170
P.204 习题
1．按定积分定义证明：
)(a b k kdx b a
-=?
证明 对],[b a 的任一分割T ：b x x x a n =<<<= 10，其Riemann 和为
)()()()(1
1111
a b k x x k x x
k x f n
i i i n
i i i
n i i
i
-=-=-=?∑∑∑=-=-=ξ，所以当分割的模0
→T 时，积分和
∑=?n
i i
i
x
f 1
)(ξ的极限为)(a b k -，从而
)(a b k kdx b a
-=?
2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集}{i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：
⑴
?
10
3dx x
解 因为3
)(x x f =在]1,0[连续，故3
x 在]1,0[的定积分存在。现在将]1,0[n 等分，其分点为：n i x i =
，n i ,,1,0 =，i ξ取为小区间],1[
n
i
n i -的右端点，于是Riemann 和为)(41)1(4
111
1)()(2
24
1
34
131∞→→+?=
==?∑∑∑===n n n n i n n n
i x f n
i n
i n
i i i ξ，所以 4
1
10
3=
?
dx x ⑵
?
10
dx e x
解 因为x
e x
f =)(在]1,0[连续，故)(x f 在]1,0[的定积分存在。现在将]1,0[n 等
分，其分点为：n i x i =
，n i ,,1,0 =，i ξ取为小区间],1[
n
i
n i -的右端点，于是Riemann 和为
)(11)1(111)(1111
1
∞→-→--?===?∑∑∑
===n e e e e n
e n n e
x f n
n
n
i n
i n
i n
i
n
i i i ξ
171
（因为11lim
0-=-→x x e x
，所以111
lim
1-=-∞
→n
n e
n ）
，从而11
-=?e dx e x ⑶
?
b a
x dx e
解 因x e x f =)(在],[b a 连续，故)(x f 在],[b a 可积，将],[b a n 等分，其分点为：
)(a b n i a x i -+
=，n i ,,1,0 =，i ξ取为小区间)](),(1[a b n
i
a a
b n i a -+--+的右端点，于是Riemann 和
∑∑∑=-=-+=-=-=?n
i i n
a
b a n
i a b n
i
a n
i i
i
e n a b e n a b e
x f 1
1
)(1
)(ξ
a b n
a b a b n
a b a
e e e
e e n
a b e -→--?
-=---1)
1(，)(∞→n
所以a b b a
x e e dx e -=?
⑷
?b
a x dx
2（b a <<0）
解 因21
)(x
x f =在],[b a 连续，故)(x f 在],[b a 可积，对],[b a 的任一分割
},,,,{210b x x x x a T n === ，取],[11i i i i i x x x x --∈=ξ（n i ,,1,0 =），于是Riemann 和
b a x x x x x x x f n
i i i n
i i i i i n
i i
i 1
1)11()(111111-=-=-=?∑∑∑=-=--=ξ 所以
b a x dx b
a 1
12-=?
P.206 习题
1．计算下列定积分： ⑴
4)3()32(1
21
=+=+?
x x dx x
172
⑵ 12)arctan 2()121(12)1(1110102
1022
1
022-=+-=++-=+++-=+-???πx x dx x dx x x x x ⑶ 2ln |ln |ln ln ln ln 2
22
===??
e e e e e e
x x
x d x x dx ⑷
1)(21)(21)1(212)1(211
01021021
0-+=+=-=-=------???e e e e de e dx e e dx e e x
x x x x x x x ⑸
3
3)(tan )1(sec tan 3030
2
30
2
π
π
π
π-
=-=-=??
x x dx x xdx
⑹
344
)232()1
(
9
4
9
4=
+=+
?x x x dx x x ⑺
?+
40
1x
dx
解 令t x =代入得，
3ln 24)11
1(2121202
04
-=+-=+=+
??
?dx t t tdt x
dx ⑻ 3
2)
(ln 31ln )(ln )(ln 11
3
1212=
==??e e
e e
e
e x x d x dx x x 2．利用定积分求极限： ⑴ )1)2(1(1lim )21(1lim
333
34+++=+++∞→∞→ n
n n n n n n
411)(lim 10313===?∑=∞→dx x n n
i n
i n ⑵ ??
?
???
++++++∞
→222)(1)2(1)1(1lim n n n n n n ??
???
?
??????++++++=∞→222)1(1)21(1)11(11lim n n n n n n
173
21
)1(11)
1(1lim 1021
2=
+=+=?∑
=∞
→dx x n n
i n
i n ⑶ ???
??+++++∞
→2222212
111
lim n n n n n 4111)(11lim )(11)
2(111111lim 1021
2222π=+=+=?
????
? ?
?
++++++=?∑=∞→∞→x n n i n n
n n n n i n n
⑷ ππππππ2
sin 1sin lim 1sin 2sin sin 1lim 101
===??? ??-+++?∑=∞→∞→xdx n n i n n n n n n i n n
3．证明：若f 在],[b a 上可积，F 在],[b a 上连续，且除有限个点外有)()(x f x F ='，则有
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
证 设除有限个点：m y y y ,,,21 外有)()(x f x F ='. 对于],[b a 的任一分割T '，设T 是分割T '添加分点m y y y ,,,21 后所得到的分割，设T 的分点为：n x x x ,,,21 . 在每个小区间],[1i i x x -上对)(x F 使用Lagrange 中值定理，则分别存在),(1i i i x x -∈ξ，使得
∑∑∑===-?=?'=-=-n
i i i n i i i n i i i x f x F x F x F a F b F 1
1
1
1)()()]()([)()(ξξ
所以?
∑=?=-=→'b
a
n
i i
i
T dx x f x f a F b F )()(lim
)()(1
||||ξ.
P.212 习题
1．证明：若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则
∑∑?≤'?''
T
i
i
T i
i
x
x ωω.
证 不失一般性，这里只证明T '是T 增加一个分点的情形.
在T 上增加一个新分点，它必落在T 的某一个小区间k ?内，而且将k ?分为两个新的
174
小区间，记为k ?'与k ?''. 但T 的其它小区间没有改变，仍是新分割T '所属的小区间，从而
∑?T
i
i x
ω与
∑'
'?'T i
i
x ω的差别仅仅是∑?T
i
i
x
ω中的k k x ?ω一项换成了
∑'
'?'T i
i
x ω中的
k k
x '?'ω与k k x ''?''ω两项（这里k ω'与k ω''分别是f 在k ?'与k ?''上的振幅，显然k k ωω≤'，k k
ωω≤''），所以 0)()()()()(≥''?'-+'?'-=''?''+'?'-''?+'?=''?''+'?'-?='?'-?∑∑'
k k k k k k k k k k k k
k k k k k
k
k
T i
i
T
i
i
x x x x x x x x x
x x ωωωωωωωωωωωω
即
∑∑?≤'?''
T
i
i
T i
i
x
x ωω
2．证明：若f 在],[b a 上可积，],[],[b a ?βα，则f 在],[βα上也可积. 证 因f 在],[b a 上可积，所以对任给的0>ε，存在分割T ，使得
εω
i
i x
. 设
T '是T 增加分点α，β后所得的分割，于是有εωω
T
i i T i i x x . 记T '限制在区
间],[βα上的分割为1T ，则有εωωω
T
i
i
T i
i
T i
i
x
x x 1
，
所以由定理9.3’，f 在],[βα上可积.
3．设f 、g 均为定义在],[b a 上的有界函数. 证明：若仅在],[b a 中有限个点处
)()(x g x f ≠，则当f 在],[b a 上可积时，g 在],[b a 上也可积，且??=b
a
b a
dx x g dx x f )()(
证 设f 在],[b a 上可积，?
=
b
a
dx x f J )(，在],[b a 中有限个点：n x x x ,,,21 处，
)()(x g x f ≠，令|})()({|max 1k k n
k x g x f M -=≤≤. 因f 在],[b a 上可积，对任给的0>ε，
存在0>δ（不妨设nM 41<
δ），使得当分割T 的模δ<||||T 时，2|)(|ε
ξ<-?∑J x f T
i i . 2
||||2|)()(|ε
ξξ<
≤?-∑T nM x f g T
i i i
175
从而|)(||)()(||)(|
J x f x f x g J x
g T
i i T
i i T
i i T
i
i
-?+?-?≤-?∑∑∑∑ξξξξ
εε
ε
=+
<
2
2
所以
??
==b
a
b
a
dx x f J dx x g )()(
4．设f 在],[b a 上有界，],[}{b a a n ?，c a n n =∞
→lim . 证明：若f 在],[b a 上只有n a （ ,2,1=n ）为其间断点，则f 在],[b a 上可积.
证 设ω为f 在],[b a 上的振幅，对任给的0>ε，取},,6m
i n {0c b a c --<<ω
ε
δ则f 在],[δ-c a 上只有有限个间断点，于是f 在],[δ-c a 上可积，从而存在区间
],[δ-c a 的分割1T ，使得f 在],[δ-c a 上的振幅和3
1
ε
ω<
'?'∑T i i x ；同样，f 在]
,[b c δ+上只有有限个间断点，f 在],[b c δ+上也可积，存在区间],[b c δ+的分割2T ，使得f 在
],[b c δ+上的振幅和3
2
ε
ω<
''?''∑T i i x . 最后把分割1T 和2T 与小区间],[δδ+-c c 合并，构
成区间],[b a 的分割T ，f 在],[b a 上的振幅和
εε
ε
ε
δωωωω=+
+
<
?+''?''+'?'≤?∑∑∑3
3
3
21
1
T i i T i i T
i i x x x
所以f 在],[b a 上可积.
5．证明：若f 在区间?上有界，则)(sup x f M I
x ∈=，)(inf x f m I
x ∈=，证明
|)()(|sup )(inf )(sup ,x f x f x f x f x x x x ''-'=-?
∈'''?
∈?
∈
证明方法与P.22，第16题相同.
P.219 习题
1．证明：若f 与g 都在],[b a 上可积，则?
∑=?=→b a
n
i i
i
i
T dx x g x f x g f )()()()(lim
1
||||ηξ，
176
其中i i ηξ,是T 所属小区间i ?中的任意两点，n i ,,2,1 =.
证 因为?
∑=?=→b a
n
i i
i
i
T dx x g x f x g f )()()()(lim
1
||||ξξ，于是对任给的0>ε，存在
01>δ，当1||||δ |)()()()(|1 ε ξξ< -??∑=b a n i i i i dx x g x f x g f . 因为f 在],[b a 上可积，所以有界，即存在0>M ，使得对任何],[b a x ∈都有 M x f ≤|)(|. 又因为g 在],[b a 上可积，故存在02>δ，当2||||δ ,[b a 上的振幅和 M x T i i 2ε ω< ?∑. 现在取},min{21δδδ=，当δ<||||T 时， |)()()()(|1 ?∑-?=b a n i i i i dx x g x f x g f ηξ |)()()()(||)()()()(|1 1 1 ?∑∑∑-?+?-?≤===b a n i i i i n i i i i n i i i i dx x g x f x g f x g f x g f ξξξξηξ εε ε ξξω=+ < -?+? 2 |)()()()(|1 1 b a n i i i i n i i i dx x g x f x g f x M 所以?∑=?=→b a n i i i i T dx x g x f x g f )()()()(lim 1 ||||ηξ 2．不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小. ⑴ ? 10 dx x 与?1 2dx x 解 因为在)1,0(上x 与2 x 都连续，且2 x x >，所以 ?? >1 210 dx x dx x ⑵ ? 2 π dx x 与?20 sin π dx x 177 解 因为在)2 , 0(π 上x 与x sin 都连续，且x x sin >，所以??>20 20 sin ππdx x dx x 3．证明下列不等式： ⑴ 2 sin 2 1 12 20 2π π π < - x dx 证 因为在)2 , 0(π 上， 1sin 21 12 1 2<- 1 1112<-< x 从而 2 sin 2 1 12 20 2π π π < - x dx ⑵ e dx e x << ? 10 2 1 证 因为在)1,0(上，e e x <<2 1，所以e dx e x < 2 1 ⑶ 2 sin 120 π π << ? dx x x 证 因为在)2,0(π上，1sin 2 < sin 12 0π π < ? e e dx x x e 证 设x x x f ln )(=，先求f 在)4,(e e 上的最大值和最小值. 因为x x x x x x x x x x 2ln 2ln 21 1)ln (-=-='，得稳定点2 e x =. 计算在稳定点和区间 178 端点处的函数值e e f 1)(= ，e e e f 24ln )4(= ，e e f 2 )(2 = . 比较可知f 在)4,(e e 上的最大值为e e f 2)(2 = ，最小值为e e f 1)(=，所以f 在)4,(e e 上e x x e 2ln 1<<，从而 6ln 34< e e dx x x e 4．设f 在],[b a 上连续，且)(x f 不恒等于零，证明 0)(2>? b a dx x f 证 设有],[0b a x ∈，使得0)(0≠x f ，于是0)(02>x f . 因为f 在],[b a 上连续，由连续函数的局部保号性，存在0x 的某邻域),(00δδ+-x x （当a x =0或b x =0时，则 为右邻域或左邻域），使得在其中02 ) ()(022 >> x f x f . 从而 ? ? ? ? ++--++=b x x x x a b a dx x f dx x f dx x f dx x f δ δδ δ0000)()()()(2222 0)(2 ) ()(02022 0000>=>≥? ?+-+-δδδ δδ x f dx x f dx x f x x x x 5．设f 与g 都在],[b a 上可积，证明 )}(),({max )(] ,[x g x f x M b a x ∈=， )}(),({min )(] ,[x g x f x m b a x ∈= 在],[b a 上也都可积. 证 因为|])()(|)()([2 1 )}(),({max )(] ,[x g x f x g x f x g x f x M b a x -++= =∈， |])()(|)()([2 1 )}(),({min )(],[x g x f x g x f x g x f x m b a x --+==∈，所以)(x M ，)(x m 在 ],[b a 上也都可积. 6．试求心形线)cos 1(θ+=a r ，πθ20≤≤上各点极径的平均值. 179 解 所求平均值为 a a d a d a =?= += +? ? ππ θθπ θθπ ππ22)cos 1(2)cos 1(2120 20 7．设f 在],[b a 上可积，且在],[b a 上满足0|)(|>≥m x f . 证明f 1 在],[b a 上也可积. 证 因f 在],[b a 上可积，对任给的0>ε，存在分割T ，使得 εω 2m x T i f i 于分割T 所属的每一个小区间i ?， f 1 在i ?上的振幅 2,,1|)(||)(||)()(|sup |)(1)(1|sup m x f x f x f x f x f x f f i x x x x f i i i ωω ≤ ''?''-''=''-'=?∈'''?∈''' 所以 εωωω ?≤?∑∑ ∑T i f i T i f i T i f i x m x m x 2 2 11，因此 f 1 在],[b a 上可积. 8．证明积分第一中值定理中的中值点),(b a ∈ξ 证 反证法. 假设对任何),(b a x ∈，都有μ=-≠ ?b a dx x f a b x f )(1 )(. 则由f 在],[b a 的连续性，知对任何),(b a x ∈，恒有μ>)(x f （或μ<)(x f ），从而有 μ)()(a b dx x f b a ->? （或μ)()(a b dx x f b a - ） ，这与μ=-?b a dx x f a b )(1 矛盾. 类似地可证明定理9.8的情形. 9．证明：若f 与g 都在],[b a 上可积，且)(x g 在],[b a 上不变号，m M ,分别为)(x f 在],[b a 上的上、下确界，则必存在某实数μ（M m ≤≤μ），使得 ?? =b a b a dx x g dx x g x f )()()(μ 证 不妨设0)(≥x g ，],[b a x ∈. 于是)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，],[b a x ∈， 从而 ???≤≤b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()(. 180 若 0)(=? b a dx x g ，则由上式知0)()(=?b a dx x g x f ，于是对任何μ，结论都成立. 若 0)(>? b a dx x g ，则M dx x g dx x g x f m b a b a ≤≤ ? ?)()()(，令? ?= b a b a dx x g dx x g x f )()()(μ，知 ?? =b a b a dx x g dx x g x f )()()(μ，且M m ≤≤μ. 10．证明：若f 在],[b a 上连续，且 0)()(==?? b a b a dx x xf dx x f ，则在),(b a 内至 少存在两点21,x x ，使0)()(21==x f x f . 又若0)(2=? b a dx x f x ，这时f 在),(b a 内是 否至少有三个零点？ 证 由积分第一中值定理（习题8），存在),(1b a x ∈，使得? =b a dx x f x f )()(1，所 以有0)(1=x f . 令)()()(1x f x x x g -=，则0)()()(1=-=??? b a b a b a dx x f x dx x xf dx x g ，g 在] ,[b a 上连续. 假设对任何),(1x a x ∈，及),(1b x x ∈都有0)(≠x g ，则由g 在),(b a 上连续，知g 在),(1x a 上恒正（或恒负），在),(1b x 上恒负（或恒正），从而f 在),(1x a 上恒负（或恒正），在),(1b x 上恒负（或恒正），于是 0)(1 x a dx x f 且 0)(1 b x dx x f ，所以 0)( 0)(1>? x a dx x f 且 0)(1 >? b x dx x f ， 0)(>? b a dx x f ），这与 0)(=? b a dx x f 矛盾，故至少存在一点),(2b a x ∈，12x x ≠，使得0)(2=x g ，从而 0)(2=x f . 11．设f 在],[b a 上二阶可导，且0)(>''x f . 证明： 181 ⑴ ?-≤+b a dx x f a b b a f )(1 )2( ⑵ 又若0)(≤x f ，],[b a x ∈，则又有?-≥ b a dx x f a b x f )(2 )(，],[b a x ∈. 证 ⑴ 由P.149公式（5），对任何],[,1b a x x ∈有，))(()()(111x x x f x f x f -'+≥，取21b a x += ，并在],[b a 上积分，得 ))(2 ()2()2())(2()(a b b a f dx b a x b a f a b b a f dx x f b a b a -+=+-+'+-+≥?? 所以?-≤+b a dx x f a b b a f )(1 )2( ⑵ 12．证明： ⑴ n n n ln 11 211)1ln(+<+++ <+ ⑵ 1ln 1211lim =+++∞→n n n 证 ⑴ 因为x x f 1 )(=单调递减，所以有 k dx k dx x dx k k k k k k k k 1111111111=<<+=+???+++ 取1,,2,1-=n k ，依次相加，得 ∑?∑?∑-=-=+-=<==<+1111111 11 ln 1111n k n n k k k n k k n dx x dx x k 所以n n n ln 11 211)1ln(+<+++ <+ ⑵ 因为n n n ln 11 211)1ln(+<+++<+ ，所以 n n n n n n ln ln 1ln 1211ln )1ln(+<+++< + ，从而1ln 1211lim =+ ++∞→n n n 182 P.229 习题 1．设f 为连续函数，v u ,为可导函数，且可实行复合u f 与v f . 证明： )())(()())(()() ()(x u x u f x v x v f dt t f dx d x v x u '-'=? 证 ))()(()()()()()(???+=x v a a x u x v x u dt t f dt t f dx d dt t f dx d )())(()())(()()()()(x v x v f x u x u f dt t f dx d dt t f dx d x v a a x u '+'-=+=?? 2．设f 在],[b a 上连续，? -=x a dt t x t f x F ))(()(. 证明)()(x f x F =''，],[b a x ∈. 证 ))(())(())()(( )('-'='-='??? ? x a x a x a x a dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf x F ??=-+=x a x a dt t f x xf x xf dt t f )()()()( 所以)())(( )(x f dt t f x F x a ='=''? 3．求下列极限： ⑴ 11 cos lim cos lim cos 1lim 2 00 20 20===→→→??x x dt t dt t x x x x x x ⑵ 022lim 2lim 2lim )(lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 22 ===?=∞ →∞ →∞ →∞ →??? ?x x x x x t x x x x t x x t x t x xe e e dt e e e dt e dt e dt e 4．计算下列定积分 ⑴ 7 2cos 72cos cos 22sin cos 207 20 6 2 5 =-=-=? ? π π π x x d x dx x x ⑵ ? -10 24dx x 解 令t x sin 2=， 2 3 3 )2cos 1(2cos 4460 60 2 10 2 + = +==-??? π π π dt t dt t dx x ⑶ ? -a dx x a x 0 222（0>a ） 解 t a x sin =， 183 ? ?? =??=-20 224 20 2 2 2 22 cos sin cos cos sin π πdt t t a dt t a t a t a dx x a x a 16)1634()sin sin (4 4 204 202 4 a a dt t dt t a πππ π π=-=-=??(这里用了P.227,公式（12）) ⑷ ??+-=+-10321 0232]4 3)21[(1 )1(1 dx x dx x x 34)]43)21[(21(34)]43)21[(21(341 2 121 12=+-- =+--=?x x x x d 解法2：令t x tan 2 321=- ， 3 421234cos 234sec 134)1(10661 0232=??=?==+-???-πππdt t dt t dx x x 解法3：令x t x x -=+-12 ??-+-?---=+-212 23 21 0232) 12()1(2) 1 21(1)1(1 dt t t t t t t dx x x 34 ) 1()1(2)1(12221222 2 122=+-+-=+--=?? t t t t d dt t t t ⑸ 4 arctan arctan 1 1 110 1021 0π - ==+=+??-e e de e dx e e x x x x x ⑹ 4 sin arctan sin 1sin sin 1cos 20202202πππ π==+=+??x x x d dx x x ⑺ 12 12 11arcsin arcsin 10 2 1 2 1 010 -= -+= --=??π π x dx x x x x dx x 184 ⑻ ??? -==20 20 20 20 cos sin sin sin π π ππdx x e x e de x dx x e x x x x ??-+=--=20 220 20 2sin 1sin cos π ππ π π dx x e e dx x e x e e x x x 所以 )1(2 1 sin 220+=?π π e dx x e x ⑼ e e e e e e x x x x dx x dx x dx x 1111 111)1(ln )1(ln ln ln |ln |-+--=+-=??? e e 22121-=+- = ⑽ ? 1 dx e x 解 令t x =， 2)1(2)(221 10 1 10 =+-=-==?? e e e te dt t e dx e t t t x ⑾ ? +-a dx x a x a x 0 2 （0>a ） 解 ?? --=+-a a dx x a x a x dx x a x a x 02 2 2 2 令t x sin =，于是 ?? -=+-20220 2 cos cos sin sin πdt t a t a t a a t a dx x a x a x a )3 2 4( )sin (sin 320 323-=-=? π πa dt t t a ⑿ ? +20 cos sin cos π θθ θθ d 解 ? += 20 1c o s s i n c o s π θθθθd I ，?+=202cos sin sin π θθθθ d I 185 2 cos sin sin cos 20 21π θθθθθπ =++=+?d I I 0)cos ln(sin cos sin )cos (sin cos sin sin cos 20 202 21=+=++=+-=-?? ππ π θθθ θθθθθθθθd d I I 以上两式相加得，4 1π = I P.237 总练习题 1．证明：若?在],0[a 上连续，f 二阶可导，且0)(≥''x f ，则有 ))(1())((10 0??≥a a dt t a f dt t f a ?? 证 设?= a dt t a c 0)(1?，要证：)())((0c af dt t f a ≥??. 因为0)(≥''x f ，由P.149，公式（5），有 ))(()()(c x c f c f x f -'+≥ 令)(t x ?=代入，得 ))()(()())((c t c f c f t f -'+≥?? 在],0[a 上积分，得)()()()()())((0 c af a c c f dt t c f c af dt t f a a =?'-'+≥?? ?? 2．证明下列命题： ⑴若f 在],[b a 上连续增，?? ???=∈-=?a x a f b a x dt t f a x x F x a )(] ,()(1 )( 则F 为],[b a 上的增函数 证 因为)()()(lim )(1 lim )(lim a F a f x f dt t f a x x F a x x a a x a x ===-=++ +→→→?，所以F 在a x =连续. 因为f 在],[b a 上连续增，所以 ))(()()(a x x f dt x f dt t f x a x a -=≤?? ，于是对任何 186 ),(b a x ∈， 有0)()())(()(2 ≥---='?a x dt t f a x x f x F x a ， 从而F 在),(b a 增，又因F 在a x =和b x =连续，所以F 为],[b a 上的增函数. ⑵ 若f 在),0[∞+上连续，且0)(>x f ，则? ? = x a x a dt t f dt t tf x )()()(?为) ,0(∞+上的严格增函数. 如果要使?在),0[∞+上为严格增，试问应补充定义?)0(=? 证 ),0(∞+∈?x ， 2 2 ) )(() )()()(() )(()()()()()(??????-= -= 'x x x x x x dt t f dt t tf dt t f x x f dt t f dt t tf x f dt t f x xf x ? 0) )(() )()()((2 00 >-= ??x x dt t f dt t f t x x f 所以?在),0(∞+上为严格增. 要使?在),0[∞+上为严格增，应使?在0=x 处右连 续，故应补充定义0) () (lim )()(lim )(lim )0(0 00====+ ++ →→→? ?x f x xf dt t f dt t tf x x x a x a x x ?? 3．设f 在),0[∞+上连续，且A x f x =+∞ →)(lim ，证明A dt t f x x x =?+∞→0 )(1lim 证 因为A x f x =+∞ →)(lim ，于是存在0>N ，使得f 在),[∞+N 上有界. 又f 在 ],0[N 上连续，从而f 在],0[N 上有界，所以f 在),0[∞+上有界. 设M x f ≤|)(|. 将积分?x dt t f x 0 )(1写成两项： ???+=x x x x dt t f x dt t f x dt t f x )(1)(1)(100 对上式右端第一项，有 187 01|)(|1|)(1|00→=?≤≤??x M M x x dt t f x dt t f x x x ， （+∞→x ） 对第二项用积分第一中值公式，存在),(x x ∈ξ，使得 )()(1 )(1ξf x x x dt t f x x x -=? 当+∞→x 时，有+∞→x ，于是+∞→ξ，从而 A f x f x x x dt t f x x x x x x =-=-=+∞ →+∞→+∞→?)()1 1(lim )()(1lim )(1lim ξξ 所以A dt t f x dt t f x dt t f x x x x x x x x =+=???+∞→+∞→+∞→)(1lim )(1lim )(1lim 00 4．设f 是定义在),(∞+-∞上的一个连续周期函数，周期为p ，证明 ??=+∞→p x x dt t f p dt t f x 00)(1)(1lim 证 对任何0>x ，存在自然数n 与),0(p x ∈'，使得x np x '+=. 于是有 ])()()([1 )(1)1(20 0????-+++'+=np P n p p p x dt t f dt t f dt t f x np dt t f x ?'+'++ x np np dt t f x np )(1 ??'+'++' += x np np p dt t f x np x np dt t f n )(1 )(0 所以，???'++∞→+∞→+∞→' ++'+=x np np n p n x x dt t f x np x np dt t f n dt t f x )(1lim )(lim )(1lim 0 0 而 0)(1lim )(1lim )(1lim 0 0='+=+'+='+???'+∞→'+∞→'++∞→x n x n x np np n ds s f x np ds np s f x np dt t f x np 188 ??= ' ++∞ →p p n dt t f p x np dt t f n 0 )(1)(lim 所以??=+∞→p x x dt t f p dt t f x 00)(1)(1lim 5．证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一 个是奇函数. 证 f 的一切原函数可写作C dt t f x F x +=? )()( 若f 为奇函数，则 )()()()()(0 x F C ds s f C ds s f C dt t f x F x x x =+=+--=+=-??? - 所以f 的一切原函数)(x F 为偶函数. 若f 为偶函数，则 C ds s f C ds s f C dt t f x F x x x +-=+--=+=-??? -0 )()()()( 当且仅当0=C 时，)(x F 为奇函数. 华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)(a （a ≥0）；（2 ；（ 3） ??? ??<=>== )0___()0___()0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数 项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知， 22．1. 二次根式（1） 教学内容： 二次根式的概念及其运用 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一 个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质， 可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 华师大版初中数学教材按年级分目录 七年级上 走进数学世界；有理数；整式的加减；图形的初步认识；数据的收集与表示； 七年级下 一元一次方程；二元一次方程组；一元一次不等式；多边形；轴对称；体验不确定现象； 八年级上 数的开方；整式的乘除；勾股定理；平移与旋转；平行四边形的认识 八年级下 分式；函数及其图像；全等三角形；平行四边形的判定；数据整理与初步处理 九年级上 二次根式；一元二次方程；图形的相似；解直角三角形；随机事件的概率； 九年级下 二次函数；圆；几何的回顾；样本与总体； 华东师大版按章节分目录 第1章走进数学世界 §1.1 从实际问题到方程：1. 数学伴我们成长；2. 人类离不开数学；3. 人人都能学会数学；阅读材料华罗庚的故事；视数学为生命的陈景润；少年高斯的速算；§1.2 让我们来做数学；1. 跟我学；2. 试试看；阅读材料幻方. 第2章有理数 §2.1 正数和负数：1. 相反意义的量；2. 正数与负数；3. 有理数；§2.2 数轴；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小；§2.3 相反数；§2.4 绝对值；§2.5 有理数的大小比较；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小；§2.6 有理数的加法；1. 有理数的加法法则；2. 有理数加法的运算律；§2.7 有理数的减法；§2.8 有理数的加减混合运算；1. 加减法统一成加法；2. 加法运算律在加减混合运算中的应用；阅读材料中国人最早使用负数；§2.9 有理数的乘法；1. 有理数的乘法法则；2. 有理数乘法的运算律；§2.10 有理数的除法；§2.11 有理数的乘方；阅读材料与；§2.12 科学记数法；阅读材料光年和纳米；§2.13 有理数的混合运算；§2.14 近似数和有效数字；§2.15 用计算器进行数的简单运算；阅读材料从结绳记数到计算器；小结；复习题 第3章整式的加减 §3.1 列代数式： 1. 用字母表示数； 2. 代数式； 3. 列代数式；§3.2 代数式的值；阅读材料有趣的“3x+1”问题；§3.3 整式；1. 单项式；2. 多项式；3. 升幂排列与降幂排列；§3.4 整式的加减；1. 同类项；2. 合并同类项；3. 去括号与添括号； 4. 整式的加减；阅读材料用分离系数法进行整式的加减运算；供应站的最佳位置在哪里；复习题；课题学习身份证号码与学籍号 第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形；阅读材料欧拉公式；§4.2 画立体图形；1. 由立体图形到视图；2. 由视图到立体图形；§4.3 立体图形的表面展开图；§4.4 平面图形；阅读材料七巧板；§4.5 最基本的图形 最新华东师大版九年级上册数学知识总结 华东师大版数学九年级上知识点小结 第21章 二次根式 1、二次根式的意义 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。 二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。 2、最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式 以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 4、二次根式的主要性质 （1）双重非负性：)0(0≥≥a a （2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。 ＊（3）绝对性：?? ???<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a 5、二次根式的运算 （1）因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根 号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。步骤：一化二找三合并 （4）二次根式的乘、除法 二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根 式。 0,0).a b ?=≥≥ = (0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。 第25章解直角三角形 (2) §25.1 测量 (3) §25.2 锐角三角函数 (4) 1.锐角三角函数 (4) 2．用计算器求锐角三角函数值 (7) §25.3 解直角三角形 (9) 阅读材料 (13) 小结 (14) 复习题 (15) 课题学习 (18) 第25章 解直角三角形 测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题． 222c b a =+ a b B = tan §25.1 测量 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容． 练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 华师大版初中数学知识点总结 七年级上 第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0 正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 第22章一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根. 一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平 方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整 理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2 万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年 年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式： 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.二次根式有意义的条件：被开方数a ≥0 3. 二次根式的性质： （1）（ a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 4．二次根式的乘法--------- )0,0(≥≥??b a ab b a 5．二次根式的除法---------)0,0(>≥? b a b a b a 6．最简二次根式： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 7．同类二次根式--------化成最简二次根式后，被开方数相同。 8.二次根式的加减--------先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 9.分母有理化：把分母中的根号化去。 ① a 的有理化因式是a ； ②a 的有理化因式是a 。 1． 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 2.一般形式：c b a c bx ax ,,(02 =++是已知数，)0≠a 。 其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。 3. 一元二次方程的解---------- 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法-----------若()02 ≥=a a x ，则a x ±= （2）配方法-----步骤：①把常数项移到方程的右边；②把二次项的系数化为1；③方程两边同时 加上1次项的系数的一半的平方，配成完全平方公式；④直接开平方。 （3）公式法-------求根公式：)04(242 2≥--±-= ac b a ac b b x 步骤：①把方程化为()002 ≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；②求出ac b 42-的值；③若042 ≥-ac b ， 则.,b a 把及ac b 42 -的值代入求根公式，求出21,x x 。 （4）因式分解法-----------要求方程右边必须是0，左边能分解因式。 注意：形如“ ()()为常数b a b a x b a x ,02=+++可将左边分解因式，方程变形为()()0=++b x a x ，则 00=+=+b x a x 或，即b x a x -=-=21,。 5.一元二次方程根的判别式-----------------△=ac b 42 - ①△=ac b 42 -﹥0?方程有两个不相等的实数根； ②△=ac b 42-=0?方程有两个相等的实数根； a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 23.1 一元二次方程 教学目标： 1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02 =++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点： 1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程： 一 做一做： 1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x(x ＋10)＝900 整理可得 x 2＋10x －900=0. （1） 2．问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程 5（1＋x ）2=7.2, 整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2） 3．思考、讨论 这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ （ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。 其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。. 数学知识点总结 七年级上 第二章 有理数 1．相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a 的相反数是—a 。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值 （1）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． （3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即a ≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． (4)两个相反数的绝对值相等． (5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7．有理数的加法 (1)有理数加法法则 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加 七上 第1章走进数学世界 数学伴我们成长 人类离不开数学 人人都能学会数学 阅读材料华罗庚的故事 阅读材料幻方 第2章有理数 §2.1 有理数 1. 正数与负数 2. 有理数 §2.2 数轴 1. 数轴 2. 在数轴上比较数的大小 §2.3 相反数 §2.4 绝对值 §2.5 有理数的大小比较 §2.6 有理数的加法 1. 有理数的加法法则 2. 有理数加法的运算律 §2.7 有理数的减法 §2.8 有理数的加减混合运算 1. 加减法统一成加法 2. 加法运算律在加减混合运算中的应用 阅读材料中国人最早使用负数－《九章算术》和中国古代的“正负术” §2.9 有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 2. 有理数乘法的运算律 §2.10 有理数的除法 §2.11 有理数的乘方 阅读材料64 2有多大 §2.12 科学记数法 §2.13 有理数的混合运算 §2.14 近似数 阅读材料巧算平均数 §2.15 用计算器进行计算 阅读材料从结绳记数到计算器 小结 复习题 第3章整式的加减 §3.1 列代数式 1. 用字母表示数 2. 代数式 3. 列代数式 §3.2 代数式的值 阅读材料有趣的“31 x 问题” §3.3 整式 1. 单项式 2. 多项式 3. 升幂排列与降幂排列 §3.4 整式的加减 1. 同类项 2. 合并同类项 3. 去括号与添括号 4. 整式的加减 阅读材料用分离系数法进行整式的加减运算 小结 复习题 综合与实践身份证号码与学藉号 第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形 §4.2 立体图形的视图 1. 由立体图形到视图 2. 由视图到立体图形 §4.3 立体图形的表面展开图 §4.4 平面图形 阅读材料七巧板 §4.5 最基本的图形－点和线 1. 点和线 2. 线段的长短比较 阅读材料欧拉公式 §4.6 角 1. 角 2. 角的比较和运算 3.余角和补角 小结 复习题 综合与实践制作包装盒 第5章相交线与平行线 §5.1 相交线 1.对顶角 2.垂直 3.同位角、内错角、同旁内角 §5.2 平行线 1. 平行线 2. 平行线的判定 3. 平行线的性质 阅读材料九树成行 小结 复习题 数学实验附图 方格图 格点图 最新华师大版初中数学教科书目录 七年级上 第1章走进数学世界 数学伴我们成长 人类离不开数学 人人都能学会数学 第2章有理数 § 2.1有理数 1. 正数与负数 2. 有理数 § 2.2数轴 1. 数轴 2. 在数轴上比较数的大小 § 2.3相反数 § 2.4绝对值 § 2.5有理数的大小比较 § 2.6有理数的加法 1. 有理数的加法法则 2. 有理数加法的运算律 § 2.7有理数的减法 § 2.8有理数的加减混合运算 1. 加减法统一成加法 2. 加法运算律在加减混合运算中的应用§ 2.9有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 2. 有理数乘法的运算律 § 2.10有理数的除法 § 2.11有理数的乘方 § 2.12科学记数法 § 2.13有理数的混合运算 § 3.1列代数式 1.用字母表示数 2.代数式 3.列代数式 § 3.2代数式的值 § 3.3整式 1.单项式 2.多项式 3.升幕排列与降幕排列§ 3.4整式的加减 1. 同类项 2. 合并同类项 3. 去括号与添括号 4. 整式的加减 第4章图形的初步认识 § 4.1生活中的立体图形 § 4.2立体图形的视图 1. 由立体图形到视图 2. 由视图到立体图形 § 4.3立体图形的表面展开图 § 4.4平面图形 § 4.5最基本的图形一点和线 1. 点和线 2. 线段的长短比较 § 4.6 角 1. 角 2. 角的比较和运算 3. 余角和补角 第5章相交线与平行线 § 5.1相交线 1. 对顶角 2. 垂线 3. 同位角、内错角、同旁内角§ 5.2平行线 1. 平行线 2. 平行线的判定 3. 平行线的性质 七年级下 第6章一元一次方程 § 6.1从实际问题到方程 § 6.2解一元一次方程 1. 等式的性质与方程的简单变形 2. 解一元一次方程 § 6.3实践与探索 第7章一次方程组 § 7.1二元一次方程组和它的解 § 7.2二元一次方程组的解法 华东师大版 初中数学按章节目录 七年级上 第1章走进数学世界 §1.1 从实际问题到方程： 第2章有理数 §2.1 正数和负数：1. 相反意义的量；2. 正数与负数；3. 有理数； §2.2 数轴；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.3 相反数； §2.4 绝对值； §2.5 有理数的大小比较；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.6 有理数的加法；1. 有理数的加法法则； 2. 有理数加法的运算律； §2.7 有理数的减法； §2.8 有理数的加减混合运算；1. 加减法统一成加法；2. 加法运算律在加减混合运算中的应用； §2.9 有理数的乘法；1. 有理数的乘法法则； 2. 有理数乘法的运算律； §2.10 有理数的除法； §2.11 有理数的乘方； §2.12 科学记数法； §2.13 有理数的混合运算； §2.14 近似数和有效数字； 第3章整式的加减 §3.1 列代数式：1. 用字母表示数；2. 代数式； 3. 列代数式； §3.2 代数式的值； §3.3 整式；1. 单项式；2. 多项式；3. 升幂排列与降幂排列； §3.4 整式的加减；1. 同类项；2. 合并同类项； 3. 去括号与添括号； 4. 整式的加减； 第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形； 阅读材料欧拉公式； §4.2 画立体图形；1. 由立体图形到视图；2. 由视图到立体图形； §4.3 立体图形的表面展开图；§4.4 平面图形； §4.5 最基本的图形－点和线；1. 点和线；2. 线段的长短比较； §4.6 角；1. 角；2. 角的比较和运算；3. 角的特殊关系； §4.7 相交线；1. 垂线；2. 相交线中的角；§4.8 平行线；1. 平行线；2. 平行线的识别； 3. 平行线的特征； 第5章数据的收集与表示 §5.1 数据的收集；1. 数据有用吗；2. 数据的收集； §5.2 数据的表示；1. 利用统计图表传递信息；2. 从统计图表获取信息； 七年级下： 第6章一元一次方程； §6.1 从实际问题到方程； §6.2 解一元一次方程；1. 方程的简单变形； 2. 解一元一次方程； 第7章二元一次方程组； §7.1二元次方程组和它的解； §7.2二元一次方程组的解法； §7.3实践与探索； 阅读材料鸡兔同笼； 第8章一元一次不等式； §8.1认识不等式； §8.2解一元一次不等式；1. 不等式的解集； 2. 不等式的简单变形； 3. 解一元一次不等式；§8.3一元一次不等式组； 第9章多边形 §9.1三角形；1. 认识三角形；2. 三角形的外角和；3. 三角形的三边关系； §9.2多边形的内角和与外角和； §9.3用正多边形拼地板；1. 用相同的正多边形拼地板；2. 用多种正多边形拼地板； 第10章轴对称 §10.1生活中的轴对称； 阅读材料剪正五角星； §10.2轴对称的认识；1. 简单的轴对称图形； 2. 画图形的对称轴； 3. 设计轴对称图案； §10.3等腰三角形；1. 等腰三角形；2. 等腰 华师大版九年级数学上册教学计划 华师大版九年级数学上册教学计划范本 一、学生基本情况（基本知识、基本技能掌握情况，能力发展、学习心理情况） 上学期期末考试的成绩平均分为61.16分，最高分108.5，最低分12分，有23人几格，及格率为41.81%，全乡前10名有2人；11~20名有4人；21~30名有7人；31~40名有2人：41~50有4人；51~60有5人，总体来看，成绩一般，但缺乏中等生和尖子生。与前一期相比较，平均分、最高分、最低分有所提高，全乡前六十名人数个数未变(24人)，11~30名增加6人，但及格率下降八个百分点、全乡前十名减少2人。在学生所学知识的掌握程度上，一部分学生能够理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，半数以上学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，但有一部分学生缺乏学习数学的信心和毅力，根本就不学习数学，甚至不做数学作业。 二、本学期教学内容和教材特点 本掌期教学内容，共计五章，第二十二章《二次根式》，本章通过平方根的有关性质的回顾建立了二次根式的概念、性质和运算法则， 并在此基础上学习根式的化简、求值。第二十三章《一元二次方程》一章是与实际生活密切相关的内容，教材从与学生熟悉的实际情景出发，引入并展开有关知识，使学生体会到一元二次方程是反映现实世界数量关系和变化规律的一种重要的数学模型，并学会运用一元二次方程解决实际生活中的具体问题。该章的最后，还设置了实践与探索一小节，目的在于通过一两个实例，与学生一起解剖分析，尝试解决实际问题，逐步提高这种能力。第二十四章《图形的相似》的主要内容是相似图形的概念和性质、相似三角形的判定和应用、相似多边形、位似变换。在本章学习之前，已经研究了图形的全等以及图形的一些变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在这些内容的基础上研究相似三角形和相似多边形的性质与判定，并进一步研究一种特殊的变换（位似变换），结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力。第二十五章《解直角三角形》，本章是在图形相似的基础上，充分运用图形变换这一有效的数学工具探索发现直角三角形边角的关系。第二十六章《随机事件的概率》一章是在前几册统计内容的基础上，引入概率的随机事件的频率，统计定义的概率，古典定义及特点的关系。通过学习，应初步具备概率的运算能力。利用概率的基本知识，能够解决一些实际问题。概率论是研究现实世界中随机现象规律性的科学，是近代数学的重要组成部分，它在自然科学以及经济工作中都有着广泛的应用，具备一些概率论的`基本知识对于经济工作人员是十分必要的。由于学生刚刚接触随机事件的概率，对内容觉得新鲜和抽象，学习起来感到难。 第21章 二次根式 1.二次根式：形如a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2a≥0，b≥0（b≥0，a>0）． 6.实数的大小比较和估计值 （1）大小比较的方法：平方法、倒数法、作差法。 （27.绝对值、二次根式、平方的和为0，那么每个加数分别为0 第22章 一元二次方程 1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：ax 2 +bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 =a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 12122112 11 (3)___________,(5)_____x x x x x x x x -=+=+=(1)n a x b ± =2222,(),a x mx n p x n a b a ==+=+==±若x 则若，则m 若则=b 提公因式法： 完全平方公式： 平方差公式： 十字相乘法： 2 2 24()24b ac b ax bx c a x a a -++=++22,102m n x x m m n --=--是的两个根，求的值2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法： （2） 因式分解法： （3） 两边同时加上一次项系数一半的平方）四开方． （4）公式法：一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2 －4ac ≥0时，x ＝____________. ( 5)换元法:2222 (21)3(21)40,()3()40x x x x x x +-+-=----= 3.配方法：将二次三项式配方： 4.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式是__________． (1)b 2 －4ac ＞0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (2)b 2 －4ac ＝0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根； (3)b 2 －4ac ＜0?一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根． 5.一元二次方程根与系数的关系 （1）若一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ __________，x 1x 2＝__________. 注意：(1)22 2121212()2x x x x x x +=+-?（2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 注意：代入降次法也是常考题型，例： 6.一元二次方程的应用(审、设、列、解、验、答) （1）图形（面积、体积）问题（2）经济问题(3)增长率问题 华东师大初中九年级数学上册教案 21．1. 二次根式（1） 教学目标：1a ≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方 等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）． 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 注意：在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 三、例题讲解 例题： x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？ 分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 解： 被开方数x-1≥0，即x ≥1． 所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考：2a 等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括: 当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2． 这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方” 出来，从而达到化简的目的．例如： 22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==． 四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 五、 拓展 华东师大版 初中数学按章节目录七年级上 第1章走进数学世界 §1.1 从实际问题到方程：1. 数学伴我们成长；2. 人类离不开数学；3. 人人都能学会数学；阅读材料华罗庚的故事；视数学为生命的陈景润；少年高斯的速算； §1.2 让我们来做数学；1. 跟我学；2. 试试看；阅读材料幻方. 第2章有理数 §2.1 正数和负数：1. 相反意义的量；2. 正数与负数；3. 有理数； §2.2 数轴；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.3 相反数； §2.4 绝对值； §2.5 有理数的大小比较；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.6 有理数的加法；1. 有理数的加法法则； 2. 有理数加法的运算律； §2.7 有理数的减法； §2.8 有理数的加减混合运算；1. 加减法统一成加法；2. 加法运算律在加减混合运算中的应用； 阅读材料中国人最早使用负数； §2.9 有理数的乘法；1. 有理数的乘法法则； 2. 有理数乘法的运算律； §2.10 有理数的除法； §2.11 有理数的乘方； 阅读材料10003与31000； §2.12 科学记数法； 阅读材料光年和纳米； §2.13 有理数的混合运算； §2.14 近似数和有效数字； §2.15 用计算器进行数的简单运算； 阅读材料从结绳记数到计算器； 小结； 复习题 第3章整式的加减 §3.1 列代数式：1. 用字母表示数；2. 代数式； 3. 列代数式；§3.2 代数式的值； 阅读材料有趣的“3x+ 1”问题； §3.3 整式；1. 单项式；2. 多项式；3. 升幂排列与降幂排列； §3.4 整式的加减；1. 同类项；2. 合并同类项； 3. 去括号与添括号； 4. 整式的加减； 阅读材料用分离系数法进行整式的加减运算；供应站的最佳位置在哪里； 复习题； 课题学习身份证号码与学籍号 第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形； 阅读材料欧拉公式； §4.2 画立体图形；1. 由立体图形到视图；2. 由视图到立体图形； §4.3 立体图形的表面展开图； §4.4 平面图形； 阅读材料七巧板； §4.5 最基本的图形－点和线；1. 点和线；2. 线段的长短比较； §4.6 角；1. 角；2. 角的比较和运算；3. 角的特殊关系； §4.7 相交线；1. 垂线；2. 相交线中的角；§4.8 平行线；1. 平行线；2. 平行线的识别； 3. 平行线的特征； 小结； 复习题； 第5章数据的收集与表示 §5.1 数据的收集；1. 数据有用吗；2. 数据的收集； 阅读材料赢在哪里；谁是《红楼梦》的作者；§5.2 数据的表示；1. 利用统计图表传递信息；2. 从统计图表获取信息； 阅读材料计算机帮我们画统计图 小结； 复习题； 课题学习图标的收集与探讨 七年级下： 第6章一元一次方程； §6.1 从实际问题到方程； §6.2 解一元一次方程；1. 方程的简单变形； 2. 解一元一次方程； 阅读材料丢番图的墓志铭与方程； 二次根式 21.1 二次根式 【知识与技能】 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a. a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简. 3.理解2 【过程与方法】 1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题. 3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】 通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质. 【教学重点】 1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用. 3. 【教学难点】 利用“a（a≥0）”解决具体问题. 关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出 一、情境导入，初步认识 回顾： 当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根. 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根. 当a是负数时，a没有意义. 【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念. 二、思考探究，获取新知 概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有： （1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）. 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式. 注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数. 思考：2a等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律. 概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a. 三、运用新知，深化理解 1.x取什么实数时，下列各式有意义？ 2.计算下列各式的值： 数学知识点总结 1 2 像+12（2 1) 有理数（3 4（1）【注】 （2 1）2） 5 （1 5 （几何意义）不能单独存在。 如果是偶数个， 叫做数 （3(4)(5)（6123）7(1)12）34（28. 9-8+6，负4的和” （2 （3 13 （1 （2 数法。 （3） 14 （1 （2 （3 15 （1 （2 （3 （4） 2 1 2 （1） （2 1)代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写。 但数字与数字相乘时，要用“”。 2 3 4) 5) 3．单项式 （1）如100t、6a、2.5x、vt、- n，它们都是数或 字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数 或一个字母也是单项式。 （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单 1时，“1”通常 (3)一个多项式含有几项，就叫几项式；例如：x 7（1（2(3)1面的“2（41（1（212（312（42（1） 、“一三二Z n 边a 。 a （3 （4 2 （5 做法： （6 7．角 （1 （2） 无关。 （3 1）用数字表示单独的一个角。如∠1，∠2等 2）用小写的希腊字母表示单独的一个角。如∠， ∠等 3）用一个大写的英文字母表示独立（在一个顶点处只 4 等。 （4 直角∠= 交前 （直角），就说 （平角），就 （2 （3 9 直线l截直线a、b得到八个角。 ∠6 与∠5 10．平行线 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 若直线a与直线b互相平行，记作“//b”。 【注】 行。 （2 （3 画 （4 明确调查对确定调查对象选择调查方法 展开调查记录结果得出结 论 2．频数：表示每个对象出现的次数 方程 从方程的一 这样的方程叫华师大版九年级上册数学知识点总结
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