2.3 分数指数幂和指数函数
1．根式
(1)根式的概念
如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做底数，其中n ＞1且n ∈N *.式子
n
a 叫做a 的n 次
方根，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(2)根式的性质
①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号n
a 表示．
②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次方根用符号+n a 表示，负的n 次方根用符号-n
a 表示．正负两个n 次方根可以合写为±n
a (a ＞0)． ③(
n a )n ＝a
④当n 为奇数时，
n
a n ＝a ；
当n 为偶数时，???<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n n
⑤负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作00=n 。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①正整数指数幂：a n ＝n a a a ???
个
(n ∈N *
)． ②零指数幂：a0＝1 (a≠0)．
③负整数指数幂：a －p ＝ p
a 1 (a≠0，p ∈N*)．
④正分数指数幂：n
m n
m
a a =(a>0，m 、n ∈N*，且n>1)． ⑤负分数指数幂：n m n
m n m a a a 11=
=-(a>0，m 、n ∈N*，且n>1)．
⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①r a ·s
r r a a += (a>0，r 、s ∈Q)；
②rs s r a a =)( (a>0，r 、s ∈Q)；
s r r a a ab =)((a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零 和1．
2、指数函数的图象和性质
函数值的分布情况如下：
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；
（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；
（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；
（4）当底数a 大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（5）当01a <<时，函数的图象是下降的，即函数单调递减。a 的值越大， 函数图象上部分越远离y 轴；当1a >时，a 的值越大，函数图象上部分 越靠近y 轴。
结论1：
一般地，a>b>1时，
1、当x<0时，总有ax
4、当x>0时，底数越大，其函数值增长越快.
二、指数函数的图象变换
1、平移变换：函数内部相加减，函数图象左右移；函数外部相加减，函数图
象上下移。
对称变换：关于x轴、y轴及原点对称的图象的变换；加绝对值的函数图象的变换。
三、指数函数性质的应用
（1）比较两个有理数指数幂的大小
○1对底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的单调性来判断；○2对底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断；
○3对底数不同、指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较；
○4对三个（或三个以上）数的大小比较，则应先根据值得大小进行分组，再比较各组数的大小。
（2）求复合函数的定义域与值域
（3）判断复合函数的单调性：遵循“同增异减”的规律。
（4）研究函数的奇偶性：
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()
的关
f x
f x与()
系，最后确定函数的奇偶性。
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性。
考查点1：有关指数型函数的定义域和值域问题 例1 求下列函数的值域。
（1）2
21()2
x x
y -=；
（2）12
4
325,[0,2]x x y x -
=-?+∈。
考查点2：有关指数函数单调性的应用
一、利用单调性比较大小
例1
比较下列各题中两个的大小。
（1） 2.531.7____1.7； （2）0.10.20.8____0.8--； （3）0.3 3.11.7____0.9。
例3 已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是__________。
二、求复合函数的单调区间
例4 求下列函数的单调区间。
（1）2
32
(01)x x y a a a -++=>≠且；
（2）223
2x x y -++=。
考查点3：有关指数函数图象的问题
一、有关指数函数的底数和指数函数图象的关系问题
例5 如图所示的是指数函数：
（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =；
（4）x y d =的图象，则,,,a b c d 及1的大小关系是 （ ） A 、1a b c d <<<< B 、1b a d c <<<< C 、1a b c d <<<< D 、1a b d c <<<<
二、指数函数图象间的变换 例6 设 ()|31|,x f x c b a =-<<，且
()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是 （ ）
A 、33c
b
< D 、33c
b
> C 、332c
a
+>D 、332c
a
+<
考查点4：指数函数的综合应用题
例7 已知函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[1,1]-上的最大值为14，求a
的值。
例8
设0,()x x e a
a f x a e
>=+是R 上的偶函数。
（1）求a 的值；
（2）求证()f x 在(0,)+∞上是增函数。
练习题：
1、若函数1
()21
x
f x =
+，则此函数在R 上 （ ） A 、单调递减且无最小值 B 、单调递减且有最小值 C 、单调递增且无最大值 D 、单调递增且有最大值
2、（2009山东高考）函数x x
x x e e y e e
--+=-的图象大致为 （ ）
3、（2011.山东模拟）已知集合11
{1,1},{|24,}2
x M N x x Z +=-=<<∈，则M N ?等于 （ ） A 、{1,1}- B 、{1}- C 、{0} D 、{1,0}-
4、若函数,1,()(4)2,12
x a x f x a
x x ?>?
=?-+≤??是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A 、(1,)+∞
B 、(1,8)
C 、（4,8）
D 、[4,8)
5、函数x y e =-的图象 （ ） A 、与x y e =的图象关于y 轴对称
B 、与x y e =的图象关于坐标原点对称
C 、与x y e -=的图象关于y 轴对称
D 、与x y e -=的图象关于坐标原点对称
6、若方程111
()()042
x x a -++=有正根，则实数a 的取值范围是 （ ）
A 、(,1)-∞
B 、(,2)-∞
C 、(3,2)--
D 、(3,0)- 7、设a 是实数，2
()()21
x f x a x R =-
∈+。 （1）求证：不论a 为何实数，()f x 均为增函数； （2）试确定a 的值，使()()0f x f x +-=成立。
[难点正本 疑点清源]
1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程． 2．指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按01进行分类讨论．
1．(课本改编题)用分数指数幂表示下列各式． (1)3
x 2＝________；
(2)4
(a ＋b )3((a ＋b )>0)＝________； (3)m 3
m
＝________.
2．(课本改编题)化简162
[(-2)]－(－1)0的值为________．
3．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________． 4．若函数f (x )＝a x －1 (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 5．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于
( ) A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
题型一 指数式与根式的计算问题 例1 计算下列各式的值．
(1)23
278-??
- ???＋1
-2(0.002)－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2
－(3－1)0－9－45；
(3)
332211114
3
3
4
2a b ab a b a b
-()(a >0，b >0)．
探究提高
根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
计算下列各式的值： (1)1-3
1.5×0
76??
???＋80.25×42＋(32×3)6－23
23?? ???；
(2)
413
3
2
233
3
824a a b a ab b
+÷
?
????1－2 3b a ×3a (a >0，b >0)． 题型二 指数函数的图像及应用
例2 (1)函数y ＝xa x
|x | (0 图像的大致形状是 ( ) (2)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围是__________． (3)方程2x ＝2－x 的解的个数是________． 探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解． (1)函数y ＝e x ＋e －x e x －e －x 的图像大致为 ( ) (2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？ 题型三指数函数的性质及应用 例3设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 探究提高指数函数问题一般要与其它函数复合．本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解． 由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解． 已知定义在R上的函数f(x)＝2x－ 1 2|x|. (1)若f(x)＝3 2，求x的值； (2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． 4.方程思想及转化思想在求参数 中的应用 试题：(13分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b 2x＋1＋a 是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．审题视角(1)f(x)是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)． (2)可考虑将t2－2t,2t2－k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式．也可考虑先判断f(x)的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式． 规范解答 解(1)因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b＝1， 从而有f (x )＝－2x ＋1 2x ＋1＋a . [3分] 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋1 4＋a ＝－－12＋1 1＋a ， 解得a ＝2. [6分] (2)方法一 由(1)知f (x )＝－2x ＋1 2x ＋1＋2， 又由题设条件得 2 2 221 21 22t t t t --+-++＋ 2 2 221 21 22t k t k --+-++<0， 即2 21(22)t k －＋＋(2221t t －－＋)＋(22122t t －＋＋)(2 221t k －－＋)<0. [9分] 整理得2 322t t k －－>1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0. [11分] 上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0， 解得k <－1 3. [13分] 方法二 由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋1 2x ＋1 ， 由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t ) ＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数， 由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . [11分] 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－1 3. [13分] 批阅笔记 (1)根据f (x )的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x 都成立．所以还要注意检验． (2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价转化为：t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立．这个转化考生易出错．其次，不等式t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，也可以这样做：k <3t 2－2t ，t ∈R ，只 要k 比3t 2－2t 的最小值小即可，而3t 2－2t 的最小值为－13，所以k <－1 3. 方法与技巧 1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x 轴是函数图像的渐近线．当01时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图像越靠近y 轴，递增的速度越快；当0 2．画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )、 (0,1)、 ? ? ? ??－1，1a . 3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解． 失误与防范 1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0 课时规范训练 (时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1．函数y ＝2x 的值域是 ( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．[2，＋∞) 2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D.? ? ? ??0，12 3．函数f (x )＝a x －b 的图像如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0 二、填空题 4．已知a ＝ 5－12 ，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________． 5．若函数f (x )＝2 ()e x μ－－(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 6．函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a 2，则a 的值为__________． 7．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图像如图所示，则a ＋b 的值是________． 三、解答题 8．(1)计算：20.5 2113 --0.2532234[35+(0.008)(0.02)(0.32)]0.062 589-???? -÷?÷ ? ??? ?? ； (2)化简：4 1232 333 3 2253 33382?·42a a b b a a a a a a b ab a -??-÷-? ? ?? ?++(式中字母都是正数)． B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1．函数y ＝2+212x x ?? ? ?? 的值域是 ( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(2，＋∞) D.???? ??12，＋∞ 2．设函数f (x )＝????? 1x (x >0)， e x (x ≤0)，令F (x )＝ f (x )＋x ，x ∈R .则F (x )的值域为 ( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 3．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝1 9，则f (x )的单调递减区间是 ( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 二、填空题 4．函数f (x )＝2 23x x a ＋－＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______. 5．函数y ＝a 2x －2 (a >0，a ≠1)的图像恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________． 6．关于x 的方程32x ?? ???＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 三、解答题 7．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值； (2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围． 8．已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的单调性； (2)验证性质f (－x )＝－f (x )，当x ∈(－1,1)时，并应用该性质求f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的范围． 答案 要点梳理 1．(1)a 的n 次方根 根式 根指数 被开方数 (2)①n a ②n a － n a ± n a ③a ④a ??? a (a ≥0)－a (a ＜0) 2．(1)②1 ③1a p ④n a m ⑤1 m n a 1n a m ⑥0 没有意义 (2)①a r ＋s ②a rs ③a r b r 3．(1)R (2)(0，＋∞) (3)(0,1) (4)y >1 0 减函数 基础自测 1．(1)23 x (2)34(+)a b (3)52 m 2.7 3．(－2，－1)∪(1，2) 4.3 5.B 题型分类·深度剖析 例1 解 (1)原式＝21 3 2 2718500- - ???? -+ ? ??? ?? －105－2＋1 ＝21 328+50027?? - ???－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2 ＝(5－2)－1－(5－2)＝－1. (3)原式＝ 12132 3 32 1123 3 a b a b ab a b -() ＝31111-112-26333 a b -＝ab －1. 变式训练1 解 (1)原式＝1 3 23?? ???×1＋134(2)×142＋(132×12 3)6－13 23?? ??? ＝2＋4×27＝110. (2)令13a ＝m ，13 b ＝n ， 则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷? ? ???1－2n m ·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n ＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2 )(m －2n ) ＝m 3＝a . 例2 (1)D (2)0 (2)解 函数y ＝|3x －1|的图像是由函数y ＝3x 的图像向下平移 一个单位后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方 得到的，函数图像如图所示． 当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像无交点，即方程 无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解； 当0 例3 解 令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)． ①当0 t ＝a x ∈??????a ，1a ， 此时f (t )在??? ???a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ? ?? ?? 1a ＝? ????1a ＋12 －2＝14. 所以? ?? ?? 1a ＋12＝16， 所以a ＝－15或a ＝1 3. 又因为a >0，所以a ＝1 3. ②当a >1时，x ∈[－1,1]， t ＝a x ∈?????? 1a ，a ， 此时f (t )在???? ?? 1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)． 综上得a ＝1 3或3. 变式训练3 解 (1)当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －1 2x ， 由2x －12x ＝3 2，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－1 2，∵2x >0，∴x ＝1. (2)当t ∈[1,2]时， 2t ? ????22t －122t ＋m ? ? ? ??2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0， ∴m ≥－(22t ＋1)， ∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)． 课时规范训练 A 组 1．B 2.D 3.D 4.m 2 7．－2 8．解 (1)原式＝[23 827?? ???－12 499?? ???＋23 10008?? ???÷50×4210]÷14 62510000?? ??? ＝? ????49－73＋25×152×4210÷1 2 ＝? ?? ?? －179＋2×2＝29. (2)原式＝ 11133 3331 1112 233 3 3[2]·22a a b a a b b ()-()()+()+() ÷ 1 1332a b a -×2132 11135 2··a a a a () () ＝1113 3 3 (-2a a b )× 113 3 2a a b -× 5616 a a ＝13 a ×a ×23 a ＝a 2. B 组 1．D 2.C 3.B 4.9 5. 2 6．－23 7．解 (1)由已知得3a ＋ 2＝18?3a ＝2?a ＝log 32. (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1 即λ<22x ＋12x 恒成立．由于22x ＋12x >20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2. 8．解 (1)设x 1 a 2－1 >0， 所以f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－1(1x a －2 x a )· ? ?? ??1＋1ax 1＋x 2<0， 即f(x1) 同理，若0 a a2－1 <0， f(x1)－f(x2)＝ a a2－1 (1x a－2x a)· 12 1 1 x x a+ ?? + ? ?? <0， 即f(x1) (2)f(x)＝ a a2－1 (a x－a－x)， 则f(－x)＝ a a2－1 (a－x－a x)， 显然f(－x)＝－f(x)． f(1－m)＋f(1－m2)<0， 即f(1－m)<－f(1－m2) ?f(1－m) 函数为增函数，且x∈(－1,1)，故解－1<1－m 可得1 题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算 【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ??? 2018《高三第一轮复习课：指数与指数函数》 咸丰一中数学组：青华 高考要求： （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 重点难点： 对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质； 指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较 简单的函数的有关问题． 知识梳理 1．根式的概念 (1)根式 如果一个数的n 次方等于a ( n >1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是， 若x n ＝a ，则x 叫做___________，其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做_______，这里n 叫做_________，a 叫做__________． (2)根式的性质 ①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示． ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写成________(a >0)．负数没有偶次方根 ______(_____(0) ||(_____(0)n n n a a a n a ??=≥??=?? 考点七 指数与指数函数 知识梳理 1．根式 如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式 ① n a ＝?????a （n 为奇数），|a |＝?????a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念： ①正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a m n -＝ 1 a m n ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1 当x >0时，y >1； 当x <0时，0 第四节、指数函数 一、初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。 ． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 思考：n n a =a 一定成立吗？ 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 例1、（1）=-+125.08 33-4 1633 （2）7722)(2y x y xy x -+ +-= 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。 例2、化简（1）=÷?----32 11321 32)(a b b a b a b a （2）=?÷?363342b ab a 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 指数函数及其性质（讲义） ? 知识点睛 一、指数函数的定义 一般地，函数__________（ ）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ． 二、指数函数的图象和性质 1. 指数函数x y a =(a >0，且a ≠1)的图象和性质： 2. 指数函数底数变化与图象分布规律 ①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =， 有01b a d c <<<<<，即： x ∈(0，+∞)时，x x x x b a d c <<<； x ∈(-∞，0)时，x x x x b a d c >>>． ? 精讲精练 1. 下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是____________． ①4x y =；②4y x =；③4x y =-；④(4)x y =-； ⑤(21)x y a =-（12 a > ，且a ≠1）；⑥4x y -=． 2. 若函数2()(33)x f x a a a =-+是指数函数，则实数a 满足（ ） A ．a =1或a =2 B ．a =1 C ．a =2 D ．a >0且a ≠1 4. 已知对不同的a 值，函数()2f x a =+（a >0，且a ≠1）的图象恒过定点P ， 则点P 的坐标是（ ） A ．(0，3) B ．(0，2) C ．(-1，3) D ．(1，2) 5. 求下列函数的值域： （1）()32x f x =-，x ∈[-1，1]； 13. （1）函数223()2 x x y --=的单调递增区间是________________． （2）已知f (x )=2x 2-x -3，1()()2 x g x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是___________． 【参考答案】 ? 知识点睛 一、指数函数的定义 01x y a a a =>≠，（且） ? 精讲精练 1. ①⑤⑥ 2. C 3. （1）(0]∞-，；（2）(01)， 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 第5讲指数与指数函数 [考纲] 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底 数为2,3,10，1 2， 1 3的指数函数的图象． 4．体会指数函数是一类重要的函数模型. 知识梳理1．根式 (1)根式的概念 ①n a n＝ ?? ? ??a，n为奇数， |a|＝ ? ? ?a，a≥0， －a，a＜0， n为偶数． ②(n a)n＝a. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝1 a p(a≠0，p∈N *)； ③正分数指数幂：a n m＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ④负分数指数幂：a n m -＝ a n m 1 ＝ 1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 辨 析 感 悟 1．指数幂的应用辨析 (1)(4 －2)4＝－2.( ) (2)(教材探究改编)(n a n )＝a .( ) 2．对指数函数的理解 (3)函数y ＝3·2x 是指数函数．( ) (4)y ＝? ?? ?? 1a x 是R 上的减函数．( ) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图， 指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲 2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立． 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数 (01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如 图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 1 2 2 23,,3,21x x x y y x y y -=?===- 等 函数均不符合形式 () 01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1, a a ?? - ?? ? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数 ，且 ． （1）求m 的值； （2）判定f （x ）的奇偶性； （3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为 ，所以 ，所以m=1． （2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又， 所以f （x ）是奇函数． （3）任 取 x1 ＞ x2 ＞ ， 则 ， 因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2）， 第四节、指数函数 、初中根式的概念; 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根； (一)指数与指数幕的运算 1.根式的概念 一般地，如果x" a，那么x叫做a的n次方根，其中n >1,且n € N . 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时，a的n次方根用符号n a表示。 .式子R'a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号一：a表示?正的n次方根与负的n 次方根可以合并成土：a ( a>0)。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作n0 0 思考：x a n=a 一定成立吗? 结当n是奇数时，n a n a 当n是偶数时，n a n| a | a (a 0) a (a 0) (2) . x2 2xy .(x y)7= 2 ?分数指数幕 正数的分数指数幕的意义 规定： m a n Va m （a 0, m, n N *, n 1） -1 1 * a n r 尸帛 （a °， m,n N ,n 1） a 7 va 0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义 指出：规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理 数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样可以推广到有理数指数幕. 3 ?有理指数幕的运算性质 (1) r r a ?a s a (a 0,r,s Q) ； (2) r s (a ) rs a (a 0,r,s Q) ； (3) r (ab) r s a a (a 0,b 0,r 无理指数幕：-般地，无理数指数幕a （a 0,是无理数）是一个确定的 实数?有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指数幕. 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算， 一般要将根式化为 分数指数幕，利用分数指数幕的运算性质来进行计算。 2 例2、化简（1）丰匚（旦 a 2?V b 2 (2) 2?3a a ?2 , x 0 x (, a R ), 若 f[ f ( 1)] 1,则 a=( 2 x ,x 0 例 3 、已知函数 f （ x ） 指数函数 突破思路 本节主要学习分数指数幂与指数函数． 1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a的n次幂表示n个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质： （1）aman＝am＋n；（2）am÷an＝am－n（a≠0，m＞n）；（3）（am）n＝amn； （4）（ab）n＝anbn；（5）（）n＝若（b≠0）． 另外规定了a0＝1（a≠0）、a－n＝（n为正整数，a≠0），这样一来，原来的5条运算律可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数． 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发． 从根式的基本性质＝（a≥0，m、n、pN*）， 我们知道a≥0时，＝a3＝，＝a4＝．于是我们规定： （1）＝（a≥0，m、nN*）； （2）＝（a＞0，m、nN*，n＞1）； （3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）aras＝ar＋s；（2）（ar）s＝ars； （3）（ab）r＝arbr，式中a＞0，b＞0，r、s为有理数． 3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性． （1）若a＝0，当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax没有意义； （2）若a＜0，如y＝（－2）x对于x＝、等都是没有意义的； （3）若a＝1，则函数为y＝1x＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性． 4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型． 5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题． 合作讨论 §2.5指数与指数函数 1．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 m n a＝ n a m(a>0，m，n∈N＋，且 m n为既约分数)；正数 的负分数指数幂的意义是 m n a ＝1 n a m (a>0，m，n∈N＋，且 m n为既约分数)；0的正分数指数幂 等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα，其中a>0，b>0，α，β∈Q. 2．指数函数的图象与性质 概念方法微思考 1．如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________． 提示c>d>1>a>b>0 2．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关． 提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0 题组二 教材改编 2．化简4 16x 8y 4(x <0，y <0)＝________. 答案 －2x 2y 3．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ????2，1 2，则f (－1)＝________. 答案 2 解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝2 2， 所以f (x )＝????22x ，所以f (－1)＝??? ?22－ 1＝ 2. 4．已知a ＝1 3 35- ?? ???，b ＝14 35- ?? ??? ，c ＝34 32- ?? ???，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c 14 35- ?? ???>0 35?? ??? ， 即a >b >1， 又c ＝3 4 32-?? ???<0 32?? ??? ＝1， ∴c 0， a ≠1， 解得a ＝2. 指数与指数函数 知识讲解 一、指数运算 1.根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根．即若a x n =， 则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ． ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0()0(||a a a a a a n n ． 2.幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN*； N 个 2）)0(10≠=a a ； 3）∈=-p a a p p (1Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ． ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）． 注：上述性质对r s R ∈、均适用． 二、指数函数 1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数． 2.函数图像： f x () = 1 2( = 2x 1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小． 3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的 图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log x a y a y x ==与的图象关于直 线y x =对称． 指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C.22＝2 D ．a 0 ＝1 2、.(a －b )2＋5(a －b )5 的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2 ＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N * ，以下运算中正确的是( ) 个性化教学辅导教案 学科：数学任课教师：吕老师授课时间：2020 年9月19日(星期六) ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质 函数 y ＝a x (a >0，且a ≠1) 图象 01 图象特征 在x 轴上方，过定点(0，1) 当x 逐渐增大时，图象逐渐下降 当x 逐渐增大时，图象逐渐上升 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 单调性 减 增 函数值 变化 规律 当x ＝0时，y ＝1 当x <0时，y >1； 当x >0时，0 1 第 讲 指数函数 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 1．在区间 上为增函数的是（ B ） A ． B ． C ． D ． 2 ．函数是单调函数时，的取值范围 （ A ） A ． B ． C ． D ． 3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在 有 （ A ） A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D ． 没有最小值 4．函数 ， 是（ B ） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．不具有奇偶函数 D ．与有关 5．函数在 和都是增函数，若 ，且 那么（ D ） A ． B ． C ． D ．无法确定 6．函数在区间 是增函数，则 的递增区间是 （ B ） A ． B ． C ． D ． 2 三、方法培养 ☆专题1：指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 例1 指出下列函数那些是指数函数： （１）4 x y =（２）x y 4 = （３）4 x y - = （４）) 4( -=x y （５） π =y x （6）x y 2 4 =（7）x x y = （８）)1,2 1 (( ) 12≠> =-a a y a x 解析：利用指数函数的定义解决这类问题。 解：（１），（５），（８）为指数函数 变式练习1 1函数2 (33)x y a a a =-+?是指数函数，则有（ ） Ａ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且1≠a 答案:C 2. 计算:1054 32)(0625.08 33416 --+++π; 解：(1)1054 32)(0625.08 33416 --+++π =(425)21 +(827)31 +(0.062 5)41 +1-2 1 =(25)2×21+(23)31 3?+(0.5)41 4?+2 1 = 25+23+0.5+2 1 =5; ☆专题2：指数函数的图像与性质 一般地,指数函数y=a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示： a ＞1 0＜a ＜1 图象 指数函数讲义经典整理(含答案) 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数(01) x y a a a 且叫做指数函数，其中x是自变量，函=>≠ 数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图 像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01 <<<<<， c d a b 在y轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”， 像1223,,21x x y y x y y =?===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数 x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1,a a ??- ??? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数，且． （1）求m的值； （2）判定f（x）的奇偶性； （3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判 .. 指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数y a x ( a 0且 a 1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点 3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如 图所示，则0 c d 1 a b ， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点 4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算. .下载可编辑. . .. ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函 数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或 方程组来求值 1 ④在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像y 2 3x, y x2, y 3x 2, y 2x1等 函数均不符合形式y a x a 0且a 1 ，因此，它们都不是指数函数 1 ⑤ 画指数函数y a x的图像，应抓住三个关键点：1,a , 0,1 , 1, a 二、同步题型分析 题型 1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例 1：已知函数，且． （1）求 m的值； （2）判定 f （ x）的奇偶性； （3）判断 f （ x）在（ 0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （ 1）欲求 m的值，只须根据 f （ 4） = 的值，当x=4 时代入 f （ x）解一个指数方程即可； （ 2）求出函数的定义域x|x ≠0} ，利用奇偶性的定义判断 f （ x）与 f （﹣ x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取 0＜ x1＜ x2，只要证明 f （x1）＞ f （ x2），即可．解 答： 解：（ 1）因为，所以，所以m=1． （ 2）因为 f （ x）的定义域为 {x|x ≠0} ，又， 所以 f （ x）是奇函数． （ 3 ）任取x1 ＞x2 ＞0 ，则 ，高中数学完整讲义指数与指数函数1指数基本运算
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