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数学人教版八年级下册一次函数与图形面积

数学人教版八年级下册一次函数与图形面积
数学人教版八年级下册一次函数与图形面积

《一次函数与三角形的面积》学案

一、教学目标

1、待定系数法求一次函数解析式;

2、学习根据点的横坐标表示它的纵坐标,能将三角形的面积关系转化为线段间的数量关系,再用点的坐标表示这个关系得到方程;

3、体会数形结合思想与方程思想在解决一次函数问题中的作用;

二、教学过程

1、课堂前置

如图,已知直线l 1 : y = 4x-2 与直线l 2:y = - x +3交于点A,直线l1 与直线l2 分别与x 轴交于B、C两点,

(1)求三角形ABC的面积;

(2)若l1、l2 与y轴分别交于点D 、E,求三角形ABE的面积;

解题心得:(下面可以写:平面直角坐标系中三角形面积求法或你是怎样用割补法求面积的)

2、课堂探究

例题1、如图,直线l:y = x +m (8>m>0)交x 轴于A,交y 轴于点Q,

直线a:y = -2x +8 交x 轴于点B,交y 轴于M,交直线AQ于点P,已知△OBP

的面积为8时,求P点坐标及直线l的解析式。

变式一:在上题中将条件“已知△OBP的面积为8时”

改为“△MPQ的面积为1.5时”求直线l的解析式。

课堂归纳:(学生自己总结在解题过程中最重要的一步或最精彩的一步或最难的一步)

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变式二、直线y = x +1 与x、y轴分别交于点A 、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形△ABC,点P(a , 0.5)在第二象限内,且△ABP的面积与△ABC的面积相等,求点P的坐标。

课堂反思:你将面积关系转化为方程,你是怎样做到的?把它写下来

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3、课后练习

变式练习1、直线 y = x +3 的图像与x 轴、y 轴分别交与A 、B两点,直线a 经过原点与线段AB交于C,直线a把△ABO分成面积之比为2:1的两个部分,求直线

a 的解析式。

变式练习2、如图,A(0,4)、C(-2,0)、D(-4,0),过D的直线交AC于E,交y 轴于点F,若△DCE的面积与△AEF的面积相等,求E点的坐标。

一次函数与几何图形的面积专题

八年代数期末复习专题7 一次函数与几何图形的面积 例1、面积公式的应用 (1)已知直线y=k x+2与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则k= ; (1)已知直线y=-4x+b与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则b= 。 小结: 例2、求几何图形的面积或求点坐标 如图,在平面直角坐标系中,过点B(6,0)的直线AB与直线OA相交于点A(4,2),动点M在线段OA和射线AC上运动. (1)求直线AB的解析式. (2)求△OAC的面积. (3)是否存在点M,使△OMC的面积是△OAC的面积的?若存在求出此时点M的坐标;若不存在,说明理由. 小结:

例3、动点中的面积问题 如图,直线l1:y1=﹣x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P(m,3)为直线l1上一点, 另一直线l2:y2=x+b过点P. (1)求点P坐标和b的值; (2)若点C是直线l2与x轴的交点,动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动.设点Q的运动时间为t秒. ①请写出当点Q在运动过程中,△APQ的面积S与t的函数关系式; ②求出t为多少时,△APQ的面积小于3;

当堂检测: 如图直线l:y=kx+9与x轴,y轴分别交于点B,C,点B的坐标是(﹣12,0),点A的坐标为(﹣9,0),点P(x,y)是直线l上的一个动点. (1)求k的值; (2)当点P在线段BC上时,试求出△OPA的面积S与x的函数关系式; (3)请直接写出当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为27. 能力提升: 1、如图,直角坐标系xOy中,A(0,5),直线x=﹣5与x轴交于点D,直线y=﹣x﹣ 与x轴及直线x=﹣5分别交于点C,E,点B,E关于x轴对称,连接AB. (1)求点C,E的坐标及直线AB的解析式; (2)设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO,求S的值; (3)在求(2)中S时,嘉琪有个想法:“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置,而△CDB 与四边形ABDO拼接后可看成△AOC,这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗?”但大家经反复演算,发现S△AOC≠S,请通过计算解释他的想法错在哪里.

人教版八年级下册-函数-练习题

八年级下册函数习题 一.选择题(共15小题) 1.下列图象中,表示y是x的函数的个数有( ) A.1个… B. 2个C.3个D.4个2.下列图象中,不能表示函数关系的是() 】 A . B .C.D. 、 3.下列关系中,y不是x函数的是() A. y=﹣B . y= C.y=x2| D. |y|=x 4.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y,其中y不是x的函数的选项是() A.y:正方形的面积,x:这个正方形的周长 B.} y:某班学生的身高,x:这个班学生的学号 C.y:圆的面积,x:这个圆的直径 D.y:一个正数的平方根,x:这个正数 5.如图中的每次个图是由若干盆花组成的四边形图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案中花盆的总数是S,按此规律推断,S与n的函数关系式是() [ A.S=n2B.S=4n C.S=4n﹣4{ D. S=4n+4 6.当x=0时,函数y=2x2+1的值是() A.1B.0! C. 3D.﹣1 7.函数y=的自变量x的取值范围是() A.x≥﹣2` B. x≥﹣2且x≠﹣1C.x≠﹣1D.x>﹣1 8.均匀地向一个瓶子注水,最后把瓶子注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示,则这个瓶子的形状是下列的() |

A.B.~C.D. 9.小芳的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步行走到离家较远的公园,打了一会儿太极拳,然后沿原路跑步到家里,下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的关系的大致图象是()—A.B.C .D. > A.}B .C.D. 11.如图,菱形ABCD的边长为2,∠B=30°.动点P从点B出发,沿B﹣C﹣D的路线向点D运动.设△ABP的面积为y(B、P两点重合时,△ABP的面积可以看做0),点P运动的路程为x,则y与x之间函数关系的图象大致为() ] D . 12.下列函数中,是正比例函数的是() A.y=﹣8x B . y=5x2+6D.y=﹣﹣1 y=$ C. 13.函数y=(2﹣a)x+b﹣1是正比例函数的条件是() b=1C.a≠2且b=1D.a,b可取任意实数 A.a≠2^ B. 14.当k>0时,正比例函数y=kx的图象大致是()

2018年新人教版八年级下册数学复习提纲

八年级数学下册知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.二次根式有意义的条件: 大于或等于0。 3.二次根式的双重非负性:a :①0≥a ,②0≥a 附:具有非负性的式子:①0≥a ;②0≥a ;③02≥a 4.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 5.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被 相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 6.二次根式的性质: (1)(a )2=a (a ≥0); (2)==a a 2 7.二次根式的运算: (1)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (2)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. (a ≥0,b ≥0) ;(b ≥0, a>0). (3)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 1、概念与性质 例 1下列各式1 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1) x x -- +31 5; (2) 2 2)-(x = a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0);

例3、 在根式 ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知: 的值。求代数式22,2 1 1881-+- +++ -+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b =b -a ,则 ( ) A. a>b B. a>时,①如果a b >>a b < 例1、比较 (2)、平方法 当0,0a b >>时,①如果22a b >,则a b >;②如果22a b <,则a b <。 例2、比较 (3)、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 11() b a b b a a b ++++

中考复习专题--反比例函数与图形面积

中考复习专题 反比例函数与图形面积 反比例函数问题,许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的,其中常见的有已知反比例函数的解析式,求其图象围成的某一图形的面积;或已知某一图形的面积,求符合条件的反比例函数的解析式等题型。 一、反比例函数与矩形面积。 例1、如图,P 是反比例函数)0(≠=k x k y 的图象 上一点,过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线,所得 到的图中阴影部分的面积为6,则这个反比例函 数的解析式为( ) A. x y 6- = B. x y 6= C. x y 3-= D. x y 3= 例2、如图,已知正方形OABC 的面积为9,点O 为坐标原点,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,点B 在函数x k y = (k >0,x >0)的图象上,点P (n m ,)是函数x k y =(k >0,x >0)的图象上的任意一点,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为E 、F ,并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 (1)求B 点坐标和k 的值; (2)当2 9=S 时,求点P 的坐标。写出S 与m 的函数关系式 变式议练:如图,在反比例函数x y 2=(x >0)的图象上, 有点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4。 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分 的面积从左到右依次为S1,S2,S3, 则S1+S2+S3= 。 P S F E O C B A y x

二、反比例函数与三角形面积。 1、反比例函数与直角三角形面积 例3、如图,点A在反比例函数)0 (≠ =k x k y的图象上, AB垂直于x轴,若S△AOB=4,那么这个反比例函数的解析式为。 变式议练1、如图,过反比例函数 x y 1 =(x>0)的图形上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结OA、OB。设AC与OB的交点为E,△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1,S2,比较它们的大小,可得() A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 大小关系不能确定 变式议练2、如图,A、B是函数 x y 1 =的图象上关于原点O对称的任意两点,AC平行于y轴,BC平行于x轴,△ABC的面积为S,则() A. S=1 B. 1<S<2 C. S=2 D. S>2 2、反比例函数与斜三角形面积 例4、如图,函数kx y- =(0 ≠ k)与 x y 4 - =的图象交于A、B两点,过点A作AC垂直于y 轴,垂足为点C,则△BOC的面积为。 变式议练、如图,正比例函数kx y=(k>0)与反比例函数 x y 1 =的图象相交于A、C两点,过A点作x轴的垂线交x轴于B,连结BC,△ABC面积S= 例3 变式议练1 变式议练2 例4

人教版八年级下册数学课本基础知识要点整理

人教版八年级下册数学课本知识点归纳 第十六章 分式 一、分式; 1. 分式:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子B A 叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零,分式值为零的条件分子为零且分母不为零 ) 2. 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式,分式的值不变。用式子表示如下: (C ≠0) 其中A,B,C 是整式 3.最简公分母:取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母,它叫做最简公分母 4.通分:分子和分母同乘最简公分母,不改变分式值,把几个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。(分母为多项式时要分解因式) 5.约分:约去分子和分母的公因式,不改变分式值,这个过程叫约分。 二、分式的运算; 1.分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。 2.分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 上述法则可以用式子表示: 3分式乘方法则:一般地,当n 为正整数时 这就是说, 分式乘方要把分子、分母分别乘方 4.分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。 异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减。 上述法则可用以下式子表示:,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±= ±=±= 5.整数指数幂; C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(

1.任何一个不等于0的数的0次幂等于1, 即)0(10≠=a a ; 当n 为正整数时,n n a a 1 =- ( )0≠a ,也就是说a n (a≠0)是a -n 的倒数。 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n 是整数) (1)同底数的幂的乘法:n m n m a a a +=?; (2)幂的乘方:mn n m a a =)(; (3)积的乘方: n n n b a ab =)(; (4)同底数的幂的除法:n m n m a a a -=÷( a ≠0); (5)商的乘方:n n n b a b a =)(( n 是正整数);( b ≠0) 三、分式方程; 1. 分式方程:分母中含未知数的方程叫分式方程。 (解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程。解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。) 2.解分式方程的步骤 :(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根。 3.分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。 四、列方程应用题: 1.列方程应用题的步骤是什么?(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答。 2.应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有五种: (1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题. (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. (3)工程问题 基本公式:工作量=工时×工效.

(完整word版)新人教版八年级数学下册知识点归纳总结

八年级数学(下册)知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式概念:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2=a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a = (b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. △ 比较数值的方法 (1)、根式变形法 当0,0a b >>时,①如果a b >,则a b >;②如果a b <,则a b <。 (2)、平方法 当0,0a b >>时,①如果2 2 a b >,则a b >;②如果2 2 a b <,则a b <。 (3)、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 例3、比较 231-与1 21 -的大小。 (4)、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 例4、比较1514-与1413-的大小。 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0);

一次函数与几何图形的面积计算专题训练

一次函数与几何图形的面积 例1、面积公式的应用 (1)已知直线y=k x+2与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则k= ; (1)已知直线y=-4x+b与x轴、y轴围成的三角形面积为12,则b= 。 小结: 例2、求几何图形的面积或求点坐标 如图,在平面直角坐标系中,过点B(6,0)的直线AB与直线OA相交于点A(4,2),动点M在线段OA和射线AC上运动.(1)求直线AB的解析式. (2)求△OAC的面积. (3)是否存在点M,使△OMC的面积是△OAC的面积的?若存在求出此时点M的坐标;若不存在,说明理由.

小结: 例3、动点中的面积问题 如图,直线l1:y1=﹣x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P (m,3)为直线l1上一点,另一直线l2:y2=x+b过点P. (1)求点P坐标和b的值; (2)若点C是直线l2与x轴的交点,动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动.设点Q的运动时间为t秒.①请写出当点Q在运动过程中,△APQ的面积S与t的函数关系式; ②求出t为多少时,△APQ的面积小于3;

当堂检测: 如图直线l:y=kx+9与x轴,y轴分别交于点B,C,点B的坐标是(﹣12,0),点A的坐标为(﹣9,0),点P(x,y)是直线l 上的一个动点. (1)求k的值;

(2)当点P在线段BC上时,试求出△OPA的面积S与x的函数关系式; (3)请直接写出当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为27. 能力提升: 1、如图,直角坐标系xOy中,A(0,5),直线x=﹣5与x轴交于点D,直线y=﹣x﹣与x轴及直线x=﹣5分别交于点C,E,点B,E关于x轴对称,连接AB. (1)求点C,E的坐标及直线AB的解析式; (2)设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO,求S的值; (3)在求(2)中S时,嘉琪有个想法:“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置,而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC,这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗?”但大家经反

人教版八年级下册数学一次函数知识点总结

一、常量与变量 杭信一中何逸冬 在一个变化过程中,数值保持不变的量叫常量,数值发生改变的量叫变量。 实际上,常量就是具体的数,变量就是表示数的字母。(注意“π”是常量) 二、自变量与函数 在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果x每取一个值,y都有唯一确定 ....的值与它对应,那么,把x叫自变量,y叫x的函数。 判断两个变量是否有函数关系就是“看对于自变量的每一个确定的值,函数值是否有惟一确定的值和它对应。” 三、函数值 如果x=a时,y=b,那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。 四、表示函数的方法 方法(一)解析式法。 方法(二)列表法 方法(三)图像法 五、自变量的取值范围 在一个变化过程中,自变量允许取值的区域,叫自变量的取值范围。 六、自变量取值范围的求法 (一)对于解析式 1、解析式是整式。自变量取一切实数。 2、自变量在分母。取使分母不等于0的实数。 3、自变量在根号内 (1)在错误!未找到引用源。内。自变量取一切实数。 (2)在错误!未找到引用源。内。取使根号内的值为非负数的实数。 (二)对于实际问题 自变量的取值要符合实际意义。 在一个函数解析式中,同时有几种代数式时,函数的自变量的取值范围应是各种代数式中自变量的取值范围的公共部分 例:求函数错误!未找到引用源。中自变量x的取值范围。

解:要使错误!未找到引用源。有意义, 必须错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 即,错误!未找到引用源。。 所以错误!未找到引用源。中自变量x的取值范围是。错误!未找到引用源。 说明:求使函数有意义的自变量的值,就是求函数自变量的取值范围。 七、函数图象的画法步骤 (一)列表。 (二)描点。以对应的x、y作为点(x,y),把每个点描在平面直角坐标系中。 (三)连线。把描出的点按照自变量由小到大的顺序,用平滑的线 ....连结起来。 八、正比例函数 1、定义:形如错误!未找到引用源。(k是常数,错误!未找到引用源。)的函数叫做正比例函数。 2 、图象:是经过(0,0)与(1,k)的直线。 3、性质: (1)错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。 九、一次函数 ()定义: 形如错误!未找到引用源。b错误!未找到引用源。 的函数叫做一次函数。 因为当b=0时,y=kx,所以“正比例函数是特殊的一次函数”。

新人教版八年级数学下册全套教案

第十六章分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1.了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 3.认知难点与突破方法 难点是能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处,从分数入手,研究出分式的有关概念,同时还要讲清分式与分数的联系与区别. 三、例、习题的意图分析 本章从实际问题引出分式方程 10020v 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为3. 以上的式子五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解出字母x的取值范围. [提问]如果题目为:当x为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时,分式的值为0?(1m(2)1m1m 3 m 10020v 小时,逆流航行60千米所用时间 6020v 小时,所以 10020v = 6020v . 10020v , 6020v ,s,v,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不同点? a s m2m 1 2 = 6020v ,给出分式的描述性的定义:像这样分母中含有字母的式子属于分式. 1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m的解集中的公[分析] 分式的值为

九年级数学:二次函数与图形面积

二次函数与图形面积 练习题 基础题 知识点 二次函数与平面面积 1.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ,则所围成矩形ABCD 的最大面积是( ) A .60 m 2 B .63 m 2 C .64 m 2 D .66 m 2 2.用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形,那么a 的值不可能为( ) A .20 B .40 C .100 D .120 3.用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图),那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) A.6425 m 2 B.43 m 2 C.83 m 2 D .4 m 2 4.如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止,设小三角形移动的距离为x ,两个三角形重叠面积为y ,则y 关于x 的函数图象是( ) 5.如图,利用一面墙(墙的长度不超过45 m),用80 m 长的篱笆围一个矩形场地.当AD =________时,矩形场地的面积最大,最大值为________. 6.如图,在△ABC 中,∠B =90°,AB =8 cm ,BC =6 cm ,点P 从点A 开始沿AB 向B 点以2 cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 向C 点以1 cm/s 的速度移动,如果P ,Q 分别从A ,B 同时出发,当△PBQ 的面积为最大时,运动时间t 为________s.

7.将一根长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm2. 8.已知直角三角形两条直角边的和等于20,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大?最大值是多少? 9.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形,抽屉底面周长为180 cm,高为20 cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)

新人教版八年级下册数学教案

第十六章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2a≥0)是一个非负数,2=a(a≥0)(a≥0). (3(a≥0,b≥0); a≥0,b>0)a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算. (3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点 1.a≥0)a≥0)是一个非负数;2=a(a≥0) (a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1a≥0)2=a(a≥0(a≥0)

人教版数学八年级下册 19.1.1 变量与函数 教案

19.1.1数量与函数 一、教学目标: 1、了解函数的概念 2、会求函数自变量的取值范围 学习重点: 概括并理解函数概念中的单值对应关系 二、教学过程 【复习导入】:上一节课,我们学习了常量和变量,什么是变量,什么是常量?生:变量:数值发生变化的量 常量:数值始终不变的量 问题:购买一些作业本,单价为0.5元/本,总价y元随作业本数x变化,指出其中的常量与变量,并用含有x的式子表示y 生:常量是0.5 变量是:X 和 y 式子表示为:Y=0.5x 【合作探究】 问题1、下面各题的变化过程中 (1)、每个问题中各有几个变量? (2)、同一个问题中的变量之间有什么联系? 1、汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程为s km,行驶时间为t h 解:存在两个变量,表示两个变量之间的关系式 S = 60 t S 随着 t 的变化而变化,s 是怎样随着 t 的变化而变化呢,能用数值加以说明吗? 师生活动 小结: 当 _____确定一个值时,_____就随之确定一个值。

2、每张电影票的售价为10元,如果第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310 张票,三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售出x张票,票房收入y元,y的值随着x的值的变化而变化吗? (2)y=10x 当 x 取定一个值,y 有唯一确定的值与之对应 3、你见过水中涟漪吗?圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中,当圆的半径分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积s分别为多少?s的值随r的值的变化而变化吗? (3)S =πr 2 当 r 取定一个值时,s 有唯一确定值与之对应 4、用10 m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗? (4)y = 5-x 当 x 取定一个值时,y 有唯一确定的值与之对应 师生活动: 归纳:1 每个变化的过程中都存在着()变量 2 两个变量互相联系,当其中一个变量确定一个值时,另一个变量也()。 问题2(1)下图是体检时的心电图.其中图上点的横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗? (2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数 可以记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗? 师生活动:引导学生说出(1)中时间与生物电流的对应关系,(2)中年份与人口数之间的对应关系,体会变量之间的的单值对应关系。 【教师精讲】 函数的定义: 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x 是自变量,y 是x 的函数. 如果当x =a 时,对应的y =b, 那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值 (注:一一对应,即一个自变量x的值,只能对应一个函数y值。) 【分组讨论】 上面四个问题中哪些是自变量,哪些是自变量的函数? 【探究与讨论】 下列各式中,x是自变量,请判断y是不是x的函数? 1.y= 2x

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义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级下册 科任老师

二次根式 16.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习引入: (1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的_____________; x 是a 的________, 记为______, a 一定是______________数。 (2)4的算术平方根为2,用式子表示为 =__________; 正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 _______- 。 (二)提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式? 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么? 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么? 5、如何确定一个二次根式有无意义? (三)自主学习 自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题: 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34,5-,)0(3≥a a ,12+x 2、计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数 a 才有算术平方根。所以,在二次根式中,字母a 必须满足 , 才有意义。 2 )3(________ )(2=a 4

人教版八年级下册-函数-练习题

八年级下册函数习题 一. 选择题(共15小题) 1.下列图象中,表示y 是x 的函数的个数有( ) . C D . 花盆的总数是S ,按此规律推断,S 与n 的函数关系式是( ) 7.函数y= 的自变量x 的取值范围是( ) 瓶子的形状是下列的( )

9.小芳的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步行走到离家较远的公园,打了一会儿太极拳,然后沿原路跑步到家. C D . 动一周,则点P 的纵坐标y 与P 所走过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是( ) . C D . 的面积为y (B 、P 两点重合时,△ABP 的面积可以看做0),点P 运动的路程为x ,则y 与x 之间函数关系的图象大致为( ) . C D . . C D . 16.“早穿皮袄,午穿纱,围着火炉吃西瓜.”这句谚语反映了我国新疆地区一天中, _________ 随 _________ 变化而变化,其中自变量是 _________ ,因变量是 _________ .

17.下列:①y=x2;②y=2x+1;③y2=2x(x≥0);④y=(x≥0),具有函数关系(自变量为x)的是_________.18.按图示的运算程序,输入一个实数x,便可输出一个相应的实数y,写出y与x之间的函数关系式:y= _________. 19.某人购进一批苹果到集贸市场零售,已知卖出苹果的数量x与售价y之间的关系如下表,写出x表示y的关 20.函数中,自变量x的取值范围是_________. 21.函数y=中,自变量x的取值范围是_________. 22.在函数中,自变量x的取值范围是_________. 23.函数y=+中自变量x的取值范围是_________. 24.函数,当x=3时,y=_________. 25.若函数y=(2﹣m)x|m﹣1|是正比例函数,则常数m的值是_________. 26.若函数是正比例函数,则常数m的值是_________. 27.若函数y=(k﹣1)x|k|是正比例函数,则k=_________. 三.解答题(共3小题) 28.一个小球从静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到了小球滚动的距离S(m)与时间t(s)的数 (2)写出用t表示s的关系. (3)求第6秒时,小球滚动的距离为多少m? (4)小球滚动200m用了多长时间? 29.为了迎接深圳第26届大运会,小明在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼,15时回家,已知自行车离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题: (1)小明骑自行车离家的最远距离是_________km; (2)小明骑自行车行驶过程中,最快的车速是_________km/h,最慢的车速是_________km/h; (3)途中小明共休息了_________次,共休息了_________小时; (4)小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是_________km/h.

2020新人教版八年级数学下册知识点总结归纳

第十六章 二次根式 1.二次根式:一般地,式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意:(1)若0a ≥这个条件不成立,则 a 不是二次根式; (2)a 是一个重要的非负数,即;a ≥0. 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.重要公式:(1))0a (a )a (2≥=,(2)???<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ;注意使用)0a ()a (a 2≥=. (3)积的算术平方根:)0b ,0a (b a ab ≥≥?=,积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;注意:本章中的公式,对字母的取值范围一般都有要求. 4.二次根式的乘法法则: )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5.二次根式比较大小的方法: (1)利用近似值比大小; (2)把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小; (3)分别平方,然后比大小. 6.商的算术平方根: )0b ,0a (b a b a >≥=,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7.二次根式的除法法则: (1))0b ,0a (b a b a >≥=; (2))0b ,0a (b a b a >≥÷=÷; (3)分母有理化:化去分母中的根号叫做分母有理化;具体方法是:分式的分子与分母同乘分母的有理化因式,使分母变为整式. 8.常用分母有理化因式: a a 与,b a b a +-与, b n a m b n a m -+与,它们也叫

互为有理化因式. 9.最简二次根式: (1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式,①被开方数的因数是整数,因式是整式, ②被开方数中不含能开的尽的因数或因式; (2)最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2,且不含分母; (3)化简二次根式时,往往需要把被开方数先分解因数或分解因式; (4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10.二次根式化简题的几种类型:(1)明显条件题;(2)隐含条件题;(3)讨论条件题. 11.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式. 12.二次根式的混合运算: (1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算,以前学过的,在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用; (2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简,例如:化为同类二次根式才能合并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;使用乘法公式等. 第十七章勾股定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。 2.勾股定理逆定理:如果三角形三边长a, b, c满足a2+b2=c2。,那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 4.直角三角形的性质 (1)、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90° (2)、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1AB 可表示如下:∠C=90°?BC= 2

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人教版初中数学八下 全册教案

第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1.了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:7 10,a s ,33 200, s v . 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时,逆流航行60 千米所用时间 v -2060小时,所以 v +20100= v -2060. 3. 以上的式子v +20100, v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们与分 数有什么相同点和不同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解

出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时..满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 20 9y +, 54-m , 2 38y y -, 9 1-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 3. 当x 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些是分式? (1)甲每小时做x 个零件,则他8小时做零件 个,做80个零件需 小时. (2)轮船在静水中每小时走a 千米,水流的速度是b 千米/时,轮船的顺流速度是 千米/时,轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2.当x 取何值时,分式 无意义? 1-m m 3 2 +-m m 1 12 +-m m 4 522 --x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --2 2 1 2 31 2 -+x x

数学人教版八年级下册函数的定义

渝北区龙山中学八年级数学学科教案设计:审核:姓名:徐朝友自评:互评:教师评: (1)了解函数的概论;(2)能结合具体实例概括函数的概念同学们,通过前面的学生,我们体会到世界万物皆变,在运动变化的过程中往往问题1下面变化过程中的变量之间有什么联系? 问题2 能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系的共同特点吗?

练习4 下列各图像哪些描述了y是x的函数? 练习5 P是数轴上的一个动点,它所表示的实数为m,它到原点的距离记为 s。 (1)s是m的函数吗?为什么? 函数的定义教学反思 本堂课教学内容是函数的定义,对于初学函数的学生而言,理解函数的定义非常抽象,难度也比较大。为此,我设计了学生熟悉的行程问题,分析时间与路程变化情况,引导学生说出:当时间每确定一个值时,路程有且只有一个确定的值与之对应。接着引导学生独立仿照例题的方法,分析“电影票售票张

数确定一个值时,收入有且只有一个值与之对应”,以及“水圈半径与面积的对应关系”。在学生初步感知函数对应关系后,让学生总结归纳以上三种变化过程的相似之处。接着通过一个表格分析,一个时时气温图,进一步明确变化过程中的两个变量之间的对应关系,在讨论的基础上总结出函数的定义。通过学生勾、读、议、背等方法,巩固函数的内涵。最后,通过识图像、读表格、识数量关系等多种形式,让学生强化函数的定义,突破难点,完成教学目标。 教学中,较好地完成了教学任务,学生比较准确地把握了函数的定义。具体有以下几点值得自己发扬: 1.教学例题设计贴近学生认知实际;例题和练习题选题面广:有行程问题分析、工程问题、利润问题、面积问题、统计问题等;有利于学生从辨别数量关系这一非本质属性中掌握函数与自变量之间的对应关系这一本质属性。 2.从形式上看,从解析式这一学生熟悉的函数表达方式入手,在观察分析中引入表格法、图像法,使函数的定义得到深化。 3.教学方法上看:有集体分析,独立分析,互助讨论,类比归纳,实现学生自主内化的目的,更利于学生掌握函数定义的内涵。 教学中也存在一些不足: 1.自己对时间把控不是很准确,主要出现在学生独立分析环节。 2.由于对教学内容还不够十分熟练,教学中差点将函数值的概念遗漏了,还好发现及时,立即进行弥补。 3.本人教学基本功还有待加强,尤其是普通话和三笔字。 4.教学形式的设计上还不够有激趣,学生学习起来有些单调。

最新人教版八年级下册数学教案全册

八年级数学下学期教学工作计划 一、指导思想 在教学中努力推进九年义务教育,落实新课改,体现新理念,培养创新精神通过数学课的教学,使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能;努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力,以及分析问题和解决问题的能力。 二、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期,学生基础的好坏,直接影响到将来是否能升学。我班优生稍少,学生非常活跃,有少数学生不求上进,思维不紧跟老师。有的学生思想单纯爱玩,缺乏自主学习的习惯,有部分同学基础较差,厌学无目标。要在本期获得理想成绩,老师和学生都要付出努力,查漏补缺,充分发挥学生是学习的主体,教师是教的主体作用,注重方法,培养能力。 三、教材分析 本学期教学内容共计五章,知识的前后联系,教材的教学目标,重、难点分析如下:《义务教育教科书?数学》八年级下册包括二次根式,勾股定理,平行四边形,一次函数,数据的分析等五章内容,学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准(2013年版)》(以下简称《课程标准》)中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容,本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习,并在每一章的最后安排了两个数学活动,通过这些课题学习和数学活动落实“综合与实践”的要求。 第16章“二次根式”主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习,学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。 第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理,包括它们的发现、证明和应用。 第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定,还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。 第19章是“一次函数”,其主要内容包括:常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示法,一次函数的概念、图象、性质和应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系,以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。 第20章“数据的分析”主要研究平均数(主要是加权平均数)、中位数、众数以及方差

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