第12章超静定结构总论
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用§12-2 分区混合法
§12-3 超静定结构特性
§12-4 结构计算简图续论
§12-5 支座简图与弹性支撑概念
§12-6 结点简图与次内力概念
§12-7 剪切变形对超静定结构的影响
§12-8 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图§12-9 小结
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用对超静定结构分析作一综合性的回顾，并作一些补充
第一、对计算方法加以比较和引申。
将力法中静定的基本结构引申到超静定的基本结构；
将位移法中的简单单元引申到复杂单元、子结构。
第二、补充混合型解法——分区混合法。
第三、对超静定结构的力学特征加以归纳和总结
第四、对结构计算简图作进一步讨论
第五、对剪切变形对超静定结构的影响作进一步讨论
第六、补充连续梁最不利荷载分布和内力包络图。
1 力法中的超静定基本结构
力法中的基本结构也可以是超静定的。
实际结构
1111221P 1111221P 00
X X X X δδδδ++?=++?=力法方程：
与静定基本结构的区别：▲需要使用超静定单元的内力和位移公式。
▲减少了未知数的个数。
基本结构
2 位移法中的复杂单元
实际结构基本结构与通常作法的区别：
▲需要的单元种类增加了，不仅仅是等截面直杆。▲减少了未知数的个数。需要的单元种类可以是：
3 子结构的应用
应用子结构进行分析的过程：
首先，将整个结构划分为几个子结构；
然后，分别确定子结构的刚度或柔度特性；
最后，将子结构进行整体分析。
4 例题已知：EI =常数。
求：连续梁内力。
1111P 0X δ+?=3
111P 5816δl ql EI EI
=?=
2
1P 11110δql X ?=-=-
力法求解：
11P
M M X M =+M 图
P M 图
1M 图
1111P 0
k F ?+=2
111P 4537
56
i ql k F =
=
2
11P 11120F k ql i
?=-=-位移法求解：
11P
M M M =?+M 图
P M 图
28ql 2
14ql 1P
F 1M 图
3i 247
i 11
k 基本结构
§12-2 分区混合法
1分区混合的基本未知量
和基本体系
多余约束少、结点位移多的部分
——用力法分析（a区）；
多余约束力多、结点位移少的部分
——区用位移法分析（b）。
实际结构
基本体系2 混合分区的基本方程
——变形协调条件和平衡条件1111221P
2112222P
X D
k X k F
δδ'
+?+=
'+?+=
11112
21P 2112222P 00
X D k X k F δδ'+?+='+?+=3
基本方程中的四类系数和两类自由项
()
2
3
1a
11a
144m d M s EI
EI
δ==
∑?
()()
3
1P a
a
1P P
a
12m
d M M D s F EI
EI
==∑?
()()()()()2P 2P 2P P P P
a b 2m 2m 4m F F F F F F =+=--=-()
2
222b
2d m
b
M k s EI
EI
==∑?
2112
6m,6m δk ''=-=
()()()()()3
3
P
1
2
12P 144m 12m 6m 0
26m 4m 0
m F X
EI
EI
X EI F +?+
=??
-+?-= ???
1122P
M M X M M =+?+1P
2P
24m 27
14m 9X F F EI =-???= ?
??
4 混合分区的典型方程
'????????+= ? ??? ?'???????
??P P 00D X F k k δδδ——a 区与力X 相应的柔度矩阵
——由位移Δ引起的沿力X 方向的位移影响系数矩阵
k ——b 区与位移Δ相应的刚度矩阵
'δ'k ——由力X 引起的沿位移Δ方向的约束力影响系数矩阵
例题
试用混合法求解刚架。
基本体系
解（1）选取基本未知量
（2）建立混合法基本方程
11112
21P 00
BA BC BD X D M M M δδθ'++=++=
（3）求系数和自由项
()1P 131
51603343416053400
D ????=?????+
? ???????=12
7δ'=由几何关系，得由图乘法，得
1111175324322323127471110.3
23δ?????
?=????+???++
? ? ??????
?????????+= ? ????
?
（4）求杆端弯矩222
3
4434BA AB M i θθθ==??=由杆件的刚度方程，得
222
1
444
BC BC M i θθθ==??=由平衡条件，得
17160
BD M X =--故21471600X θ--=（5）解方程
1230.03kN 12.55
X θ=-=-
（6）作弯矩图
11P
M M X M =+
§12-3 超静定结构特性
1 多余约束的存在及其影响
（1）防护能力：超静定结构具有较强的防护能力。
（2）荷载作用范围和大小
超静定结构内力分布比静定结构均匀，内力峰值也要小些。
（3）刚度和稳定性
刚度和稳定性都比静定结构强。
2 各杆刚度改变时对内力的影响
N N Q Q N N P Q
QP
P
P d d d d d d i j
i j
i j ij i i i i F F kF F M M s s s EI
EA GA F F kF F M M s s s EI
EA
GA
δ=+
+
?=+
+
∑
∑超静定结构的内力与各杆刚度的相对值有关
通过改变杆件的刚
度改变内力分布
3 温度和沉陷等变形因素的影响
111122111211222222112200
0n n t c n n t c n n nn n nt nc X X X X X X X X X δδδδδδδδδ++++?+?=++++?+?=++++?+?=
1122N N11N22N Q Q11Q22Q n n n n n n
M M X M X M X F F X F X F X F F X F X F X =+++=+++=+++ 温度和沉陷等变形引起的内力一般与刚度的绝对值成正比
第12章 超静定结构总论 12.1 复习笔记 一、广义基本结构、广义单元和子结构的应用 1．力法中采用超静定基本结构 （1 ）图12-1a 所示为一个三跨门式刚架，七次超静定，使用图12-1b 中所示的基本结构，包括三个超静定单元，基本未知力只有两个。 图12-1 力法方程简化为 （2）求系数和自由项时，必须使用超静定单元的内力公式和位移公式，可由有关设计手册查出。 （3）在力法中使用超静定的基本结构可以减少力法基本方程中的未知量个数。 2．位移法中采用复杂单元 （1）位移法的基本思路是把结构分解成单元，再由单元的刚度公式装配成结构的刚度公式，建立位移法基本方程。 （2）通常作法的区别
①减少了未知数的个数； ②需要的单元种类增加不仅仅是等截面直杆。 （3）在选择这种基本结构时，必须先得出复杂单元的刚度方程，才能按基本结构进行位移法计算。 3．子结构的应用 应用子结构进行分析的过程 （1）将整个结构划分为几个子结构； （2）分别确定子结构的刚度或柔度特性； （3）将子结构进行整体分析。 二、分区混合法 1．分区混合法的基本未知量 ——混合选用多余约束力和结点位移 （1）分区混合法的特点 把结构分为两部分，一部分是按力法分析，另一部分按位移法分析，兼有力法和位移法的双重优点。 （2）分区的基本未知量 图12-2
①a 区按照力法以多余约束力X 1为基本未知量； ②b 区按照位移法以结点角位移△2作为基本未知量。 2．分区混合法的基本体系——a 区去多余约束，b 区附加约束 （1）基本体系如图12-2b 所示 ①在a 区去掉与支座反力X 1相应的多余支杆，代以可任意变化的变量力X 1； ②在b 区增设与结点转角△2相应的附加约束，使△2成为可任意变化的变量位移。 （2）图12-2b 中的基本结构兼备了力法基本结构和位移法基本结构的双重优点①a 区的各杆内力是静定的，可由平衡条件直接确定； ②b 区的各杆都分隔成各自单独变形的直杆单元，单元杆端内力也可由转角位移方程和固端内力公式确定。 3．分区混合法的基本方程——由变形协调条件和平衡条件混合组成 分区混合法的基本方程包含两类条件 （1）变形协调条件—沿X 1方向的位移D 1应为零； （2）静力条件—与△2相应的附加约束力矩F 2应为零。 4．基本方程中的四类系数和两类自由项 （1）四类系数 ①主系数——此即力法中的柔度系数； 11δ②主系数——此即位移法中的刚度系数； 22k ③副系数——单位位移引起的位移；' 12δ11?=④副系数——单位位移引起的约束力。'12k 1 1X =（2）两类自由项 ①D 1P ，是荷载作用下在基本结构中引起的位移；
第三章 静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. M =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 A a a 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l l /3 2 /3 /3 q 13、图示结构，EI=常数 ，M =?90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q 16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。EI ＝ 常数 。 l l l/2 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。
二、静定结构的内力 1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。（ ） 2、静定结构受外界因素影响均产生内力。大小与杆件截面尺寸无关。 （ ） 3、静定结构的几何特征是： A. 无多余的约束； B.几何不变体系； C. 运动自由度等于零； D.几何不变且无多余约束。 （ ） 4、静定结构在支座移动时，会产生： A. 内力； B. 应力； C. 刚体位移； D. 变形。 （ ） 5、叠加原理用于求解静定结构时，需要满足的条件是： A. 位移微小且材料是线弹性的； B.位移是微小的； C. 应变是微小的； D.材料是理想弹性的。（ ） 6、在相同的荷载和跨度下，静定多跨梁的弯距比一串简支梁的弯距要大。 （ ） 7、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。（） 8、图示为一杆段的M、Q图，若Q图是正确的，则M图一定是错误的。 （ ） M 图 Q图 9、图示结构的支座反力是正确的。 （ ） 10、当三铰拱的轴线为合理拱轴时，则顶铰位置可随意在拱轴上移动而不影响拱的内力。（ ） 11、简支支承的三角形静定桁架，靠近支座处的弦杆的内力最小。 （ ） 12、图示桁架有9根零杆。 （ ） 13、图示对称桁架中杆1至8的轴力等于零。 （ ）
14、图示桁架中，上弦杆的轴力为N = - P 。 （ ） 15、图示结构中，支座反力为已知值，则由结点D 的平衡条件即可求得。 （ ） N CD A B C D E 16、图示梁中，BC 段的剪力Q 等于 ，DE 段的弯矩等于 。 17、在图示刚架中， = M DA , 使 侧受拉。 a 18、图示桁架中，当仅增大桁架高度，其它条件均不变时，对杆1和杆2的内力影响是： A ．N 1，均减小； B ．N 2N 1，均不变； N 2C ．N 1减小，不变； D ．N 2N 1增大，不变。 （ ） N 2
静功总论(周潜川) 静功总论 静功是气功疗法的一部分，与动功相对而言的一种功夫，就外面的形式来说，它盘腿握手，闭口垂帘，身体坐着不动，与打拳运气，手舞足蹈对比起来，所以叫做静坐功夫。其实，这样坐着，还不能说是真正的静功，因为它虽然用呼吸吐纳的一切方法使人体的气脉内在运行，慢慢导致归元，意识集中，得到真正的休息。所谓的清静境界，才算得着静功的好处。但，很多人在坐着的时候，每每意识不能集中，念头不断涌来，反而比不坐的时候意识更为纷乱。所以说不算真正的静功。 关于静功的理论和方法，可分为佛家与道家两大类，而两家则又门派众多，各有短长，因此，这里不预备作学理的讨论。只综合各家的优点，作实用的介绍，分别把几种简要易行，行之有效的方法，切切实实介绍一番而已。虽然原则如此，仍附带介绍几种参考书，以供同志们作重点的钻研。属于佛家的经典，译成汉文的典籍，可以《大安盘守意经》，《天台小止观法》和《摩诃止观》为代表著作。其余高深的东西，不必要了。属于道家的经典，可参考道藏第三洞洞神之部的著作，自“尽”字号起，一直到“命”字号止，共二十一大卷，都是研究吐纳服气的方法，共有三十二种，内容丰富。对于吐纳气功，具有参考的价值。 总的说来，静功在治疗和保健两方面，在配合动功的基础上，是可以提高其有效程度的。同时动功和静功的配合，其比例要恰到好处，就一般练功的规律而言，初步练功的人，应当先从动功入手，练过一些时期，再进入练静功阶段，慢慢在“由动入静”的规律之下，把动功逐渐减少，静功相应增多。再慢慢把静功方法掌握好，运用得极其纯熟，进步到只是运用“内动”而达到“入静”的真正清静境界，则外练的动功，可以舍去不用，而身体健康的程度，自然能够提高，治疗的效果，自然会如愿以偿的。 关于练习静功，除了应该遵守前述的禁忌事项之外，还当注意下列的十二项要点。 一要有信心。坚定信念，气功能治好自己的病，能保健自己的身体。 二要有恒心。坚持久练，不可因为中途疗效不显著而停止。 三要能忍耐腰酸腿麻，专心一志地练下去。 四要随时随地，在生活中，在工作中，都利用机会，练习吐纳呼吸。把练功与生活、工作打成一片，结合起来。 五要体会方法是否适合自己的需要，要知道“损益”、“取舍”，在练功当中，自觉某种方法于已有益，则勤勤练习，如果发现于已有损，则放弃不练。 六要善于辨证各种“动触”的现象，凡是气脉流注，周遍全身，所产生的热、凉、麻、酸、震掉等等，都是练功过程的必然现象，而这些现象象征着气脉的运行，与疾病作斗争的滋味，必须把这一切看作事理的当然，而平淡视之，绝对不可故意去追求它，也不可认为是什么好现象，或者当作坏现象，更不可自生恐怖畏惧的心理。在各种“动触”产生的时候，照上述的辨证体会，热就让它热，痒就让它痒，麻就让它麻，一切的一切，给它一个不睬不理，不闻不见，一心一念，集中念头，照着口诀去练功。则这些“动触”的现象，自然会被自己“善巧运用”，而变做“温养功夫”的一种资料，对于治疗和保健，才有益无损。这一要点，关系练功很大，希望练功同志们细细体会。 七要密行练功。得到了益处，不可向人谈说，即使没有得到益处，也不可胡乱向人问长问短。应该向指导的大夫汇报，或者向高明的人请教。这样才可以避免练功发生枝节和障碍进步，才会有益处。 八要在上坐的开始，先把姿式如法调整好。要全身放松，不要紧张。 九要如法调息。把呼吸吐纳合度，“神与气合”，若存若亡。 十要把念头集中，思想不可开小差。在练气的时候，要“神与气合”，在修脉的时候，要“神
<结构静力分析> (复习指导) 结构(几何)组成分析Geometric stability analysis of structures 除理解和记住各名词含义外，要熟练掌握利用基本组成规律进行体系分析。总的来说分析方法为：通过减二元体、找明显的几何不变部分（刚片）使体系进行简化；灵活应用二刚片、三刚片（含带瞬铰的情况）规律进行分析。对稍复杂的问题，先计算自由度W ，后用零载法进行分析。也应能熟练地将超静定结构变成静定结构。 静定结构内力 Interal forces of statically determinate structures 桁架Statically determinate truss 应能区分属于何种类型桁架（简单、联合、复杂），应了解不同外形的梁式桁架的受力特点，应能熟练、灵活地选取截面以求指定杆件内力。应牢记零杆的各种情况，应能熟练应用对称性（但不要盲目使用）。 拿上桁架受力分析题，先看属哪类桁架。对简单桁架，通过判断零杆简化后，选含要求内力杆的截面，切断不多余三个未知内力杆（使要求杆为截面单杆）即可用力矩或投影方程求解。对于联合桁架，根据组成情况先求联系杆的内力，使其变成几个简单桁架进行求解。如果是复杂桁架，可利用杆件代替法变成简单桁架，通过两次（荷载作用、单位被代替杆内力）代替杆内力的计算，由实际结构无代替杆（内力为零）来求。 三铰拱 Statically determinate arch 要牢记拱的受力特点。能记住通过代梁求内力的公式更好，不记公式而直接求解也有好处（公式只适用于竖向荷载，而直接求适用于一切情况）。 直接求的步骤为：取整体、取一半二个隔离体求一铰的反力（含推力），再用整体求另一铰反力。用截面法取荷载简单的一侧为隔离体，用投影和取矩求Q F 、N F 和M 。 要深刻理解合理拱轴概念，要在一定条件下能确定合理拱轴。 静定梁与刚架Statically determinate beams and frames 要熟练、准确地分析基、附关系，要牢记按几何组成相反顺序求解的基本原则。应熟练掌握指定截面弯矩（内力）的求法，应熟练掌握区段叠加法和微分关系的应用，应牢记刚结点的平衡。 做题时要先分析、思考，考虑为了作M 图需求那些反力、怎麽求它们，要
第四章 静定结构位移计算 一、是非题 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω 7、图示桁架各杆EA 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 8、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。 a a 9、图示简支梁，当P 11=，P 20=时，1 点的挠度为0.0165 3l EI /，2点挠度为0.0773l EI /。当P 10=，P 21=时，则1 点的挠度为0.0213 l EI /。 （ ） l 10、图示为刚架的虚设力系，按此力系及位移计算公式即可求出杆AC 的转角。 C 1 P 11、图示梁AB 在所示荷载作用下的M 图面积为ql 3 。 l A l /2 12、图示桁架结点C 水平位移不等于零。 13、图示桁架中，结点C 与结点D 的竖向位移相等。
二、选择题 1、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 =1 2、图示结构A 截面转角（设顺时针为正）为： A.22Pa EI / ; B.-Pa EI 2 / ; C.542Pa EI /() ; D.-542 Pa EI /() 。 a a 3、图示刚架l a >>0 , B 点的水平位移是： A .不定，方向取决于a 的大小； B .向左； C .等于零； D .向右。 4、图示静定多跨粱，当EI 2增大时，D 点挠度： A .不定，取决于EI EI 12； B .减小； C .不变； D .增大。 5、图示刚架中杆长l ，EI 相同，A 点的 水平位移为: A.()2302M l EI /→; B.()M l EI 02 3/→; C.()2302M l EI /←; D.()02 3M l EI /←。 M A 6、图示为结构在荷载作用下的M P 图，各杆EI =常 数，支座B 截面处的转角为： A. 16/(EI ) ( 顺 时 针 ); B. 0; C. 8/(EI ) ( 顺 时 针 ); D. 18/(EI ) ( 顺 时 针 )。 12kN.m 7、图示桁架各杆EA =常数，则结点K 的水平位移（→）等于： A .2( 1+2 )Pa / (EA ) ; B .( 4Pa ) / (EA ) ; C .( 2+2 )Pa / ( EA ) ; D . ( 3Pa ) / (EA ) 。 a 8、图示结构的受弯杆件的抗弯刚度为EI ，链杆的抗拉（压）刚度为EA ，且
第4章超静定结构 §4.1 超静定结构特性 ●由于多余约束的存在产生的影响 1. 内力状态单由平衡条件不能惟一确定，必须同时考虑变形条件。 2. 具有较强的防护能力，抵抗突然破坏。 3. 内力分布范围广，分布较静定结构均匀，内力峰值也小。 4. 结构刚度和稳定性都有所提高。 ●各杆刚度改变对内力的影响 1. 荷载作用下内力分布与各杆刚度比值有关，与其绝对值无关。 2. 计算内力时，允许采用相对刚度。 3. 设计结构断面时，需要经过一个试算过程。 4. 可通过改变杆件刚度达到调整内力状态目的。 ●温度和沉陷等变形因素的影响 1. 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都可以引起内力，即在无荷载下产生自内力。 2. 由上述因素引起的自内力，一般与各杆刚度的绝对值成正比。不应盲目增大结构截面尺寸，以期提高结构抵抗能力。 3. 预应力结构是主动利用自内力调节超静定结构内力的典型范例。 §4.2 力法原理 ●计算超静定结构的最基本方法 超静定结构是具有多余联系（约束）的静定结构，其反力和内力（归根结底是内力）不能或不能全部根据静力平衡条件确定。力法计算超静定结构的过程一般是在去掉多余联系的静定基本结构上进行，并选取多余力（也称赘余力）为基本未知量（其个数等于原结构的超静定次数）。根据基本体系应与原结构变形相同的位移条件建立方程，求解多余力后，原结构就转化为在荷载和多余力共同作用下的静定基本结构的计算问题。这里，基本体系起了从超静定到静定、从静定再到超静定的过渡作用，即把未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。 ●基本结构的选择（解题技巧） 1. 通常选取静定结构；也可根据需要采用比原结构超静定次数低的、内力已知的超静定结构；甚至可取几何可变（但能维持平衡）的特殊基本结构。 2. 根据结构特点灵活选取，使力法方程中尽可能多的副系数δij = 0。 3. 应选易于绘制弯矩图或使弯矩图限于局部、并且便于图乘计算的基本结构。 4. 对称取基本结构；或利用对称性取半结构；或求弹性中心；以减少未知力数目，并使力法方程解耦。 ●力法典型方程 典型方程可写成矩阵形式： δX+ Δ = C (4.2.1) 式中，δ为柔度系数矩阵（对称方阵）；X为多余未知力列阵；Δ为自由项列阵（外因作用下的广义位移列阵）；C为原结构多余联系处的已知位移（不一定为零）列阵。 ●力法的解题步骤 1. 确定基本未知量，合理选取基本结构。 2. 根据多余联系处的位移（变形）协调条件，建立力法方程。
结构力学 课程代码：012019 课程名称：结构力学 英文名：Structural Mechanics 课程类别：专业基础课 学时学分：120学时 7.5学分 先修课程：高等数学、理论力学、材料力学等。 授课对象：土木工程专业本科生，土木工程(职师)本科生。 开课单位：土木工程系力学教研室 教材：《结构力学》，王阴长，周文群主编，高等教育出版社，1998年（西建大老师编写） 参考书目：《结构力学教程(Ⅰ、Ⅱ)》，龙驭球、包世华主编，高等教育出版社，2003年《结构力学》（上、下册），龙驭球、包世华主编，高等教育出版社，1981年 《结构力学》（上、下册），杨天祥主编，高等教育出版社，1979年 《结构力学复习与习题分析》，徐新济、冯虹编，同济大学出版社，1995年一、课程的目的和任务 《结构力学》课程是土木工程专业的一门专业基础课。本课程的目的是使学生通过该课程的学习，了解杆件结构的组成规律；掌握静定和超静定结构的内力和位移的计算方法；理解结构动力和稳定的计算方法。 本课程的任务是使学生掌握系统的结构力学知识，提高结构计算能力，能熟练地分析计算土木工程结构的力学性能，培养学生的分析能力和科学作风，为学习有关专业课程、为毕业后从事结构设计、施工和科研工作打好理论基础。 二、课程基本要求和教学内容 1、基本要求： 能力培养要求：本课程教学中注意培养学生的分析能力、计算能力、自学能力和表达能力。 教学环节要求：课程要求精讲多练，保证一定的作业量，鼓励学生上机。为分散学习难点，本课程分两学期学习，第一学期为结构力学A1，内容为结构力学I（上），第二学期为结构力学A2，内容为结构力学II（下）。 2、课程教学基本内容 1)几何组成分析：掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用。 2)静定结构内力分析：灵活运用隔离体平衡的方法，熟练掌握静定梁和刚架内力图 的作法以及桁架内力的解法，掌握静定组合结构和拱的内力计算方法，了解静定 结构力学特性。 3)虚功原理与结构位移计算：了解变形体虚功原理的内容及其应用，熟练掌握荷载 作用下静定结构的位移计算方法，理解静定结构在温度改变和支座移动影响下的 位移计算方法，了解互等定理。 4)影响线：理解影响线的概念，掌握静力法作静定梁、桁架的内力影响线。了解机 动法作影响线，会利用影响线求移动荷载下结构的最大内力。
第1节 静定平面桁架 一、桁架的内力计算方法 1、结点法 取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。该法最适用于计算简单桁架。 根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化： （1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。 （2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。 （3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。 F N3 F N3=0 F N1=F N2=0 F N3=F N4(a) (b)(c)F N4 (d)F N3=F P F P N1F F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N1 F N2 F N3 F N3 F N1=F N2，F N1=F N2， F N1=F N2， 图2-2-1 （4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。例如 图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。 1A 2 F P F P A F P F P B F P F P B A (b)(a) X =0 图2-2-2 图2-2-3 （5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。 （6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。 0B F P F P F P F P B － A' B' A － A (a) (b) 图2-2-4 2、截面法 截面法取出的隔离体包含两个以上的结点，隔离体上的外力与内力构成平面一般力系，建立三个平衡方程求解。该法一般用于计算联合桁架，也可用于简单桁架中少数杆件的计算。 在用截面法计算时，充分利用截面单杆，也能使计算得到简化。 截面单杆的概念：在被某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行），则此杆称为截面单杆。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。 截面单杆可分为两种情况： （1）截面只截断三根杆，且此三根杆不交于一点，则其中每一杆都是截面单杆。计算时，对其中两杆的交点取矩，建立力矩平衡方程，就可求出第三杆的轴力，如图2-2-5（a ）中，CD 、AD 、AB 杆都
9-1 同济大学朱慈勉 结构力学 第9章超静定结构的实用计算方法与概 念分析习题答案 9-1 试说出何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数，为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。 9-2 试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出M 图，并求刚结点B 的转角φB 。 解：设EI=6，则5.1,1==B C A B i i 53.05 .13145.1347 .05 .13141 4=?+??==?+??=B C B A μμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩 -67.05 45.9 -45.9 ()()() 逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?-=?? ? ???+---= ? ? ? ???---=θ (b) 解：设EI=9，则 9m 9m 6m 3m 3m 2m 6m 2m
9-2 3 ,31,1====B E B D B C A B i i i i 12.01 41333331 316.01 41333331 436 .0141333333 3=?+?+?+??==?+?+?+??==?+?+?+??==B C B A B E B D μμμμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC B D B E 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩 0 0 0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.2 16.2 0 最后弯矩 3.6 7.2 5.4 61.2 -73.8 ()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?=?? ? ???---= ? ? ? ???---=θ 9-3 试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出M 图。 (a) 解：Ｂ为角位移节点 设EI=8,则1==B C A B i i ，5.0= =B C B A μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M B A ?=????=+= 488212 443222 2 m KN l M B C ?-=?+-=582621 892 结点力偶直接分配时不变号 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 48 -58 12 4m 4m 8m 2m
第十章超静定结构总论 2、超静定结构的一些结论 （1）若仅满足平衡条件，超静定问题解答不唯一。但同时满足变形协调、本构关系和平衡条件的解答只有一个。 （2）超静定结构有两种基本解法：力法和位移法。但要灵活运用。对称结构可能用联合法简单，一些情况下可能要用混合法来求解。 （3）力法的基本思想是把不会求解的超静定问题，化成会求解的静定问题（内力、变形），然后通过消除基本结构和原结构的差别，建立力法方程使问题获得解决。只要这一思路确实掌握了，那么不管什么结构、什么外因就都没有困难了。要获得正确的结果，也就只剩下“需要认真、细致”六个字了。 （4）超静定结构的力法基本结构有无限多种，正确的计算最终结果是唯一的。但不同基本结构，计算的工作量可能不同。合理选取基本结构就能既快又准地获得解答，这主要靠练习过程及时总结经验来积累。 （5）当然，力法的解题步骤不是死的，顺序可略有变动。但超静定次数、取基本结构如果错了，整个求解自然一无是处了。这说明切不可忽视结构几何组成分析的作用。（6）应该养成对计算结果的正确性进行检查的良好习惯。对力法来说，除每一步应认真细致检查外，最后的总体检查也是必要的。总体检查主要是检查变形协调条件是否满足，这实际上是位移计算问题。超静定结构的位移计算可以看成基本结构的位移计算，当外因是支座移动或温度改变等时，千万别忘了基本结构上有外因作用，位移计算必须用多因素位移公式。 （7）对称结构往往利用对称性可使计算得到极大的简化，为此应该深刻理解和熟记对称结构取半计算的四种计算简图。应了解不考虑轴向变形时，受结点荷载作用刚架的无弯矩状态判别方法。力法简化方案很多（如弹性中心法等）。 （8）位移法的思路本质上也是化未知问题为已知问题，但它的“已知问题”是基于力法求解结果的单跨梁形常数和载常数。它的做法是设法将结构变成会计算（有形、载常数）
结构力学静定结构与超静定结构建筑类 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
1、静定与超静定结构的概念:无多余约束的几何不变体系是静定结构 静定结构：由静力平衡方程可求出所有内力和约束力的体系 有多余约束的几何不变体系是超静定结构 超静定结构：由静力平衡方程不能求出所有内力和约束力的体系. 瞬变体系不能作为结构:瞬变体系的主要特性为: 1.可发生微量位移,但不能继续运动 2.在变形位置上会产生很大内力 3.在原位置上,一般外力不能平衡 4.在特定荷载下,可以平衡,会产生静不定力 5.可产生初内力. 常变体系是一种机构而不是结构 2、静定结构的内力分析方法 几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力 求解一般原则：从几何组成入手，选择合适的隔 离体，使得一个隔离体上未知力的个数不超过三个，如果力系为平面汇交力系，则不应超过两个。一般按照几何组成的相反顺序分析。 一、单跨梁的内力分析 弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系 1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线，M图为斜直线。 2.均布荷载段(q=常数)，Q图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷载指向相同。 3.集中力作用处,Q图有突变，且突变量等于力值; M图有尖点,且指向与荷载相同。
4.集中力偶作用处，M图有突变，且突变量等于力偶值; Q图无变化。 内力计算的关键在于:正确区分基本 部分和附属部分. 熟练掌握单跨梁的 计算. 单体刚架(联合结构)的支座反力(约 束力)计算 方法:切断约束，取一个刚片为隔离 体，假定约束力的方向，由隔离体的平衡建立三个平衡方程。 四.刚架弯矩图的绘制做法:拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨梁相同的方法画弯矩图. 分段定点连线 六.由做出的剪力图作轴力图 做法: 逐个杆作轴力图,利用结点的平衡条件,由已知的杆端剪力和求杆端轴力,再由杆端轴力画轴力图.注意:轴力图画在杆件那一侧均可,必须注明符号和控制点竖标.
超静定结构计算——位移法 一、判断题： 1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。 （1）（2）（3） （4）（5）（6） EI EI EI EI 2EI EI EI EI EA EA a b EI= EI= EI= 2 444 2 2、位移法求解结构力时如果P M图为零，则自由项1P R一定为零。 3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。 5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。 二、计算题：
12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。 2 13、用位移法计算图示结构并作M 图。E I =常数。 l l l /2l /2 14、求对应的荷载集度q 。图示结构横梁刚度无限大。已知柱顶的水平位移为 ()5123/()EI →。 12m 12m 8m q 15、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l l l
16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI 相同。 4m 19、用位移法计算图示结构并作M 图。 q l l 20、用位移法计算图示结构并作M 图。各杆EI =常数，q = 20kN/m 。 6m 6m 23、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l 2 24、用位移法计算图示结构并作M 图。EI =常数。
l q l 29、用位移法计算图示结构并作M 图。设各杆的EI 相同。 q q l l /2/2 32、用位移法作图示结构M 图。 E I =常数。 q q l l /2 l /2l 36、用位移法计算图示对称刚架并作M 图。各杆EI =常数。 l l
结构力学课程作业_B 一、单选题 1.(6分)计算刚架时，位移法的基本结构是（） ? A. 超静定铰接体系 ? B. 单跨超静定梁的集合体 ? C. 单跨静定梁的集合体 ? D. 静定刚架 纠错 得分：6 知识点：位移法 收起解析 答案B 解析位移法 2.(6分)图70 ? A. a ? B. b ? C. c ? D. d 纠错 得分：0
知识点：静定结构总论 收起解析 答案A 解析 3.(6分)图12 ? A. a ? B. b ? C. c ? D. d 纠错 得分：6 知识点：结构的几何构造分析 收起解析 答案A 解析 4.(6分)用位移法计算超静定结构时考虑到的条件是（） ? A. 物理条件、几何条件、平衡条件 ? B. 平衡跳江
? C. 平衡条件和物理条件 ? D. 平衡条件和几何条件 纠错 得分：6 知识点：力法 收起解析 答案A 解析位移法 5.(6分)用动平衡法进行动力分析时，其中的惯性力（） ? A. 实际上不存在 ? B. 实际就作用在质点上 ? C. 实际存在，但不作用在质点上 ? D. 竖向振动时存在，其余方向不存在纠错 得分：0 知识点：结构的动力计算 收起解析 答案C 解析动平衡法 6.(6分)力法的基本结构是（） ? A. 静定结构 ? B. 超静定结构 ? C. 单跨超静定梁 ? D. 多跨超静定梁 纠错
得分：6 知识点：回顾 收起解析 答案A 解析 7.(6分)图64 ? A. a ? B. b ? C. c ? D. d 纠错 得分：0 知识点：静定结构总论 收起解析 答案A 解析 8.(6分)在位移法中，按铰接端的角位移、滑动支承端的线位移作为基本未知量（） ? A. 绝对不可以 ? B. 一定条件下可以 ? C. 可以但不必 ? D. 必须
《结构力学》教学大纲 课程名称：结构力学课程类型：范围选修课学时：80学时5学分适用对象：土木、农水、水电、农建专业的本科生先修课程：高等数学、物理、理论力学、材料力学 一、课程的性质、目的与任务以及对先开课程要求 结构力学是土木、农水、水电、农建专业的一门重要专业基础课，它与高等数学、物理、理论力学、材料力学、弹性力学、塑性力学、钢结构学、钢筋混凝土结构学、结构设计课有密切联系。结构力学课程的任务是使学生学习结构分析理论，即结构（主要是杆系结构）在外因作用下的强度h、刚度的计算理论，掌握杆系结构的静力分析方法，了解常用结构形式的受力性能，初步学会运用结构力学的基本分析方法分析结构设计和工程实践中的力学问题，为以后钢结构、钢筋混凝土结构学、弹性力学、塑性力学及结构设计等课程的学习打基础。培养结构分析和计算能力。学习结构力学需具有高等数学、物理、理论力学、材料力学的基本静力原理和计算方法（含计算机技能）知识。 二、教学重点及难点 教学重点和难点是结构的受力分析、内力图的绘制、用虚功原理和图乘法求解静定问题、通过力法、位移法和力矩分配法求解超静定问题。 三、与其他课程的关系 高等数学、物理、理论力学、材料力学是结构力学的前期准备，同时它又为以后钢结构、钢筋混凝土结构学、弹性力学、塑性力学及结构设计等课程的学习打基础。 四、教学内容、学时分配及其本要求 第一章绪论（2学时） 基本要求：了解结构力学的任务和学习方法，掌握结构计算简图及其简化要点，杆系结构的分类 重点：结构计算简图及其简化要点，杆系结构的分类 难点：各种形式支座所连接杆件的运动 第一节结构力学的学科内容和教学要求（0.5 学时） 第二节结构的计算简图及简化要点（0.7 学时） ?杆系结构的分类（0.3 学时） ?荷载的分类（0.5 学时） 第二章几何构造分析（4学时）
6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。 解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。 (b)(a) N (d )(c)题6-1 N N （2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。 1113(2)82i P i AB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EA ?????-?-???==++?=∑（?） （3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。 113(2)() (72i P i AC i i P a P a N N l P a a E A EA EA EA ????-?-??== +?=∑（?） 故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差： 8(7(10.414AB AC P P P P EA EA EA EA ???+=-= -==-（夹角减小） 6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。只计弯曲变形。EI 为常数。 方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为： sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr （2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为： []1 cos )(0)2211cos()cos )()222 i M πθθππθθθπ?≤≤??=??-=≤≤??(r -r r -r (r +r
(a) 题6-2 （3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。 2 02 3322 0022 311 cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V P k Pr Pr M M ds rd rd EI EI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI π ππππππππθθθθθθ θθθθθθθθθθθθθ?-?-??==+????=-?+?=-+????????? =-∑? ??????(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320 211cos 2)cos cos 2)442Pr EI π ππθθθ????+-+=-↑??? ?（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。 题6-2 (a) 203322003 320 1 sin )(Pr cos ) 221sin )cos cos sin 2)2 1sin cos 2)42i V P k M M ds rd EI EI Pr Pr d d EI EI Pr Pr EI EI π πππ θθθ θθθθθθθθ?-??===-?=-=-+=-↑∑????（） (r -r (-(-(1 6-3 求梁的自由端的挠度。EI 为常数。 方法一 ：（积分法） 解：（1）荷载作用的实状态,以及坐标如图（a ）,其弯矩方程为： ()2 1 (0)2 M x qlx qx x l =--≤< （2）建立虚设单位力状态,以及坐标如图（b ）所示,其弯矩方程为：()(0)i M x x x l =-≤<
结构力学-在线作业_A最终成绩：100.0一判断题 1. 图示桁架各杆EA相同，C点受水平荷载P作用，则AB杆内力。（） FALSE TRUE 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 教师评语： 用户解答：FALSE 知识点： 3.5 静定平面桁架 2. 图示为一刚架的力法基本体系，E=常数。其δ12为0。（）
FALSE TRUE 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 教师评语： 用户解答：TRUE 知识点： 5.3 超静定次数的确定|5.6 对称性的利用 3. 图示结构EI=常数，求K点的竖向位移时，由图乘法得:ΔK=（1/EI）×y1ω1。（） FALSE TRUE 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 教师评语： 用户解答：FALSE 知识点： 4.4 静定结构由于荷载引起的位移计算|4.5 图乘法
4. 图示结构铰结点C两侧承受力偶荷载m。杆DB的D端剪力Q DB为－m/l。（） FALSE TRUE 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 教师评语： 用户解答：TRUE 知识点： 3.3 静定平面刚架的内力分析|5.7 用力法计算铰接排架 5. 图示结构（f为柔度）：M A 用户得分： 5.0 教师评语： 用户解答：TRUE 知识点： 5.1 超静定结构概述|5.2 力法的基本概念 6. 下图能用力矩分配法计算。（） TRUE FALSE 本题分值： 5.0 用户得分： 5.0 教师评语： 用户解答：TRUE 知识点：7.2 力矩分配法的基本概念 7. 计算图a结构时，可简化为图b计算的条件是EA→∞。（） 第一章绪论 1.结构按其几何特征分为三类 （1）杆件结构 （2）板壳结构 （3）实体结构 2.本课程讨论的范围是杆件结构 理论力学研究的刚体的机械运动的基本规律和刚体的力学分析，材料力学研究的是单根杆件的强度、刚度和稳定性问题，结构力学研究杆件体系的强度、刚度和稳定性问题 3.结构力学的任务： （1）结构的组成规律、合理性是以及结构计算简图的合理选择 （2）结构内力和变形的计算方法，以便进行结构强度和刚度的验算 （3）结构的稳定性以及在动力何在作用下结构的反应 4.计算简图选择原则是： 计算简图：用一个能反映其基本受力和变形性能的简化的计算图形来代替实际结构。这种代替实际结构的简化计算图形称为结构的计算简图 （1）计算简图应能反映实际结构的主要受力和变形性能 （2）保留主要因素，略去次要因素，使计算简图便于计算 5.结构与基础间连接的简化 活动铰支座，固定铰支座，固定支座，定向支座 6.材料性质的简化 材料一般假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的 7.结构承受的荷载可分为体积力和表面力两大类。 体积力指的是结构的重力或惯性力等， 表面力指的是由其他物体通过接触面传给结构的作用力 8.杆件的分类 梁：受弯为主 拱：在竖向荷载作用下有水平推力且截面以受压为主 刚架：由梁和柱等直杆组成的结构，杆件间的结点多为刚结点，主要内力为弯矩桁架：由两端为铰的直杆组成，当荷载作用于结点时，各杆只受轴力 9.静定结构与超静定结构 凡用静力平衡条件可以确定全部支座反力和内力结构称为静定结构 凡不能用静力平衡条件确定全部支座反力和内力的结构成为超静定结构 10.荷载的分类 按时间：恒荷载，活荷载 按性质：静力荷载，动力荷载 第二章结构的几何组成分析 1.根据杆件体系的形状和位置，杆件体系可以分为两类： 几何不变体系，几何可变体系 2．把杆件体系中的一部分杆件或结点勘察是具有自由度的运动对象，而将另一部分杆件或连接勘察是对这些刚片或结点的运动起限制作用的约束 3.自由度：描述几何体系运动时，所需要改变的坐标数目 4.约束：使体系减少自由度的装置或连接 分为两大类：支座约束和刚片间的连接约束 结构计算简图： 弯矩图（B.M.D）bending moment diagram 剪力图（S.F.D）shearing force diagram 轴力图（A.F.D）axial force diagram 1、两端铰支座的水平梁与简支梁在竖向荷载作用下受力相同吗？ 2、为什么说杆系结构的分类是按计算简图划分的？ 3、如何正确理解静力荷载？ 平面体系的几何组成分析： 1、确定计算自由度 W 时应注意些什么？ 2、如何理解三刚片六链杆的的几何不变体系？ 3、在几何组成分析中，装置能否重复利用？ 4、在几何组成分析中，瞬铰在无穷远时如何下结论？ 5、体系内部作构造等效变换时，会改变其几何组成特性？ 6、瞬变体系为何不能用作结构？其特点是什么？ 7、如何区分瞬变体系和常变体系？ 8、当体系不能用三角形规则进行几何组成分析时怎么处理？ 9、对体系如何进行运动分析？ 静定结构的受力分析： 1、如何理解用分段叠加法作弯矩图？ 2、在竖向荷载作用下斜梁内力有什么特点？ 3、求静定结构反力和内力时，外力偶可以随意移动？ 4、如何快速作出静定刚架的弯矩图？ 5、仅仅已知静定梁的弯矩图，能否求得与其相应的荷载？ 6、如何利用对称性进行静定结构内力分析？ 7、在荷载作用下曲杆内力图有何特点？ 8、任意荷载下拱形结构都存在合理拱轴线？ 9、静定组合结构在受力上有何优点？ 10、什么叫做复杂桁架？如何求其内力？ 11、如何选择静定桁架的合理外形与腹杆布置？ 12、如何证明静定结构约束力解答唯一性原理？ 虚功原理与结构位移计算： 1、利用刚体系虚位移原理求静定结构约束力的优缺点何在？计算虚位移有哪些方法？ 2、利用刚体系虚位移原理能否同时计算多个约束力？ 3、怎样利用刚体系虚位移原理建立静定梁和刚架的弯矩方程？ 4、在变形体虚功原理中，两个状态的变形体是否必须为同一体系？ 5、为什么说荷载作用下的位移计算公式： Δ＝∑∫（MMp/EI）ds＋∑∫（NNp/EA）ds＋∑∫（kQQp/GA）ds 对曲杆来说是近似的？ 6、如何计算静定结构在荷载作用下某点的全量线位移？ 7、计算平面刚架的位移时，忽略剪切变形和轴向变形引起的误差有多大？结构力学概念部分
结构力学126问
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