随机变量及其分布期末练习题及答案
1．在事件A 发生的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发生时的试验的次数，求
ξ的分布。
[解] {}
发生次试验次而第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ
)
,1,(,)
1()1(1
1
1
11 +=-=?-=-------r r k p p C
p p p
C r
k r r k r k r r k
小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。
2．设随机变量X 的分布函数为
??
?
??>≤≤<=.1,1;10.0,1)(2x x Ax x x F
求（1）A 的值；（2）X 落在)21
,1(-及)2,3
1(内的概率；（3）X 的概率密度函数。 [解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A （2）由分布函数的性质知，4
1)1()21())21,1((=
--=-∈F F X P ；
98311)31()2())2,31((2
=??
?
??-=-=-∈F F X P ；
（3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取 ?
??≤≤><=.10,2;
10,0)(x x x x x f 或
则0)(≥x f ，且对一切x 有?
∞
-=
x
dt t f x F )()(，从而)(x f 为随机变量X 的密度函数。
3．设),2(~2
σN X ，且3.0)42(=< ? ??Φ=<<=σX P 所以 8.05.03.02=+=?? ? ??Φσ 于是 2.0212202)0(=?? ? ??Φ-=??? ??-Φ=??? ??-<-=<σσσσX P X P 4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克） )5,55(~21N X ，一般品种蛋重)5,45(~22N X 。 （1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于 50克的概率。 [解] （1）设A ：任取一蛋其重量大于50克。 1B ：任取一蛋为优良品种 2B ：任取一蛋为一般品种 则21,B B 互斥，且S B B =21 ，3 1)(,32)(21== B P B P 8413.0555501)50()(11=??? ??-Φ-=>=X P B A P 1587.0545501)50()(22=?? ? ??-Φ-=>=X P B A P 由全概率公式得 )()()()()(2211B A P B P B A P B P A P += 6138.01587.03 1 8413.032=?+?= （2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率6138.0=p ，小于50克的概率 6138.011-=-=p q 设任取2个，有Y 个大于50克，则),2(~p B Y 于是所求概率为 1492.0)6138.01()0(2 2 2=-===q p C Y P 问题与思考 1．以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？ 2．非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗？ 3．设X 为连续型随机变量，而)(x g 为连续函数，)(X g Y =还是连续型随机变量吗？ 4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗？ 5．连续型随机变量的密度函数连续吗？ 练习与答案 1．一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。 2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为)10(< p q -=1，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。 3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。 4．已知某元件使用寿命T 服从参数10000 1 = λ的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元 件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数X 的分布律 5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间)8,40(~2 N X ；若采用乙工艺条件，则 完成时间)4,50(~2 N X 。（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求 在50 小时内完成，应选何种工艺条件？ 6．设某批零件的长度服从),(~2 σμN X ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度 小于μ的概率。 7．设X 分别为服从?? ? ???- 2,2ππU ，[]π,0U ，[]π2,0U 的随机变量，求X Y sin =的概率密度函数 8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。，超过7的水要溢出，求水库存水量Y 的分布函数 参考答案： 1．分布列 X 0 1 2 3 Y 75.0 204.0 041.0 05.0 2．)4,3,2(11 =+--n qp pq n n 3．956.0)1()0(1)2(==-=-=≥X P X P X P 4．（1）61.0；（2）10,,3,2,1,0,) 1()(1021 2 110 =-==-- -k e e C k X P k k 5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好 6．3125.02121)2(3 225=?? ? ?????? ??==C Y P 7．（1）1,11 )(2 1<-= x x x f π；（2）10,12 )(2 2<<-= x x x f π；（3） 1,11 )(2 3<-= x x x f π； 8．???? ???≥<≤-<=. 7,1;74,44;4,0)(y y y y y F y ⒈连续型随机变量X 的密度函数是f x ()， 则P a X b ()<<= 。 答案： f x x a b ()d ?， ⒉设X 为随机变量，已知D x ()=2， 那么D X ()35-= 。 答案： 18 3、设随机变量X ~ 0 12060301?? ??? ，则E X ()=（ ）。 A. 1； B. 1 3； C. 0 D. 05 . 答案： D 4、设随机变量X N ~(,)522 ，求()8X P <<3。 解 X N ~(,)522 ∴ -X N 5 201~(,) ) 25 825253()83(-<-<-=< 7745 .08413.019322.0=+-= 5. 设随机变量X 的密度函数是 ?? ?<<- =03 )2(3)(2x a x x f 求 (1) 常数a ; (2)P (X <2.5) 解 (1) 根据密度函数的性质 1＝?? -=+∞ ∞ -3 2d )2(3d )(a x x x x f =1－(a －2)3 所以a =2 ?? ?<<-= ∴03 2)2(3)(2x x x f (2)P (X <2.5)=? -5.22 2d )2(3x x = 125 .05.0)2(35 .22 3==-x 6．设随机变量X 的分布函数为 ?? ? ??>≤≤<=.1,1; 10.0,0)(2x x Ax x x F 求（1）A 的值；（2）X 落在 )21,1(-及) 2,31(内的概率； （3）X 的概率密度函数。 [解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有 1)01()1(=+==F A F ，即1=A （2）由分布函数的性质知， 41 )1()21())21,1((= --=-∈F F X P ； 98311)31()2())2,31((2 = ?? ? ??-=-=-∈F F X P ； （3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导， 且在1,0=x 处连续，若取 ?? ?≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或 7．设),2(~2 σN X ，且3.0)42(=< [解] 因为 )0(2)2 42 2 2( )42(3.0Φ-??? ??Φ=---=<<=σσσ σ x P X P 所以 8 .05.03.02=+=??? ??Φσ 于是 2 .0212202)0(=??? ??Φ-=??? ??-Φ=??? ??-<-=<σσσσX P X P 8．设随机变量X 的密度函数为 f x x x ()()=-≤≤?? ?311202其它， 求：⑴ P X (..)15 25<<； ⑵ E X (). 解 ⑴ P X (..)15 25<<=? 5 .21.5 d )(x x f = ? -2 1.5 2d )1(3x x =25 .13) 1(-x = 0.875 ⑵ E X ()= ? +∞ ∞ -d )(x x xf = ? -2 1 2d )1(3x x x =2 1234)23 24 3(x x x +-=7 4 9．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个， 用X 表示所取2球中最大的数字. 求X 的概率分布. ．解 )2(=X P =101251111=C C C ，)3(=X P = 102 2 51211=C C C ， )4(=X P =103251311=C C C ，)5(=X P =104 2 51411=C C C ， 所以X 的概率分布为： 二）、例题分析 1、 （1）“C B A ,,三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为 。 答案：AC BC AB ++。 （2）事件B A ,满足 ,8.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则________)(=+B A P 。 答案：分析 根据概率的加法公式与乘法公式，我们有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ )()()()(A B P A P B P A P -+= =7.08.05.06.05.0=?-+ （3）对于任意事件C B A ,,，则________)(=++C B A P 。 答案：)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 分析))(()(C B A P C B A P ++=++ ])[()()(C B A P C P B A P +-++= )()()()()(BC AC P C P AB P B P A P +-+-+= =)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 2 、事件B A ,若满足1)()(>+B P A P ，则A 与B 一定（ ） （A ）不相互独立； （B ）互不相容； （C ）相互独立； （D ）不互斥 答案：D 分析 由加法公式，有 1)()()()(≤-+=+AB P B P A P B A P 而且1)()(>+B P A P 时，只有0)(≠AB P 时，才能保证上式成立，即≠AB φ， 故选择D 正确。 3、袋中有5个球（3个新球，2个旧球），每次取一个，有放回地取两回地取两次， 则第二次取到新球的概率是（ ） （A ）53； （B ）43； （C ）21； （D ）103 答案：A 分析 设A 表示“第一次取到新球”的事件，B 表示“第二次取到新球”的事件。 )()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P BA P A B BA P B P ?+?=+=+= 5353525353= ?+?= 4、 某种产品有80%是正品，有某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A 表示一产品经检查被定为正品，B 表示产品确为正品，求 )()3();(),()2();(),()1(A P B A P AB P B P B P 。 解（1）2.0)(,8.0)(==B P B P （2）776.097.08.0)()()(=?=?=B A P B P AB P 004.002.02.0)()()(=?=?=B A P B P B A P （3）78.0004.0776.0)()()()(=+=+=+=B A P AB P B A AB P A P 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
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