北京市丰台区2015年初三毕业及统一练习（二）
数 学 试 卷
学校 姓名 准考证号
考生须知
1．本试卷共7页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．1
3
的倒数是
A ．3
B ．3-
C ．13
D ．1
3
-
2．一根头发丝的直径约为0.00 006纳米，用科学记数法表示0.00 006，正确的是 A ．6×10-6 B ． 6×10-5 C ． 6×10-4 D ． 0.6×10-4 3．下面的几何体中，主视图为三角形的是
A
B
C D
4．函数2y x =
-中，自变量x 的取值范围是
A ． 2x ≠
B ． 2x ＞
C ． 2x ≥
D ． 2x ≤
5．妈妈在端午节煮了10个粽子，其中5个火腿馅，3个红枣馅，2个豆沙馅（除馅料不同外，其它都相同）．煮好后小明随意吃一个，吃到红枣馅粽子的概率是 A ．
1
10 B ．15 C ．310 D ． 1
2
6． 下面的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D
菱形
扇形
平行四边形
等边三角形
7．如图，A ，B 是函数2
=
y x
的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴， AC ∥y 轴，如果△ABC 的面积记为S ，那么 A ．4S = B ．2S = C ．24S ＜＜ D ．4S ＞
8．甲、乙、丙、丁四位同学角逐“汉字听写大赛”的决赛资 格，表中统计了他们五次测试成绩的平均分和方差．如果 从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参 加全市“汉字听写大赛”，那么应选
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF =143°，AB =AE =1.2米， 那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为 （参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）
A B C D
10．如图，点N 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，（不与点A ，
B 重合），AB =4，M 是OA 的中点，设线段MN 的长为x ，△MNO 的面积为y ，那么下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 A B
C D
甲 乙 丙 丁
平均分 80 80 85 85 方 差 59 41 54
42
F
C
B
A E E
A
F
C
B
O y
A x
A O B
M N
图3
图1 图 2
A
E F
y
O 12
1
3
x
y
O 121
3x y
O 121
3x y
O
1
2
1
3
x
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：34a a -= ．
12．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ， 如果
3
5
AD DB =，AE =6，那么EC 的长为 ． 13．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部
分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知
AB 的长是_________m ．
14．将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，那么=h k + ． 15．在四边形ABCD 中，如果AB AD =，AB CD ∥，请你添加一个．．
条件，使得该四边形是菱形，那么这个条件可以是 . 16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的表达式是y ＝
3
3
x ，点A 1坐标为(0，1)，过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交y 轴于点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点B 4的坐标为 ，2015OA = ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算： 2015
3822cos45+--+?（-1）．
18．已知：如图，AB =AE ，∠1=∠2 ，∠B =∠E ．
求证：BC =ED ．
2m
A B
C
O A B C
E
D
图1
图2
21
A
E
D
l : y=
33x
y x
O
B 3
B 2
B 1
A 4
A 3A 2A 1
19．解不等式组：240,
321 5.x x +??-->?≤（）
20．已知3=y x ，求代数式2
2212y x y x xy y x ??--? ?-+??
的值．
21．已知关于x 的方程2
(3)30(0)mx m x m -++=≠．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m 的值．
22．列方程或方程组解应用题：
为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AFE ，点F 恰好
落在线段DE 上．
（1）求证：∠F AD =∠CDE ；
（2）当AB =5，AD =6，且tan 2ABC ∠=时，求线段EC 的长．
B
F
A
C
E
D
24．某校九年级有200名学生参加《中小学生国家体质健康标准》测试赛活动．为了解本
次测试的成绩分布情况，从中抽取了20名学生的成绩进行分组整理．现已完成前15个数据的整理，还有后5个数据尚未累计：
62，83，76，87，70，
学生测试成绩频数分布表 学生测试成绩频数分布直方图
（1）请将剩余的5个数据累计在“学生测试成绩频数分布表”中，填上各组的频数与频率，
并补全“学生测试成绩频数分布直方图”；
（2）这20个数据的中位数所在组的成绩范围是 ；
（3）请估计这次该校九年级参加测试赛的学生中约有多少学生成绩不低于80分.
25．如图，AB 是⊙O 的直径，以AB 为边作△ABC ，使得AC = AB ，BC 交⊙O 于点D ，联
结OD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ． （1）求证：OD ∥AC ； （2）当AB =10，5
cos 5
ABC ∠=时，求BE 的长．
成绩x （分） 频数累计 频数 频率 50≤x ＜60 3 0.15 60≤x ＜70 70≤x ＜80 80≤x ＜90 90≤x ≤100
5 0.25
合计
20
1.00
O
A
B
E
C
F
D
135
7成绩（分）
10090
807060506
28
4
0频数
26．问题背景：
在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为5，32，17，求这个三角形的面积．
小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．
C
B
A
图1 图2 （1）请你直接写出△ABC 的面积________； 思维拓展：
（2）如果△MNP 三边的长分别为10，25，26，请利用图2的正方形网格(每个
小正方形的边长为1)画出相应的格点△MNP ，并直接写出△MNP 的面积．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过
(13)A ，，(21)B ，两点.
（1）求抛物线及直线AB 的解析式；
（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在 点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如 果图象G 沿y 轴向上平移t （0t >）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求t 的取值范围．
56
765
4412312332
12
1
3
x
O
y
28． 已知△ABC 是锐角三角形，BA =BC ，点E 为AC 边的中点，点D 为AB 边上一点，且
∠ABC =∠AED =α．
（1）如图1，当α=40°时，∠ADE = °；
（2） 如图2，取BC 边的中点F ，联结FD ，将∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度β(β<α)，
得到∠MEN ，EM 与BA 的延长线交于点M ， EN 与FD 的延长线交于点N ． ①依题意补全图形；
②猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论．
A B E
C
D D C
E
B
A
图1 图2
29．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ≤，
那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．
（1）分别判断函数1
y x
=- （0x ＜）和23y x =-（2x ＜）
是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界； （2）如果函数2y x =-+ （,a x b b a ≤≤＞）的上确界是b ，
且这个函数的最小值不超过21a +，求a 的取值范围； （3）如果函数2
22y x ax =-+（15x ≤≤）是以3为上确界的 有上界函数，求实数a 的值.
5
4
412
12312
1
3
x
O y
丰台区2015年度初三统一练习(二)参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A
B
B
C
C
D
A
D
A
D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
题号 11 12 13 14 15
16
答案
(2)(2)a a a +-
10
2
π3
3
AB =CD 或AD BC ∥[
或A C 平分∠BAD 等． 838（，） 20142
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．解：原式 =2
12222
-+-+…4分
=1....5分
18．证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD =∠2+∠BAD ． 即∠BAC =∠E AD ．……1分 ∵AB =AE ，∠B =∠E ，……2分 ∴ △ABC ≌△AED ．……4分 ∴BC =ED ．……5分
19．解：240,
321 5.x x +??-->?≤（②）①
由①得： 2.x -≤…1分
由②得： 0.x ＜……3分
….4分
∴ 2.x ≤-
…….5分
20. 解：
原式=22222
22x xy y y x y x xy y x
-+--?-+…1分 =
2
(2)()x x y x y
x y x
--?-……2分 =2x y
x y
--……3分 ∵3x
y
=，∴3x y =.……4分 ∴
原式=321
322
y y y y y y -==-. …….5分
21．（1）证明：
2
=343m m +-??△（），……1分
=26+9m m - =
2
3m -（）≥0. ∴方程总有两个实根． ……2分
（2）解：2
3(3)2m m x m
+±-= . ……3分
解得1231,.x x m ==
……4分 ∵
方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1， ∴3
1,.m m
为大于的整数且为整数 ∴=1.m …….5分
22. 解：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶
x 千米，根据题意列方程得：…1分
1010
445
x x =?+………3分 解得：15x = ………4分
经检验15x =是原方程的解且符合实际意义. 答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千
米. ………5分
20
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23.（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠B =∠ADC . …….1分
∵将△BAE 沿AE 翻折得到△F AE ，点F 恰好落在线段DE 上， ∴△ABE ≌△AFE ．∴∠B =∠AFE . …….2分
∴∠AFE =∠ADC ．∵∠F AD =∠AFE -∠1，∠CDE =∠ADC -∠1， ∴∠F AD =∠CDE ．…….3分
（2）过点D 作DG ⊥BE 的延长线于点G ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，CD =AB =5. ∴∠2=∠B ，∠3=∠EAD ．
由（1）可知，△ABE ≌△AFE ，∴∠B =∠AFE ， ∠3=∠4．∴∠4=∠EAD ．∴ED =AD =6. 在Rt △CDG 中，∴tan ∠2= tan ∠ABC =
2DG
CG
=．∴DG =2CG ．…….4分 ∵222DG CG CD += ，∴()2
22
25CG CG +=.∴CG =5， DG =25．
在Rt △EDG 中， ∵222EG DG DE += ，∴EG =4．∴EC =45-．…….5分 24．（1）如下表和图：…3分
（2）80≤x ＜90；…4分（3）200×（0.30+0.25）=110．…5分 25．（1）证明：联结AD ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，AD ⊥BC . ∵AC = AB ，∴12∠=∠．…….1分 ∵OA OD =，∴13∠=∠． ∴23∠=∠，∴OD ∥AC ．…….2分
（2）∵AC = AB =10，
成绩x （分） 频数累计 频数 频率 50≤x ＜60 3 0.15 60≤x ＜70 2 0.10 70≤x ＜80
4 0.20 80≤x ＜90 正一 6 0.30 90≤x ≤100 正
5 0.25 合计
20
1.00
3
21D
F C
E
B
A
O
43
2
1
G
B
F
A
C
E
D
1
3
5
7成绩（分）
10090
807060506
2
8
4
频数
∴B C ∠=∠．∴cos C =5cos 5
ABC ∠=
． 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，5
cos 5
BD ABC AB ∠==， ∴BD =25．∴CD = BD =25．….3分
∵EF 为⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，由∵OD ∥AC ，∴∠DFC =90°. …….4分 在Rt △CDF 中，cos C =
5
5
CF CD =，∴CF =2．∴AF =8． ∵OD ∥AC ，∴ODE ?∽AFE ?．∴OE OD AE AF =．∴OB BE OD
AB BE AF
+=+． ∵152OB OA OD AB ====,∴10
3
BE =．…….5分
26. 解：（1）△ABC 的面积是4.5；…….2分
（2）如右图: …….4分
△MNP 的面积是7. …….5分
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27 . 解：（1）∵抛物线21y ax bx =++过(13)A ，，(21)B ，两点．
∴13
4211a b a b ++=??++=?
．…….1分
解得，24a b =-??=?
．
∴抛物线的表达式是2
24+1y x x =-+．…….2分 设直线AB 的表达式是y mx n =+ ， ∴321m n m n +=??
+=? ，解得，2
5m n =-??=?
．…….3分
∴直线AB 的表达式是25y x =-+．…….4分 （2）∵点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．
∴C （3，-5）．…….5分
点C 平移后的对应点为点'(3,5)C t -
代入直线表达式25y x =-+，解得4t =．…….6分
结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是04t <≤． …….7分
M P
N
28. 解：（1）°
70ADE ∠=；…….1分
（2）①见右图；…….2分
②EM EN =．…….3分
证明：∵ABC AED α∠=∠=，BAC BAC ∠=∠．
∴°
902
EDA ACB α
∠=∠=-
．
∵BA BC =，
∴ACB BAC ∠=∠，即EDA BAC ∠=∠． ∴EA ED = . …….4分
∵E 是AC 中点，∴EA EC =． ∴EA EC ED ==．
∴点,,A D C 在以AC 为直径的圆上．∴°
90ADC ∠=．. …….5分 而°
°
°
°180180(90)9022EAM EAD α
α
∠=-∠=--
=+
．
∵点F 是BC 中点，∴FD FB =．∴FDB ABC α∠=∠=．
∴°
°90902
2EDN EDA ADN EDA FDB α
α
α∠=∠+∠=∠+∠=-+=+
.
∴EAM EDN ∠=∠．…….6分 ∵ ∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ， ∴ ∠AED=∠MEN ， ∴∠AED - ∠AEN=∠MEN -∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED ． ∴ ΔEAM ≌ΔEPN ． ∴ EM=EN ．…….7分
29. 解：（1）1
y x
=-
（0x <）不是有上界函数；…….1分 23y x =- （2x <）是有上界函数，上确界是1. …….2分
（2）∵在y =-x +2中，y 随x 的增大而减小，∴上确界为2a -，即2a b -=. 3分
又b a >，所以2a a ->，解得1a <. …….4分
∵函数的最小值是2b -，∴221b a -≤+，得21a a ≤+，解得1a ≥-. 综上所述：11a -≤<.…….5分 （3）函数的对称轴为x a =.…….6分
①当3a ≤时，函数的上确界是251022710a a -+=-.
∴27103a -=，解得12
5
a =
，符合题意. …….7分 ②当3a >时，函数的上确界是12232a a -+=-.
∴323a -=，解得0a =，不符合题意. 综上所述：12
5
a =
.…….8分