2009年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2009?天津）i是虚数单位，=（）
A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．
【解答】解：，
故选D．
【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．
2．（5分）（2009?天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y
的最小值为（）
A．6 B．7 C．8 D．23
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件
．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，
让目标函数表示直线在可行域上平移，
知在点B自目标函数取到最小值，
解方程组得（2，1），
所以z min=4+3=7，
故选B．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
3．（5分）（2009?天津）设x∈R，则“x=1”是“x3=x”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】先判断p?q与q?p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【解答】解：因为x3=x，解得x=0，1，﹣1，
显然条件的集合小，
结论表示的集合大，
由集合的包含关系，
我们不难得到“x=1”是“x3=x”的充分不必要条件
故选A
【点评】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q 为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
4．（5分）（2009?天津）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．y=±2x C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．
【解答】解：由已知得到，
因为双曲线的焦点在x轴上，
故渐近线方程为；
故选C．
【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．5．（5分）（2009?天津）设a=log2，b=log3，c=（）0.3，则（）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较；分数指数幂．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】依据对数的性质，指数的性质，分别确定a、b、c数值的大小，然后判定选项．【解答】解：，
并且，
所以c＞a＞b
故选D．
【点评】本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题．
6．（5分）（2009?天津）阅读如图的程序框图，则输出的S的值为（）
A．9 B．36 C．100 D．225
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】经过分析，本题为直到型循环结构，按照程序顺序进行执行，得到输出结果即可．【解答】解：按照程序框图进行执行如下：
s=0 i=1
s=0+1=1 i=2
s=1+23=9 i=3
s=9+33=36 i=4
s=36+43=100 i=5
此时满足跳出循环的条件，输出s=100
故选C．
【点评】本题考查直到型循环结构，经过运算输出结果，属于基础题．
7．（5分）（2009?天津）已知函数的最小正
周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（）
A．B．C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】先根据函数的最小正周期为π求出
ω的值，再由平移后得到y=为偶函数可知
，即可确定答案．
【解答】解：由已知，周期为，
则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，
，
故选D
【点评】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用．8．（5分）（2009?天津）设函数则不等式f（x）＞f（1）的解
集是（）
A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】先求f（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．
【解答】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3
如果x＜0 则x+6＞3可得x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．
如果x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或0≤x＜1
综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）
故选A．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．
9．（5分）（2009?天津）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）
A．2 B．C．1 D．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值
【解答】解：∵a x=b y=3，
∴x=log a3=，y=log b3=，
∴
当且仅当a=b时取等号
故选项为C
【点评】本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力
10．（5分）（2009?天津）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等式在R内恒成立的是（）
A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x
【考点】导数的运算．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．
【解答】解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，
令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．
如果f（x）=x2+0.1，时已知条件2f（x）+xf′（x）＞x2成立，
但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选A
故选A．
【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）（2009?天津）如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB=A1B1．若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为2．
【考点】正弦定理的应用．
【专题】直线与圆．
【分析】先在△AOB中，利用正弦定理求得sin∠AOB=AB，进而在△A1OB1中，由正弦定理利用2R==求得外接圆的直径．
【解答】解：在△AOB中，由正弦定理得=1，
sin∠AOB=AB，
在△A1OB1中，由正弦定理得2R===2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生对正弦定理公式和变形公式的灵活运用．
12．（4分）（2009?天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】立体几何．
【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．
【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，
底边上的高为a的等腰三角形，
所以有．
故答案为：
【点评】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题．本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．
13．（4分）（2009?天津）设全集U=A∪B={x∈N*|lgx＜1}，若A∩?U B={m|m=2n+1，n=0，1，2，3，4}，则集合B={2，4，6，8}．
【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】解对数不等式得全集，结合A∩?U B得集合?U B，从而求得B．
【解答】解：∵U=A∪B={x∈N*|lgx＜1}={x∈N*|x＜10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，又∵A∩?U B={m|m=2n+1，n=0，1，2，3，4}={1，3，5，7，9}，
∴?U B={1，3，5，7，9}，
∴B={2，4，6，8}，
故填：{2，4，6，8}．
【点评】题属于以不等式为依托，考查集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型．
14．（4分）（2009?天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=1．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用．
【专题】直线与圆．
【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．
【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），
公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|
由图可知，解之得a=1．
故答案为：1．
【点评】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．
15．（4分）（2009?天津）若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=﹣2．
【考点】相等向量与相反向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】先合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设
，这样利用向量关系式，求得
M，然后求得，，运用数量积公
式解得为﹣2
【解答】解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得
，
∴，，
∵=+=，
∴M，
∴，，
=（，）?（，）=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本试题考查了向量的坐标运算．也体现了向量的代数化手段的重要性．考查了基本知识的综合运用能力．
16．（4分）（2009?天津）若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则
实数a的取值范围是．
【考点】一元二次不等式的应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，故不等式一定为二次不等式，且对应的函数图象开口方向朝上，且与X轴一定有两个交点，且夹在两个交点间的整数点恰好有3个，由此构造出关于a的不等式，解不等式即可得到结论．
【解答】解：∵不等式等价于（﹣a+4）x2﹣4x+1＜0，
当a≥4时，显然不满足要求，
故4﹣a＞0且△=4a＞0，
故0＜a＜4，
不等式的解集为，
则一定有1，2，3为所求的整数解集．
所以，
解得a的范围为
故答案：
【点评】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用．考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力．其中根据已知条件，判断4﹣a＞0且△=4a＞0，是解答本题的关键．
三、解答题（共6小题，满分76分）
17．（12分）（2009?天津）已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA
（1）求AB的值．
（2）求的值．
【考点】正弦定理的应用．
【专题】解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案．
（2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinC=2sinA
∴由正弦定理得AB=2BC
又∵BC=1
∴AB=2
（2）在△ABC中，∵AB=2，BC=1，∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠ABC=90°∴，
∴
=
=
=
【点评】本题主要考查正弦定理和和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题．
18．（12分）（2009?天津）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂，
（Ⅰ）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
【考点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）先计算A，B，C区中工厂数的比例，再根据比例计算各区应抽取的工厂数．（2）本题为古典概型，先将各区所抽取的工厂用字母表达，
分别计算从抽取的7个工厂中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．
【解答】（1）解：工厂总数为18+27+18=63，
样本容量与总体中的个体数比为，
所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2、
（2）设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，
B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，
C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，
这7个工厂中随机的抽取2个，
全部的可能结果有：C72种，
随机抽取2个工厂至少有一个来自A区的结果有
（A1，A2），（A1，B2）（A1，B1）（A1，B3）（A1，C2）（A1，C1），
同理A2还能组合5种，一共有11种．
所以所求的概率为
【点评】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．
19．（12分）（2009?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，
（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；
（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角．
【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
【分析】（1）欲证PA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行，设AC∩BD=H，连接EH，根据中位线定理可知EH∥PA，而又HE?平面BDE，PA?平面BDE，满足定理所需条件；
（2）欲证AC⊥平面PBD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；
（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．
【解答】解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，
因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，又有题设，
E为PC的中点，故EH∥PA，
又HE?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE
（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，所以PD⊥AC
由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，
故AC⊥平面PBD
（3）由AC⊥平面PBD可知，
BH为BC在平面PBD内的射影，
所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．
由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，可得DH=CH=
在Rt△BHC中，tan∠CBH=，
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为．
【点评】本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力．
20．（12分）（2009?天津）如图，在△ABC中，D、E、P、Q、M、N分别是各边的三等分
点，现做投针试验，则射中阴影部分的概率是．
【考点】等可能事件的概率．
【专题】概率与统计．
【分析】本题先根据三角形性质得出每个小三角形都全等，然后求出阴影部分所占的面积比例，根据此比值即可解答．
【解答】解：∵在△ABC中，D、E、P、Q、M、N分别是各边的三等分点，
∴由观察图形可知：其中的每个小三角形都全等，
所以阴影部分的概率是．
即做投针试验时射中阴影部分的概率是．
故填：．
【点评】本题将概率的求解设置于三角形中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
21．（14分）（2009?天津）设函数f（x）=﹣x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．
【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1），易得函数在所求点
的斜率．
（2）当f′（x）≥0，函数单增，f′（x）≤0时单减，令f′（x）=0的点为极值点．
（3）由题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．
【解答】解：（1）当，
故f'（1）=﹣1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．（2分）（2）f'（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．
函数f（x）在x=1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，
函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=．（6分）
（3）由题设，，
∴方程有两个相异的实根x1，x2，
故，∵m＞0
解得m，（8分）
∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，
故x2＞．（10分）
①当x1≤1＜x2时，f（1）=﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）=0，不符合题意，
②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，
则，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2﹣＜0，
解得，
∵由上m，
综上，m的取值范围是（，）．（14分）
【点评】本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系．
22．（14分）（2009?天津）以知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）
和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，
|F1A|=2|F2B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C
的外接圆上，求的值．
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此
可以求出椭圆的离心率．
（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．
（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．
解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．
【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，
得，从而
整理，得a2=3c2，故离心率
（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，
所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2
设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．
由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），
则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．
依题意，
而①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③
联立①③解得，
将x1，x2代入②中，解得．
（III）解法一：由（II）可知
当时，得，由已知得．
线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点
是△AF1C外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为．
直线F2B的方程为，
于是点H（m，n）的坐标满足方程组，
由m≠0，解得故
当时，同理可得．
解法二：由（II）可知
当时，得，由已知得
由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，
因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，
且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．
由直线F2B的方程为，
知点H的坐标为．
因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．则，所以．当时同理可得
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系和椭圆性质的综合应用，难度较大，解题要注意公式的正确选取和灵活运用，避免不必要的性质．