第27卷第3期V ol.27 No.3 工程力学
2010年 3 月Mar. 2010 ENGINEERING MECHANICS 116 文章编号：1000-4750(2010)03-0116-07
老化沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型研究
郑健龙1，马健1,2，*吕松涛1，钱国平1，田小革1
(1. 长沙理工大学交通运输工程学院，长沙 410004；2. 河南省交通厅，郑州 450052)
摘要：为了较真实反映沥青路面服务期的疲劳损伤特性，从粘弹性材料的基本特性出发，通过本构方程和耗散能的定义构造了耗散能的泛函，定义耗散能为损伤变量，建立基于Burgers模型的老化沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型，通过直接拉伸试验确定沥青混合料的粘弹性参数，求出损伤函数、损伤演化方程，提出一种考虑疲劳过程中老化程度对疲劳损伤影响的累积疲劳损伤计算理论与方法，为沥青混合料在不同老化程度下的疲劳寿命预估提供了依据。根据疲劳损伤模型推导出沥青混合料临界损伤度、疲劳寿命计算公式，并对其进行计算比较，精度满足要求，从而验证了粘弹性疲劳损伤模型的合理性。
关键词：沥青路面；疲劳损伤；损伤变量；损伤演化方程；粘弹性；蠕变柔量；累积耗散能
中图分类号：U416.217 文献标识码：A
RESEARCH ON VISCOELASTIC FATIGUE DAMAGE MODEL OF AGING
ASPHALT MIXTURES
ZHENG Jian-long1 , MA Jian1,2 , *LU Song-tao1 , QIAN Guo-ping1 , TIAN Xiao-ge1
(1. School of Communication and Transportation Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410004, China;
2. Henan Provincial Communications Department, Zhengzhou 450052, China)
Abstract: In order more practically to reflect the fatigue damage characteristics of the asphalt pavement during the course of service，from the basic characters of viscoelastic material, the dissipation functional is constructed based on the constitutive equation and the definition of dissipation energy. Taking definite dissipation energy as a damage variable, the viscoelastic fatigue damage model is established for aging asphalt mixture based on Burgers model. The viscoelastic parameters are identified through Direct Tensile Test. The damage function and damage evolution equation are calculated. The calculation theory and method of cumulative fatigue damage, which consider the aging effects to the fatigue damage, are proposed. It provides a basis for fatigue life predictions about the asphalt mixture under different aging degrees. The critical fatigue damage degree and fatigue life calculation formula are derived by employing the fatigue damage model, which are calculated and compared, the accuracy meets the requirements, which verifies the rationality of the viscoelastic fatigue damage model.
Key words: asphalt pavement; fatigue damage; damage variable; damage evolution equation; viscoelasticity;
creep compliance; cumulative dissipated energy
———————————————
收稿日期：2008-10-29；修改日期：2009-04-07
基金项目：国家自然科学基金项目(50778026)；高等学校博士学科点专项科研基金项目(20050536001)
作者简介：郑健龙(1954―)，男，湖南人，教授，博士，博导，校长，中国力学学会理事，湖南省力学学会副理事长，从事道路工程和固体力学研究(E-mail: zjl@https://www.doczj.com/doc/088981080.html,)；
马健(1965―)，男，山西阳城人，教授级高工，博士生，厅总工程师，从事路桥工程研究(E-mail: majian@https://www.doczj.com/doc/088981080.html,)；
*吕松涛(1979―)，男，河南郑州人，讲师，博士，从事路基路面工程研究(E-mail: lstcs@https://www.doczj.com/doc/088981080.html,)；
钱国平(1975―)，男，山东潍坊人，副教授，博士，从事路基路面工程研究(E-mail: guopingqian@https://www.doczj.com/doc/088981080.html,)；
田小革(1970―)，男，湖北武汉人，教授，博士，从事路基路面工程研究(E-mail: txgcs@https://www.doczj.com/doc/088981080.html,).
工程力学 117
沥青路面具有优良的路用性能，在对路面舒适度要求越来越高的今天，其在道路工程中的运用前景十分可观。为了设计出性能优异、结构合理而又耐久的沥青路面，离不开对沥青混合料老化性能的认识。虽然道路工作者早就认识到了沥青混合料老化对于沥青路用性能的影响，并对此进行了大量的工作，但随着沥青混合料的老化，其各项路用性能的变化规律如何，尚且没有较权威的结论，可供参考的的研究成果也不多见。
SHRP提出的沥青混合料老化试验方法，即松散混合料在135℃、4h强制通风条件下烘箱加热(短期老化STOA)和成型的试件在85℃、5d强制通风条件下的延时烘箱加热(长期老化LTOA)是室内模拟沥青混合料在施工和使用期老化的有效方法[1―4]。由于沥青混合料的老化试验和疲劳试验都要耗费大量的时间和费用，在沥青混合料疲劳性能研究方面大都没考虑老化因素的影响，研究起来也比较复杂，目前国内外对沥青混合料疲劳性能的研究大都停留在对其结果-疲劳寿命与疲劳影响因素之间关系的研究，而疲劳过程中的应力-应变变化规律如何则研究的比较少，对于疲劳损伤的研究大都采用经典的弹性损伤模型，采用粘弹性力学方法分析的也就更少了。
沥青路面达到疲劳破坏时路面结构已经经历了一定时期的短期与长期老化，沥青混合料的疲劳性能是沥青混合料在不同老化程度下性能的一个反映，评价沥青混合料的疲劳性能应该在不同的老化程度下分别进行试验、理论的研究，从而真实的反映材料的疲劳性能，而目前的大多试验都没有充分考虑沥青混合料的不同老化程度，均用未老化的沥青混合料来进行疲劳试验分析，这样一来就会和实际的路面疲劳性能有较大差别，为了减少这种差别，较真实地反映实际路面的疲劳性能，很有必要进行考虑老化效应的沥青混合料疲劳特性研究。
到目前为止，世界各国的沥青路面设计中均未能准确考虑沥青混合料老化问题，从而在沥青路面疲劳寿命的研究中也就不能准确考虑沥青混合料老化的影响。可以说，对不同老化程度下沥青混合料的疲劳性能进行研究，为正确确定沥青混合料的设计参数、设计方法，防止沥青路面的早期破坏，提高沥青路面的路用性能，延长沥青路面的使用寿命将起到积极的作用。
大量的研究表明沥青混合料是一种热流变简单材料，具有粘弹性性质，其应力-应变力学响应依赖于加载历史和环境温度，其损伤演化特征就与经典损伤理论所表述的不同，如经典的弹性损伤模型无法表述加载频率、加载顺序等因素对损伤发展的影响，需要建立基于材料粘弹性特性的损伤模型。国外在粘弹性损伤模型的建立及其工程应用方面已经做了不少研究工作，而国内在这方面的研究还不多见，特别是对于沥青混合料疲劳损伤的研究，则大都采用经典的弹性损伤模型。
经典的疲劳损伤模型大多是针对线弹性材料提出的，损伤演化方程中大都只含有应力-应变因子，而实际上沥青混合料的力学性质除与荷载大小有关外还与环境温度、加载历史、加载频率以及老化等密切相关。从损伤的角度来看，其它条件相同时，高温和低温产生的损伤也必定不同[5―8]。因此，利用传统的疲劳损伤模型来分析沥青混合料的疲劳损伤问题是不可能准确反映其损伤演化规律的，需要针对沥青混合料的粘弹性性质提出专门的粘弹性疲劳损伤模型。
1 考虑损伤的能量耗散率计算方法
由于损伤的累积作用，在单位循环内沥青混合料的劲度模量将逐渐衰减、蠕变柔量将逐渐增加，假设在单位循环内劲度模量、蠕变柔量按线性规律发生变化，对于应力控制的疲劳试验，令第n个单位循环内任意时刻t的蠕变柔量为：
**
**1
11
1
()
n n
n n
n n
J J
J J t T
T T
?
??
?
?
=+?
?
||||
|||| (1) 令疲劳试验时的交变应力为σ(t)=σsinωt，交变应变为ε(t)=|J*|σsin(ωt+?)=|J*|σ(cosωt sinφ+sinωt?cosφ)，则第n个循环周期内的能量耗散率ΔW n为：
1
1
*22
()d()
sin cos cos cos sin d n
n
n
n
T
n
T
T
T
W t t
J t t t t εσ
σωωω?ω?
?
?
Δ==
??
??
+
??
??∫
∫
第一项第二项
||
(2)
将式(1)代入式(2)，第一项积分结果为：
1
*2
1
sin cos cos d
n
n
T
n
T
W J t t t
σωωω?
?
Δ==
∫||
1
****
111
11
n
n
T
n n n n n n
n n n n
T
J T J T J J
t
T T T T
?
???
??
??
??
+?
??
??
??
∫||||||||
118 工 程 力 学
2sin cos cos d t t t σωωω?=
12**
2
111cos ()()44
n n n n J J J J σ?σ????
=
?||||
(3)
式中：J 1n ?1、J 1n 分别为第T n ?1、T n 周期末的储能柔量。第二项积分结果为：
1****11
121
1
2
1cos 2sin d 2
n
n T n
n n n n n n n n n n T J T J T J J W t T T T T t
t ωσω?????????
??Δ=
+
??
????
?+=
∫||||||||
1****
111112
2
*
*1sin sin 1
1d 2222n n T n n n n n n n n n n T n n J T J T J J t T T T T t J T J T σω?
σω????????????+??????
???=
+=????
∫||||||||||||
2*
22sin n n J J σ?σπ=π|| (4)
式中：
n J ||为*J ||在周期T n ?1―T n 内的均值；2n J 为周期T n ?1―T n 内耗散柔量的均值。
则在第n 个循环内的能量耗散率为：
12
2112()4n n n n W J J J σ
σ?Δ=
?+π (5) 荷载作用到第N 个循环的累积耗散能为前N 个循环能量耗散率的累加，即：
02221111()4n N N N
N n n n W W J J J σσ===Δ=π+?∑∑ (6) 由式(6)可以看出，荷载作用到第N 个循环的累
积耗散能由两部分组成：一部分由粘性部分所产生
(如式(6)第一项)，称为粘性能耗；另一部分由弹性部分所产生，称为弹性能耗，产生弹性能耗是由于
损伤的作用改变了沥青混合料蠕变柔量的大小，从
而改变了储能柔量J 1的大小(如式(6)第二项)，从而在卸载过程中能量没有全部被释放，部分能量被产生的损伤所吸收。
比较式(6)的第一项第与第二项可以发现，第二
项远小于第一项，即在疲劳破坏时弹性能耗远小于粘性能耗，因此为计算方便可略去弹性能耗对总能
耗的影响。由应变等效原理引入损伤D ，则式(6)
可简化为：
222
1()
(1)
N
N n n J W D σω=π=?∑ (7) 式(7)即为考虑损伤时单位循环的能量耗散率
计算公式。如果不考虑损伤，可以认为滞回环仅由
材料粘弹性性质引起，则由粘弹性力学理论可知每
周期耗散能恒定，在考虑损伤的情况下，损伤随着
循环次数增加而不断增长，每周期的能量耗散率也随之增长，这与试验测试的结果相吻合，式(7)正好反映了这种规律。
2 沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型
建立
2.1 损伤变量的定义
定义荷载循环到第N 次时材料内部产生的损伤等于前N 次循环的能量耗散率之和与该应力水平下材料的累积耗散能之比，即：
/f N N N D W W = (8)
式中：D N 为荷载作用到第N 次时的损伤值；W N 为荷载作用到第N 次时的耗散能，1
N
N dk k W W ==
Δ∑，
ΔW dk 为第k 个循环的能量耗散率；f N W 为某一试验条件下材料的总失效吸收能，即累积耗散能。
对于半正矢应力控制疲劳试验，荷载循环到第
N 次时的耗散能按照式(7)的推导方法可得：
222
11()
4(1)N N
N n n n n
J W W D σω==π=Δ=?∑∑ (9) 令22()4
J M σωπ=
，则式(9)变为： 211(1)N N
N n n n n
M
W W D ===Δ=?∑∑ (10) 由积分的求和定义：
220111
d (1)(1)N N n n n
n D D ==??∑∫ (11) 将式(11)代入式(10)得：
2201d (1)
(1)N N N n n n M M
W n D D ===??∑∫ (12) 则：
2[1()]
N W M
N D N ?=?? (13) 2.2 粘弹性疲劳损伤模型的建立
文献[5,9]指出对于采用耗散能定义的损伤变
量，其损伤演化方程满足如下的表达式： d /d (/)N D N W N β=?? (14) 式中，β为材料参数，对粘弹性材料来讲与温度、
老化程度和加载频率有关。
将式(13)代入式(14)得：
2d /d {/[1()]}D N M D N β=? (15)
工 程 力 学 119
比较式(6)、式(9)与式(15)可以发现，三者损伤演化率表达形式一致，即所表达的损伤演化规律 相同。
积分式(15)可得：
112()1[1(12)/]D N N M ββ
β?+=??+ (16)
当疲劳破坏时，损伤包含疲劳损伤和强度破坏造成的损伤两部分，临近疲劳破坏即在第N f ?1次时，疲劳损伤达到0.9附近，试件在最后一次荷载作用下发生强度破坏，试件一次被拉断，此时材料的损伤为疲劳损伤和强度破坏造成的损伤两部分之和，认为损伤D 达到1，对应的荷载作用次数定义为疲劳寿命N f ，因此，将D=1, N=N f 代入式(16)得疲劳寿命N f 的计算公式为：
/(12)f N M ββ?=+ (17)
将式(17)代入式(16)得：
111212(12)()1111f N N
D N N M β
β
ββ
++???+??=??
=??
????????
??
(18)
式(18)即为沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型表达式，其与文献[10]提到的常用的疲劳损伤模型
()D N =1/(1)1(1/)f N N αγ++??表达形式类似，α和γ
是与温度相关的材料参数，而式(18)中的β不仅与温度有关，而且与加载频率和老化程度有关，可以表征老化沥青混合料的粘弹性疲劳损伤性能。
通过上面的推导分析，只要确定了粘弹性参数
η1、η2、E 2，Burgers 模型的损耗柔量J 2(ω)即可求，
从而变量M 即可确定；然后将疲劳试验得到的疲劳寿命N f 与M 对式(17)拟合可得到粘弹性疲劳损伤参数β；则式(16)或式(18)所表示的沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型即可求得，进而可以对疲劳寿命进行预估。
从上面的分析过程可以看出，粘弹性疲劳损伤参数β与粘弹性参数和应力幅值有关，而粘弹性参数与试验温度、加载频率和老化程度等因素有关，因此本粘弹性疲劳损伤模型与温度、加载频率、应力幅值和老化程度等因素有关，可以表征不同加载状况和老化程度下的沥青混合料疲劳损伤演化 规律。
2.3 粘弹性疲劳损伤模型分析
由连续疲劳损伤的物理意义可知，合理的疲劳损伤的损伤函数应满足以下基本条件[11―12]
：
1) 对于初始未损伤状态，损伤变量D =0，疲劳破坏时(对应宏观裂纹形成)，损伤变量D =1，即：
0,0;,1f N D N N D ==== (19)
2) 疲劳损伤是不可逆的能耗过程，随着循环加载的进行，其损伤是单调递增的，即：
/0D N ??> (20) 3) 在同种损伤的条件下，大载荷作用一周造成的疲劳损伤应大于小载荷作用一周造成的损伤，即：
2/()0D N σ???> (21)
检验式(18)：
当N =0时，D =0；当N =N f 时，D =1，即满足条件1)。
将式(18)对循环次数N 求导，得：
2/(12)
110(12)f f D
N N N N βββ+???=?>?????+?? (22) 满足条件2)。
式(22)即为损伤演化方程，同时也说明了损伤的演化与循环次数N 有关，即损伤为非线性；
将式(22)两边取对数，然后再两边求导得：
22(12)()1(12)()f f f f N N N N D
D N N N N N ββσ
β′?+?????=??
???+??? (23) 由式(17)及M =3πσ2/(4ηω)可得：
160124f f N M N ββσσβηω???π′==?
因此，由式(23)及式(24)可知2/()0D N σ???>，即满足条件3)。
可见式(16)或式(18)是满足疲劳损伤函数应满足的基本条件的，从而证明了所建立的沥青混合料粘弹性疲劳损伤演化方程是合理的。
3 老化沥青混合料粘弹性疲劳模型
分析
3.1 老化沥青混合料疲劳试验简介及粘弹性参数
的确定
SHRP 提出的长期老化(LTOA)试验方法是延时烘箱加热法，但其试验条件是固定的，即烘箱温度为85℃、老化时间为5d ，模拟的是实际路面6a ―9a 的老化程度，这个试验条件对疲劳试验是不合适的，因为疲劳破坏不一定都在路面使用6a ―9a 内发生，有可能在路面使用初期，也有可能在路面使用后期。而在路面使用后期，老化程度的增加幅度比
120 工 程 力 学
较缓慢。因此，本文在不同老化程度的确定时将选取未老化0d 以及老化时间分别为1d 、3d 、5d 、7d 的5个不同老化程度，以期能够较真实地模拟疲劳破坏时的路面实际不同老化状态。
疲劳试验采用从美国进口的MTS-810 (Material Test System-810)材料试验系统进行，本文主要分析老化对沥青混合料疲劳损伤规律的影响，所以在确定的试验影响因素时内部因素只考虑老化程度，外部因素只考虑应力水平；其它因素取常用的值及方式，具体如表1所示。
表1 疲劳试验方案 Table 1 Fatigue test scheme
因素名称 因素水平值个数
因素的水平值 应力水平 6
0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8
试验温度/(℃) 1 15 加载频率/Hz 1 10 老化程度/d 5 0, 1, 3, 5, 7 沥青品种 1 70
沥青用量/(%) 1 3.9(由配合比确定)
混合料级配 1 AC －25C 孔隙率/(%)
1
4.2(由配合比确定)
一维情况下，Burgers 模型的损耗柔量J 2(ω)表达式为：
22222
1221
()J E ηω
ωηω
ηω
=
+
+ (25) 式中：η1、η2、E 2为Burgers 模型的粘弹性参数
[13]
。
通过相关力学试验可以确定Burgers 模型的粘弹性参数E 1、E 2、η1、η2，本文利用直接拉伸试验结果来进行，通过采用Levenberg-Marquardt 法(简称L-M 法)利用Origin 软件对试验结果进行拟合来确定粘弹性参数。粘弹性参数拟合结果如表2所示。
表2 不同老化程度沥青混合料粘弹性参数表
Table 2 Viscoelastic parameters of different aging degrees for
asphalt mixture
老化程度h /d
储能模量E 1/MPa
损耗模量E 2/MPa
粘滞系数η1/(MPa·s) 粘滞系数η2/(MPa·s)
R 2 0 1238.590 4742275.5232996.490 1500009.90.9911 3695.392 4742275.5233023.100 15141.9990.8273 3113.400 4742275.5233583.401 15141.9990.9905 4504734.875 4742275.5232732.798 15141.9990.8887 699251.301 4742275.5232881.006 15141.999
0.794
将表2中的Burgers 模型的粘弹性参数E 1、E 2、
η1、η2对老化程度h 进行拟合得到粘弹性参数随老
化程度的变化规律E 1(h )、E 2(h )、η1(h )、η2(h )，将E 1(h )、E 2(h )、η1(h )、η2(h )代入Burgers 模型的损耗柔量J 2(ω)表达式(25)得考虑老化效应的沥青混合料损耗柔量2(,)J h ω：
22222
122()1
(,)()()()h J h h E h h ηωωηωηω=
++ (26)
3.2 老化沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型参数的
确定
利用不同老化程度下的沥青混合料应力幅值
σ =S t ×t 可由抗拉强度值S t 和对应的疲劳应力水平值t 确定出，M =πσ 2J 2(ω)/4中的应力幅值σ =S t ×t ，角频率ω =2πf =20π，不同老化程度试验条件下的M
值计算结果如表3所示。
表3 不同试验条件下M 值计算结果
Table 3 Calculation results of M under different test conditions
老化程度h /d
名义应力 水平
应力幅值
σ /MPa
M 值/(×10?7)
疲劳寿命 N f /次
0 0.4 0.3192 4.259 6056 0 0.5 0.399 6.654 4999 0 0.6 0.4788 9.582 3218 0 0.7 0.5586 13.04 2486 0 0.8 0.6384 17.04 1150 1 0.4 0.3892 6.312 17593 1 0.5 0.4865 9.862 17185 1 0.6 0.5838 14.2 9544 3 0.4 0.4284 19.33 7684 3 0.5 0.5355 25.25 4534 3 0.6 0.6426 6.461 2535 3 0.7 0.7497 10.09 1422 5 0.4 0.5572 14.54 5728 5 0.5 0.6965 19.79 2777 5 0.7 0.9751 14.3 358 7 0.4 0.7168 22.34 3512 7 0.5 0.896 43.79 981 7 0.7 1.2544 22.46 123 7 0.8 1.4336 35.09 79
利用不同老化程度下的疲劳寿命N f 与M 对 式(17)分别进行拟合，得到不同老化程度沥青混合料粘弹性疲劳损伤参数β如下表4所示。
表4 沥青混合料粘弹性疲劳损伤参数表 Table 4 Viscoelastic fatigue damage parameters of asphalt
mixture
老化程度h /d
0 1 3 5 7 β
0.648 0.729 0.653 0.624 0.569
将沥青混合料粘弹性疲劳损伤参数β对老化程度h 采用四次多项式进行拟合，拟合结果如图1所示。
拟合得到沥青混合料粘弹性疲劳损伤参数β与老化程度h 的函数关系为：
β(h )=0.648+0.171h ?0.111h 2+0.023h 3?0.002h 4， R 2=0.999。 (27) 从表4及图1可以看出，沥青混合料粘弹性疲劳损伤参数β随着老化程度的增加先增加后减小。
工 程 力 学 121
若疲劳试验温度不同，则参数β也将随着温度的变化而变化，也就是说沥青混合料粘弹性疲劳损伤参数β与老化程度h 和试验温度T 有关。
3.3 老化沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型的建立
从前面的分析可以看出，在其它试验条件(如温度、加载频率等)一定的情况下沥青混合料的粘弹性参数E 1、E 2、η1、η2及疲劳损伤参数β 均为老化程度h 的函数，则可得考虑老化效应的沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型：
1
12()
()
[12()](,)11h h N h D N h M βββ+?+??=??????
(28) 式中：22(,)
4
J h M σωπ=
， 22222
122()1
(,)()()()h J h h E h h ηωωηωηω=++。
4 沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型
的验证
4.1 疲劳寿命验证
通过沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型对其疲劳寿命进行预估，并将预估值与试验值进行比较，从而达到验证模型的目的。
将2
2()
4
J M σωπ=
代入疲劳寿命预估方程 式(17)可得：
22()1112124f J w N M β
β
σββ????π==??
++??
(29)
式中：222221221
()J E ηωωηωηω
=
++。 前面的分析已得到了不同老化程度沥青混合料的粘弹性参数E 1、E 2、η1、η2及疲劳损伤参数β，将此代入式(29)即可对不同老化程度和应力水平下的疲劳寿命进行预估。
为了验证模型的正确性，举例对未老化沥青混合料的疲劳寿命进行预估，据此利用式(29)对不同应力幅下未老化沥青混合料疲劳寿命进行预估，预估结果如表5所示。
表5 未老化沥青混合料疲劳寿命预估表
Table 5 Fatigue life forecast for non-aging asphalt mixture
名义应力水平
应力幅/MPa
N f 预估值/次 N f 试验值/次
相对误差/(%)
0.4 0.319 5811 6056 ?4.045
0.5 0.399 4353 4999 ?12.923 0.6 0.479 3437 3218
6.814
0.7 0.559 2815 2486 13.245 0.8 0.638 2368 1842 28.567
由表5可以看出本疲劳损伤模型除0.8应力水平外对疲劳寿命的预估精度比较高，相对误差均小于30%，能满足工程要求，从而验证了该粘弹性疲劳损伤模型的合理性。 4.2 临界损伤度验证
沥青混合料疲劳破坏过程也是其刚度逐渐衰减的过程，为了验证本疲劳损伤模型的合理性，在此利用疲劳试验结果计算基于劲度模量衰减的临界疲劳损伤度D (N f ?1)=1?1f N E ?/E 0，并与D (N f ?1)=
1t ′?进行比较，从而达到模型校验的目的。目前对于初始劲度模量E 0广为采用第50个荷载循环时的劲度模量作为其初始劲度模量[14]，临界破坏时的劲度模量1f N E ?由劲度模量与循环次数曲线上直接读
出，沥青混合料劲度模量衰减规律示意图如图 2 所示。
劲度模量/M p a
循环次数/次
图2 沥青混合料劲度模量衰减试验曲线
Fig.2 Curve of stiffness modulus decay for asphalt mixture
通过不同应力水平下的疲劳试验，得到沥青混合料的E 0和临界破坏时的劲度模量1f N E ?，如表6所示。
劲度模量/M P a
循环次数/次
122 工 程 力 学
表6 基于劲度模量衰减的临界疲劳损伤度计算结果 Table 6 Calculation results of critical fatigue damage degrees
based on stiffness modulus decay
名义应力水平
初始劲度模量 E 0/MPa
临界劲度模量1f N E ?/MPa
临界损伤度
0.4 104.604 9.693 0.907 0.5 104.694 9.165 0.912 0.6
119.595
6.75
0.944
0.7 94.278 9.172 0.903 0.8 81.709 4.488 0.945
将N =N f ?1代入粘弹性疲劳损伤方程式(18)可得基于粘弹性疲劳损伤方程的临界损伤度计算公式：
1
121
(1)1f f D N N β
+???=???????
(30)
由式(30)计算的临界损伤度与基于劲度模量衰减的临界疲劳损伤度D(N f ?1)=1?1f N E ?/E 0进行比
较，从而达到模型验证的目的。
由表7可以看出，由粘弹性疲劳损伤模型计算的临界损伤度与劲度模量衰减计算临界疲劳损伤度二者差别不大，最大相对误差为12.338%，从而也验证了该粘弹性疲劳损伤模型的合理性。 表7 临界疲劳损伤度计算结果比较表 Table 7 Comparison table for the critical fatigue damage
degree calculation results
名义应力水平 模型计算的临界损伤度 模量衰减得到的
临界损伤度
相对误差/(%)0.4 0.977 0.907 7.175 0.5 0.976 0.855 12.338
0.6 0.970 0.942 2.934
0.7 0.967 0.902 6.699 0.8 0.954 0.957 ?0.34 平均值
0.969 0.913 5.762
5 粘弹性疲劳损伤方程与传统S-N 疲劳方程的关系
将式(29)进行变换可得：
22()1124ve n f ve J w N k β
βσσβ???π??
=
=??+??
(31)
式中：2()1124ve J w k β
β?π??
=??
+??
；2ve n β=。
式(31)与用应力幅表示的传统S-N 疲劳方程表达形式N f =k (1/σ)n 相同，只是其参数k ve 、n ve 具有了明确的粘弹性疲劳物理意义。
6 结论
通过以上的分析和计算可以得到以下的结论： (1) 考虑损伤的耗散能计算公式为N W =
2
2
22
01()d (1)4(1)
N
N n n n J M n D D σω=π=??∑∫。 (2) 利用耗散能原理和损伤力学的相关理论得到沥青混合料疲劳损伤的表达式为1D =?
112(12)1N M β
β
β
+?+???????
，其中β为疲劳损伤参数，与老化程度有关；该粘弹性疲劳损伤模型满足疲劳损伤函数应具有的基本条件。
(3) 通过确定不同老化程度下沥青混合料的粘弹性参数E 1、E 2、η1、η2及疲劳损伤参数β，得到考虑老化效应的沥青混合料粘弹性疲劳损伤模型为：
1
12()
()(12())(,)11h h N h D N h M βββ+?+??=??????
。 本粘弹性疲劳损伤模型与温度、加载频率、应力幅值和老化程度等因素有关，可以表征不同加载状况和老化程度下的沥青混合料疲劳损伤演化
规律。
(4) 利用模型推导出的疲劳寿命预估公式对未
老化沥青混合料疲劳寿命进行了预估，预估精度达
到要求；由模型推导得到的临界损伤度和疲劳试验得到的基于劲度模量衰减得到的临界疲劳损伤度二者进行比较，二者差别不大。由疲劳寿命和临界
损伤度的计算结果验证了该粘弹性疲劳损伤模型的合理性。
参考文献：
[1]
Bell C A, AbWahab Y , Cristi M E. Selection of laboratory aging procedures for asphalt aggregate mixtures [R]. American: Strategic Highway Research Program-A-383, Nation Research Council, 1994.
[2]
Bell C A, Fellin M A, Wieder A. Field validation of laboratory aging procedures for asphalt aggregate mixture [J]. Asphalt Paving Technology, 1994, 163: 45―80.
[3]
虞将苗, 邹桂莲, 胡学斌, 张肖宁. 沥青混合料老化模拟试验方法与验证研究[J]. 公路交通科技, 2005, 22(10): 14―17.
Yu Jiangmiao, Zou Guilian, Hu Xuebin, Zhang Xiaoning. Asphalt-aggregate mixtures aging simulation test study method [J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2005, 22(10): 14―17. (in Chinese)
(参考文献[4]―[14]转第131页)
工程力学 131
[9]Park Y J, Ang H S, Wen Y K. Seismic damage analysis
of reinforced concrete buildings [J]. Journal of Structural
Engineering, ASCE, 1985, 10(4): 740―756.
[10]Caughey T K. Sinusoidal excitation of a system with
bilinear hysteresis [J]. Journal of Applied Mechanics,
1960, 27(4): 640―643.
[11]Iwan W D. The steady-state response of the double
bilinear hysteretic model [J]. Journal of Applied Mechanics,1965, 32(2): 921―925.
[12]Huang C T, Kuo S Y. Drift response of a bilinear
hysteretic system to periodic excitation under sustained
load effects [J]. International Journal of Non-Linear
Mechanics, 2006, 41(4): 530―542.
[13]Huang C T, Kuo S Y. Drift response of bilinear
hysteretic systems under two-frequency excitations [J].
International Journal of Non-Linear Mechanics, 2006,
41(8): 888―904.
[14]Ye Lieping, Shunsuke Otani. Maximum seismic
displacement of inelastic systems based on energy
concept [J]. Earthquake Engineering and Structural
Dynamics, 1999, 28(12): 1483―1499.
[15]Nakamura Y, Kabeyasawa T. A study on maximum
inelastic displacement based on characteristics of earthquake Motions [J]. Journal of Struct. Engineering,
1997, 43(B): 485―491.
[16]Applied Technology Council. Tentative provisions for the
development of seismic regulations for buildings [R].
Rewood City, California: Applied Technology Concil,
1978.
[17]Trifunac M D, Brady A G. A study on the duration of
strong earthquake ground motion [J]. Bulletin of the
Seismological Society of America, 1975, 65(3): 581―
626. [18]Krawinkler H, Seneviratna G D P K. Pros and cons of a
pushover analysis of seismic performance evaluation [J].
Engineering Structures, 1998, 20(4-6): 452―464.
[19]Chopra A K, Goel R K. A modal pushover analysis
procedure for estimating seismic demands for buildings
[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics,
2002, 31(3): 561―582.
[20]傅剑平, 王敏, 白绍良. 对用于钢筋混凝土结构的
Park-Ang双参数破坏准则的识别和修正[J]. 地震工程
与工程振动, 2005, 25(5): 73―79.
Fu Jianping, Wang Min, Bai Chaoliang. Identification
and modification of the Park-Ang criterion for failure of
RC structures [J]. Earthquake Engineeringand Engineering Vibration, 2005, 25(5): 73―79. (in Chinese) [21]Williams M S, Sexsmith R G. Seismic damage indices for
concrete structures: A stated-art review [J]. Earthquake
Spectra, 1995, 11(3): 320―349.
[22]Valles R E, Reinhorn A M, Kunnath S K, Li C, Madan A.
IDARC 2D Version 4.0: A Program for the Inelastic
damage analysis of buildings [R]. New York: National
Center for Earthquake Engineering Research, State
University of New York,1996.
[23]Kunnath S K, Reinhorn A M, Park Y J. Analytical
modeling of inelastic seismic response of R/C structures
[J]. Journal of Structural Engineering, ASCE, 1990,
116(4): 123―128.
[24]卢文生, 吕西林. 模态静力非线性分析中模态选择的
研究[J]. 地震工程与工程振动, 2004, 24(6): 32―38.
Lu Wensheng, Lu Xilin. Study on the mode selection in
the modal pushover analysis [J]. Earthquake Engineering
and Engineering Vibration, 2004, 24(6): 32―38. (in
Chinese)
(上接第122页)
[4]Brown S F, Scholz T V. Development of laboratory
protocols for the ageing of asphalt mixtures [C].
Barcelona: 2nd Eurasphalt & Eurobitume Congress
Barecelona, 2000.
[5]P ark S W. Development of a nonlinear thermo-
viscoelastic constitutive equation for particulate composites with growing damage [D]. Texas: The
University of Texas, Austin, 1994.
[6]C haboche J L. A non-linear continuous fatigue damage
model [J]. Fatigue Fracture Engineering Mater Structure,
1988, 11: 1―17.
[7]C haboche J L. Continuum damage mechanics part
II-damage growth, crack initiation and crack growth [J].
ASME, Journal of Applied Mechanics, 1988, 55: 65―72.
[8]I njun Sun. Damage analysis in asphalt concrete mixtures
based on parameter relationships [D]. Texas: Texas A &
M University, 2004.
[9]关宏信, 郑健龙, 张起森. 沥青混合料粘弹性疲劳损
伤模型研究[J]. 力学与实践, 2007, 29(2): 50―53.
Guan Hongxin, Zheng Jianlong Zhang Qisen.
Viscoelastic fatigue damage model of bituminous
mixture [J]. Mechanics in Engineering, 2007, 29(2):
50―53. (in Chinese) [10]余寿文, 冯西桥. 损伤力学[M]. 北京: 清华大学出版
社, 1997.
Yu Shouwen, Feng Xiqiao. Damage mechanics [M].
Beijing: Tsinghua University Press, 1997. (in Chinese) [11]谢里阳, 王德俊, 徐灏. 疲劳损伤演化方程约束条件
的探讨[J]. 应用力学学报, 1992, 9(4): 66―69.
Xie Liyang, Wang Dejun, Xu Hao. Restraint condition
for fatigue damage evolution equation [J]. Chinese
Journal of Applied Mechanics, 1992, 9(4): 66―69. (in
Chinese)
[12]李兆霞. 损伤力学及其应用[M]. 北京: 科学出版社,
2002.
Li Zhaoxia. Damage mechanics and application [M].
Beijing: Science Press, 2002. (in Chinese)
[13]杨挺青, 罗文波, 徐平, 危银涛. 粘弹性理论与应用
[M]. 北京: 科学出版社, 2004.
Yang Tingqing, Luo Wenbo, Xu Ping, Wei Yintao.
Viscoelastic theory and application [M]. Beijing: Science
Press, 2004. (in Chinese)
[14]S hu Xiang, Huang Baoshan, Dragon Vukosavljevic.
Laboratory evaluation of fatigue characteristics of recycled asphalt mixture [J]. Construction and Building
Materials, 2007(19): 1―9.