第一章晶体的结构
一、填空体（每空1分）
1. 晶体具有的共同性质为长程有序、自限性、各向异性。
2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，次近邻原子间
，原胞与晶胞的体积比1：1 ，配位数为 6 。
3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a a2/，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：2 ，配位数为8 。
4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a
邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：4 ，配位数为12 。
5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。
6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。
7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。
8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。
9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。
10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素：1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ，m ，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32
个点群。
11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有 1 个原子。
12. 晶体原胞中含有 1 个格点。
13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。
二、基本概念
1. 原胞
原胞：晶格最小的周期性单元。
2. 晶胞
结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。
3. 散射因子
原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。
4. 几何结构因子
原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射
波的振幅之比。 5. 配位数
晶体内最近邻原子数 8. 简单晶格
基元中只含一个原子的晶体 9. 复式晶格
基元中含两个或两个以上原子的晶体
10.几何结构因子：原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。 11. 几何结构因子
原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。
12. 结点：空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。
13. 晶格：通过点阵中的结点，可以做许多平行的直线族和平行的平面，这样点阵就成为一些网格，称为晶格
14. 维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞)：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 15. 点阵常数(晶格常数)：布喇菲原胞（晶胞）棱边的长度。 16. 致密度：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。
三、简答题
1. 倒格矢与正格矢有什么关系。 1）倒格矢与正格矢互为倒格矢
2）倒格原胞与正格原胞的体积比等于（2π）3
3）倒格矢332211b h b h b h K h
++=与正格子晶面族（h 1h 2h 3）正交。 4）倒格矢h K
的模与晶面族（h 1h 2h 3）的面间距成反比。
2.晶体的主要特征有哪些？
答：1）长程有序与周期性 2）自限性 3）各向异性
3. 晶体宏观对称性的基本对称操作有哪些？（5分）
答：有1、2、3、4和5次旋转对称轴及4次旋转反演轴4，中心反演操作i ，镜面操作m 。
4. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？
答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.
5. 基矢为1=a ai , 2=a a j , ()
3=
2
++a
a i j k 的晶体为何种结构?为什么? 答：有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积
()
3
1232
Ω=??=a a a a .
由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方.我们可以构造新的矢量
(
)31=2=--++a
u a a i j k ,
(
)
32=2
=--+a
v a a i j k ,
()
123=2
=+-+-a
w a a a i j k .
,,u v w 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为 1=a ai , 2=a a j , ()
3=2
++a
a i j k 的
晶体为体心立方结构。
6. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? 答： 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.
7. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?
答：六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.
8. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 答： 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式
可知, 面间距
大的晶面, 对应一个小的光的掠射角
. 面间距
小的晶面, 对应一
个大的光的掠射角 .
越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
9. 试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
答：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，称为长程有序；非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序；准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
10. 温度升高时, 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化?
答：温度升高时, 由于热膨胀, 面间距 逐渐变大. 由布拉格反射公式
可知, 对应同一级衍射, 当X 光波长不变时, 面间距
逐渐变大, 衍射角
逐渐变小.所
以温度升高, 衍射角变小. 当温度不变, X 光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角
随之
变大.
11. 晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？
答：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝实际晶体结构。 12. 六角密积结构是复式格子还是简单格子，平均每个原胞包含几个原子，属于哪种晶系? 答：六角密积结构是复式格子，平均每个原胞包含2个原子，属于六角晶系。 13. 晶体Si 、Cu 、CsCL 、NaCL 和ZnS 的结构分别属于那种点阵形式？
答：Si ：面心立方；Cu ：面心立方；CsCL ：体心立方；NaCL ：面心立方；ZnS ：面心立方
14. 金刚石晶体的基元含有几？其晶胞含有几个碳原子？原胞中有几个碳原子？是复式格子还是简单格子？
答：金刚石晶体的基元含有2个原子，晶胞含有8碳原子，原胞中有2原子,复式格子. 15. 写出金属Mg 和GaAs 晶体的结构类型。 答：六角密堆，金刚石。
16. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. 答：设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为()3
3/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为()2/3/43
R ,单位体积晶体
中的原子数为()
3
3/4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为()
3
2/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为()4/2/43
R , 单位体积晶体中的原子数为
()
32/4/4R . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为2/323
?
???
??=0.272.
17.与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?
答：正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h 1h 2h 3)与倒格式
=h K h 11b +h 22b +h 33b 垂直, 则倒格晶面(l 1l 2l 3)与正格矢=l R l 11a + l 22a + l 33a 正
交. 即晶列[l 1l 2l 3]与倒格面(l 1l 2l 3) 垂直.
18. 分别指出简单立方 体心立方 面心立方倒易点阵类型
答：简单立方 面心立方 体心立方
19. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ 答：晶体中原子间距的数量级为10
10-米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长
应小于10
10
-米. 但可见光的波长为7.6?4.07
10
-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此,
在晶体衍射中，不能用可见光.
20. 写出晶体绕直角坐标X 、Y 和Z 轴转动θ角的操作矩阵和中心反演的操作矩阵。 答：晶体绕直角坐标X 、Y 和Z 轴转动θ角的操作矩阵分别为：
??
???
?????-=θθθθc o s s i n 0s i n c o s 00
01x A ，??????????-=10
00cos sin 0sin cos θθθ
θz A ，????
?
?????-=θθθθ
cos 0sin 010sin 0cos y A 中心反演的操作矩阵为????
?
?????---=100010001A 。 21.分别在体心立方和面心立方晶体的晶胞中画出其原胞，并给出他们晶胞基矢与原胞基矢
的关系。
答：体心立方和面心立方晶体的晶胞中的原胞：
体心立方 面心立方
体心立方：)(21k j i a a ++-=，)(22k j i a a +-=，)(23k j i a a
-+=
面心立方：)(21k j a a +=，)(22k i a a +=，)(2
3j i a a
+=
22. 在立方晶胞中，画出（100）、（111）和（210）晶面。
解：
23.在立方晶胞中，画出（０２１）和（０１１）晶面。 解：
四、证明计算
1. 劳厄方程与布拉格公式是一致的。
证明：由坐标空间劳厄方程： πμ2)(0=-?k k R l
与正倒格矢关系 πμ2=?h l k R
比较可知：若
0k k h -=成立
即入射波矢0，衍射波矢之差为任意倒格矢
h k ，则方向产生衍射光，0k k h -=式
称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。
现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg 公式，弹性散射
=
由倒格子性质，倒格矢h k 垂直于该晶面族。所以，h k 的垂直平分面必与该晶面族平行。 由图可得知：
||h k =2kSin θ＝θ
λ
π
Sin 4 (A) ）
又若|'h
k
|为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：|'
h K
|＝
d π2
若
h k 不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性
||h k ＝n|'h
k |＝d π2.n （B ） -
比较（A ）、（B ）二式可得 2dSin θ＝n λ
即为Blagg 公式。
2. 证明不存在5度及6度以上的旋转对称轴。
如下图所示， A , B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点．如果绕通过 O 点并垂直子纸面的转轴顺时针旋转θ角，则 A 格点转到A '点．若此时晶格自身重合．A '点处原来必定有一格点．如果再绕通过 O 点的转轴逆时针旋转θ角，则晶格又恢复到未转动时的状态，
O a
b
c O
a
b
c
但逆时针旋转θ角，B 格点转到B '点处，说明B '处原来必定有一格点．可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列．由下图可知，B A ''晶列与 AB 晶列平行．平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为 a ，则有
ma a B A ==''|cos |2θ
其中m 为整数，由余弦的取值范围可得
12|cos |≤=
m θ
于是可得
23,
2:0π
πθ=
=m
35,
34,32,3:1π
πππθ==m
ππθ2,:2==m
因为逆时针旋转 3π/2，4π/3，5π/3分别等于顺时针旋转π/2，2π/3，π/3，所以晶格对称转动所允许的独立转角为
3,2,32,
,2πππππ
上面的转角可统一写成
6,4,3,2,1,2=n n π
称n 为转轴的度数．由此可知，晶格的周期性不允许有 5 度及6度以上的旋转对称轴。
3. 证明倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
证明：
因为33121323
,a a
a a CA CB h h h h =
-=-，112233G hb h b h b =++
利用2i j ij a b πδ?=，容易证明
12312300
h h h h h h G CA G CB ?=?=
所以，倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()h
h h 的晶面系。
4. 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明]
选体心立方点阵的初基矢量，
()1???2a
a x y z =
+- ()2???2a
a x y z =-++ ()3???2
a
a x y z =-+ 其中a 是立方晶胞边长，???,,x
y z 是平行于立方体边的正交的单位矢量。 初基晶胞体积()3
12312
c V a a a a =??= 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量
123231312222,,c c c
b a a b a a b a a V V V πππ=
?=?=? ()2
123?????22
222222
c x y z
V a a a a b a a x
y a a a π=?=-=+- ()2
231?????22
2222
2
2
c x
y z V a a a a b a a y
z a a a π=?=-=+-
()2
312?????22
2222
22
c x
y z
V a a a a b a a z
x a a a π=?=-=+- 于是有：
()()()123222??????,,b x y b y z b z x a a a
πππ
=
+=+=+ 显然123,,b b b 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a π．
同理，对面心立方点阵写出初基矢量
()1??2a
a x y =
+ ()2??2a
a y z =+ ()3??2a
a z x =+ 初基晶胞体积()3
12314
c V a a a a =??=。 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量
()()()123222?????????,,b x y z b x y z b x y z a a a
πππ
=
+-=-++=-+ 显然，123,,b b b 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a π．
5. (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是
()3
2/c
V π，这里
c V 是晶体点阵初基晶胞的体
积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．
[证明]
(a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ??，现计算()123b b b ??．由式(2．1)知，
123231312222,,c c c
b a a b a a b a a V V V πππ=
?=?=? 此处
()123c V a a a =??
而
()()()(){}
22
2331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ????
?=???=??-?????? ? ?????
????
这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D ???=??-??????????。 由于()3110a a a ??=，故有
()2
2331212c b b a a a a V π??
?=???? ???
??
而
()312c V a a a =??
故有
2
2312c b b a V π??
?= ???
()
()()()
()2
3
3
12311
1232
222c
c c
b b b a b a a a V V V πππ??=
?=
??=
或写成
()()()
3
1231232b b b a a a π??=?? 倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的()3
2π倍。 (b) 现要证明晶体点阵初基矢量123,,a a a 满足关系
()()()
233112
1231231231232,2,2b b b b b b a a a b b b b b b b b b π
ππ
???===?????? 有前面知：
()2
23
12c
b b a V π?=
令()()()22311123123
21
22c b b c a b b b V b b b πππ???==??????????
又知 ()()3
12312c
b b b V π??=
，代入上式得：
()()3
1
11322c c
V c a a V ππ??
=
=??????
同理 ()
31
221232b b c a b b b π
?==??
()
12
331232b b c a b b b π
?==??
可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．
6. 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：
22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。
证明：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π?=??，312123
2a a b a a a π?=??，1231232a a
b a a a π?=??
倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a
πππ
=
== 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a
πππ=++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G
π
=
2221
()()()h k l a a a
=++
2
2
2
22
()
a d h k l =++ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。
7.(a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是
()3
2/c
V π，这里c V 是晶体点阵初基晶胞
的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．
证明：
(a) 倒易点阵初基晶胞体积为()123b b b ??，现计算()123b b b ??．由式(2．1)
知，
123231312222,,c c c
b a a b a a b a a V V V πππ=
?=?=? 此处
()123c V a a a =?? 而
()()()(){}
2
2
2331123121311222c c b b a a a a a a a a a a a a V V ππ?????=???=??-?????? ? ?????
????
这里引用了公式：()()()()A B C D A B D C A B C D ???=??-??????????。 由于()3110a a a ??=，故有
()2
2331212c b b a a a a V π??
?=???? ???
??
而()312c V a a a =?? 故有
2
2312c b b a V π??
?= ???
()
()()()
()2
3
3
12311
1232
222c
c c
b b b a b a a a V V V πππ??=
?=
??=
或写成
()()()
3
1231232b b b a a a π??=
??
倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的()3
2π倍。 (b) 现要证明晶体点阵初基矢量123,,a a a 满足关系
()()()
233112
1231231231232,2,2b b b b b b a a a b b b b b b b b b π
ππ???===??????
有前面知：
()2
23
12c
b b a V π?=
令()()()
2231112312321
22c b b c a b b b V b b b πππ???==??
???????? 又知 ()()3
12312c
b b b V π??=
，代入上式得： ()()3
1
11322c c
V c a a V ππ??
=
=??????
同理 ()
31
221232b b c a b b b π
?==??
()
12
331232b b c a b b b π
?==??
可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身。
8.一个二维晶体点阵由边长AB ＝4，AC =3，夹角BAC ＝π的平行四边形ABCD 重复而成，试求倒易点阵的初基矢量．
[解] 解法之一
参看图2．4，晶体点阵初基矢量为
1?4a x
=
23??2a x y =
+
用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量12,b b 。设
111222????,x y x y b b x
b y b b x b y =+=+ 由111221222,0,0,2b a b a b a b a ππ?=?=?=?= 得到下面四个方程式
()11???42x y x
b x b y π?+= (1)
()113????022x y x y b x b y ??
+?+= ? ???
(2) ()22???40x y x
b x b y ?+= (3)
()223????222x y x y b x b y π??
+?+= ? ???
(4) 由式(1)得： 1142,2
x x b b π
π==
由式(2)得：
11302x y b +=，即13022y π?= 解得：
1y b =由式(3)得： 2240,0x x b b ==
代入式(4)得：
222,y y b π==
于是得出倒易点阵基矢
12???,2
b x
y
b y π
=
= 解法之二
选取3a 为?z
方向的单位矢量，即令 3?a z
= 于是初基晶胞体积c V 为
1233????42c V a a a x x y z ??
=??=?+?= ? ??
?
倒易点阵基矢为
()
12323?????222c b a a x y z x y V ππ??=?=+?=???
()
2312?c b a a y V π=
?=
()3122?2c
b a a z
V π
π=
?= 对二维点阵，仅取??,x
y 两个方向，于是得
12???,2
b x
y
b y π
=
= 9. 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为
123?????,,22a a a x y a x y a cz ???????
=+=+=? ? ? ?? ?????????
(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c 和4，
并且相对于正点阵转动了30?角；
[解]
选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示．
123?????,,22
a a a y a y a cz =
+=+= 初基晶胞体积为
(
)23122
c V a a a c =??=
倒易点阵初基矢量为
123???222??220
c c x
y z
a a
b a a x y
V V a c
πππ
=
?==+
231??22??00
2c y z b a a c x y
V a a
ππ
=
?==+
312???222?020
2
c c
x
y z a b a a z V V c
a πππ=
?== 或写为
123??2???,,22x x b y b y b z c π
????=
+=-+=??????
同正点阵初基矢量
123?????,,22y y
a a x a a x a cz ???=+=+=? ?? ?????
比较看出，123,,b b b 所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为2c π和4，并相
对于正点阵绕c 转动了30?角(见图2．6)。
10.一个单胞的尺寸为1234,6,8,90,120a a a a βγ=====?=?，试求： (a)倒易点阵单胞基矢； (b)倒易点阵单胞体积； (c)(210)平面的面间距；
(d)此类平面反射的布喇格角(己知λ＝1．54?)． [解]
(a)画出此单胞如图2．13所示． 写出晶体点阵单胞基矢如下：
123???4,3,8a x
a x a z ==-+= 晶体点阵的单胞体积为
()
312123sin120c V a a a a a a =??=?=( ?)3
倒易点阵单胞的基矢为
123231312222????,,24c c c
b a a x y b a a y b a a z
V V V πππππ
??=
?==?==?= ??? (b) 倒易点阵单细体积为
()
()3
3
1232c
b b b V πΩ=??=
=
(?)-3
(c) 与晶面(hkl)垂直的最短倒易点阵矢量()G hkl 为
()
123???24G hkl hb kb lb h x k y l z ππ?????
=++=++ ? ? ????? ()????210
G x y x y ππ=+=+
()210G =-1
()()2210210d G π=
= ?
(d)(210)面反射的布喇格角θ为
()
sin 0.53422210d λ
θ=
=
≈
()arcsin 0.534232.3θ==?
12. (a)从体心立方结构铁的(110)平面来的X-射线反射的布喇格角为22?，X-射线波长λ＝1．54?，试计算铁的立方晶胞边长；(b)从体心立方结构铁的(111)平面来的反射布喇格角是多少?(c)已知铁的原子量是55．8，试计算铁的密度． [解]
(a)求出(110)平面的面间距d (110)
() 1.54
110 2.0562sin 2sin 22d λ
θ
=
=
=?
?
于是求得点阵常数为
()
110 2.91a ==?
(b) (111)平面的面间距为
()111 1.68
d =
=? 于是(111)平面反射的布喇格角为
()
sin 0.4582111d λ
θ=
=
()arcsin 0.45827.28θ==?
(c) 固体密度的公式为
3
ZM
a ρ=
其中a 是立方惯用晶胞边长，Z 是立方惯用晶胞中的原子数，M 为原于的质量，对体心
立方铁，Z ＝2，326
23
55.8109.27106.0210
M kg --?==??．将这些数值代入到ρ的表达式中，得到
337.5210kg m ρ-=??
2
2
2G G G I u N ?∝=，正比于基元的几何结构因子的平方．
13.计算体心立方结构的几何结构因子并讨论其晶面的消光条件。 [解] 解：晶体的几何结构因子公式为
)exp(1
i t i i hkl
r k i f F
?=∑=
其中i r
是基元中第i 个原子的坐标
c z b y a x r i
++= i a a
=，j a b =，k a c = k
是倒易点阵矢量
***
++=c l b k a h k
将i r
和k 的表达式代入式几何结构因子公式中得到
)](2exp[)exp(1
1
lz ky hx n i f r k i f F t i i i t i i hkl
++=?=∑∑==π
体心立方结构基元包含两个全同的原子．它们的位置是（000）和（2
1
2121） 而原子的散射因子
12f f f ==
体心立方结构的结构因子
?
?
?=++=++?=+++=?=∑=奇数，偶数
l k h l k h f l k h n i f r k i f F i t
i i hkl
0,2)]}(exp[1{)exp(1π 可见当米勒指数和为奇数的面为衍射消光面。
14.计算面心立方结构的几何结构因子并讨论其晶面的消光条件。 解：晶体的几何结构因子公式为
)exp(1
i t i i hkl
r k i f F
?=∑=
其中i r
是基元中第i 个原子的坐标
c z b y a x r i
++= i a a
=，j a b =，k a c = k
是倒易点阵矢量
第一章晶体的结构 一、填空体（每空1分） 1. 晶体具有的共同性质为长程有序、自限性、各向异性。 2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，次近邻原子间 ，原胞与晶胞的体积比1：1 ，配位数为 6 。 3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a a2/，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：2 ，配位数为8 。 4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a 邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：4 ，配位数为12 。 5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。 6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。 7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。 8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。 9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。 10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素：1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ，m ，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32 个点群。 11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有 1 个原子。 12. 晶体原胞中含有 1 个格点。 13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。 二、基本概念 1. 原胞 原胞：晶格最小的周期性单元。 2. 晶胞 结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。 3. 散射因子 原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。 4. 几何结构因子 原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射
第一章金属及合金的晶体结构 一、名词解释: 1 ?晶体：原子（分子、离子或原子集团）在三维空间做有规则的周期性重复排列的物质。 2?非晶体：指原子呈不规则排列的固态物质。 3 ?晶格：一个能反映原子排列规律的空间格架。 4?晶胞：构成晶格的最基本单元。 5. 单晶体：只有一个晶粒组成的晶体。 6?多晶体：由许多取向不同，形状和大小甚至成分不同的单晶体（晶粒）通过晶界结合在一起的聚合体。 7?晶界：晶粒和晶粒之间的界面。 8. 合金：是以一种金属为基础，加入其他金属或非金属，经过熔合而获得的具有金属特性的材料。 9. 组元：组成合金最基本的、独立的物质称为组元。 10. 相：金属中具有同一化学成分、同一晶格形式并以界面分开的各个均匀组成部分称为相。 11. 组织：用肉眼观察到或借助于放大镜、显微镜观察到的相的形态及分布的图象统称为组织。 12. 固溶体：合金组元通过溶解形成成分和性能均匀的、结构上与组元之一相同的固相 、填空题: 1 .晶体与非晶体的根本区别在于原子（分子、离子或原子集团）是否在三维空间做有规则的周期性重复排列。 2?常见金属的晶体结构有体心立方晶格、面心立方晶格、密排六方晶格三种。 3?实际金属的晶体缺陷有点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷。 4?根据溶质原子在溶剂晶格中占据的位置不同，固溶体可分为置换固溶体和间隙固溶体两种。 5?置换固溶体按照溶解度不同，又分为无限固溶体和有限固溶体。 6 ?合金相的种类繁多，根据相的晶体结构特点可将其分为固溶体和金属化合物两种。 7. 同非金属相比，金属的主要特征是良好的导电性、导热性，良好的塑性，不透明，有光—泽，正的电阻温度系数。 8. 金属晶体中最主要的面缺陷是晶界和亚晶界。 9. 位错两种基本类型是刃型位错和螺型位错，多余半原子面是刃型位错所特有的 10. 在立方晶系中，｛120｝晶面族包括(120)、(120)、(102)、(102)、(210)、(210)> (201)、
固体物理学第一章习题解答 1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征与性质。 答:晶态:内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征就是原子排列具有周期性,表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质:(1)长程有序;(2)自限性与晶面角守恒;(3)各向异性;(4)固定熔点。 非晶态特点:不具有长程序。具有短程序。短程序包括:(1)近邻原子的数目与种类;(2)近邻原子之间的距离(键长);(3)近邻原子配置的几何方位(键角)。 准晶态就是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点:(1)具有长程的取向序而没有长程的平移对称序(周期性);(2)取向序具有周期性所不能容许的点群对称;(3)沿取向序对称轴的方向具有准周期性,由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。 晶体又分为单晶体与多晶体:整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体;而多晶体则就是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2、什么就是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点 构成的格子就是面心立方晶体,每个原胞包含几个格点。 答:布喇菲格子(或布喇菲点阵)就是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子就是一种数学抽象,即点阵的总体,其特点就是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中,常就是以具体的粒子(原子、离子等)做格点,如果晶体由完全相同的一种原子组成,则由这些原子所组成的格子,称为布喇菲格子。 NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子就是简单格子还就是复式格子。 (1)底心六角(在六角格子原胞底面中心存在一个原子) (2)底心立方(3)底心四方 (4)面心四方(5)侧心立方 (6)边心立方 并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？ 答:要决定一个晶体就是简单格子还就是复式格子,首先要找到该晶体的基元,如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之,则为复式格子。 (1)底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示,它具有一个垂直于底面的四度旋转轴,它的原胞形状如图所示,就是简单格子,属于单斜晶系。 (2)底心立方如下图所示,它的底面原子的排列情况可瞧出每个原子的周围情况
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
第一章 晶体结构和倒格子 1. 画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。 (1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 2. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为 → 1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22 求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。 3．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与晶面（hkl ）垂直。 4. 若轴矢→→→c b a 、、构成简单正交系，证明。晶面族（h 、k 、l ）的面间距为 2222) ()()(1c l b k a h hkl d ++= 5．用X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54?反射角为θ=19.20 求面间距d 111。 6．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的； 2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程； 7．在图1－49（b ）中，写出反射球面P 、Q 两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。 8．求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 9．说明几何结构因子S h 和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。 10. 能量为150eV 的电子束射到镍粉末上，镍是面心立方晶格，晶格常数为3.25×10-10m,求最小的布拉格衍射角。 附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J ·s, c=2.9979×108m/s 第二章 晶体结合 1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 n m r b r a r U +-=)( (1) 求出晶体平衡时两原子间的距离； (2) 平衡时的二原子间的互作用能； (3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3?,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算a 及b 的值； （4） 若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作 用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。 2. N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为 ??????-=R e R B N R U n 024)(πεα
第一章 P4 问题 对14种布拉菲点阵中的体心立方，说明其中每一个阵点周围环境完全相同 答：①单看一个结晶学单胞可知，各个顶点上的阵点等价，周围环境相同。 ②将单个结晶学单胞做周期性平移后可知，该结晶学单胞中的体心阵点亦可作为其他结晶学原胞的顶点阵点，即体心阵点与顶点阵点也等价，周围环境也相同。 综上所述，体心立方中每一个阵点周围环境完全相同。 问题 在二维布拉菲点阵中，具体说明正方点阵的对称性高于长方点阵。 答：对称轴作为一种对称要素，是评判对称性高低的一种依据。正方点阵有4条对称轴而长方点阵只有两条对称轴，故正方点阵的对称性高于长方点阵。 P9 问题 晶向族与晶面族概念中，都有一个“族”字。请举一个与族有关的其他例子，看看其与晶向族、晶面族有无相似性？ 答：“上班族”、“追星族”… 它们与晶向族、晶面族的相似性在于同一族的事物都有某一相同的性质。 问题 几年前一个同学问了这样的问题：() 2πe 晶面该怎么画？你如何看待他的问题？应该指出，这位同学一定是动了脑筋的！结论是注重概念 答：晶面无意义、不存在。晶向是晶面的法向量，相同指数的晶面与晶向是一一对应的。在晶体中原子排布规则中，各阵点是以点阵常数为单位长度构成的离散空间，阵点坐标值均为整数，晶向指数也应为整数，因此晶面指数应为整数时晶面才有意义。（晶体学的面与数学意义下的面有区别，只有指数为整数的低指数面才有意义。） 问题 说明面心立方中(111)面间距最大，而体心立方中(110)面间距最大。隐含了方法 答：①面心立方中有晶面族{100}、{110}、{111}，它们的面间距分别为 因此面心立方中{111}面间距最大。 ②体心立方中有晶面族{100}、{110}、{111}，其面间距分别为 因此体心立方中{110}面间距最大。 (密排面的晶面间距最大)
第一章 金属的晶体结构 (一)填空题 3．金属晶体中常见的点缺陷是 空位、间隙原子和置换原子 ，最主要的面缺陷是 。 4．位错密度是指 单位体积中所包含的位错线的总长度 ，其数学表达式为V L =ρ。 5．表示晶体中原子排列形式的空间格子叫做 晶格 ，而晶胞是指 从晶格中选取一个能够完全反应晶格特征的最小几何单元 。 6．在常见金属晶格中，原子排列最密的晶向，体心立方晶格是 [111] ，而面心立方晶格是 [110] 。 7 晶体在不同晶向上的性能是 不同的 ，这就是单晶体的 各向异性现象。一般结构用金属为 多 晶体，在各个方向上性能 相同 ，这就是实际金属的 伪等向性 现象。 8 实际金属存在有 点缺陷 、 线缺陷 和 面缺陷 三种缺陷。位错是 线 缺陷。 9．常温下使用的金属材料以 细 晶粒为好。而高温下使用的金属材料在一定范围内以粗 晶粒为好。 10．金属常见的晶格类型是 面心立方、 体心立方 、 密排六方 。 11．在立方晶格中，各点坐标为：A (1，0，1)，B (0，1，1)，C (1，1，1/2)，D(1/2，1，1/2)，那么AB 晶向指数为10]1[- ，OC 晶向指数为[221] ，OD 晶向指数为 [121] 。 12．铜是 面心 结构的金属，它的最密排面是 ｛111｝ ，若铜的晶格常数a=,那么 最密排面上原子间距为 。 13 α-Fe 、γ-Fe 、Al 、Cu 、Ni 、Cr 、V 、Mg 、Zn 中属于体心立方晶格的有 α-Fe 、Cr 、V ， 属于面心立方晶格的有 γ-Fe 、Al 、Cu 、Ni 、 ，属于密排六方晶格的有 Mg 、 Zn 。 14．已知Cu 的原子直径为0．256nm ，那么铜的晶格常数为 。1mm 3Cu 中的原子数 为 。 15．晶面通过(0，0，0)、(1/2、1/4、0)和(1/2，0，1/2)三点，这个晶面的晶面指数为 . 16．在立方晶系中，某晶面在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为1/2；与z 轴平行，则 该晶面指数为 （140） . 17．金属具有良好的导电性、导热性、塑性和金属光泽主要是因为金属原子具有 金属键 的 结合方式。 18．同素异构转变是指 当外部条件（如温度和压强）改变时，金属内部由一种金属内部由 一种晶体结构向另一种晶体结构的转变 。纯铁在 温度发生 和 多晶型转变。 19．在常温下铁的原子直径为0．256nm ，那么铁的晶格常数为 。 20．金属原子结构的特点是 。 21．物质的原子间结合键主要包括 离子键 、 共价键 和 金属键 三种。 (二)判断题 1．因为单晶体具有各向异性的特征，所以实际应用的金属晶体在各个方向上的性能也是不相同的。 (N) 2．金属多晶体是由许多结晶位向相同的单晶体所构成。 ( N) 3．因为面心立方晶体与密排六方晶体的配位数相同，所以它们的原子排列密集程度也相同 4．体心立方晶格中最密原子面是｛111｝。 Y 5．金属理想晶体的强度比实际晶体的强度高得多。N 6．金属面心立方晶格的致密度比体心立方晶格的致密度高。 7．实际金属在不同方向上的性能是不一样的。N 8．纯铁加热到912℃时将发生α-Fe 向γ-Fe 的转变。 ( Y ) 9．面心立方晶格中最密的原子面是111}，原子排列最密的方向也是<111>。 ( N ) 10．在室温下，金属的晶粒越细，则其强度愈高和塑性愈低。 ( Y ) 11．纯铁只可能是体心立方结构，而铜只可能是面心立方结构。 ( N ) 12．实际金属中存在着点、线和面缺陷，从而使得金属的强度和硬度均下降。 ( Y ) 13．金属具有美丽的金属光泽，而非金属则无此光泽，这是金属与非金属的根本区别。N
第一章晶体结构
第一章晶体结构 本章首先从晶体结构的周期性出发，来阐述完整晶体中离子、原子或分子的排列规律。然后，简略的阐述一下晶体的对称性与晶面指数的特征，介绍一下倒格子的概念。 §1.1晶体的周期性 一、晶体结构的周期性 1．周期性的定义 从X射线研究的结果，我们知道晶体是由离子、原子或分子（统称为粒子）有规律地排列而成的。晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。 周期性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为 晶体结构的周期性。 晶体结构的周期性可由X-Ray衍射直接证实，这种性质是晶体最基本或最本质的特征。（非晶态固体不具备结构的周期性。非晶态的定义等略），在其后的学习中可发现，这种基本 2
3 a a 2 a 图1.1 晶格 性质对固体物理的学习具有重要的意义或是后续学习的重要基础。 2．晶格 格点和点阵 晶格：晶体中微粒重心，做周期性的排列所组成的骨架，称为晶格。 微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）。 格点的总体称为点阵。 整个晶体的结构，可看成是由格点沿空间三个不同方向， 各自按一定距离周期性平移而构成。每个平移的距离称为周期。 在某一特定方向上有一定周期，在不同方向上周期不一定相同。 晶体通常被认为具有周期性和对称性，其中周期性最为本质。对称性其实质是来源于周期性。故周期性是最为基本的对称性，即“平移对称性”（当然，有更为复杂或多样的对称性，但周期性或平移对称性是共同的）。
4 3．平移矢量和晶胞 据上所述，基本晶体的周期性，我们可以在晶体中选取一定的单元，只要将其不断地重复平移，其每次的位移为a 1，a 2，a 3，就可以得到整个晶格。则→ 1a ，→ 2a ，→ 3 a 就代表重复单元的三 个棱边之长及其取向的矢量，称为平移矢量，这种重复单元称为晶胞，其基本特性为：⑴晶胞平行堆积在一起，可以充满整个晶体 ⑵任何两个晶胞的对应点上，晶体的物理性质相同，即： ()? ? ? ??+++=→ →→332211a n a n a n r Q r Q 其中→ r 为晶胞中任一点的位置矢量。Q 代表晶体中某一种物理性质，n 1、n 2、n 3为整数。 二、晶胞的选取 可采用不同的选取方法选取晶胞和平移矢量，其结果都可以得到完全一样的晶格。不同选取方法着眼点有所不同。 固体物理学：①．选取体积最小的晶胞，称为元胞 ②．格点只在顶角上，内部和面
7、体心立方元素晶体，［111］方向上的结晶学周期为多大？实际 周期为多大？ ［答］对于晶胞，基矢为a，b，c，格矢为c + h+ =，因此， a b R l k 体心立方元素晶体［111］方向上的结晶学周期是立方体的体对角线，其长度为a3（a为立方体的边长）；实际周期为a3／2。 8、非晶态材料的基本特点是什么？ ［答］非晶态材料的基本特点是：失去了晶体材料的长程有序性，而具有短程有序性。其短程有序性包括：近邻原子的种类、数目；近邻原子的间距以及近邻原子配置的几何方位。 9、什么是表面的弛豫与重构？ ［答］晶体表面附近垂直于表面的面间距与晶体内部的差别称为弛豫。多数弛豫只表现在表层原子与次表层原子之间距离的下降。 晶体中表层原子排列的周期与晶体内部不同的情形称为重构。多是在半导体材料中有这种现象。 11、简述晶面角守恒定律，并说明晶体的晶面角守恒的原因。
［答］同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）之间的夹角恒定不变，这就是晶面角守恒定律。 对于同一品种的晶体，尽管外界条件的变化使晶体的外形不同，但其内部结构相同，其共同性就表现为晶面夹角的守恒。 二、填空题(fill in the blanks)(并用英语表达) 1、构成阵点的具体原子、离子、分子或其集团，都是构成晶体的 基本结构单元，当晶体中含有数种原子时，这数种原子构成的基 本结构单元，称为 基元（basis ） 。 2、布喇菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线上而 无遗漏，这样的直线叫 晶列(crystal array ) , 晶列的取向称 为 晶向（crystal direction ）, 一组能表示晶列方向的数称 为 晶向指数（indices of crystal direction ） 。 3、布喇菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、间距相等的 平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为 晶面（crystal face ） ；而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同的总 体，称为 晶面族(crystal face cluster) ；同一格子可能有 无 穷多（endless ）个取向的晶面族。能够标志晶面取向的一组数， 称为 晶面指数(indices of crystal face )。 4、正格子基矢与倒格子基矢之间满足 。正格 矢与倒格矢的关系为 ( μ为整数） 。 ij j i δ=?b a πμ2=?h l K R
第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体 积，则致密度ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相 切，因为, , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为, , 4 33a V r a= =晶胞内包含2个原子，所以 ρ=π π 8 3 ) ( * 2 3 3 4 3 3 4 = a a
图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为 3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ= 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23 2 32c r a == 晶胞体积 V = 2 22 360sin ca ca = , 一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ= ππ62)(*22 2 3 3 234= ca a .
第一章 晶体结构缺陷习题与解答 1.1 名词解释（a ）弗伦克尔缺陷与肖特基缺陷；（b ）刃型位错和螺型位错 解：（a ）当晶体热振动时，一些能量足够大的原子离开平衡位置而挤到晶格点的 间隙中，形成间隙原子，而原来位置上形成空位，这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。如果正常格点上原子，热起伏后获得能量离开平衡位置，跃迁到晶体的表面，在原正常格点上留下空位，这种缺陷称为肖特基缺陷。（b ）滑移方向与位错线垂直的位错称为刃型位错。位错线与滑移方向相互平行的位错称为螺型位错。 1.2试述晶体结构中点缺陷的类型。以通用的表示法写出晶体中各种点缺陷的表示符号。试举例写出CaCl 2中Ca 2+置换KCl 中K +或进入到KCl 间隙中去的两种点缺陷反应表示式。 解：晶体结构中的点缺陷类型共分：间隙原子、空位和杂质原子等三种。在MX 晶体中，间隙原子的表示符号为M I 或X I ；空位缺陷的表示符号为：V M 或V X 。如果进入MX 晶体的杂质原子是A ，则其表示符号可写成：A M 或A X （取代式）以及A i （间隙式）。 当CaCl 2中Ca 2+置换KCl 中K +而出现点缺陷，其缺陷反应式如下： CaCl 2?→?KCl ?K Ca +' k V +2Cl Cl CaCl 2中Ca 2+进入到KCl 间隙中而形成点缺陷的反应式为： CaCl 2?→?KCl ??i Ca +2'k V +2Cl Cl 1.3在缺陷反应方程式中，所谓位置平衡、电中性、质量平衡是指什么？ 解：位置平衡是指在化合物M a X b 中，M 格点数与X 格点数保持正确的比例 关系，即M ：X=a ：b 。电中性是指在方程式两边应具有相同的有效电荷。质量平衡是指方程式两边应保持物质质量的守恒。 1.4（a ）在MgO 晶体中，肖特基缺陷的生成能为6ev ，计算在25℃和1600℃时热缺陷的浓度。 （b ）如果MgO 晶体中，含有百万分之一mol 的Al 2O 3杂质，则在1600℃时，MgO 晶体中是热缺陷占优势还是杂质缺陷占优势？说明原因。 解：（a ）根据热缺陷浓度公式： =N n exp （－ kT 2G ?） 由题意 △G=6ev=6×1.602×10-19=9.612×10-19J K=1.38×10-23 J/K T 1=25+273=298K T 2=1600+273=1873K 298K ： =N n exp ??? ? ??????---2981038.1210612.92319=1.92×10-51
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密 度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子 球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致 密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示 刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度 ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原 子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2， 3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个 最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体 心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，
因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以 ρ= ππ8 3) ( *23 3 4 334= a a 图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ = 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，
第一章晶体结构 1、三维空间有多少种布拉菲格子？画图说明这些布拉菲格子。 解：三维空间有14种布拉菲格子，分别如下图所示： 2、石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问一个原胞含有几个原子？为什 么？
解：石墨层中一个原胞包含两个原子。图中A 和B 原子是不等价的，它们的几何处境不相同，因此一个原胞中至少有两个碳原子；如图所示，石墨单层可通过图中虚线框所围，包含A 、B 两个原子的单元周期性平移得到，它能构成石墨单层的一个原胞，因此石墨层中一个原胞包含两个原子。 3、 利用刚球密堆模型,求证球可能占据的最大体积与总体积之比为： (1) 简单立方 6 π ；（2 ）体心立方 ；（3 ）面心立方6；（4 ）六角密积6 ； (5) 。 解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为： 6) 2(34134133 33π ππα=?=?=R R a R （2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为： 83) 3/4(34 23423 3 33πππα=?=?=R R a R （3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为： 6 2)22(34 23443 3 33π ππα= ?=?=R R a R （4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，
R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为： 6 2)3/64(4 )2(3634643634623 23π ππα=??=??=R R R c a R （5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为： 163)3/8(34 83483 33 33πππα=?=?=R R a R 4、设有一简单格子，它的基矢分别为1233,3, 1.5()a i a j a i j k ===++。试求： (1) 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ (2) 该晶体的倒格子基矢； (3) 密勒指数为(121)晶面族的面间距； (4) 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？ (5) [1,1,1]晶列与[1,1,1]晶列之间的夹角余弦为多少？ 解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。 （2）由倒格子基矢的定义可知： ??? ? ? ? ???=?=???=-=-?=???= -=-?=???=k k a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132321321 πππππππππ （3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（ 3 211 121122122b b b K -+?= = π πd 10 3030352(3 22== -+= k j i π π （4）由于面密度d ρβ=，其中d 是面间距，ρ是体密度。对布喇菲格子，ρ等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为)(321h h h ，则该晶面族的面间距3 21h h h d
第一章晶体结构 1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？ 解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为： 晶格点阵＋基元＝实际晶体结构 3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？ 解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。 解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。 从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （b）“边心”立方不是布喇菲格子。 从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （c）“边心+体心”立方不是布喇菲格子。
固体物理第一章习题 解答
固体物理学第一章习题解答 1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。 答：晶态：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质：（1）长程有序；（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。 非晶态特点：不具有长程序。具有短程序。短程序包括：（1）近邻原子的数目和种类；（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配置的几何方位（键角）。 准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。 晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2、什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点 构成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。 答：布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。 NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。 （1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子） （2）底心立方（3）底心四方 （4）面心四方（5）侧心立方 （6）边心立方 并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？ 答：要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之，则为复式格子。 （1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。
第一章晶体结构 1.晶格实例 1.1面心立方（fcc）配位数12格点等价格点数4致密度0.74 原胞基矢： () () () 1 2 3 2 2 2 a a j k a a k i a a i j =+ =+ =+ 原胞体积3 123 ()/4 Ωa a a a =??= NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl- 具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等） 1.2简单立方（SC）配位数6格点等价格点数1致密度0.52 CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl- 钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3 氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等 1.3体心立方（bcc）配位数8格点等价格点数2致密度0.68 原胞基矢： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a a i j k a a i j k a a i j k =-++ =-+ =+- 原胞体积：3 123 ()/2 Ωa a a a =??= 体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等 1.4六角密堆（hcp）配位数12两种格点原子数6基元数3致密度0.74 典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等 1.5金刚石结构最近邻原子数4次近邻原子数12致密度0.34 晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B) *将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等 2.晶体的周期性结构 2.1基本概念 晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同
第一章原子排列与晶体结构 1.fcc结构的密排方向是，密排面是，密排面的堆垛顺序是，致密度 为，配位数是,晶胞中原子数为，把原子视为刚性球时，原子的半径r与点阵常数a的关系是；bcc结构的密排方向是，密排面是,致密度为,配位数是,晶胞中原子数为，原子的半径r与点阵常数a的关系 是；hcp结构的密排方向是，密排面是，密排面的堆垛顺序是，致密度为，配位数是,，晶胞中原子数为，原子的半径r与点阵常数a 的关系是。 2.Al的点阵常数为0.4049nm，其结构原子体积是，每个晶胞中八面体间隙数 为，四面体间隙数为。 3.纯铁冷却时在912e发生同素异晶转变是从结构转变为结构，配位数， 致密度降低，晶体体积，原子半径发生。 4.在面心立方晶胞中画出晶面和晶向，指出﹤110﹥中位于（111）平面上的 方向。在hcp晶胞的（0001）面上标出晶面和晶向。 5.求和两晶向所决定的晶面。 6 在铅的（100）平面上，1mm2有多少原子？已知铅为fcc面心立方结构，其原子半径R=0.175×10-6mm。
第二章合金相结构 一、填空 1）随着溶质浓度的增大，单相固溶体合金的强度，塑性，导电性，形成间隙固溶体时，固溶体的点阵常数。 2）影响置换固溶体溶解度大小的主要因素是（1）；（2）；（3）；（4）和环境因素。 3）置换式固溶体的不均匀性主要表现为和。 4）按照溶质原子进入溶剂点阵的位置区分，固溶体可分为和。5）无序固溶体转变为有序固溶体时，合金性能变化的一般规律是强度和硬度，塑性，导电性。 6）间隙固溶体是，间隙化合物是。 二、问答 1、分析氢，氮，碳，硼在α-Fe 和γ-Fe 中形成固溶体的类型，进入点阵中的位置和固溶度大小。已知元素的原子半径如下：氢：0.046nm，氮：0.071nm，碳：0.077nm，硼：0.091nm，α-Fe：0.124nm，γ-Fe ：0.126nm。 2、简述形成有序固溶体的必要条件。
第一章 晶体的结构习题 一、填空题 1.固体一般分为晶体 非晶体 准晶体 2.晶体的三大特征是 原子排列有序 有固定的熔点 各向异性 3.___原胞__是晶格中最小的重复单元， 晶胞 既反映晶格的周期性又反映晶格的对称性。 4.__配位数___和_致密度____均是表示晶体原子排列紧密程度。 5.独立的对称操作有 平移、旋转、镜反射、中心反演 二、证明题 1.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 解：我们知体心立方格子的基矢为： 2.??? ? ? ???? -+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a k j i a k j i a a a a 根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为： 3.??? ? ? ????+=Ω?=+=Ω?= +=Ω?=)(2][2)(2][2)(2][2213132321 j i a a b k i a a b k j a a b a a a ππππππ 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子 4.证明倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 解答:因为ij j i b a πδ2=?,332211b h b h b h G ++= 3311h a h a CA -= ,3 322h a h a CB -= 很容易证明:0=?CA G ，0=?CB G 即321h h h G 与晶面族(321h h h )正交
5.对于简方晶格，证明密勒单立指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足： 22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较 大，容易解理。 证明如下:晶面方程可以写为：n x b h b h b h π2)(332211=?++，n 取不同整数代表晶面系中不同的晶面，各晶面到原点的垂直距离| || |2332211b h b h b h n d n ++= π,面间距为: |||2332211b h b h b h d n ++= π=| |2321h h h G π ,剩下的东西就是代公式了 6.证明不存在5度旋转对称轴。 7.证明正格矢和倒格矢之间的关系式为： ()为整数m m R G π2=?