贵州省遵义航天高级中学2015届高三上学期第三次模拟考试数学（文）试题
一、 选择题：（共60分，每小题5分）
1.已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1＜x ≤1｝,则A ∩B=
A ｛0｝
B ｛-1，,0｝
C {0，1}
D ｛1} 2. 对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知正项等比数列{n a }中 462=?a a ,则=+++722212log log log a a a ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D.8 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A ．f(x)＝1x
2 B ．f(x)＝x 2＋1 C ．f(x)＝x
3 D ．f(x)＝2－x
5．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2
，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4
B ．1
C ．4
D ．8
6．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线 7. 某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 ( ) A ．
32π B. 3
π
C ．π
D ．5
π
8．若sin )6(απ
-＝35，则cos )3
(απ
+＝( )．
A. 54±
B. 54-
C. 5
3
- D.
5
3 9．设a ＞0，b ＞0.若4a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值是 ( )．
A. 1
B.5
C. 7
D. 9
10．若不等式组??
?
?
?≤≤≥=+-3003x a y y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围
是( )
A ．]3,0[ B.)3,0[ C ．)6,3[ D ．]6,3[
11．设函数f (x )在R 上可导，其导函数是f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数
y ＝xf ′(x )的图像可能是( )
12. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，2
1
2)(2+
-=x x x f .若函数 y ＝)(x f －a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)21
,0( B. ]21,0[ C ．)32,0[ D ．]3
2,0[ 二、 填空题：（共20分，每个小题5分）
13. 已知函数f (x )＝?????
log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，
则f ????f ????14的值是_________． 14. 函数)sin()(?ω+=x A x f (A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像
如右图所示，则 =)0(f ________．
15. 设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝______．
16. 已知P,A,B,C,D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为22的正
方形，若PA =72,则三棱锥B-AOP 的体积=-AOP B V ________.
三、解答题：
17 （本题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量m ＝（2 b - c , a )，n ＝(cosA ，-cosC)
且 m ⊥n
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
18.（本题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记S n ＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ，求S n .
19.（本题满分12分）
如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D . (1)求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；
(2)设E 是B 1C 1上的一点，当B 1E
EC 1
的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？ 请给出证明．
20.（本题满分12分）
函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(16,3)和(1，－1)．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．
21. （本题满分12分）
已知函数f (x )＝ax 2－e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，f ′(x )是f (x )的导函数．
(1)解关于x 的不等式：f (x )>f ′(x )；
(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围．
四、选做题（从22～24题中任选一题，在答题卡相应的位置涂上标志，多涂、少涂以22题计分）
22、选修4-1：几何证明选讲
如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . (1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .
23．选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：?????x ＝2＋t ，y ＝2－2t
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
24、选修4-5：不等式选讲
设函数f (x )＝????x ＋1
a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．
高三第三次模拟考试
数学答案
一、选择题：
18. 解(1)∵S n＝2a n－2，
∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2－(2a n－1－2)，
即a n＝2a n－2a n－1，∵a n≠0，∴a n
a n－1
＝2(n≥2，n∈N*)．∵a1＝S1，∴a1＝2a1－2，即a1＝2.
数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴a n ＝2n .
(2)S n ＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ，
① ∴2S n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋
1，
②
①－②得－S n ＝1×2＋(2×22＋2×23＋…＋2×2n )－(2n －1)2n ＋
1， 即－S n ＝1×2＋(23＋24＋…＋2n ＋
1)－(2n －1)2n ＋
1
∴S n ＝(2n －3)·2n ＋
1＋6.
20、解 (1)由??
?-==1)1(3)16(f f 得???-=+=+1
1log 3
16log a a m m
解得m ＝－1，a ＝2，
故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .
(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2
x －1－1(x ＞1)．
∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1
x －1＋2≥2 x －
1
x －1
＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．
而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2 x 2
x －1－1≥log 24－1＝1，
故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1. 21解：(1)f ′(x )＝2ax －e x ，f (x )－f ′(x )＝ax (x －2)>0.
当a ＝0时，无解；
当a >0时，解集为{x |x <0或x >2}； 当a <0时，解集为{x |0 (2)设g (x )＝f ′(x )＝2ax －e x ，则x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个根．g ′(x )＝2a －e x ， 当a ≤0时，g ′(x )<0恒成立，g (x )单调递减，方程g (x )＝0不可能有两个根； 当a >0时，由g ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ， 当x ∈(－∞，ln 2a )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x ∈(ln 2a ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． ∴当g (x )max >0时，方程g (x )＝0才有两个根，∴g (x )max ＝g (ln 2a )＝2a ln 2a －2a >0，得a >e 2. 23．解：(1)曲线C 的参数方程为?????x ＝2cos θ， y ＝3sin θ(θ为参数)， 直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离d ＝5 5 |4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝ d sin 30°＝2 5 5 |5sin(θ＋α)－6|， 其中α为锐角，且tan α＝4 3 . 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为225 5 . 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为25 5.
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