目录
摘要 (2)
关键词 (2)
Abstract (2)
Keywords (2)
前言 (2)
1预备知识 (2)
1.1二次型定义 (2)
1.2正定二次型定义 (2)
2 正定二次型的性质 (3)
3 正定二次型的应用 (7)
3.1正定二次型在解决极值问题中的应用 (7)
3.2正定二次型在分块矩阵中的应用 (9)
3.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9)
3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10)
3.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (12)
3.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） (12)
3.7正定二次型在解线性方程组中的应用 (12)
3.8正定二次型在物理力学问题中的应用 (13)
结束语 (13)
参考文献 (14)
正定二次型的性质及应用
摘 要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等. 关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵
The properties and Applications of positive definite
Quadratic Forms
Abstract ：In this paper ，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studying the polynomial root and applications in physics et al.
Keywords ：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence; elementary transformation ；partitioned matrix.
前言
二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用.
1 预备知识
1.1 二次型定义
设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,...,,21的二次齐次多项式
()+++++++=n n n n n x x a x a x x a x x a x a x x x f 2222
221121122
1
1121222,...,, …+
2
n nn x a 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型. 1.2 正定二次型的定义
定义1 实二次型()n x x x f ,...,,21称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()0,...,,21>n c c c f .
定义2 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定.
2 正定二次型的性质
性质1 实二次型
()n x x x f ,...,,21=2
222211n
n y d y d y d +++ 是正定的当且仅当n i d i ,,2,1,0 =>.
证明 必要性.因为()n x x x f ,...,,21=2
222211n
n y d y d y d +++ 是正定的，所以对于任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()0,...,,21>n c c c f .于是取一组不全
为零的实数：,0,0,1,0,,0,0 （这里第i 个为1，其余1-n 个为0），有
),0,0,1,0,,0,0( f =n i d i ,,2,1,0 =>.
充分性显然.
性质 2 n 元实二次型()n x x x f ,...,,21是正定的充要条件是它的正惯性指数等于n.
证明 设二次型()n x x x f ,...,,21经过非退化实线性替换变成标准型
2222211n
n y d y d y d +++ . （1） 上面的讨论表明，()n x x x f ,...,,21正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型(4)是正定的当且仅当n i d i ,,2,1,0 =>，即正惯性指数为n .
性质3 正定二次型()n x x x f ,...,,21的规范形为
2
2221n
y y y +++ ， 正定二次型的规范性矩阵为单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.
性质4 实二次型. ()n x x x f ,...,,21=AX X '，正定的必要条件为0>A 证明 有实二次型知A 是一正定矩阵，因为A 与单位矩阵合同，所以有可逆
矩阵C 使
C C EC C A ''==.
两边取行列式，就有
02
'>==C C C A .
性质5 实二次型()n x x x f ,...,,21=AX X '为正定的充分必要条件是A 的特征值都是正数.
性质6 若A 是正定矩阵，则1-A 也是正定矩阵.
证明 如果A 正定，则由性质2知0>A ，因而A 可逆，且其存在可逆矩阵
T ,使T T A '=，将等式两边取逆有1'1'][--=T T A ，令'1)(-=T C ，于是
EC C C C A ''1==-，所以1-A 也是正定矩阵.
性质7 若A 是正定矩阵，则对任意的实数k ，kA 也是正定矩阵.
证明 因为A 正定，所以对任意n 维实向量0≠X ，都有0'>AX X ，若0>k ，则0)()(''>=AX X k X kA X ，故kA 为正定矩阵.
性质8 若A 是正定矩阵，则A 的伴随矩阵*A 也是正定矩阵.
证明 因为A 正定，因而0>A ，且有性质四知1-A 也正定，而*A =1-A A ，又由性质5知*A 为正定矩阵
性质9 正定矩阵只能与正定矩阵合同.
证明 若A 正定，则A 与单位矩阵E 合同，若B 也正定，则B 也与E 合同，即A 、B 都与单位矩阵E 合同，故A 、B 合同.
反之，若A 、B 合同，且A 正定，即A 与单位矩阵E 合同，所以B 也与E 合同，故B 也为正定的.
综上，结论成立.
性质10 若A 、B 为正定矩阵，则B A +也为正定矩阵.
证明 因为A 、B 为正定矩阵，故AX X '，BX X '为正定二次型，于是
X B A X )('+=BX X AX X ''+也必为正定二次型，故B A +为正定矩阵.
性质11 若A 是正定矩阵，则对任意的正数k ，k A 也是正定矩阵. 证明 因为A 正定，那么
当m k 2=时，m m m m k A A A A A ')(==，m A 为实可逆矩阵，所以k A 正定； 当12+=m k 时，m m k AA A A ')(=，因而k A 与A 合同，有性质7知k A 为正定矩阵.
所以无论哪种情况，k A 都正定. 性质12 实二次型
()n x x x f ,...,,21∑∑===
n i n
j j i
ij x x a
11
=AX
X '，
矩阵A 的主对角线上的元素都大于零.
证明 因为A 是正定矩阵，于是对任何021≠????
??
? ??=n x x x X ，
恒有
()n x x x f ,...,,21=011
'
>=∑∑==n i n
j j i ij x x a AX X ，
其中),,2,1,(n j i a ij =为A 的元素，令
??????
????
? ??=00100 I X （i 行）,,,2,1n i =
那么,0'>=ii i i a AX X ,,,2,1n i =证毕.
性质13 实二次型
∑∑===n i n
j j i ij n x x a x x x f 11
21),,( =AX X '
是正定的充分必要条件为矩阵
A
的顺序主子式全大于零.
证明 先证必要性.设二次型
∑∑===n i n
j j i ij n x x a x x x f 11
21),,(
是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令
∑∑===n i n
j j i ij k k x x a x x f 11
1),,(
我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数
k c c ,,1 ，有
0)0,,0,,,(),,(111
1>==∑∑== k n i n
j j i ij k k c c f c c a c c f
因此),,(1k k x x f 是正定的.由性质4，k f 的矩阵行列式
n k a a a a kk k k ,,1,01111
=>???
?? ??.
这就证明了矩阵A 的顺序主子式大于零.
再证充分性.对n 作数学归纳法. 当1=n 时，
21111)(x a x f =，
由条件011>a 显然有)(1x f 是正定的.
假设充分性的判断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形. 令
????? ??=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，??
??? ??=-n n n a a a ,11 ，
于是矩阵A 可以分块写成
???
? ??=nn a a a A A '
1
.
既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定，
1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使
11'-=n E G A G ,
这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵.令
???
?
??=1001G C ,
于是
???
?
??=???? ?????? ?????? ?
?=-nn n nn a G a a G E G a a a A G AC C ''1
'1'
1'1
10010
0. 再令
???
?
?
?-=-10
'1
2a G E C n ， 有
???
?
??-=???? ??-???? ?????? ??-=----a GG a a E a G E a G
a a G E G a E C AC C C nn n n nn n n ''1
'1
'
'1
'121'1
'
2
001010.
令
21C C C =，a a GG a a nn =-''，
就有
????
??
?
??=a AC C 1
1' . 两边取行列式，
a A C =2
.
有条件，0>A ，因此0>a .显然
??????
?
????????? ????????? ??=??????? ??a a a 11
1111
111
. 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型
),,(1k k x x f 是正定的.
根据归纳法原理，充分性得证.
3 正定二次型的应用
3.1 正定二次型在解决极值问题中的应用
定理1 设n 元实函数()n x x x f ,...,,21在点0p 的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数()n x x x f ,...,,21在点0p 近旁有性质：
1) 若AX X '正定，则0p 为极小点； 2) 若AX X '负定，则0p 为极大点； 3) 若AX X '不定，则0p 非极大或极小点；
4) 其余情形时，()n x x x f ,...,,21在0p 性质有待研究余项R 的性质来确定. 特别当()n x x x f ,...,,21是二次函数时，R =0只要AX X '半正（负）定，则0p 为极小（大）点.
例1 求函数)ln(22y x xy z +=的极值.
解 2
2
22
2
2)l n (y
x y x y x y z x +++=,，2222
22)ln(y x xy y x x z y +++=. 解方程组???==00
y
x z z ，易得
??
?±==10y x ，???=±=01y x ，???
????±=±
=e y e x 21
21
，（符号任意搭配）， 22222)()3(2y x y x xy z xx ++=
，2
22222)()3(2y x y x xy z yy ++=，
2
22
442
2
)
()
(2)ln(y x y x y x z z yx
xy ++++==. 于是???
?
??=yy yx
xy xx
z z
z z A ，经计算得???
?
??==-
0220)
2
1,
2
1()
2
1,
2
1(A
A
正定；???? ??--=--
2002)
2
1,2
1()
2
1,21(A
A
负定；???
?
??==±±0220)1,0()0,1(A A 不定.故，在)1,0(),0,1(±±，z 不取极值；在)21,21(),21,21(
e
e e e -
-
点，z 取极小值，
e z 21-
=极小；在)21,21(),21,21(e
e e e --点，z 取极大值，e z 21=极大.
3.2 正定二次型在分块矩阵中的应用.
例2 设A ，B 分别是n m ?阶正定矩阵，试判定分块矩阵???? ??=B A C 00是否
为正定矩阵.
解 可证C 是正定矩阵.
因为A ，B 都是实对称矩阵，从而C 也是实对称矩阵且任意的
0,≠∈+X R X n m ，令
=CX X '???? ?????? ??21'2'100),(X X B A X X 2'21'1BX X AX X +=，?
??? ??=21'
x x X ， 其中，m R X ∈1，n R X ∈2，且至少有一个是非零向量，于是
=CX X '
?
??
? ?????? ??21'2
'
100),(X X B A X X 2'
21'1BX X AX X +=0>. 故C 是正定矩阵.
3.3 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用
例3 设n 次实系数多项式)(x f 的根为n x x x ,,,21 ，令
k
n k
k k x x x S +++= 2
1， ????
??
?
??=---221
21110n n
n n n S S S S S S S S S S .
证明 易证'TT S =,这里??????
?
??=---112
11
111n n n n x x x T
. 必要性 设n x x x ,,,21 是n 个互异实根，因为T 是范德蒙行列式，所以
T 0≠，即T 是非奇异的.又因为'
'TET TT S ==,所以S 与E 合同，即S 正定.
充分性 设S 是正定的，所以T 0≠，那么i x 互异.
若n x x x ,,,21 中有非实数，例如1x ，那么1x 的共轭数1x 也是)(x f 的根不妨设12x x =.因为T 是非奇异的.所以线性方程组
n
j a x a x a a x a x a a x a x a n n j j n n n n ,,30
111110
11
1110111110 =?????=+++-=+++=+++------ （2）
有唯一解0),,,,('110≠=-n a a a a .
因为S 是正定的，所以，作为二次型的SY Y f '=是正定的,由（2）式有
2011)0,,0,1,1('''-=????
??
?
??--=== a TT a Sa a f .
这与f 是正定即S 是正定的矛盾，所以n x x x ,,,21 中不能有非实数的复数，所以
n x f 的)(个根为互异的实根.
3.4 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用
例4 利用直角坐标变换化简如下二次曲面方程.
032682223222=++--+++z y x xy z y x
其中????
?
??=--==200021013),1,3,4(),,,('
'A B z y x X .
作平移代换,
),,(,321'a a a a a Y X =-=，
则有
03)(2)()(''=+-+--a Y B a Y A a Y
即
0322''''''=+-++--a B Y B Aa a AY a Aa Y AY Y
令
32''+-=a B Aa a β
又因为
A A AY a Aa Y ==''',
所以
0)(2''=+--βY B Aa AY Y
适当选取a ，使B Aa =，由秩3==A A 秩知：
B Aa =（线性方程组）
有唯一解：
2
1,1321=
==a a a . 由2
9
-,,'=β可得B a A ，又因为A 是可逆实对称阵，所以存在正交阵T 使得
????
?
?
?=32
1'λλλAT T ， 其中
21=λ，2552+=
λ，2
553-=λ 为A 的特征根.作正交线形替换),,(,'
3'2'1'Z Z Z Z TZ Y ==,则
2
3'22'2
1'23'322'221'1'2
552552Z Z Z Z Z Z AY Y -+++
=++=λλλ. 即，原方程可以化简为
2
3'22'2
1'2
552552Z Z Z -+++
.
3.5 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用
众所周知线形方程组
可能无解??????
?=-+++=-+++=-+++0
0022112
222212*********n s ns n n s s s s b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 即任意一组s 21,...,,x x x 都可能使∑=-+++=n
i i s is i i b x a x a x a y 1
2211)( 不等于零，我
们设法找00201,...,,s x x x 使y 最小，这样00
201,...,,s x x x 称为方程组的最小解，这种问题
就叫最小二乘法问题.
若记A 为上述线性方程组的系数矩阵，T n b b b B ),(21 =，于是使得y 值最小的X 一定是方程组AX X '=B X '的解，而其系数矩阵A A '是一个正定矩阵，它的惯性指数等于n ，因此这个线性方程组是有解的，这个解就是最小二乘解. 3.6 正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵）
定理 设V 是R 上的欧氏空间，那么V 的内积与n 阶正定矩阵是一一对应的.
3.7 正定二次型在解线性方程组中的应用.
例5 （1）用矩阵给出平面上n 个点),(i i i y x P 共线的充分必要条件
（2）设A 是n 阶满秩矩阵，试证，'')(X AA X 是一个正定二次型，这里
()n x x x X ,...,,21=.
解 （1）设直线b kx y +=，n 个点共线是指线性方程组（把b k ,看成未知量）
??????
?=+=+=+n
n y b kx y b kx y b kx 2
21
1 有解，所以n 个点),(i i i y x P 共线?所以方程组有解?
????
?
??=????? ??n n n y x
y x x x 11111111秩秩 . （2）设A 是n 阶满秩矩阵，令AX Y =',其中),,,(21n y y y Y =，则
'1'')(Y A X -=是非退化现行替换，且
2
2221''')(n
y y y YY X AA X +++== ， 由此可以看出，此二次型的正惯性指数与秩都等于n ，所以'')(X AA X 是正定二次型.
3.8 正定二次型在物理力学问题中的应用.
因为在物理力学问题中经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现，这事应用中很重要的一个问题.
命题 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n 阶实对矩阵，则存在n 阶可逆矩阵S ，使得Λ==BS S E AS S '',,其中Λ为对角阵.
证明 因为A 是正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵1S ，使得E AS S =1'1，令
BS S B '=显然1B 仍为实对称矩阵，所以存在n 阶正交矩阵2S ，使得
Λ==),,(2121'
2n d i a g S B S λλλ .
取S S S =21，则有
n E S S S AS S S S S A S S AS S ====2'
221'1'221'21')()()(
Λ===21'1'
221'21')()()(S BS S S S S B S S BS S
另外正定二次型在研究系统的稳定性、广义重积分、物理学电阻器功率的消耗等方面都有广泛的应用.
结束语
以上内容是对正定二次型的研究，归纳之后总结出来的，对正定二次型，本文给出2个定义，13个性质并证明，在例题的形式下，运用这些定义跟性质阐述了正定二次型在不同方面的7种应用，可见其应用广泛，我认为对正定二次型的总结是很必要的.当然，本文只列举了正定二次型的部分应用.
参考文献：
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.
[3]杨子胥.高等代数习题解（上下册）[M].济南：山东科学技术出版社.
[4]张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.
[5]杨子胥.高等代数精选题解[M].北京：高等教育出版社，2009.
[5]高等代数与解析几何(下) [M]．北京:高等教育出版社,2003
[6]高等代数与解析几何(上) [M]．北京:高等教育出版社,2003
[7]苏育才,姜翠波,张跃辉.矩阵理论[M]．上海:科学出版社,2006
[9]Johns on CR，RAHon．Matrix Analysis[M]．New York：Cambridge University Press，1985．
师学院本科毕业论文 题目二次型的正定性及其应用 学生王倩柳 指导教师王军讲师 年级 2012级数学专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 师学院数学与信息科学系 2014 年5月
重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年月日
目录 摘要 (1) 前言 (1) 1 二次型的历史及概念 (2) 1.1二次型的历史 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (6) 3.1 多元函数极值 (6) 3.2 证明不等式 (12) 3.3 因式分解.................................. (错误!未定义书签。) 3.4 二次曲线 (13) 结论 (14) 参考文献 (14) 致 (14)
二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳 指导老师：王军 摘要：二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjun Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.
如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 正定矩阵的性质及其应用 姓名： 学号： 指导教师： 摘 要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。 关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用 The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract: Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations. Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application 1. 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有着广泛的应用。本文主要介绍正定矩阵的等价定理及其一些重要的性质，最后给出正定矩阵在数学及其它学科中的若干应用。 2. 正定矩阵的等价定理 首先我们给出正定矩阵的定义。 定义1[1] 设()T f x X AX =为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数12,,,n c c c ，都有 12(,,,)0n f c c c >,
矩阵的正定性及其应用 摘 要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例． 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0
摘要 本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用. 关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值
ABSTRACT This paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given. Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value
《比的基本性质》教案 三维目标： 知识与技能：在具体情境中，使学生理解和掌握比的基本性质，能应用比的基本性质化简比。过程与方法：通过学习，让学生在经历和探索中进一步体会数学知识之间的联系。 情感态度与价值观：加强学生对我国国旗的认识，培养爱国精神。 教学重难点 重点：理解比的基本性质。 难点：正确应用比的基本性质化简比。 教具准备 大小不同的三面国旗，小黑板。 教学过程 （一）复习旧知 1. 同学们，我们上节课学习了比的意义，谁来说说什么是两个数的比？ 2. 比和除法、分数之间有什么样的关系呢？ （二）合作探寻，得出规律 1. 初步感知规律。
（1）同学们请看，老师带来了什么？（出示最小的一面红旗） 这面国旗和杨利伟叔叔在神舟五号中向人们展示的国旗一模一样，长都是15cm, 宽都是10cm, 长和宽的比是几比几？ （2）同学们再看一看，这又是什么？——还是一面国旗。 这面国旗的长是60cm, 宽是40cm ，长和宽的比是多少？ （3）咱们每个星期一都要举行升旗仪式，升旗时同学们的心情如何? 我们升旗所用的国旗的长是180cm ，宽是120cm ，它们的比是多少？ 2. 合作交流，寻找异同，探寻规律。 （1）根据三面国旗的长与宽，我们写出了三个比，它们都一样吗？发生了什么变化？同学们请仔细观察这三个比的前项和后项，是怎么变化的？它们之间有什么规律？ 生分组讨论，师适当参与。 （2）小组汇报讨论结果。（师根据学生的回答有选择性的板书） （3）谁能更概括的说说这三个比中存在的变化规律？ 板书：比的前项和后项同时乘或除以相同的数， （4）这三个比的前后项变了，什么没变？（板书：比值不变） （5）不通过计算比值，你能不能用比与除法、分数的关系来证明比值不变呢？ 板书：15:10=（15×4）÷（10×4）=60÷40
目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1预备知识 (2) 1.1二次型定义 (2) 1.2正定二次型定义 (3) 2 正定二次型的性质 (3) 3 正定二次型的应用 (7) 3.1正定二次型在解决极值问题中的应用 (7) 3.2正定二次型在分块矩阵中的应用 (9) 3.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9) 3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10) 3.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (12) 3.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） (12) 3.7正定二次型在解线性方程组中的应用 (12) 3.8正定二次型在物理力学问题中的应用 (13) 结束语 (13) 参考文献 (14)
正定二次型的性质及应用 摘 要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等. 关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵 The properties and Applications of positive definite Quadratic Forms Abstract ：In this paper ，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studying the polynomial root and applications in physics et al. Keywords ：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence; elementary transformation ；partitioned matrix. 前言 二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用. 1 预备知识 1.1 二次型定义 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,...,,21的二次齐次多项式 ()+++++++=n n n n n x x a x a x x a x x a x a x x x f 2222221121122 11121222,...,, …+2n nn x a
探※※※※※※※※ 2016届学生 ※毕业论文材料 :..（四）x .. 学生毕业论文 2016年3月15日 湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用
的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业设计（论文）作者签名： 二O—六年六月日 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1.二次型基本理论 (2) 1.1二次型的矩阵表示 (2) 1.2矩阵的合同关系 (2) 1.3二次型的标准型、规范型及其性质 (3)
1.4正定二次型及其性质 (3) 2.二次型的实例应用 (5) 2.1二次型在初等数学中的应用 (5) 2.1.1二次型与因式分解 (5) 2.1.2二次型与不等式的证明 (7) 2.1.3 二次型在曲线上的应用 (7) 2.1.4求解多元二次函数最值 (9) 2.1.5二次型与条件极值 (12) 2.2二次型在高等数学中的应用 (13) 2.2.1二次型在曲面上的应用 (13) 2.2.2二次型在最小二乘法上的应用 (14) 参考文献 (17) 致谢 (17) 附录 (18) 二次型及其应用 摘要：二次型是代数学中的重要内容，它将二次函数与矩阵直观地联系起来，通过矩阵的 表达与计算简化了研究二次函数性质的过程。然而，在本科阶段中对二次型的学习要求并不多。因此本课题通过研究利用二次型的各项性质解决在因式分解、不等式的证明、二元及多元二次函数的极值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲线或曲面积分等情形的问题，扩充二次型在初等数学和高等数学中的使用范围，并使本科生能全面地认识和使用二次型。 关键词：二次型；正定矩阵；正交变换；多元二次函数；曲面积分 Quadratic Form and Its Applications
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用 作者郝芸芸 系别统计与数学学院 专业信息与计算科学 年级10级 学号102093113 指导教师高菲菲 导师职称讲师 答辩日期 成绩
内容提要 矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用． 关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application
毕业论文（设计）论文（设计）题目：正定二次型的判定及应用 姓名刘洁 学号 11111022015 院系数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级 2011级2班 指导教师王永忠 年月日
目录 摘要 (1) ABSTRACT (2) 第1章引言 (3) 1.1 研究背景及意义 (3) 第2章二次型 (4) 2.1 二次型 (4) 2.3 正定二次型与正定矩阵 (4) 第3章正定二次型的判定及应用 (7) 3.1 正定二次型的判别方法 (7) 3.2 正定二次型在实际中的应用 (15) 第4章结论 (18) 参考文献 (19) 致谢 (20)
摘要 在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。 关键词：正定二次型；正定矩阵；顺序主子式；
ABSTRACT In the quadratic form,the positive definite quadratic form has a special position.This paper has summarized some judjement methods of the positive definite quadratic form and given some applications in inequalities proving and extreme problems. Key words: positive definite quadratic; positive definite matrix; principal minor determinant
实用文档 比和比的应用知识要点第三单元（一）、比的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫2做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。3：10 = 15÷10= 例如15 2∶∶∶∶比值前项比号后项（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系（同类量的比）。也3 可以表示两路程÷速度个不同量的比，得到一个新量（费同类量的比），例：时间。= 4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。5 、比和除法、分数的联系：6 比值后比号“：”项前比项商数法除被除数除号“÷”除分母分分数值分数线子分数“—”7、比和除法、分数的区别：）意义不同：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的（1 关
系。 实用文档 （2）表示方法不同：作为一种运算，除法算式不能用分数表示；比可以用分数表示；但分数不一定表示两个量的比。 （3）结果表达不同：除法一般要求出商；比只有求比值时才通过计算求出商；而分数本身就是一个数值，无需计算。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。（1）比的后项相当于除法算式中的除数，因为除数不能为0，所以比的后项也不能为0. （2）比的后项相当于分数中的分母，因为分母不能为0，所以比的后项也不能为0. 特殊情况：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记 分的形式，不表示两个数相除的关系。 （二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 除外），商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 商不变。0分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（分数的基本性质：除外），分数值不变。除(0比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变。外)、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的2 比就是最简整数比。、根据
正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用 作者：袁亮（西安财经大学） 摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application
目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22)
1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意n x∈，且0 R x， ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给> 出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有* X A X>0,则称A是正定矩阵． 例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，T B为B的转置矩阵，试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0 x， ≠
《比的基本性质》教学设计 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第50～51页内容及相关练习。 教学目标： 1．理解和掌握比的基本性质，并能应用比的基本性质化简比，初步掌握化简比的方法。 2．在自主探索的过程中，沟通比和除法、分数之间的联系，培养观察、比较、推理、概括、合作、交流等数学能力。 3．初步渗透转化的数学思想，并使学生认识知识之间都是存在内在联系的。 教学重点：理解比的基本性质
教学难点：正确应用比的基本性质化简比 教学准备：课件，答题纸，实物投影。 教学过程： 一、复习引入 1．师：同学们先来回忆一下，关于比已经学习了什么知识？ 预设：比的意义，比各部分的名称，比与分数以及除法之间的关系等。 2．你能直接说出700÷25的商吗？ （1）你是怎么想的？ （2）依据是什么？ 3．你还记得分数的基本性质吗？举例说明。
【设计意图】影响学生学习的一个重要因素就是学生已经知道了什么，于是此环节意在通过复习、回忆让学生沟通比、除法和分数之间的关系，重现商不变性质和分数的基本性质，为类比推出比的基本性质埋下伏笔。同时，还有机渗透了转化的数学思想，使学生感受知识之间存在着紧密的内在联系。 二、新知探究 （一）猜想比的基本性质 1．师：我们知道，比与除法、分数之间存在着极其密切的联系，而除法具有商不变性质，分数有分数的基本性质，联想这两个性质，想一想：在比中又会有怎样的规律或性质？ 预设：比的基本性质。 2．学生纷纷猜想比的基本性质。 预设：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
3．根据学生的猜想教师板书：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【设计意图】比的基本性质这一内容的学习非常适合培养学生的类比推理能力，学生在掌握商不变性质和分数的基本性质的基础上，很自然地就能联想到比的基本性质，这不仅激发了学生的学习兴趣，同时也很好地培养了学生的语言表达能力。 （二）验证比的基本性质 师：正如大家想的，比和除法、分数一样，也具有属于它自己的规律性质，那么是否和大家猜想的“比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变”一样呢？这需要我们通过研究证明。接下来，请大家分成四人小组合作学习，共同研究并验证之前的猜想是否正确。 1．教师说明合作要求。 （1）独立完成：写出一个比，并用自己喜欢的方法进行验证。
对称矩阵的性质及应 用
目 录 The Properties and Applications of Symmetry Matrix ...................................................................... 3 1.1 对称矩阵的定义 ......................................................................................................................... 4 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 ............................................................................................. 4 2.对称矩阵的对角化 ........................................................................................................................ 5 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 ......................................................................................... 5 2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 ................................................................................. 7 3.1正定矩阵的定义 ......................................................................................................................... 9 定理 1 n 元实二次型()12,, ,T n f x x x X AX =是正定的充分必要条件是它的正惯性指数 等于n . .............................................................................................................................................. 9 证 设二次型()12,, ,n f x x x 经过非退化实线性替换变成标准形22 2 1122 n n d y d y d y +++（1）.上面的讨论表明，()12,,,n f x x x 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二 次型（1）是正定的当且仅当0,1,2, ,i d i n >=，即正惯性指数为n . (9) 由定理1可以得到下列推论： (10) 1. 实对角阵1 2 n d d d ?? ? ? ? ??? 正定的充要条件是0,1,2, ,i d i n >=. (10) 2. 实对称矩阵A 正定的充要条件是()12,,,T n f x x x X AX =的秩与正惯性指数都等于n . ........................................................................................................................................................ 10 3. 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全为正.事实上，由第二部分对称矩阵对角化 的讨论可知，A 可对角化为12 n λλλ?? ? ? ? ?? ? ，,1,2, ,i i n λ=是A 的特征值，A 正定 即二次型()12,, ,T n f x x x X AX =正定，而()12,,,n f x x x 的标准形为 22 2 1122n n x x x λλλ++ +，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有 0,1,2, ,i i n λ>=，A 的特征值全为正. (10) 定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (10)
唐山师范学院本科毕业论文 题目二次型的正定性及其应用 学生王倩柳 指导教师张王军讲师 年级 2012级数学专接本 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014 年5月
郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）： 2014 年月日
目录 摘要 0 前言 0 1 二次型的历史及概念 (2) 二次型的历史 (2) 二次型的矩阵形式 (1) 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性判别方法及其性质 (2) 3 二次型的应用 (6) 多元函数极值 (6) 证明不等式 (12) 因式分解..................................... (错误!未定义书签。)二次曲线. (13) 结论 (13) 参考文献 (13) 致谢 (13)
二次型的正定性及其应用 学生：王倩柳 指导老师：张王军 摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Wang qianliu Instructor: Zhang wangjun Abstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型是高等代数中的主要内容之一, 其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型
毕业论文题目：二次型的正定性及其应用 学生姓名：孙云云 学生学号：0805010236 系别：数学与计算科学系 专业：数学与应用数学 届别：2012 届 指导教师：李远华
目录 摘要 (1) 前言 (2) 1 二次型的概念 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (2) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (8) 3.1 多元函数极值 (8) 3.2 线性最小二乘法 (13) 3.3 证明不等式 (15) 3.4 二次曲线 (18) 结论 (18) 致谢 (19) 参考文献 (19)
二次型的正定性及其应用 学生：孙云云 指导老师：李远华 淮南师范学院数学与计算科学系 摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Sun YunYun Instructor: Li YuanHua Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University Abstract:Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application