2012年全国各地中考数学解析汇编9 一元一次不等式与不等式组
9.1 解一元一次不等式
1.（2012广州市，8， 3分）已知a ＞b,c 为任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ） A. a+c ＜b+c B. a －c ＞b －c C. ac ＜bc D. ac ＞bc
【解析】运用不等式的3个性质进行推理，A 、B 答案是不等式性质1的运用； C 、D 答案均是不等式性质2、3 的错误运用．
【答案】根据不等式的性质1可知A 错误，B 是正确的，由不等式的性质2、3可知CD 不等号的方向要根据c 的符号确定，是错误的。选Ｂ。
【点评】这类习题较为常规，不等式的性质1和2一般不会出现错误的运用，运用性质3务必注意不等号要改变方向．易错点：运用不等式的性质学生错误存在于忘记改变不等号的方向． 2.（2012广州市，12， 3分）不等式x －1≤10的解集是 。 【解析】根据不等式的性质1可直接求解。 【答案】x≤11。
【点评】本题主要查不等式的解法。
3.(2012四川省南充市，11，4分) 不等式x+2>6的解集为_________________. 【解析】移项解得x>
4. 【答案】x>4
【点评】将不等式中各项从一边移到另一边时要注意变号。 4.（2012浙江省衢州，11，4分）不等式2x －1＞
12
x 的解是 .
【解析】利用不等式的基本性质，将不等式移项得2x －12
x ＞1，合并同类项得
32
x ＞1，系数化为1即可得
解集． 【答案】x ＞
23
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 5.（2012连云港，19，3分）解不等式
32
x －1＞2x,并把解集在数轴上表示出来。
1
0-1-2
【解析】本题可先将方程移项，进行化简，最后得出x 的取值，然后在数轴上表示出来
【答案】解:
32
x －2x ＞1, 12
-
x ＞1，∴x＜－2，
表示在数轴上为：
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 6. （2012四川攀枝花，3，3分）下列说法中，错误．．的是（ ） A. 不等式2 【解析】解不等式、整数解。不等式2 12 ，–2在这个解 集中；x <10的整数解有无数个，包括无数个负整数解、零和1到9这9个正整数解。 【答案】C 【点评】解不等式时，不等号的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向要改变。正整数包括1，2，3，……；整数包括正整数、零和负整数。 7. （2012浙江省嘉兴市，18，8分）解不等式2(x-1)-3<1,并把它的解在数轴上表示出来. 【解析】根据题意,先解一元一次不等式,然后将不等式的解表示在数轴上. 【答案】2x －2－3＜1,得x ＜3,图略. 【点评】基础题.主要考查一元一次不等式的解法.在数轴上表示不等式的解时要注意两点:一是方向;二是空圈与实点的区别. 8.(2012贵州六盘水，3，3分)已知不等式10x -≥，此不等式的解集在数轴上表示为（ ▲ ） 分析：根据在数轴上表示不等式解集的方法表示出不等式的解集x≤2，再得出符合条件的选项即可． 解答：解：不等式的解集10x -≥在数轴上表示为： 故选C． 点评：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 9．(2012广东汕头，10，4分)不等式3x﹣9＞0的解集是x＞3 ． 10. （2012年吉林省， 8，3分）不等式2x-1>x的解集为__________. 【解析】利用不等式的基本性质，将不等式移项再合并同类项即可求得不等式的解集． 【答案】2x-1>x 2x-x>1 x>1 故答案为：x>1. 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解答此题的关键．11．(2012广安，13，3分)不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是_________________． 【解析】确定一元一次不等式的正整数解问题，先解不等式，在结合正整数这一条件，对范围进行界定，找出正整数解的个数 【答案】2x+9≥3(x+2)，即是2x＋9≥3x＋6，解得：x≤3，由于x 是正整数，因此只有正整数1，2，3符合条件 【点评】确定不等式以及不等式组的正整数解问题，一般是结合不等式的解集，以及正整数概念缩小范围，找出正整数解或者是确定正整数解的个数. 12. （2012湖北武汉，3，3分）在数轴上表示不等式x-1＜0的解集，正确的是【】 A ． B ． C ． D ． 【解析】首先解出不等式x-1＜0得x ＜1，不含等号，空心点；小于，开口向左，选B 【答案】B ． 【点评】本题在于考察解不等式以及用数轴表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集，关键在于区分实心点与空心点以及开口方向，含等号的用实心点，不含等号用空心点，开口方向与不等号开口方向一致，难度低． 13.（2012广东肇庆，16，6）解不等式：04)3(2>-+x ，并把解集在下列的数轴上（如图4）表示出来． 【解析】在数轴上表示不等式的解集时要注意空心圈实心点的区别． 【答案】解：0462>-+x (1分) 22->x (3分) 1->x (4分) 解集在数轴上表示出来为如图所示 (6分) 【点评】本题考查一元一次不等式的解法，难度较小. 14.（2012呼和浩特，18，6分）（1）解不等式：5(x –2)+8<6(x –1)+7 （2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x –ax=3的解，求a 的值. 【解析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（2）中根据（1）中的解集，得到最小整数解，并代入到方程中，解a 的值。 【答案】(1) 5(x –2)+8<6(x –1)+7 5x –10+8<6x –7+7 5x –2<6x+1 0 1 2 -1 -2 1 2 -1 - 2 图4 –x<3 x>–3 (2) 由（1）得，最小整数解为x= –2 ∴2×(–2)–a ×（–2）=3 ∴72 a 【点评】本题考查了解不等式的方法，一定要注意符号的变化，和不等号的变化情况。根据得出的解集得出最小整数解，并把最小整数解代入到方程中解方程求a 的值。 15. （2012贵州贵阳，11，4分）不等式x-2≤0的解集是 . 【解析】解不等式即得x≤2 【答案】x≤2 【点评】本题考查解一元一次不等式，关键是移项，属于容易题. 9.2 一元一次不等式的应用 1.（2012浙江省湖州市，23，10分）为了进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙、丙三种树每棵的价格之比是2:2:3，甲种树每棵200元，现计划用210000元，购买这三种树共1000棵， （1）求乙、丙两种树每棵个多少元？ （2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，且恰好用完计划资金，求三种树各购买多少棵？ （3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的情况下，求丙种树最多可以购买多少棵？ 【解析】（1）根据甲、乙、丙三种树每棵的价格之比是2:2:3，甲种树每棵200元，可求得乙、丙两种树的价格； （2）根据购买三种树的总费用为210000元，列方程求解； （3）根据购买三种树的总费用不大于（210000+10120）元，列不等式求解； 【答案】（1）∵甲、乙、丙三种树每棵的价格之比是2:2:3，甲种树每棵200元，∴乙种树每棵的价格200元，丙种树每棵的价格200×2 3=300元； (2)设购买乙种树 x 棵，则购买甲种树2x 棵，购买丙种树（1000-3x ）棵， ∴200×2x+200×x+300(1000-3x)=210000.解得x=300,∴购买甲种树600棵, 购买乙种树300棵，购买丙种树100棵; (3)设若购买丙种树y 棵,则购买甲、乙两种树共（1000-y ）棵，∴200（1000-y ）+300y≤210000+10120,解得y≤201.2,∵y 为正整数，∴y=201. ∴丙种树最多可以购买201棵. 【点评】本题考查的是一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意: （1）购买三种树的总费用为210000元，列出一元一次方程；（2）购买三种树的总费用不大于（210000+10120）元，列出一元一次不等式求解，是解答此题的关键． 2. （2012陕西 14，3分）小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买瓶甲饮料． 【解析】设小宏能买x瓶甲饮料，则买乙饮料() 10-x瓶．根据题意，得： () 7+410-50 x x≤解得 1 3 3 x≤ 所以小宏最多能买3瓶甲饮料． 【答案】3 【点评】本题主要考查不等式（组）的应用.难度中等. 3. （2012·湖北省恩施市，题号11 分值 3）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市想要至少获得20%的利润，那么这种水果在进价的基础上至少提高（） A．40% B．33.4% C．33.3% D．30% 【解析】根据关系式：售价≥进价×（1+20%）进行计算．设超市购进大樱桃P千克，每千克Q元，售价应提高x%，则有P（1-10%）?Q（1+x%）≥PQ（1+20%），即（1-10%）（1+x%）≥1+20%，∴x%≥33.3%．【答案】C 【点评】本题采用了多元设法来解决问题，我们通常在解决实际问题的时候，通常可以借助多个参数参与到列式中来，这些参数只起到“辅助”作用，通常可以根据等式的性质约掉。寻找不等量关系是本题重点，借助多个参数列不等式是本题难点。 本题学生开始可能没有思路，但是只要大胆做出假设，根据题目意义列出不等式，化简解答即可． 9.3 解一元一次不等式组 1.(2012江苏苏州，20，5分)解不等式组． ‘ 解： 2.（2012年广西玉林市，20，6分）（2012·玉林）求不等式组???????≤-≥-212 1112 1 x x 的整数解. 分析：首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可． 解： 点评：正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 3．(2012山东日照，18，6分) 解不等式组：()461,315, x x x x +>-???-≤+??并把解集在数轴上表示出来. 解析：先分别求出每个不等式的解集，再分别在数轴上表示出来，并根据数轴确定不等式组的解集. 解：由不等式4x+6>1-x 得：x>-1， 由不等式3（x-1）≤x+5得：x≤4， 所以不等式组的解集为 －1 < x≤4. 在数轴上表示不等式组的解集如图所示. 点评：本题主要考查不等式组的解法以及解集的表示．求不等式组解集的时候，应分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分． 4. （2012湖北黄冈，17，5）解不等式组()6152432112 3 23x x x x ++?? ? --? ?＞ ≥② ① 【解析】分别解出两个不等式，再确定解集的公共部分. 【答案】解：解不等式（1）得x ＜ 92 ，解不等式（2）得x≥-2，∴原不等式组的解集为-2≤x＜ 92 . 【点评】解一元一次不等式组，常规题.难度较小. 5.（2012河北省4,2分）下列各数中，为不等式组???<->-0 4032x x 解的是（ ） Ａ．-1 Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．4 【解析】解两个不等式，找解集的公共部分34 2x <<，进而判断2在其中。 【答案】C 【点评】主要考查不等式组的解法，但是此题只是考查解集中的某个解，是中考主要考查的知识点，属于简单题型。 6. （2012·哈尔滨，题号145分值 3）不等式组21011x x ->?? - 【解析】本题考查一元一次不等式组的解法．分别解两个不等式，再确定公共解集：由2x-1＞0得x ＞2 1， 由x-1＜1得x ＜2，所以2 1＜x ＜2. 【答案】 2 1＜x ＜2 【点评】关于不等式的解法，一般是先分别解出各个不等式，再利用数轴或者歌诀来求解．歌诀：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找．”不等式问题往往以单独考点的形式出现，只要计算准确，一般来讲拿分还是很容易的．本题属于基础题，难度低，也是易考点，重在考察学生的基础能力． 7．（2012贵州遵义，6,3分）如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ） A. B ． C ． D ． 【解析】首先由数轴上表示的不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，然后解各不等式组，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 解：如图：数轴上表示的不等式组的解集为：﹣1≤x≤2， A 、解得：此不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，故本选项正确； B 、解得：此不等式组的解集为：x≤﹣1，故本选项错误； C 、解得：此不等式组的无解，故本选项错误； D 、解得：此不等式组的解集为：x≥2，故本选项错误． 故选A ． 【答案】A 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识．此题比较简单，注意掌握不等式组的解法是解此题的关键． 8.（2012湖北荆州，6，3分）已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点．．．在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) 【解析】本题考察了关于x 轴对称的点的坐标特点、一元一次不等式的解集及数轴表示。 点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点．．．坐标为M ‘()m m --1,21， 因为点M ‘在第一象限，所以???>->-0 1021m m ， 所以?? ?<<1 5.0m m ，所以5.0 【答案】A 。 【点评】本题考察了关于x 轴对称的点的坐标特点、一元一次不等式的解集及数轴表示，综合性较强。 9．（2012，湖北孝感，8，3分）若关于x 的一元一次不等式组0122 x a x x ->?? ->-?无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥1 B ．a>1 C ．a≤-1 D ．a<-1 【解析】先解第一个不等式得，x> a ，解第二个不等式得，x ＜1，再根据不等式组0122 x a x x ->??->-?无解，从 而得出关于a 的不等式a≥1． 【答案】A 【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数的范围．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10.（2012四川达州，13，3分）若关于x 、y 的二元一次方程组? ??-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +﹥1，则 k 的取值范围是 . 0.5 0.5 0.50.5A ． B ． C ． D ． 解析：方法一：将k视为已知数，解关于关于x、y的二元一次方程组，求出x、y后，将其相加，得出关于k的一元一次不等式，解此不等式，求出k的取值范围；方法二：观察方程特点，将两方程左右两边分别相加，可得3x+3y=3k-3,即x+y=k-1,因此k-1＞1，所以k＞2。 答案：k＞2 点评：本题将二元一次方程组、一元一次不等式的解法两个问题揉合在一起，考查学生解方程组、不等式的基本能力，题目设计的有一定的灵活性，可以考察出学生敏捷的观察能力及思维的灵活性。 11.( 2012年四川省巴中市,23,5)解不等式组 x＋3≧2－x ① 3(x-1)＋1＜2(x＋1) ②，并写出不等式的整数解. 【解析】解不等式①得x≥-1 2 ,解不等式②得x＜4. 不等式组的解集为- 1 2 ≤x＜4,其整数解有：0，1，2， 3. 【答案】-1 2 ≤x＜4 整数解有：0，1，2，3. 【点评】在数轴上表示出解集，是解本题的关键. 12．（2012江苏省淮安市，20，5分） 解不等式组 10, 3(2)5. x x x -> ? ? +< ? 【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【答案】解：解不等式x-1＞0，得x＞1. 解不等式3(x+2)＜5x，得x＞3． 根据“同大取大”得原不等式组的解集为x＞3． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 13.（2012珠海，9，4分）不等式组 21 432 x x x x +> ? ? ≤+ ? 的解集是 . 【解析】不等式组 21 432 x x x x +> ? ? ≤+ ? ① ② , 解不等式①,得x＞－1; 解不等式②,得x≤2. 所以,原不等式组的解集是－1＜x≤2. 应填－1＜x≤2.【答案】－1＜x≤2. 【点评】本题考查求不等式组的解集. 属基础题. 14．（2012湖南衡阳市，22，6）解不等式组，并把解集在数轴上表示出 来． 解析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 答案：解：∵由①得，x ＞﹣1；由②得，x≤4， ∴此不等式组的解集为：﹣1＜x≤4， 在数轴上表示为： 点评： 本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是答案此题的关键． 15．（2012山西，13，3分）不等式组 的解集是 ． 【解析】解： ， 解不等式①得，x ＞﹣1， 解不等式②得，x≤3， 所以不等式组的解集是﹣1＜x≤3． 【答案】﹣1＜x≤3 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组步骤的准确应用，先解出各个不等式组，再根据：大大取大， 小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，准确写出不等式组的解集．难度较小． 16. （2012山东省滨州，1，3分）不等式211841 x x x x -≥+?? +≤-?的解集是（ ） A ．3x ≥ B ．2x ≥ C ．23x ≤≤ D ．空集 【解析】21 1 84 1 x x x x -≥+??+≤-?①② ，解①得：2x ≥，解②得：3x ≥． 则不等式组的解集是：3x ≥． 【答案】选A ． 【点评】本题考查解一元一次不等式组的解法．分别解出两个不等式，再取两解的交集即可． 17. （2012山东省青岛市，16，8） ⑴化简2 2 211)11a a a a ++-?+（；⑵解不等式组：? ?? ??-≤-<+.35713 1,5)13x x x x （ （1）【解析】原式= .1) 1()1)(1(12a a a a a a a -=+-+?+ 【答案】1a a - 【点评】本题考查分式的化简与运算，分式的除法计算首先要转化为乘法运算，然后对式子进行化简，化简的方法就是把分子、分母进行分解因式，然后进行约分．分式的乘除运算实际就是分式的约分． （2）【解析】解不等式①得，x>2 3;解不等式②得，x≤4.∴原式不等式组的解集为 2 3 【答案】 2 3 【点评】本题考查不等式组的解法.求不等式组的解集，可用“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”口诀帮助解答，当然也可以用结合数轴来解答． 18.（2012贵州省毕节市，18，5分）不等式组?? ? ??<-≤+421121 x x 的整数解是 . 解析：首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的整数解即可． 则不等式组的解集是：2 3- ＜x≤1.则整数解是：-1，0，1．故答案是：-1，0，1． 点评：本题考查了不等式组的整数解，正确解不等式组是解题的关键． 19.（2012山东省荷泽市，10，3）若不等式组 {3 x x m >>的解集是x>3，则m 的取值范围是______. 【解析】因为不等式组的解集的确定方法是大大取大，理由是当两个不等式都是大于，所以m≤3. 【答案】m≤3 【点评】不等式组的解集的确定方法是“大大取大、小小取小、大小小大中间找，大大小小无处找. 20.（2012无锡）（2）解不等式组：22 (1) 1 2 1 (2)2 x x x x -≤?? ?+>--?? 【解析】利用不等式的性质分别求出不等式（1）和（2）的解，然后利用“大大取大，小小取小，小大取中间，大小无解”的规律求出不等式组的解集。 【答案】解： 由（1）得2x ≤, 由（2）得>-2x ， ∴原不等式组的解集为-2 【点评】本题主要考查不等式及不等式组的解法，注意“＜”、“＞”、“≤”、“≥” 的区别。 21.（2011山东省潍坊市，题号5，分值3）5、不等式组? ??<->+4235 32x x 的解等于（ ） A ．21< B ． 1>x C ． D ． 21> 考点：求一元一次不等式组的解集。 解答：解不等式532>+x 得到1>x ；解不等式423<-x 得到2 点评：本题考查了学生解一元一次不等式、解一元一次不等式组。在写出一元一次不等式组的解集的时候可以利用数轴也可以利用口诀。 22．（2012江西，16，6分）解不等式组211,31; x x +<-?? -≥?并将解集在数轴上表示出来． 解析：根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式 组解集的规律找出不等式组的解集即可． 答案：解：211,(1) 3 1.(2)x x +<-??-≥? 解不等式（1）得: 1x <-， 解不等式（2）得: 2x ≤， 所以不等式组的解集是: 1x <-; 在数轴上表示不等式组的解集，如图所示: 点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 23．（2012北京，14，5）解不等式组：4342 1. x x x x ->??+<-?， 【解析】解不等式组 x –1–2–3–4123 40 【答案】4x –3>x ，x>1 x+4<2x –1，x>5 ∴x>5 【点评】本题考查了解不等式的方法以及最后的取值，同大取大，同小取小，小大大小取中间。 24．（2012湖北咸宁，4，3分）不等式组x 10 42>0 x ≥???－－的解集在数轴上表示为（ ）． 【解析】先求出各不等式的解集在数轴上表示出来，再求出其公共部分即可．由（1）得，x≥1，由（2）得，x ＜2，故原不等式组的解集为：1≤x＜2．在数轴上表示为： 故选D ． 【答案】D 【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心． 25．（2012湖南益阳，6，4分）如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（ ） A ．53 x x ≥-?? >-? B ．53 x x >-?? ≥-? C ．53 x x <-? D ．53 x x >-? 【解析】这是看图解题的类型，一看图形就知道都是大于，所以排除C 、D ，5-处是空心的，所以是大于，没有大于号，即可得到答案，即是B. 【答案】B 【点评】此题主要考查考生看图的能力，记住实心点和空心点的区别，加上细心就可以做出答案的， 26．（2012山东泰安，6，3分）将不等式组841163x x x x +<-??≤-? 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A B C D 【解析】解不等式①，得：x ＞3；解不等式②，得：x≤4，将不等式①和不等式②的解集表示在数轴上，故正确答案选C. A ． B ． C ． D ． 【答案】C. 【点评】等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画．＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示．“＜”，“＞”要用空心圆圈表示． 27. (2012山东省临沂市，8，3分）不等式组??? ??≥+x x 12 1 -3x 5 1-2 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 数轴上表示为： 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法及其数轴表示法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 28．（2012湖北随州，8,3分）若不等式0 0x b x a -? 的解集为2 A ．-2,3 B ．2，-3 C ．3，-2 D ．-3,2 解析：解不等式组00 x b x a -?，得-a 答案：A 点评：本题考查了一元一次不等式组的解法。对于此类问题，通常需解不等式组求出关于字母的解集，再根据不等式组解集意义，利用已知解集，即可确定不等式组中的字母取值。 29.（2012山东省荷泽市，10，3）若不等式组 {3 x x m >>的解集是x>3，则m 的取值范围是______. 【解析】因为不等式组的解集的确定方法是大大取大，理由是当两个不等式都是大于，所以m≤3. 【答案】m≤3 【点评】不等式组的解集的确定方法是“大大取大、小小取小、大小小大中间找，大大小小无处找. 30．（2012浙江省义乌市，5，3分）在x=－4,－1,0,3中,满足不等式组???->+<2 )1(2,2x x 的x 值是( ) A ．－4和0 B ．－4和－1 C ．0和3 D ．－1和0 【解析】∵2（x+1）>-2的解集为x>-2,∴?? ?->+<2 )1(2,2x x 的解集为2>x>-2, 在x=－4,－1,0,3中, 满足不等式组???->+<2 )1(2,2x x 的x 值是0和-1，故选D ． 【答案】D ． 【点评】本题考查了不等式组的解法及特殊值的确定。解此类题要注意计算的准确性 31．（2012湖南湘潭，11，3分）不等式组?? ?<>-3 11x x 的解集为 . 【解析】由x-1＞1得x ＞2,与x ＜3的公共部分是 2＜x ＜3. 【答案】2＜x ＜3。 【点评】此题考查不等式组的解法及其解集的表示方法。分别求出每个不等式的解集，再用数轴找出公共部分。 32.（2012浙江省绍兴，17（2），4分）解不等式组：254(2)213x x x x +<+?? ?- ? 解析：根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组的解集的规律找出即可． 【答案】 )2(452++x ＜ x ， ① (2) x ＜ x 32 1 -， ② 解不等式①，得8452++x ＜ x ，∴x＞3 2-， 解不等式②，得x ＜x 233-，∴x＜3， ∴原不等式组的解是＜2 3 -x ＜3， 【点评】及一元一次不等式组的解法，掌握求不等式组解集的方法是解决问题的关键． 33.(2012山东省聊城，18，7分）解不等式组??? ??+≤-+<+2 35 3 1)2(213x x x x 解析：分别求出不等式组中每个不等式的解集合，然后求出它们公共解集即可. 解：?????+≤-+<+② x x ① x x 235 3 1)2(213 解不等式①得，x ＜3. 解不等式②得，x≤-1. 所以原不等式组的解集是x≤-1. 点评:解不等式组的解集时，每个不等式的公共部分可以借助数轴来帮忙解决，也可以借助“口诀”来找，如“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大解无了（无解）”. 34.（2012四川成都，15（2），6分）解不等式组：20 2113 x x - +?≥? ? 解析：解不等式组的一般步骤是：求不等式①的解集、求不等式②的解集、在数轴上找解集公共部分。 答案：解①，得 2x < 解②，得 1x ≥ ∴不等式组的解集为12x ≤< 点评：解不等式时，要特别注意当不等式的两边都乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。 35. (2012山东省临沂市，8，3 分）不等式组??? ??≥+x x 12 1 -3x 51-2 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 【解析】先分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来，再找出符合条件的选项即可． 数轴上表示为： 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法及其数轴表示法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 36. （2012湖北襄阳，11，3分）若不等式组1+240 x a x >?? -?≤有解，则a 的取值范围是 A ．a ≤3 B ．a ＜3 C ．a ＜2 D ．a ≤2 【解析】分别计算出每一个不等式的解集为x ＞a －1，x ≤2，不等式组有实数解，即为a －1＜2，必须满足a ＜3． 【答案】B 【点评】根据不等式的性质求不等式的解集，然后判断m 的取值即可．在求不等式的解集时，遇到应该改变不等号方向的情况时，容易出现不改变方向的问题，望注意． 37. （2012四川宜宾，10，3分）一元一次不等式?? ???<+-≥1431 3x x 的解集是 【解析】 解： 【答案】-3≤x ＜-1 【点评】本题考查了解一元一次不等式，要知道：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小 无解了． 9.4 一元一次不等式组的应用 1. (2012山东日照，10，3分)某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有（ ） A.29人 B.30人 C.31人 D.32人 解析：设有x 位老人，则牛奶有(4x+28)盒，故1≤(4x+28)-5(x-1)<4，得29 解答：选B ． 点评：本题主要考查一元一次不等式组的应用，难点是设未知数列不等式组，易错点是求解错误. 2.（2012福州，19，满分11分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。 （1）小明考了68分，那么小明答对了多少道题？ （2）小亮获得二等奖（70分～90分），请你算算小亮答对了几道题？ 解析：对于（1），设小明答对了x 道题，则可列出一元一次方程进行求解；对于（2），由于小亮得分在70分～90分之间，如果设其答对了y 道题，那么他最少得70分，最多得90分，因此可列出不等式组进行求解。 答案：解：（1）设小明答对了x 道题，依题意得 5x-3（20-x ）=68 解得x=16 答：小明答对了16道题。 （2）解：设小亮答对了y 道题，依题意得 ()()532070 532090 y y y y --≥??? --≤??，解得，13161844y ≤≤ ∵y 是正整数 ∴y=17或18 答：小亮答对了17道题或18道题。 点评：本题通过两个问题，考查学生列方程（组）、不等式组解决实际问题的能力，体现数学问题源自现实生活，而又为更好地解决现实问题的辩证规律。 3.（2012年四川省德阳市，第22题） 今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A 种板材48000㎡和B 种板材24000㎡的任务. ⑴如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A 种板材60㎡或B 种板材40㎡，请问：应分别安排多少人生产A 种板材和B 种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？ ⑵某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知 建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示： 问这400间板房最多能安置多少灾民？ 【解析】(1)设有x 人 生产A 种板材，则有(210-x) 人生产B 板材，根据题意列方程 4800024000 6040(210) x x = -即可求得结果． （2）设生产甲型板房m 间，根据生产A 种板材48000㎡和B 种板材24000㎡列方程组 108156(400)48000 6151(400)24000m m m m +-≤?? +-≤? 求出m 的取值范围．再设400间板房能居住的人数为W ，W=12m+10(400-m)，由一次函数在自变量的取值范围内，函数存在最值即可求出最值． 【答案】 （1）设有x 人 生产A 种板材，则有 (210-x)人生产B 板材，根据题意列方程： 48000240006040(210) x x = - 6x=8(210-x) x=120 经检验x=120是原方程的解． 210-x=210-120=90. (2)设生产甲型板房m 间，则生产乙型板房为(400-m)间．根据题意得： 108156(400)48000 6151(400)24000m m m m +-≤?? +-≤? 解得：300300360m ≤≤ 设400间板房能居住的人数为W ． W=12m+10(400-m) W=2m+4000. 八下2.6一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中，解集是2＜x ＜3的不等式组是( ) A 、???>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23x x D 、???<<23x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ，1＋a ，－a ，则a 的取值范围是（ ） A 、a ＜12 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a ＜－12 3、不等式组10235x x +??+??，②4x >，③2x <，④21x ->-，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（ ）A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组x a x b >?? B. 109m > C. 1910m > D. 1019 m > 二、填空题 9、若y 同时满足y ＋1＞0与y －2＜0，则y 的取值范围是______________. 10、不等式组3010x x -+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 ． A B C D 一元一次不等式知识点一：不等式的概念 1.不等式：用“<” (或“≤” )，“>” (或“≥” ) 等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子 也是不等式. 要点诠释：(1) 不等号的类型: ① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“>”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大； ③“<”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小； ④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数； ⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数； (2)等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。 (3)要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语 的含义。 2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。 3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 如：不等式x－4<1的解集是x<5. 不等式的解集与不等式的解的区别: 解集是能使不等式成立的未知数的取值范围, 是所有解的集合, 而不等式的解是使不等式成立的未知数的值. 二者的关系是:解集包括解, 所有的解组成了解集。 要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。 知识点二：不等式的基本性质 基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，那么。 基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，并且，那么(或)。 基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 符号语言表示为：如果，并且，那么(或) 要点诠释：(1) 不等式基本性质 1 的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握； (2) 要理解不等式的基本性质 1 中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式； (3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“>”，那么变化后仍是“>”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”； (4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘( 除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数， 如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。 知识点三：一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0. 这样的不等式，叫做一元 作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸* （1）2X-4≤X+2 与X≥3 解集为3≤X≤6 （2）2X-1＞1 与4-2X≤0 解集为无解 （3）3X+2＞5 与5-2≥1 解集为1＜X≤2 （4）X﹣1＜2 与2X+3＞2+X 解集为-1＜X＜3 （5）X+3＞1 与X﹢2（X-1）≤1 解集为-2＜X≤1 （6）2X+1≤3 与X＞-3 解集为1≤X＞-3 （7）2X+5＞1 与3X+7X≤10 解集为1≥X＞2 （8）2X-1＞X+1 与X+8＜4X-1 解集为X＞3 （9）1-2（X-1）≤5与2/（3X-2）＜X+1/2解集为-1≤X＜3 （10）2X≤4+X 与X+2＜4X-1解集为1＜X≤4 （11）2-X＞0 与2/（5X+1）+1≥3/（2X-1）解集为-1≤X ＜2 （12）1-X＜0 与2/（X-2）＜1 解集为1＜X＜4 （13）2-X＜3 与2-X≥0 解集为2≥X＞1 （14）2X+10＞-5 与6X-7≥10 解集为X＞17/6 （15）6X+6＞8 与3X+10＜5 解集为-（3/5）＞X＞-3 （16）6X+6X24 与10X+（1/2）X＜-42 解集为无解 （17）24X-20X＞4 与8X+4X≤24解集为2≥X＞1 （18）9X-5X＜8 与15X+5X＞80 解集为无解 （19）X+X≤1 与2X+（1/2）X＞100 解集为无解 （20）2011X-2012X≤1 与2013X-2012X≥1 解集为1≤X (21)4X-X＞6 与10X+5X＜15 解集为无解 （22）-5X-6X≤-22 与5X-9X≥24 解集为无解（23）（1/5）X+（1/5）X＞2/5 与X+10X＞22 解集为X＞2 （24）55X+55X＜220 与66X+10X＜38 解集为X＜1/2 （25）70X+1≤71 与53X-13X≤40 解集为X≤1 （26）X+1＜7 与X-1＞10 解集为无解 （27）5X+5＞5 与2X+3X＞9 解集为X＞9/5 （28）85X-5X ＜8 与50X+30X＜5 解集为X＜1/16 （29）2X≤14 与6X ＜6 解集为X＜1 （30）15X+15≥30 与6X-8X≥4 解集为-2≥X≥1 （31）2X≥160 与4X≥316 解集为X≥80 （32）35X-27X ＞136 与20X+20X＜800解集为20＞X＞17 （33）55X≤165 与56X＞112 解集为2＜X≤3 （34）20X+18X≥76 与2X≥2 解集为X≥2 （35）59X+X＞600 与55X+35X＜1350 解集为10＜X＜ 一、选择题 1．PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm =0.000001m ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们还有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响．2.3μm 用科学记数法可表示为（ ） A ．23×10﹣5m B ．2.3×10﹣5m C ．2.3×10﹣6m D ．0.23×10﹣7m 2．计算1÷ 11m m +-(m 2 －1)的结果是( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－1 3．如图，设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 （a ＞b ＞0），则有 （ ） 甲 乙 甲 （A ）k ＞2 （B ）1＜k ＜2 （C ）121< 10．若分式 的值为零，则x 的值为（ ） A ．0 B ．﹣2 C ．2 D ．﹣2或2 11．分式 (a 、b 均为正数)，字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( ) A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的 C ．不变 D ．缩小为原来的 12．在 2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中，分式的个数为（ ） A ．1 B.2 C.3 D ．4 13．若a ＝－0.3－2 ，b ＝－3－2 ，c ＝(－ 13)－2，d ＝(－13 )0 ，则( ) A ．a ＜d ＜c ＜b B ．b ＜a ＜d ＜c C ．a ＜d ＜c ＜b D ．a ＜b ＜d ＜c 14．如果为整数，那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 15．下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中，是分式的是 A ． y 2 B ． 11 a - C ．x D ． 13π 16．把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍，那么这个代数式的值 A ．不变 B ．扩大3倍 C ．扩大6倍 D ．缩小到原来的 13 17．已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3，则用科学记数法表示该数为（ ）g /cm 3． A ．1.239×10﹣3 B ．1.2×10﹣3 C ．1.239×10﹣2 D ．1.239×10﹣4 18．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( ) A ． 2 1 a a + B ． 21 1 a a -+ C ． 21 1 a - D ． 11 a + 19．下列式子：2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 20．若分式 的值为0，则x 的值是（ ） A ．3 B -3 C ．4 D ．-4 21．已知实数 a ， b ，c 均不为零，且满足 a ＋ b ＋c=0，则 一元一次不等式教学设计（第1课时） 安徽省淮南市平圩中学李芬 教学目标： （1）了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集 （2）在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法的过程中，加深对类比和化归思想的体会． 教学重点： 一元一次不等式的解法． 解一元一次不等式与解一元一次方程在本质上是相同的，即依据不等式的性质，逐步将不等式化为x＞a或x＜a的形式，从而确定未知数的取值范围，这一化繁为简的过程，充分体现了化归的思想。 教学难点： 解一元一次不等式步骤的确定 通过前面的学习，学生已掌握一元一次方程概念及解法，对解一元一次方程的化归思想有所体会但还不够深刻．因此，运用化归思想把形式复杂的不等式转化为x＞a或x＜a的形式，对学生有一定的难度．所以，教师需引导学生类比解一元一次方程的步骤，分析形式复杂的一元一次不等式的结构特征，并与化简目标进行比较，逐步将不等式变形为最简形式． 教学过程设计 （一）引课 课件展示鲁班发明锯子的过程，提出类比思想 温故知新 给“一元一次方程”一个完美的定义 1.什么叫一元一次方程？ 答：只含一个未知数、并且未知数的指数是1的方程. 2.一元一次方程是一个等式，请问一元一次方程的(等号)两边都是怎样的式子？答：一元一次方程的(等号)两边都是整式、只含一个未知数，并且未知数的指数是1. 3.一元一次方程的(完美) 定义： 【一元一次方程】“只含一个未知数、并且未知数的指数是1”的整式方程. 知识讲解 观察下列不等式： （1）2x-2.5≥15；（2）x≤8.75； （3）x<4；（4）5+3x>240. 这些不等式有哪些共同特点？ 共同特点：这些不等式的两边都是整式，只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1 . 学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比． 师生共同归纳获得：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一 一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空： 当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE． ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值． (3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(222)或(222)，AM的最大值为2+4． 【解析】 【分析】 （1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2） ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标． 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b， ∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b， 故答案为CB的延长线上，a+b； (2)①CD＝BE， 理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， 即∠CAD＝∠EAB， 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x ≥5 ② 2x-y ＜0 ③ ④ -3＜0 ⑤ x=3 ⑥ ⑦ x ≠5 ⑧02x 3-x 2＞+ ⑨ 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a 是非负数可表示为 . ②.m 的5倍不大于3可表示为 . ③.x 与17的和比它的2倍小可表示为 . ④.x 和y 的差是正数可表示为 . ⑤.x 的 与12的差最少是6可表示为__________________. 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若a ＞b ，ac ＞bc ，则c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若a ＞b ，ac ＜bc ，则c 0. 4、如果不等式两边同乘以0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由3a>2得a> 理由： . ②. 由a+7>0得a>-7 理由： . ③.由-5a<1得a> 理由： . ④.由4a>3a+1得a>1 理由： . 2、若x ＞y ，则下列式子错误的是（ ） 352 ≥+x 5 3 32 5 1 -2 2y xy x ++0 y x ≥+ A.x-3＞y-3 B. ＞ C. x+3＞y+3 D.-3x ＞-3y 3、判断正误 ①. 若a ＞b ，b ＜c 则a ＞c. （ ） ②.若a ＞b ，则ac ＞bc. （ ） ③.若 ，则a ＞b. （ ） ④. 若a ＞b ，则 . （ ） ⑤.若a ＞b ，则 （ ） ⑥. 若a ＞b ，若c 是个自然数，则ac ＞bc. （ ） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（ ） A.x=2是不等式x+3＜2的解 B.x =3是不等式3x ＜7的解。 C.不等式3x ＜7的解是x ＜2 D.x=3是不等式3x ≥9的解 2.下列说法错误的是（ ） A.不等式x ＜2的正整数解只有一个 B.-2是不等式2x-1＜0的一个解 C.不等式-3x ＞9的解集是x ＞-3 D.不等式x ＜10的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一 会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5的解集是 . 2、不等式x ≤4的非负整数解是 . 3、不等式2x-3≤0的解集为 . 题型二 知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x ＜（a-1）的解集是x ＜1，那么a 的取值范围是 . 3、若(a-1)x ＞1，，则a 的取值范围是 . 考点四、解不等式 1、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 2、用数轴表示不等式解的方法 22bc ac ＞）（）＞（1c b 1c a 22++3 x 3y 22bc ac ＞1 -a 1x ＜ 含参数一元一次不等式（组）的解法 1、若关于x 的不等式2)1(≥-x a ，可化为a x -≤12，则a 的取值范围是多少？ 2 、关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是？ 3、关于x 的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，则m 的整数值是多少？ 4、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是多少？ 5、己知不等式 )2(211)5(21+≥--ax x 的解集是2 1≥x ，试求a 的值？ 6、关于x 的不等式2x －a ≤0的正整数解恰好是1、2、3、4，则m 的取值是多少？ 7、已知关于x ，y 的方程组?? ?-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 8、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 对应练习1、不等式组???+>+<+1 ,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是 ． 对应练习2、若不等式组? ??>≤ 对应练习：若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,3215只有4个整数解，求a 的取值范围． 10、k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10? 二、 应用题 1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2、某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 一元一次不等式组计算题 1. ???-≤+>+1 45321x x x x 2. 31422x x x ->??<+? 3. 512324x x x x ->+??+-??+<-? 5. 230 320x x -? 6. 23182x x x >-??-≤-? 7. 253(2)123x x x x +≤+??-? 9. ?? ???-≤-+>+31 2214513x x x x ）（ 10. ?????>+-≥+x x x x 4121213）（ ）（ 11. ?? ? ??+<-<->+4 120520 13x x x x 12. ?????+<++≤--->+3.22.05.02832)1(42x x x x x x 13. ? ??-≤+>+145321x x x x 14. 314,2 2.x x x ->??<+? 15. 230320x x -? 16. 512,324.x x x x ->+??+ 17. 21, 24 1.x x x x >-??+<-? 18. 2 51,3311.48x x x x ?+>-????-<-?? 19. 3(2)451312 x x x x x -+? 21. ?????-≥-->+35663 4)1(513x x x x 22. ??? ??-≤-+>+3122145)1(3x x x x 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x （1）2X-4≤X+2 与X≥3 解集为3≤X≤6 （2）2X-1＞1 与 4-2X≤0 解集为无解 （3）3X+2＞5 与 5-2≥1 解集为1＜X≤2 （4）X﹣1＜2 与 2X+3＞2+X 解集为-1＜X＜3 （5）X+3＞1 与 X﹢2（X-1）≤1 解集为-2＜X≤1 （6）2X+1≤3 与 X＞-3 解集为1≤X＞-3 （7）2X+5＞1 与3X+7X≤10 解集为1≥X＞2 （8）2X-1＞X+1 与 X+8＜4X-1 解集为X＞3 （9）1-2（X-1）≤5与2/（3X-2）＜X+1/2解集为-1≤X＜3 （10）2X≤4+X 与 X+2＜4X-1解集为1＜X≤4 （11）2-X＞0 与 2/（5X+1）+1≥3/（2X-1）解集为-1≤X＜2 （12）1-X＜0 与 2/（X-2）＜1 解集为1＜X＜4 （13）2-X＜3 与 2-X≥0 解集为2≥X＞1 （14）2X+10＞-5 与 6X-7≥10 解集为X＞17/6 （15）6X+6＞8 与 3X+10＜5 解集为-（3/5）＞X＞-3 （16）6X+6X24 与 10X+（1/2）X＜-42 解集为无解 （17）24X-20X＞4 与8X+4X≤24解集为2≥X＞1 （18）9X-5X＜8 与 15X+5X＞80 解集为无解 （19）X+X≤1 与 2X+（1/2）X＞100 解集为无解 （20）2011X-2012X≤1 与 2013X-2012X≥1 解集为1≤X (21)4X-X＞6 与 10X+5X＜15 解集为无解 （22）-5X-6X≤-22 与 5X-9X≥24 解集为无解（23）（1/5）X+（1/5）X＞2/5 与 X+10X＞22 解集为X＞2 （24）55X+55X＜220 与 66X+10X＜38 解集为X＜1/2 （25）70X+1≤71 与 53X-13X≤40 解集为X≤1 （26）X+1＜7 与 X-1＞10 解集为无解 （27）5X+5＞5 与 2X+3X＞9 解集为X＞9/5 （28）85X-5X＜8 与 50X+30X＜5 解集为X＜1/16 （29）2X≤14 与 6X＜6 解集为X＜1 （30）15X+15≥30 与 6X-8X≥4 解集为-2≥X≥1 （31）2X≥160 与4X≥316 解集为X≥80 （32）35X-27X＞136 与 20X+20X＜800解集为20＞X＞17 （33）55X≤165 与 56X＞112 解集为2＜X≤3 （34）20X+18X≥76 与2X≥2 解集为X≥2 （35）59X+X＞600 与 55X+35X＜1350 解集为10＜X＜15 （36）60X＜120 与 5X+5X＜10 解集为X＜1 （37）100X＜20X+1200 与 2X＜30X+10 解集为X＜5/14 （ 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是（ C ） A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是（ A ） A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度（ B ） A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有（ B ） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是（ C ） A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时，有一个交点 B 、1±≠m 时，有两个交 C 、当1±=m 时，有一个交点 D 、不论m 为何值，均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r （R>r ），圆心距为d ，且(d-r)2=R 2 ，则两圆的位置关系是（ B ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 1. ???-≤+>+1 45321x x x x 31422x x x ->??<+? 512324x x x x ->+??+-??+<-? 5. 230320x x -? 23182x x x >-??-≤-? 253(2)12 3x x x x +≤+??-?+31 22 14513x x x x ）（ ?????>+-≥+x x x x 4121213）（）（ ?????+<-<->+412052013x x x x . ?? ? ??+<++≤--->+3 .22.05.02832)1(42x x x x x x ???-≤+>+145321x x x x 314,2 2.x x x ->??<+? 230320x x -? 512,324.x x x x ->+??+-??+<-? 2 51,3311.48x x x x ?+>-????-<-?? 19. 3(2)451312 x x x x x -+? ?????-≥-->+356634)1(513x x x x ?????-≤-+>+3122145)1(3x x x x ???????-<-+<-.3212 112)2(31x x x x . 253(2)123x x x x +≤+??-?-? ? ???≤+-<+51148x x x 270≤523x -≤1 －1＜213-x ≤4 初中数学代数式易错题汇编及答案解析 一、选择题 1．已知：()()22x 1x 32x px q +-=++，则p ，q 的值分别为（ ） A ．5，3 B ．5，?3 C ．?5，3 D ．?5， ?3 【答案】D 【解析】 【分析】 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p 、q 的值． 【详解】 由于()()2x 1x 3+-=2x 2-6x+x-3=2 x 2-5x-3=22x px q ++， 则p=-5,q=-3, 故答案选D. 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键． 2．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ） A ．20 B ．27 C ．35 D ．40 【答案】B 【解析】 试题解析：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个， 第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个， 第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个， …， 按此规律， 第n 个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=(3)2 n n +个， 则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个． 故选B ． 考点：规律型：图形变化类. 3．下列运算正确的是（） A ．336a a a += B ．632a a a ÷= C ．()235a a a -?=- D ．()336a a = 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求出每个式子的值，3332a a a +=，633a a a ÷=，()235a a a -?=-，()339a a =再进行判断即可. 【详解】 解：A: 3332a a a +=，故选项A 错； B ：633a a a ÷=，故选项B 错； C ：()235a a a -?=-，故本选项正确； D.：()339a a =，故选项D 错误. 故答案为C. 【点睛】 本题考查了同底数幂的乘除，合并同类项，幂的乘方和积的乘方的应用；掌握乘方的概念，即求n 个相同因数的乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂；分清()22n n a a -=，() 2121n n a a ++-=-. 4．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ） A ．（11，3） B ．（3，11） C ．（11，9） D ．（9，11） 【答案】A 【解析】 试题分析：根据排列规律可知从1开始，第N 排排N 个数，呈蛇形顺序接力，第1排1个数；第2排2个数；第3排3个数；第4排4个数 根据此规律即可得出结论． 解：根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以58在第11排；偶数排从左到右由大到小，奇数排从左到右由小到大，所以58应该在11排的从左到右第3个数． 故选A ． 考点：坐标确定位置． 一元一次不等式和一元一次不等式组 1.某同学说213a a -+一定比21a -大，你认为对吗？说明理由。 2.已知方程组231 21x y m x y m +=+??-=-? （1） 请列出x>y 成立的关于m 的不等式。 （2） 运用不等式的基本性质将此不等式化为m>a 或m+-的解集为x<-1，求a 的取值范围。 4.已知关于x 的一元一次方程4131x m x -+=-的解都是负数，求m 的取值范围. 5.如果关于x 的不等式(1)524.a x a x a -<+<和的解集相同，求的值 6.x 取哪些非负整数时，32 2x -的值不小于21 3x +与1的差。 7.m 取何值时，关于x 的方程6151 632x m m x ---=-的解大于1？ 8.如果方程组241 2 2x y m x y m -=+??-=-?的解满足3x-y>0，求m 的取值范围. 9.若关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3) 4 3(4)14(-=+x a x a 的解，求a 的取值范围． 10.不等式组???+> +<+1, 159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是 ． 11.对于整数a ，b ，c ，d ，定义bd ac c d b a -=，已知3411< 四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题： 一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a ， 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ） （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折： 折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题： （1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间 （2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和 （4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和 一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】 （1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】 （1）设平均每次下调x%，则 7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠． 2．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12 - . 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可. 试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣ 12 ． 3．已知关于x 的一元二次方程()2 2 2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围； ()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值． 【答案】（1）13 4 k ≤；（2）2k =-． 【解析】 一元一次不等式应用题 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式； ⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。 一．分配问题： 1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？ 2 .把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？ 3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。 4．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？ 5. 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 6.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。 （1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组： （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？ 二速度、时间问题 1爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？ 3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？精选一元一次不等式组练习题及答案
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