人教新版九年级《二次根式》综合练习
一、选择题
1.设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A ．1和2
B ．2和3
C ．3和4
D ．4和5
2.实数a 在数轴上的位置如图所示，则22
(4)(11)a a -+- 化简后为（ ） A ． 7
B ． －7
C ． 2a －15
D ． 无法确定a 10
5
0第2题图
3. (－2)2的算术平方根是（ ）
A ．2
B ． ±2 C.－2 D ．2 4.下列运算正确的是（ ）
A.25=±5
B.43－27=1
C.18÷2=9
D.24·3
2
=6 5.如果2(21)12a a -=-，则（ ） A ．a ＜
12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12
6.已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为（ ）A.9
B.±3
C.3
D. 5 7. 8的立方根是（ ）
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．4
8.下列各式计算正确的是（ ）
A ．235+=
B ．2222+=
C ．33222-=
D ．
1210
652
-=- 9.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
A ．
1
5
； B ． 0.5； C. 5 D ．50 ．
10.已知32552--+-=x x y ，则2xy 的值为（ ）
A ．15-
B ．15
C ．152-
D ． 152
11.下列计算正确的是（ ）
A
822-= B.2+3= 5
C.236?=
D.824÷= 12．等式1112-=
-?+x x x 成立的条件是（ ）
A ．x≥1
B ．x≥－1
C ．－1≤x≤1
D ．x≥1或x≤－1 二、填空题 13.要使式子
2
a a
+有意义，则a 的取值范围为_____________． 14. 已知y =2x -+2x -+5，则
x
y
=________ 15.已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则a b += ．
16.
()02011
12
=-++y x 则y x = 17.已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(=0，那么x 2011－y 2011= ． 18.若201120121
m =
-，则543
22011m m m --的值是 ．
19.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-的整数部分和小数部分，且
21amn bn +=，则2a b += 。
20.已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 21.对于任意不相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a ※b =
b
a b
a -+，如
3※2=
32
532
+=-．那么8※12= ． 22.若等式1)23
(
0=-x
成立，则x 的取值范围是 . 23.若最简二次根式7a b +与36b a b +-是同类二次根式，则a =______，b =______． 24.若310a =-，则代数式2
62a a --的值为 三、计算或化简：
25. 111724
981278
--+ 26. 2
2 (212 +41
8
－348 )
27. 20112010)23()23(+?- 28. 7a 8a －2a 21
8a
+7a 2a
29. 若－3≤x ≤2时，试化简:│x －2│+2
(3)x ++21025x x -+。
30.计算：20110)1(5
15
20)3(3-+---π 31．计算：0
1
(3)271232
--+-+
+．
32.（12）－2 － |22－3 | +38
四、化简求值： 33.化简，求值： 1
1
1(1
1222+--
-÷-+-m m m m m m ） ，
其中m =3．
34.先化简，再求值：)12(1)1(2
2x x x
x
x --÷-+ 其中x ＝2
35.先化简，后求值：（2
222444y xy x y y x ++-）·（x y x xy +-24），其中?????+=-=1
21
2y x
36. 先化简再求值()1
21
112222+--++÷-+a a a a a a 其中a =31+
五、阅读理解
37. 阅读下面的文字后，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：2169a a a +-+，其中5a =．”甲、乙两人的解答不同， 甲的解答是：
22)31(961a a a a a -+=+-+ 95212131-=?-=-=-+=a a a ；
乙的解答是：
22)31(961a a a a a -+=+-+ 191541413=-?=-=-+=a a a
（1） 的解答是错误的．
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ．
（3）模仿上题解答：化简并求值：2
11816a a a -+-+，其中2a =
38. 先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如m±2n 的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m,ab=n，这样( a )2+( b )2=m,
a ·
b =n,那么便有
m±2n =( a ±b )2= a ±b (a>b)
例如：化简7+4 3
解：首先把7+4 3 化为7+212 ，
这里m=7,n=12；由于4+3=7,4×3=12,
即( 4 )2+( 3 )2=7, 4 ·3 =12 ，
∴7+4 3 =7+212 =( 4 + 3 )2=2+ 3
由上述例题的方法化简：(1)13－242 (2)7－40 (3)2－ 3
六、综合应用
39. 如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/?秒的速度
向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：
几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
B A
C
Q
P
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。
课题 二次根式与带有二次根式的方程 一、知识回顾 1、 例题 二次根式的混合运算 例1、计算与化简：113(184)18(32)2332 -+÷-÷+- 思维训练 1、计算（1）1211 2632122 3336 ---- （2）2 3 7(83)(4)(0)b a ab a b a b a a b a ---> （3）()ab ab a ab a b a ab --÷ -+（其中a>0,b>0，a ≠b ） 化简求值 化简求值时，一般是要把原式化简到最简，然后再代入求值 例2、已知223 a =+，求222168816 44a a a a a a a -+-+- -- 思维训练2、（1）已知，求2232421 x x x x --+- （2）11,5353 a b = =-+，求2 ()a b +的值。
（3）如果11123 a b -=+，32a b -=-，那么a 、b 两数有什么关系？为什么？ 0的形式 一般情况下a （0a ≥）当一个式子中含有a a +-或a a --时，则a=0， 例3、若x 、y 为实数，已知22448 2 x x y x ---+=-，求3x y - 思维训练3、（1）若x 、y 为实数，且1 12214 y x x =-+-+ ，求；2x y + （2）已知a 、b 是实数，且，解关于x 的方程 （3）已知3 303 x y -+-=，求22 311y x y x x +-++的值。 2()a b c +的形式，（其中a 、b 、c 为常数） 当 里面含有二次根式时，一般考虑把根号里的被开方数化成完全平方的形式。 例4、化简423+ 思维训练4、化简（1）526+ （2）743-
2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 二次根式 ◆知识讲解 1．二次根式 a≥0）叫做二次根式． 2．最简二次根式 同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 3．同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 4．二次根式的性质 2=a（a≥0）； │a│= (0) 0(0) (0) a a a a a > ? ? = ? ?-< ? ； （a≥0，b≥0）； =b≥0，a>0）． 5．分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，?若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式． 6．二次根式的运算 （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
◆例题解析 例1 填空题： （1-， 其中是二次根式的是_________（填序号）． （2 x 的取值范围是_______． （3）实数a ，b ，c a －b │． o 【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)． （2）由x －3≥0－2≠0，得x ≥3且x ≠7． （3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b │>│c │ －a ，－│a －b │=a －b a － b │． 例2 选择题： （1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A B C （2）在根式1) ，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) （3）已知a>b>0，的值为（ ） A ．2 B ．2 C D ．1 2 【解答】（1A 错．
二次根式易错题集 一、二次根式的概念： 二次根式的性质： 1.()0≥a a 是一个非负数。 2.()02≥=a a a 3.()()???-≥==002 a a a a a a 错题： 1.=25 5 2.()=-23 －（－3）=3 3.()=--2 1255－1=4 4.() =2 63()5469632 2 =?=?或()=2 63()()5454632 2 2 ==? 5.() =-- 2 666-=-- 6.= -2 5 5151512 2=?? ? ??= 7.根据条件，请你解答下列问题：（1）已知n -20是整数，求自然数n 的值； 解：首先二次根式有意义，则满足,020≥-n 所以,20≤n 又因为n -20是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即n -20必定可化为()0,202≥=-a a a n 且为整数这种形式，即 ()0,202≥=-a a a n 且为整数。所以满足条件的平方数2a 有0，1，4，9，16。所以.4,11,16,19,20=n （2）已知n 20是整数，求正整数n 的最小值 解：因为n 20是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即n 20必定可化为()为整数a a n 220=这种形式，即()为整数a a n 220=，而()为整数a a n 25420??=，4可以开平方，剩下不能开平方的数5，所以正整数n 的最小值就是5，因2555=?能被开平方。所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能 开平方的数。 7-2.(2)已知n -12是正整数，求实数n 的最大值； 解：因为n -20是正整数，所以满足,012 n -所以,12 n 所以根号内的数一定是一个平方数，即 n -20必定可化为()0,202 a a a n 且为整数=-这种形式，即()0,202 a a a n 且为整数=-。所以满足条件的平方数2a 有1，4，9。所以.3,8,11=n 最大值为11. 易错点：1.在计算或求值时，容易疏忽()0≥a a 是一个非负数。 2.在开方时，易出现()02 a a a =的错误。 3.二次根式的三个性质是正确进行二次根式化简、运算的重要依据。它们的结构相似，极易混淆，因此同学们必须弄清它们之间的区别与联系
二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0，（a ≥0）； 2. （a ≥0）； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2)(0a a a =≥）. 2a 2)a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时，2)a 2a a ；a <0时，2()a 2a a -. 知识点
类型一、二次根式的概念 例1.下列各式中 ，一定是二次根式的有（ ）个． A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13 ；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） 例2. 式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．x ≤1 C ．x ＞1 D ．x ≥1 举一反三： 【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质 例3. 计算下列各式： (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题
《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算