a b b <<∑∑∑∑≥≥中必有一项不小于

1,4

不妨设

1||,4

i i a a ∑

≥≥

那么0

|.6

i i i i a a z a >

∑

∑≥≥1≥≥

例7：求证：1

1sin 1sin 2sin sin .2n -?

?+++ ?

? ≤

证明：设cos1sin 1,z i =+则cos sin ,k

z k i k =+故1

k z =∑的虚部即为1

sin ,n

k k =∑

故有：()

11|1|

1||

1|sin ||||

|||sin ,1111122sin 2sin sin

222

n n

k k z z z

z z k z z

z -==---+??===== ?

--??∑∑≤≤

从而：1

1sin sin .2n

k k -=?

? ???∑≤

例8：试问：当且仅当实数()01,,2n x x x n ，

≥满足什么条件时，存在实数01,,,,n y y y 使得2

012n z z z z =+++

成立。其中,k k k z x iy i =+为虚单位，0,1,,.k n = 证明你的结论。

解：由题意：2222

012n z z z z =+++ 成立的充要条件为：()()2222

0011001

1n n

k k k k n k k k x x y y x y x y ===?-=-???

?=??∑∑∑

若存在实数01,,,,n y y y 使（1）成立。

则 ()2

[]n

k k k x y x y =?=∑由柯西不等式()2

222

k k k x y x y ==??∑∑≤

如果220

k x x

∑，由（1）知 220

k k y y =>

∑

，从而：2222

n k

k k x y x y ==?>

?∑∑

与（2）矛盾。

则只有 22

k k x x =∑≤ （3）

若（3）成立，有两种情况：

（i ）220

k k x x

∑,则取.0,1,2,,,k k y x k n == 此时（1）成立

（ii ）220

k x x

∑ ，设2

201

k k a x

x ==

->∑，从而()01,,2n x x x n ，

≥不全为0，不妨设0n x ≠取0,0,1,2,,2,k y k n ==-

有1n n ax ax y y -=

可知（1）成立。

综上可知：220

k k x x =∑≤

三、复数与几何

例9：复平面上点A ，B 对应的复数分别为122,3,z z ==-点P 对应的复数为z ，

z z z z --的辐角主值为?，

当点P 在以原点为圆心，1为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求?的最小值。解：设,z x yi =+则()()2

10.

1x y y +=>

记()()12arg ,arg ,z z z z αβ-=-=则,?αβ=-且().

?π<<

因为()tan tan 5tan ,tan ,tan tan .2

1tan tan 5

y y y x x x αβαβ?αβαβ

∴=-=

=-++?-

根据（1），可设()cos ,sin ,0,,x y θθθπ==∈则5sin tan ,cos 5

θ?θ=-

令sin cos 5

k θθ=

-，其中()()(

cos ,sin ,0,,P Q θθθπ∈由Rt OPQ ?中，0tan 01212k ????∈-

?∈-????

??此时11cos ,sin ,

5555P θθ??

== ? ??

例10：在圆中有一内接四边形ABCD ，证明：△ABC 分析：此题是因：不共线的四点A 、B 、C 、D 对应的复数1234,,,z z z z ，则A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件是

313241

:z z z z z z z z λ--=--（实数）。

证明：设A 、B 、C 、D 对应的复数1234,,,z z z z ；△ABC ，△CDA ，△BCD ，△DAB 的重心分别为1111,,,,

A B C D x

它们分别对应复数1234,,,,u u u u 则：()()()()12342134312441231111,,,3

u z z z u z z z u z z z u z z z =

++=

解得：()()()()31134114322342243,3,3,3z z u u z z u u z z u u z z u u -=--=--=--=-。因A 、B 、C 、D 四点共圆，所以：

313241

:z z z z z z z z λ--=--（实数）

将上述结果代入得：

()()()()

1323142433:33u u u u u u u u λ--=--，即3132

4142:u u u u u u u u λ--=--

故△ABC ，△CDA ，△BCD ，△DAB 的重心四点共圆。

四、复数与方程

例11：设0,a ≥在复数集C 中解方程22||.z z a += 分析：将复数问题实数化。

解：设(),,z x yi x y R =+∈

代入原方程得：222x y xyi a -+=

由复数相等知：()()

22120

2x y a

xy ?-+=??

=??

由（2）知：x=0或y=0,所以原方程有解，其解为实数或纯虚数。

（1）当y=0

时：方程化为：222||0||2||0||1x x a x x a x +-=?+-=?=-+

(

1.z ∴=±-+

（2）当x=0时()0z yi y =≠，

此时方程化为：)2

2||||2||0||101.y y a y y a y a -+=?-+=?=±≤≤

(

()101.z i a ∴=±+

≤≤

或(()101.z i a =±-<≤

综上：当01a <≤

时(1.z =±-+

或(1z i =±+

或(1z i =±- 当a=0

时(1.z =±-+

或(1z i =±+ 当1a >

时(1.z =±-+

例12：设n 为正整数，0r >为实数，证明：方程11

0n n n x rx r

+++-=没有模为r 的复数根。解：如图：假设||z r =是方程的根，则有()1,n

n z z r r ++= （1）

两边取模得1

||n

n r z r r

++=，得||.z r r +=

可知：Z 是两圆||z r =和||z r r +=的交点，

易知122244cos

sin

,cos sin ,3333z r i z r i ππππ?

?=+=+ ? ????

? 由图知：125

cos sin ,cos sin 333z r r i z r r i πππ???

+=++=+ ? ???将1z 代入（1）得1

22cos

sin

cos sin .3

333n n n n r i r i r ππππ+?

???+?+= ? ?????

由此(21)(21)cos

sin

n n i π

+++=，

故()()()2121cos

12216,3

n n k k Z n k k Z π

ππ++=∴

=∈∴+=∈不可能，

因此1z 不是方程的根。同理2z 也不是方程的根。

重庆市铜梁一中高考数学复数专题复习(专题训练)

一、复数选择题 1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ??? D ．43,55?? - ?? ? 3．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．若20212zi i =+，则z =（） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 5．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若复数1z i =-，则1z z =-（） A B ．2 C ． D ．4 8．已知复数5 12z i =+，则z =（） A ．1 B C D ．5 9．设2i z i +=，则||z =（） A B C ．2 D ．5 10．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ?虚部等于（）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i - 12．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（） A ．4 B ．2 C ．0 D ．1- 13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（）

高考复数专题及答案百度文库

一、复数选择题 1．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（） A ．97 - B ．7 C ． 97 D ．7- 2．复数312i z i =-的虚部是（） A ．65i - B ．35 i C ． 35 D ．65 - 3．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（） A ．1 B ．i C i D i 5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（） A B ．3 C ．5 D ．6．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 7．已知复数z 的共轭复数212i z i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i - 8．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3 π而得到.则21 arg()2z z -的值为（） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 43 π 9．若( )()3 24z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1 11．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（）

可数名词变复数专项练习题

一、变化规则 1、一般情况下直接在词尾加s 例：book---books apple---apples orange---_________ tiger---_________ girl---__________ banana---_________ lemon---__________ pencil---_________ 2、以s,x,sh,ch结尾的单词，加es 例：bus---buses box---boxes fish---fishes beach---beaches class--- fox--- beach--- watch--- 3、以f或fe结尾的单词，把f或fe变成v加es 例：leaf---leaves knife--- (刀) wife--- （妻子） 4、以辅音字母加y结尾的单词，把y变i加es 例：fly---flies butterfly---_______ library---_______ baby---_____ puppy---______ 二、选择单词的适当形式填空，写在横线上。 1. It’s so hot. I want to eat an ________. Do you like ______?( ice-cream, ice creams) 2.There are many_________(animal,animals) in the zoo.I like ________.( giraffe,giraffes) 3. ---Can I help you? ---Three _______ (doll, dolls),please. 4. I like____________( strawberry, strawberries) because they are sweet and juicy. 5. I don’t like _______(fly, flys,flies) because they are ugly and dirty(脏的). 6. Look at the_______(baby,babys,babies). They are so cute.

高考数学一轮复习：专题1.1 集合的概念及其基本运算(讲)

专题1.1 集合的概念及其基本运算【考纲解读】【直击考点】题组一常识题 1．【教材改编】设全集U ＝{小于9的正整数}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则?U (A∪B )＝________．【答案】{7，8} 2．【教材改编】已知集合A ＝{a ，b }，若A∪B＝{a ，b ，c }，则这样的集合B 有________个．【答案】4 【解析】因为A ∪B ?B ，A ＝{a ，b}，所以满足条件的B 可以是{c }，{a ，c }，{b ，c }，{a ， b ， c }，所以集合B 有4个．学# 3．【教材改编】设全集U ＝{1，2，3，4，5， 6，7，8，9}，?U (A ∪B )＝{1，3}，A∩(?U B )＝{2，4}，则集合B ＝________．【答案】{5，6，7，8，9} 【解析】由?U (A ∪B )＝{1，3}，得1，3?B ；由A ∩(?U B )＝{2，4}，得2，4?B ，所以B ＝{5，6，7， 8，9}．题组二常错题 4．设集合M ＝{(x ，y)|y ＝x 2}，N ＝{(x ，y)|y ＝2x }，则集合M∩N 的子集的个数为________．【答案】8 【解析】由函数y ＝x 2 与y ＝2x 的图像可知，两函数的图像在第二象限有1个交点，在第一象限有2个交点(2，4)，(4，16)，故M ∩N 有3个元素，其子集个数为23 ＝8. 5．已知集合M ＝{x ︱x －a ＝0}，N ＝{x ︱ax －1＝0}，若M∩N＝N ，则实数a 的值是________．【答案】0或1或－1 【解析】 M ＝{a }，∵M ∩N ＝N ，∴N ?M ，∴N ＝?或N ＝M ，∴a ＝0或a ＝±1. 6．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2 ＋m }，若3∈A ，则m ＝________．

全国名校高考专题训练-复数

2008年全国名校高考专题训练 13复数一、选择题 1、(省执信中学、纪念中学、外国语学校三校期末联考)若复数 i i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为（） A 、-6 B 、13 C.3 2 D.13 答案：A 2、(省皖南八校2008届高三第一次联考)定义运算 bc ad d c b a -=,,，则符合条件 01121=+-+i i i z ，，的复数_ z 对应的点在（） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；答案：A 3、(省市2008届第一次调研考试)若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（） A.－4； B.4； C.－1； D.1；答案：B 4、(省市2008届高三第一次模拟考试)复数 i i ?--2123=（） A ．－i B ．I C ． 22－i D ．－22+i 答案：B 5、(省市2008届高三第二次教学质量检测)计算 242(1)12i i i +---等于（） A.0 B.2 C.－4i D.4i 答案：D 6、(市东城区2008年高三综合练习一）若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上

对应的点位于第二象限，则实数a 的取值围是（） A ．1>a B ．11<<-a C ．1--