1，抽象
1-1映上的映射（30 ）
当映射 f 是单射又是满射，称之为双射或 f 是1-1 映上的。
2，二元运算（50）
设S上个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S上运算。3，二元多项式（329）
设R是个有1的交换表达式f(x,y)=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2 +a0.2y2+a1.1xy+…+a n.0x n+a n-1. 1
x n-1y+…+a0.n y n, a ij∈R,称为R上关于x,y的二元多项式。
4，子环（222）
设（R，+，·）上个环，S是R的一个非空子集，如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个环，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。
5，子域（334）
设（F，+，·）是个域，F上的子集S称为（F，+，·）的子域。如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环，（2）（S，+，·）本身是个域。6，子集合（3）
设A，B都是集合，说集合A是集合B的子集合。
7，子集族（6）
设J是一共非空集合（可以有无限多个元素），每个j ∈J对应集合S的一个字集A j，则通常说｛A j︱A j?S，j ∈J｝是S的一个以J标号的字集族，J称为指标集。8，子集生成的子群（80）设G是个群，S为其一非空字集合，?为G的所有包含S的子群的族，则称子群
?
∈
H
H为S在G中生成的子
群，记为〈S〉。
9，子集生成的理想（236）
设R是个环，T?R，ΦΦT
非空，作R的理想族B={I
是R的理想，T ?I}得到的
理想
B
I
I
∈
称之为R的由子
集T生
（T）。
10.子群（75）
设（G，·）是个群，如果G
的子集H对于·也构成群，
则说（H，·）是（G，·）的
子群。
10.么元（59）单位元，恒等
元，中性元
设·是集合A上的一个运
算，如果元素e∈A对任何a
∈A都有a*e=e*a=a，则说e
是A对于运算·的一个单位
元或恒等元，或么元、中性
元。
12．元素（1）
集合里的各个对象叫做这
个集合的元素。
13．元素的阶数（110）
群G中元素的个数称为G
的阶数。
14．无零因子环（217）
如果环R不含非零的零因
子，则称R为无零因子环。
15．不可约元（343）
D的元素a不是单位也不是
0且没有非平凡因子，则称
a为不可约元或既约元。
16．不交的循环（90）
循环（i1 i2‥i k）与（j1 j2‥
j k）称之为不交的。
17．不变子群，正规子群
（152）
设G是个群，H是G的一
个子群，如果H 在每个内
直同构映射之下都不变，即
对任意a∈G，对任意h∈H
都有aha-1∈H，则说H是G
的不变子群或正规子群。
18．不变子集（151）
若f是集合A到A本身的一
个映射，T是A的子集，且
f（T）?T，则说T上f的
一个不变子集。
19.内直和（272）
19．内直积（群的）（193）
20．分式域（310）
21.分配律（209）
22.分裂域（419）
设F是个域，f（x）是F上
的一个n次多项式，F的扩
张域E称为是f（x）的分裂
域。
21．分类（18）
一个集合B，如果有以?为
标集的子集族｛Ti|i∈?｝，
对任意i∈?,有Ti≠Φ,且
(1)T i∩Tj=Φ,,只要i≠j,
(2)B=
?
∈i
Ti
则说这是B的一个分类。
22．反序数（45）
数码1，2。……，n的每一
个有确定次序的排列称为
一个n排列,在一个n排列
中，如果有较大的数排在较
小的数之前，则说这两个数
构成一个反序，该排列中出
现的反序的个数称为是它
的反序数。
23．双射（30）
当映射f是单射又是满射
时，称之为双射。
24．双侧理想或双边理想
(234)
25．中心（群的）（79）
设G是个群，集合C＝｛a
∈G|ax=xa,对所有x∈G｝是
G的一个群，此群称为群G 的中心。
26．中性元或单位元、恒等元、么元（59）
设●是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a·e=e·a=a，则说e 是A对于运算·的一个单位元
27．平凡子群（86）
对任意群G而言，G本身是G的一个子群，单独一个恒等元e也构成一个子群｛e｝，这两个子群称为G的平凡子群。
28．平凡因子（343）
对于a∈D，所有单位及与a 相伴的元素均称为a的平凡因子。
29．平凡理想（247）
对任意环R而言，R本身和｛0｝都是R的理想，通常称它们为R的平凡理想。30．左单位元（69）31．左逆元（69）32．左、右消去律（68）
设G为群，对任意a,b,c∈G,ab=ac蕴涵b=c,ba=ca蕴涵b=c,并分别称为左、右消去律。
33．左陪集（113）
A=,B为子群，则记aB＝AB，并称aB为B在G中的一个左陪集。
34．左理想（240）
设R是个环，R的非空子集S在其加法之下是R的加法子群，且对于任意r∈R，x ∈S恒有rx∈S,则说S是R 的一个左理想。
35．右理想（240）
36．右关系（112）
设H是群G的一个子群，H 在群G中确定关系～如下，a,b∈G,a～b当且仅当ab-1∈
H，称～是H在G中确定的
右关系。
37．可逆映射（35）
设f：A→B，说f是可逆影
射，如果有g：B→A使得g
○f=i A f。g=i B
38.可逆变换（144）
设（G，·）是个群。将G到
G的可逆映射称为G上.可
逆变换。
38．主理想（236）
如果T仅有元素（{a}）记
为(a)，并称为是由a生成的
主理想。
39．主理想整环（356）
如果整环D的每个理想都
是主理想，则说D是主理想
整环。
40．公因子（350）
设D是个整环，a1,…,a n∈
D,如果c∈D,c整除a1,…,a n
的每一个，则说c是元素
a1,…,a n的一个公因子。
41．代数元（384）
设域E是域F的扩张域，a
∈E。如果有F上非零多项
式f(x)使(fa)=0，则说a是F
上的一个代数元。
42．代数扩张（412）
设E是域F的一个扩张域，
如果任意a∈E都是F上代
数元，则说E是F的一个代
数扩张域或代数扩张。
43．代数扩张域（412）
44．代数封闭的（418）
域E称为是代数封闭的，如
果E没有真的代数扩张，此
时亦说E是个代数封闭域。
45．代数封闭域（418）
46．四元数环（283）
47．四元数除环（283）
48．四元数群（87）
49．对称群（87）
集合S={1，2，…，n}上所
有置换在映射合成之下构
成群，称这个群为n次对称
群，记为S n
50．外直积（122）
51．互素（350）
当一个单位是a1,…,a n的一
个最大公因子时，则说它们
是互素的。
52．有1环（217）
53．有单位元环（217）
设（R，+，·）是个环，如果
R的乘法有单位元e，则说
R是个有单位元环，或称有
1环。
54．有限扩张（402）
设E是域F的扩张域，如果
E在F上有基底，则说E是
F的一个有限扩张。
55．有限域（416）
域只含有限个元素时称为
有限域。
56．交集（4，6）
由任意集合A，B可决定一
集合{x|x∈A同时x∈B}称
为A和B的交集，记为A
∩B。
57．交代群（88）
58．交换群（72）
群（G，·）的运算通常称为
乘法。当群的运算·满足交
换律时，即称之为交换群或
阿贝尔群。
59．交换律（58）
设·是集合A上的一个运
算，如果对任意a，b∈A都
有a·b=b·a，则说运算·满
足交换律。
60．并集（4，6）
由任意集合A，B决定一个
集合{x|x∈A或者x∈B}称
为A和B的并集，记为A
∪B。
61．多项式（312）
设（S，+，·）是个有1的交换环，每个形如下面的表达式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n （其中n为非零整数，a0，a1，…，a n∈S）均称为是环S上的一个关于x的多项式。
62．多项式的和（314）63．多项式的乘积（314）64．多项式的根（318）
设S是有1交换环，f(x) ∈S[x]，说元素r∈S是多项式f(x)的一个根。如果f(r)=0，也可以说r满足多项式f(x)。65．多项式的首系数（320）设D是个整环，多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…a r x r+…+a n x n，a i∈D中，a r≠0,且当j＞r时有a j=0，即degf=r，则说a r是f(x)的首系数。66．自同态（270）
67．自同构（270）
68．自然同构（182）69．群的同态映射（160）设（G，·）是个群，（H，#）也是个群，那么G到H的映射f称为是G到H的同态映射，如果对任意a,b∈G 都有f(a 。b)=f(a)#f(b)。70．环的同态映射（252）设（R，+，·）和（S，#，⊙）都是环·R到S的映射Ψ称之为R到S的环的同态映射。如果对任意的a,b∈R 恒有Ψ(a+b)= Ψ(a)# Ψ(b), Ψ(a·b)=Ψ(a) ⊙Ψ(b).特别地，当Ψ是满射时，称S是R的同态像，当Ψ是满射又是单射时，说Ψ是R到S的环同构映射。71．同态像（168，257）
设Ψ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射，那么，称集合lmg(Ψ)={s∈S|有r∈R使s=Ψ(r)}为映射
Ψ的像，称集合
Ker(Ψ)={ r∈R|Ψ(r)=0}
为映射Ψ的核。
72．同态核（164，257）见
71
73．群的同构映射（130）
设（G，△）是个群，（H，·）
也是个群，如果f：G→H是
个双射，且对任意a,b∈G
恒有f(a△b)=f(a) ·f(b),则
说f是G到H的群同构映
射。
74．环的同构映射（252）
见70
75．关系（12）
设A 和B都是集合，任取
笛卡儿积A×B的一个子集
R我们都说确定了A和B
的一个关系R。对任意a∈
A，b∈B，如果(a ，b) ∈R，
则说 a 与b有R关系，记
为a R b；如(a ，b) R ,则
说a与b没有R关系.
76．原像(38)
对B的任意子集T，称A的
子集{x∈A|f（x）∈T}为T
在f之下的原像。
77．扩张次数（402）
基底所含元素的个数（这里
由E和F唯一确定的一个正
整数）称为E在F上的扩张
次数。
78．阶数（110）
群G中元素的个数称为G
的阶数。
79．体（282）
80．克莱因四元群（143）
81．克莱因四元数群（87）
82．投影（28）
设A，B是集合，规定，任
意元素(a，b) ∈A×B对应
a，这是笛卡儿积A×B到A
的映射，记为P A，即P A(（a，
b）)= a，对任意(a，b) ∈A
×B，该映射称为A×B到
A的投影。
83.完全集（20）
设～是集合A上的一个等
价关系，说A的子集T是关
系～下的一个等价类表示
的完全集，简称完全集。
83．系数（312）
设（S，+，·）是个有1的交
换环，每个形如下面的表达
式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n
（其中n为非零整数，a0，
a1，…，a n∈S）均称为是环
S上的一个关于x的多项
式。其中a i x i称为是多项式
f(x)的i次项，a i称为f(x)的
第i次项系数。
84．运算（50）
设S是个非空集合，把S×
S到S的映射称之为S上的
二元运算，简称为S的运算。
85．运算表（51）
86．单位（221）
设R是有单位元1的环，R
的元素a称为R的一个单
位。如果有b∈R使ab=ba=1.
87．单射（30）
若对任意a,b∈A，f(a)=f(b)
蕴涵a=b，则说f是单射或
f是单的。
88．单的（映射）（30）见
87题
89．单同态（270）
单的同态映射称为单同态。
90.单环（247）
如果环R只有两个理想R
和（0），那么R的商环极为
明了，这种环称为单环或单
纯环。
91.单纯环（247）
92.单群（159）
93.单纯扩张（382）
94.单纯扩张域（382）
95.奇置换（47）
96．环（208）
97．极小多项式（385）98．极大理想（294）99．空集（3）
100．周期（110）
101．线性无关（396）102．线性相关（395）103．线性组合（398）104．定义域（39）105．拉格朗日定理（115）106．欧氏环（360）107．映射（26）
108．逆元素（65）109．逆映射（37）110．恒等映射（26）111．指标集（6）
112．相伴（343）
113．既约元（343）114．结合环（208）115．结合律（55）116．素元（349）
117．素理想（297）118．素域（335——119．哈密尔顿四元数环（283）
120．除环（282）
121．除体（282）
122．复合（映射）（31）123．真子集（3）
124．乘积（群的子集）（113）125．根（318）
126．特征数（288）127．换位子群（159）128．高斯环（361）129．消去律（68）130．陪集（113，173）131．唯一分解整环（345）132．值域（39）
133．偶置换（47）134．域（282）
135．商环（243）
136．商集（21）137，商群（175）
138．理想（234）
139．理想子环（234）
140．基底（398）
141．添加（382）
142．笛卡尔积（10）
143．斜域（282）
144．常数项（312）
145．集合（1）
146．最小子域（338）
147．最大公因子（350）
148．等价关系（17）
149．等价类（18）
150．等价类表示的完全集
（20）
151．像（30，38）
152．循环（89）
153．循环群（100）
154．超越元（385）
155．幂集（4）
156．剩余环（243）
157．零因子（217）
158．群（64）
159．置换（43）
160．整除（342）
161．整区（217）
162．整环（217）
163．整数模n关系（23）
164．满射（30）
165．满的（映射）（30）
166．满同态（环的）（270）
抽象代数复习题
第一章第三节
命题1、设~是集合A上的一个
等价关系，则对每个x∈A，Sx
非空；对任意x，y∈A，若Sx
≠Sy，则必有Sx∩Sy=Φ；A恰
为其所有不同的等价类的并集。
（P18）
命题2、若有集合A的一个分类，
即有A的子集族Si，i∈△满足：
（1）Si ISj=Φ，i≠j，
（2）A = YSi
i∈△
规定，对任意a、b∈A，a~b当
而且仅当a与b属于同一Si，则
~为A上等价关系，且诸Si，i
∈△恰为~对应的不同的等价
类。（P19）
第四节
定理1、如果R是集合A和集合
B的一个映射关系，对任意a∈
A，有唯一确定的b∈B使（a，
b）∈R。我们规定a对应这个b，
并把此规则称为f，则f是A到
B的映射。反之，若f是集合A
到集合B的一个映射，令R｛（a，
b）∈A×B∣b=f（a）｝就得到A
和B的一个映射关系。（P26）
定理2、映射f：A→B是可逆的，
必要而只要，f是双射。（P36）
引理1、对任意m∈I，恒有q，
r∈I使得m=q．n+r，0≤r﹤n，
而且，满足上述要求的q，r均
又m唯一确定。（P36）
命题1、设f：A→B，g：B→C，
h：C→D。则h。（g。f）=（h。
g）。f（P32）
命题2、设f：A→B，则f。i A=i B。
f=f（P34）
命题3、设f：A→B，g：B→C，
那么，
（1）如果f和g都是满的，则g。
f亦然；
（2）如果f和g都是单的，则g。
f亦然；
（3）如果g。f是满的，则是g
满的；
（4）如果g。f是单的，则是f
单的。（P34）
命题4、设f：A→B是可逆映射。
那么，使得f。g= i B，g。f= i A
的g：B→A是由f唯一确定的（此
时记g=f -1）（P37）
命题5、设f：A→B，S是A的
自己，则f∣s=f。i B.
命题6、设f：A→B，对B的任
意子集T，都有f（f -1（T））=T
∩Img（f）
第五节
命题1、S上有n！个不同的置
换。
命题2、若把一个n排列中某相
邻两位数码互换位置，则所得到
的新排列的反序数与原排列的
反序数差1。
命题3：当n＞1时，n！个n排
列中，反序数为偶数者恰有一
半，即n！/2个。（P46）
命题4、将一n排列之两数码（未
必相邻）对调，得到的新排列与
原排列的反序数奇偶性相反。
（P46）
命题5、偶置换P用任意方式给
出P=
i1i ∧i n
P（i1）P（i2）∧P(i n)
其上两排排列的反序数之差恒为偶数，P为奇置换，则任意一个n排列i1，i2，∧，i n的反序数与P（i1），P（i2），∧，P(i n)的反序数之差恒为奇数。（P47）
命题6、两个奇偶性相同的置换复合后为偶置换，两个奇偶性相反的置换复合后为奇置换。（P48）
命题7、置换P的逆映射（在此处称为逆置换）P-1与P的奇偶性相同。（P49）
第六节
引理1、任意两个非零证书a、b 恒有高公因子d，且必有s，t∈I 使d=sa+tb。（P53）
引理2、设b为正证书，a为任意证书，则a和b的最高公因式d可表为d=sa+tb，s，tI，
0≤s＜b。（P54）
推论1、设P为素数，对任意i*∈I P，如果
i≠0，则必有j＜p使
i*×j*=l*。
命题1、给定A上运算·和任意（有序的）元素a1，a2，…，a n，如果运算·满足合律，那么I=1，2，…，t都有程序i（a1，a2，…，an）=a1·a2·…·a n。（P57）
命题2、设·是A上的一个运算。如果运算·适合结合律和交换律，那么n个元素a1，a2，…，a n的任何一个顺序的任意一个运算程序，程序l（a1，a2，…，a n），都等于。a1·a2·…·a n其中i1，I2，…，i n是数码1，2，…，n的一个排列。（P58）
命题3、集合A对其上的运算·而言，如果有恒等元，则必唯一。（P60）
第二章第一节
命题1、设（G·）是个群，那么G中任意元素a只有唯一的一个逆元素。（P67）
命题2、设G是个群，对任意a，b∈G有
（a-1）-1=a，b-1a-1=
（ab）-1（P68）
命题3、设G为群，对任意a，b，c∈G，ab=ac蕴涵b=c，ba=ca，蕴涵b=c，并分别称为左，右消去律。（P68）
推论1、如果G是个群，a1a2…
a k∈G，则
（a1a2∧a n）-1=a k-1∧a2-1a1-1
定理1、设·是集合G上的一个运算，只要它们满足：（1）结合律，（2）有左单位元e，即有e ∈G，对任意a∈G都有ea=a，
（3）有左逆元，对于e，每个元素a
∈G都有b∈G使得ba=e，则
（G·）是个群。
定理2、设·是集合G上的一个
运算且满足结合律，那么（G·）
是个群，必要而只要，对a，b
∈G都有唯一确定的c，d∈G使
得a·c=b，d·a=b。
命题4、对任意正整数n都有a -n=
（a-1）n（P70）
命题5、设a是群G的一个元素，
对任意整数m，n都必有a n a m=
a m+n，（a n）m=a nm（P71）
第二节
命题1、如果H是G的子群，那
么H的恒等元f等于G的恒等
元e；也就是说e∈H。（P76）
定理1、设（G，·）是个群，H
是G的子群，那么H是G的子
群，当而且仅当（1）H非空，（2）
如果a，b∈H，则a·b∈H，（3）
如果a∈H则a在G中的逆元a-1
∈G。（P76）
定理2、设G是个群，H是G的
子集，那么，H是G的子群，当
而且仅当（1）H非空，（2）对
任意a，b∈H，都有ab-1∈H。
（P77）
命题2、设G是个群，对于G的
任意一个子群族｛H i∈G︱H j为
G的子群，j∈J｝其交集
H= I H j仍为G的
j∈J
子群。（P77）
命题3、设G是个群，a是G的
元素，则＜｛a｝＞=｛a i︱i∈I｝
（P80）
定理3、设S是群G的一个非空
子集，G中所有形如g1l1g2l2∧g m
lm，0＜m∈I，g
1
，∧，g m∈S，
t1∧t m∈I的元素构成G的一个
子集H，则＜S＞=H（P82）
第三节
定理1、在S n中任何一个不等于
恒等映射的置换必可表示成若
干个互不相交的循环的乘积。
定理2、设P是个n置换，P=P1
∧P L=Q L∧Q k。
命题1、当n≥3时，S n不是可
交换的（P88）
命题2、若（i1，i2，∧，i k）与
（j1，j2，∧，j k）不交，则它们
可交换（P90）
命题3、任意一个k循环都可以
表示成若干个2循环的乘积
（P93）
命题4、在S n中，k循环P生成
的子群是＜P＞=｛I，P，∧P k-1｝
（P94）
命题5、设S=｛1，2，∧n｝，G
是S上的一个置换群。对于S的
任意一个子集T，令G T=｛P∈G
︱P（t）=t，对于每个t∈T｝。
则G T是G的一个子群。（P94）
命题6、设S=｛1，2，∧n｝，G
是S上的一个置换群，T是S的
一个子集。令G T=｛P∈G︱P（t）
T｝，则G T是G的一个子群。
（P94）
第四节
命题1、设G是个群，g∈G，如
果有不同的整数r和k使得g
r=g k，则存在一个m使得
（1）g m=e，e是G的恒等元；
（2）l≤i≤j≤m时，
g i≠g j；（3）如果有整数t，g t
≠e，则m/t；
（4）＜g＞=｛e，g，
g 2，∧，g m-1｝。（P101）
命题2、设G是个群，g∈G，如
果对任意不同的整数r，k都有
g r≠g k，则＜g＞是个无限群（即
有无限多个元素）（P102）
定理1、设g是循环群，G的一
生成元，那么（1）当有正整数r
≠k，使g r=g k时，G=｛e，g，∧，
g m-1｝，对任意l≤i≤j≤m，均有
g i≠g j；（2）当对任意正整数
r≠k均有g r≠g k时，G=｛∧，g
-1，e，g，g2，∧｝，它又称为循
环群结构定理。（P102）
命题3、设g=｛e，g，∧，g m-1｝，
正整数p与m互素且p＜m…那
么G＜g p＞（P102）
命题4、无限循环群的每个子群
都是循环群。（P103）
命题5、在I 中，如果[a1]=[a2]，
[b1]=[b2]，则[a1+ b1] =[ a2+ b2]。
（P106）
命题6、（I，⊕）是个交换群。
（P106）
第五节
命题1、设a是群G的一个元素，
那么a的阶数与子群＜a＞的阶
数相等。（P111）
命题2、设H是群G的子群，则
H在G上确定的右关系∽是个
等价关系。（P112）
命题3、设H是G的子群，∽是
H在G中确定的右关系，那么元
素a∈G在等价关系∽之下的等
价类恰好是H的右陪集Ha。
（P114）
推论：设H是群G的子群，a，
b∈G，那么ab -1∈G，当且仅当
Ha=Hb。
命题4、如果H是群G的有限子
集，则子集Ha的元素个数等于
H的阶数。（P115）
拉格朗日（Lagrange）定理：设G是个有限群，那么G的任意子群H的阶数一定整除G的阶数，即︱H︱︱G︱。（P115）
推论1、设G是个有限群，那么它的任意元素a的阶数都能整除G的阶数。
推论2、设G是个有限群，︱G ︱是个素数，那么G只有｛e｝和G两个子群。
推论3设G是个有限群，︱G︱是儿歌素数，那么G必为循环群。
命题5、设G是个有限交换群，如果a∈G得阶数t大于等于G 中所有元素的阶数，那么每个元素的阶数均可整除t。（P117）
第三章第一节
命题1、设（G，△）和（H，。）是群，f是（G，△）到（H，。）的同构映射，那么f（e G）=e H。（P132）
命题2、设（G，△）和（H，。）是群，f是（G，△）到（H，。）的同构映射，那么对于G中之任意元素a，都有f（a -1）=f（a）-1。其中f（a）-1即H中元素f （a）的逆元。（P132）
命题3、设A=｛（G，△），（H，。），（K，＃），∧｝是由一些群构成的一个集合，我们在A中定义关系≈，（G，△）≈（H，。）当而且仅当G同构H，那么，≈是A 上的等价关系。（P132）
命题4、任意n阶循环群都同构于（I n，+）。（P133）
命题5、任意无限循环群都同构于整数加法群（I，+）。（P134）命题6、设群（G，△）同构于群（H，。），而G是个循环群，则H也是循环群。（P135）
命题7、设A是由n个元素的集合，G是A到A的所有可逆映射在映射合成之下做成的群，那么G同构于S n。（P138）
第二节
命题1、G的所有自同构的集合Aut（G）是I（G）的一个子群。（P144）
命题2、设G是个群，a是G的一个固定元素，通过a可以得到G上的一个变换λa，规定每个x ∈G对应ax，即λa（x）=ax，x ∈G。则λa是G上的可逆变换，称为a左乘变换。（P145）
命题3、设G是个群，G中元素的所有左乘变化的集合L=｛λa ︱a∈G｝是I（G）的一个子群。（P146）
命题4、设G为任意一个群，L
是其元素导出的所有左乘变换
形成的群，则G同构于群L。
（P147）
定理：每个群G都同构于其上所
有可逆变换做成的群I（G）的一
个子群。（P148）
推论：每个n阶有限群必同构于
n阶对称群S n的一个子群。
命题5、设G是个群，a是G的
一个固定元素，通过a可导出一
个G到G的映射γ，
γa（x）=axa-1，x∈G。那么γ
必为G到G的同构映射（P151）。
命题6、设H是群G的子群，那
么H是G的不变子群的充分必
要条件是对任意g∈G，gh=Hg。
（P153）
命题7、设N和H都是群G的
不变子群，则NH也是G的不变
子群。（P154）
命题8、设G是个群，N a都是G
的不变子群，a∈M。那么N= I
N a
a∈M
也是G的不变子群。（P155）。
第三节
命题1、设f是群（G，。）到（H，
#）的同态映射，那么f（e G）=e H。
（P163）
命题2、设f是群（G，。）到群（H，
#）的同态映射，那么，对G中
任意元素g，元素f（g）在H中
的逆元素恰为
f（g-1），即f（g）-1=
f（g-1）。（P163）
命题3、设f是群（G，。）到群（H，
#）的同态映射，H中恒等元e H
的原像K=f-1（e H）=｛g∈G︱f
（g）= e H｝是G的不变子群。
（P163）
命题4、如果f是群（G，。）到群
（H，#）的同态映射，g是群（H，
#）到群（K，*）的同态映射，
则gf是群（G，。）到群（K，*）
的一个同态映射。（P165）
定理1设f是群（G，。）到群（H，
#）的同态映射，g是群（H，#）
到群（K，*）的同态映射，那么
有Ker（gf）=
f-1（Ker（g））（P165）
定理2、设f是群（G，。）到群（H，
#）的同态映射，g是群（H，#）
到群（K，*）的同态映射，那么
Img（gf）=g（Img（f））。（P167）
命题5、设f是群（G，。）到群（H，
#）的同态映射，如果A是G的
子群，则f（A）是H的子群，
如果B是H的子群，则f-1（B）
是G的子群。（P167）
命题6、、设f是群（G，。）到群
（H，#）的满同态映射，A是G
的不变子群，B是H的不变子群。
那么，f（A）是H的不变子群，
f-1（B）是G的不变子群。（P168）
定理3、设f是群（G，。）到群（H，
#）的同态映射，那么，f是单射
的充分必要条件是Ker（f）=
｛e G｝。（P169）
命题7、设f是群G到群H的同
态映射，B是H的子群，则f（f-1
（B））=BI Img（f）。（P169）
命题8、设f是群G到群H的同
态映射，A是G的子群，则f-1
（f（A））=Aker（f）。（P169）
命题9、群到群的满同态映射
f是同构映射，当而且只当，Ker
（f）=｛e H｝。（P171）
第四节
定理1、设N是群（G，。）的一
个不变子群，G/N代表G对N
的所有陪集构成的集合，规定，
任意，An，bN∈G/N，对应G/N
的元素（a。b）N，则得到G/N
的一个运算，记为#，即aN#bN=
（a。b）。进一步，（G/N，#）是
个群。（P174）
定理（同态基本定理）：设（G，。）
和（H，*）都是群，f是G到H
的满同态映射，Ker（f）=K，那
么有映射φ：G/K→H，使得φ
（aK）=f（a），对于每个aK∈
G/K，且φ是G/K到H的同构映
射，从而G/K≈H。（P183）
命题1、如果G是个群，N是G
的不变子群，那么映射f：G→
G/N，
f（a）=An，对任意a∈G，是满
同态映射，且Ker（f）=N。（P181）
第四章第一节
命题1、设（R，+，·）是个环，
0是R的零元素，-a代表（R，+）
中a的负元素。那么，对任意a，
b，c∈R，有（1）0·a=a·0=0
（2）a·（-b）=（-a）·b= -a·b
（3）（-a）·（-b）=a·b
（4）a·（b-c）=a·b - a·c
（5）（a-b）·c=a·c-b·c（P216）
命题2、如果（R，+，·）是个整
区，那么R的乘法满足消去律；
即a，b，c∈R，a≠0，则a·b=a·c
蕴涵b=c。（P218）
第二节
命题1、设（R，+，·）是个环，
S是R的非空子集，那么S是R
的子环的充分必要条件是（1）
对任意a，b∈S，有a+b∈S；
（2）对任意a∈S，有-a∈S；（3）对任意a，b∈S，有a·b ∈S。（P223）
命题2、设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集，那么S是R 的子环的充分必要条件是（1）（S，+）是（R，+）的子群；（2）对任意a，b∈S，有a·b ∈S。（P225）
命题3、设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集，那么S是R 的子环的充分必要条件是（1）*对任意a，b∈S，有a-b∈S；（2）*对任意a，b∈S，有a·b ∈S。（P226）
命题4、设Sα，α∈I，都是环R的子环，那么，它们的交集
S= I S必然也是R
α∈I
的子环。（P226）
命题5、设R是个环，α∈R，那么，R中所有形如ma，ma+na2，…
m1a+m2a2+…+m t a t，…的元素（其中t是正整数，m，n，m t，都是整数）做成的集合S恰好就是a 生成的子环＜a＞。（P227）
命题6、设T是环R的非空子集，则T在R中生成的子环恰为由下述形式元素组成的集合，
a1+…+a n+b1c1+…+b m c m+d1e1f1+…d t e t f t+…+x1x2…x1+…+z1z2…z1，其中诸a i，b j，…，z k均为T中元素或它们的负元。（P229）
命题7、设R是个环，Aα，α∈I，都是R的理想，那么它们的交集A= I Aα必然也是R α∈I
的理想。（P235）
定理1：设T是环R的非空子集，那么，R中所有形如（*）上午元素的集合恰为（T），所谓（*）型元者乃有如n1a1+…+n t a t+r1b1+…r k b k+c1s1+…+c l s l+x1d1y1+…+x i d i y i，其中n1，…，n t是整数，a1，…，a t；b1，…，b k；c1，…，c l和d1，…，d i是T中元素。而r1，…，r k；s1，…，s l和x1，…，x i及y1，…，y i是R的元素。（P236）
推论2：设R是个有恒等元素e 的环，a∈R那么a生成的主理想（a）恰为所有形如下的元素构成的集合：x1ay1+…+x j ay j，其中x1，…，x j和y1，…，y j是R的任意元素。
命题8、设A，B是R的理想，那么A+B=（A Y B）。（P238）第三节
定理1、设（R，+，·）是个环，
A是R的理想。作为加法群，得
商群R=R/A，加法#。在加法群
R中再定义乘法，任意a+A，b+A
∈R，对应ab+A，记为（a+A）
⊙（b+A）=ab+A。则（R，#，
⊙）是个环。（P241）
第四节
命题1、设Ф是环（R，+，·）到
环（S，#，⊙）的环同态映射。
那么Ф的像Img（Ф）是环S的
子环。注：一般的，Img（Ф）
未必是环S的理想。（P257）
命题2、设Ф是环（R，+，·）到
环（S，#，⊙）的同态映射。如
果Ф是满的，R有恒等元e，则
环S必有恒等元，而且恰好就是
Ф（e）。注：一般的，e是R的
恒等元，Ф不是满射，则Ф（e）
未必是S的恒等元。（P358）
命题3、设Ф是环（R，+，·）到
环（S，#，⊙）的满的同态映射。
那么，如果R是交换的，则S
必然也是交换的。（P259）
命题4、设Ф是环（R，+，·）到
环（S，#，⊙）的同态映射，ψ
是（S，#，⊙）到环（K，*，△）
的同态映射，那么符合映射ψ。
Ф是（R，+，·）到（K，*，△）
的环同态映射。（P259）
命题5、设Ф是环（R，+，·）到
环（S，#，⊙）的同态映射。那
么Ф是核Ker（Ф）必然是环R
的理想。（260）
命题6、A是环R的理想，那么
Ф：r→r+A是环R到环R/A的满
的同态映射。（P260）
命题7、设f是环（R，+，·）到
环（S，#，⊙）的满的同态映射，
Ker（f）=A。那么R/A同构于环
（S，#，⊙）。注：通常把命题
6和上面的定理合起来称为环同
态基本定理。（P261）
第五章第一节
命题1、只含有限个元素的整环
必为域。（186）
命题2、域不含非平凡的理想。
（P288）
命题3、设φ是环R到S的环同
态，且帷幔设。如果R是个域，
则φ或者为同构映射，或者将R
所有的元映成S的零元（φ是零
同态）。（P288）
命题4、有限环的特征数必整除
其元数。（P289）
命题5、域F的特征数或为0或
为素数。（P290）
命题6、设域F的特征数为P≠0，
那么，对任意a，b∈F，恒有（a+b）
P=a P+b P。（P290）
命题7、设环（R，+，·）由1。
那么，当1在群（R，+）中阶数
无限时，R之特征数为0；当1
的阶数为正整数n时，R之特征
数恰为n。（P291）
第二节
定理1、设R是个有1的交换环，
A是它的一个理想。那么，剩余
环R/A为域的充分必要条件是A
为R的极大理想。（P296）
命题1、设R是个交换环，那么，
环R的理想P（≠R）为其素理
想的充分必要条件是剩余环R/P
为无零因子环。（P298）
命题2、设R是个环，A是R的
理想。环R/A为交换环的充分必
要条件是A包含R中所有形如
xy-yx，x，y∈R的元素。（P299）
第三节
命题1、设R是个环，I是整数
环，在集合I×R中，规定运算，
对任意（m，a），（n，b）∈R，
（m，a）#（n，b）=（m+n，a+b），
（m，a）⊙（n，b）=（mn，
mb，+na+ab）。则（I×R，#，⊙）
是个环，R同构于它的一个子环。
（P302）
命题2、特征数为n的环恒同构
于一个特征数为n的有1环的子
环。（P303）
定理1、设R是个交换环的无零
因子环。那么，R必同构于某个
域的一子环。（P303）
第四节
命题1、设R是个由1的交换环，
R[X]是R上关于X的多项式环。
那么，取定u∈R时，
φ：a0+a1x+∧+aｎxｎ→a0+a1u+∧
+aｎuｎ是环R[x]到R的环同态映
射。（P317）
定理：设F是个域。那么，环F[x]
的每个理想都是一个主理想。
（P322）
命题2、设F是个域，f（x）∈
F[x]，a∈F，那么，a是f（x）
的根，当而且仅当x-a整除f（x）。
（P324）
第五节
命题1、设S是F的一个子环，
且至少含2个元素，那么，S是
F的子域，当且仅当，s∈S，s
≠0，蕴涵s -1∈S，其中s -1代表
s在域F中的逆元素。（P334）
定理1、设（F，+，·）是个域，
那么，F的素域P或者同构于有
理数域或者同构于I p，其中p是
个素数。（P336）
推论：域F的素域同构于I p充要条件是它的特征数为P；F的素域同构于Q的充分必要条件是F 的特征数为0。（P338）
第六章第二节
命题1、设D是个主理想整环，p∈D，p≠0。那么，下列说法等价：（1）p是D的一个素元；（2）（p）是D的一个极大理想；（3）（p）是D的一个素理想。（P358）定理1、每个主理想整环D都是唯一分解整环。（P359）
命题2、设D对映射d是个欧氏环，a∈D，a≠0。那么a为单位的充分必要条件是d（a）=d（1）。（P363）
定理2、每个欧氏环都是主理想整环。（P363）
第三节
定理：如果D是唯一分解整环，则D[x]也是唯一分解整环。
第七章第一节
命题1、设F是个域，E是F的单纯扩张，E=F（a）。那么，或者E同构于F[x]的分式域F｛x｝，或者有F上的不可约多项式p （x），使F（a）=F[x]/（p（x））。（P382）
命题2、设E是域F的扩张域。如果a∈E是F上的代数元，则必有F上的不可约多项式
p（x）使得：
（1）p（a）=0；
（2）任意f（x）∈F[x]只要f（a）=0，则
f（x）∈（p（x）），即p（x）︱f（x）。（P385）
定理：设E是域F的一个扩张域。S，T E，那么，F（S）（T）=F （SYT）。（P394）
第二节
定理1、设E是域F的有限扩张域，D是域E的有限扩张域。那么D必为F的有限扩张，而且[D：F]=[D：E][E：F]。（P402）定理2、设D，E，F都是域，F E D，且DF的有限扩张，则E是F的有限扩张，而且[E：F] ︱[D：F]。（P405）
第三节
命题1、如果E是域F的有限扩张，那么它一定是F的一个代数扩张。（P412）
命题2、设E是域F的一个扩张域，如果a，b∈E都是F上的代数元，那么a+b，a-b，ab都是F 上代数元；当b≠0时，ab-1也是域F上的代数元。（P413）
定理：设D，E，F都是域，而且E是F的代数扩张，D是E
的代数扩张，那么D也是F的代
数扩张。（P414）
命题4、设F是个有限域，P是
F的素域，那么F必为P的有限
扩张。设[F：P]=n，则F的元数
恰好是pｎ，其中p是P的元数。
（P416）
1、象代数名词解释
1-1映上的映射（30 ）
当映射 f 是单射又是满射，
称之为双射或 f 是1-1 映上
的。
10，二元运算（50）
设S上个非空集合，把S×S到
S的映射称之为S上的二元运
算，简称为S上运算。
11，二元多项式（329）
设R是个有1的交换表达式
f(x,y)=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2+a0.2y
2+a
1.1
xy+…+a n.0x n+a n-1.1x n-1y+…
+a0.n y n, a ij∈R,称为R上关于
x,y的二元多项式。
12，子环（222）
设（R，+，·）上个环，S是R的
一个非空子集，如果+和·也是
S的运算，且（S，+，·）也是个
环，则说（S，+，·）是（R，+，·）
的一个子环。
13，子域（334）
设（F，+，·）是个域，F上的子
集S称为（F，+，·）的子域。如
果（1）（S，+，·）是（F，+，·）
的子环，（2）（S，+，·）本身是
个域。
14，子集合（3）
设A，B都是集合，说集合A是
集合B的子集合。
15，子集族（6）
设J是一共非空集合（可以有无
限多个元素），每个j∈J对应集
合S的一个字集A j，则通常说｛A j
︱A j
?S，j∈J｝是S的一个以J
标号的字集族，J称为指标集。
16，子集生成的子群（80）
设G是个群，S为其一非空字集
合，?为G的所有包含S的子
群的族，则称子群
?
∈
H
H为S
在G中生成的子群，记为〈S〉。
17，子集生成的理想（236）
设R是个环，T?R，ΦΦT非空，
作R的理想族B={I是R的理想，
T ?I}得到的理想
B
I
I
∈
称之为
R的由子集T生
为（T）。
10.子群（75）
设（G，·）是个群，如果G的子
集H对于·也构成群，则说（H，·）
是（G，·）的子群。
10.么元（59）单位元，恒等元，
中性元
设·是集合A上的一个运算，如
果元素e∈A对任何a∈A都有
a*e=e*a=a，则说e是A对于运
算·的一个单位元或恒等元，或
么元、中性元。
12．元素（1）
集合里的各个对象叫做这个集
合的元素。
13．元素的阶数（110）
群G中元素的个数称为G的阶
数。
90．无零因子环（217）
如果环R不含非零的零因子，则
称R为无零因子环。
91．不可约元（343）
D的元素a不是单位也不是0且
没有非平凡因子，则称a为不可
约元或既约元。
92．不交的循环（90）
循环（i1 i2‥i k）与（j1 j2‥j k）
称之为不交的。
93．不变子群，正规子群（152）
设G是个群，H是G的一个子
群，如果H 在每个内直同构映
射之下都不变，即对任意a∈G，
对任意h∈H都有aha-1∈H，则说
H是G的不变子群或正规子群。
94．不变子集（151）
若f是集合A到A本身的一个映
射，T是A的子集，且f（T）?T，
则说T上f的一个不变子集。
19.内直和（272）
95．内直积（群的）（193）
96．分式域（310）
21.分配律（209）
22.分裂域（419）
设F是个域，f（x）是F上的一
个n次多项式，F的扩张域E称
为是f（x）的分裂域。
97．分类（18）
一个集合B，如果有以?为标集
的子集族｛Ti|i∈?｝，对任意i
∈?,有Ti≠Φ,且
(1)T i∩Tj=Φ,,只要i≠j,
(2)B=
?
∈i
Ti
则说这是B的一个分类。
98．反序数（45）
数码1，2。……，n的每一个有
确定次序的排列称为一个n排列,
在一个n排列中，如果有较大的
数排在较小的数之前，则说这两
个数构成一个反序，该排列中出
现的反序的个数称为是它的反
序数。
99．双射（30）
当映射f是单射又是满射时，称之为双射。
100．双侧理想或双边理想(234)
101．中心（群的）（79）
设G是个群，集合C＝｛a∈G|ax=xa,对所有x∈G｝是G的一个群，此群称为群G的中心。102．中性元或单位元、恒等元、么元（59）
设●是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a·e=e·a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元
103．平凡子群（86）
对任意群G而言，G本身是G 的一个子群，单独一个恒等元e 也构成一个子群｛e｝，这两个子群称为G的平凡子群。104．平凡因子（343）
对于a∈D，所有单位及与a相伴的元素均称为a的平凡因子。105．平凡理想（247）
对任意环R而言，R本身和｛0｝都是R的理想，通常称它们为R 的平凡理想。
106．左单位元（69）107．左逆元（69）108．左、右消去律（68）设G为群，对任意a,b,c∈G,ab=ac 蕴涵b=c,ba=ca蕴涵b=c,并分别称为左、右消去律。
109．左陪集（113）
A=,B为子群，则记aB＝AB，并称aB为B在G中的一个左陪集。110．左理想（240）
设R是个环，R的非空子集S在其加法之下是R的加法子群，且对于任意r∈R，x∈S恒有rx∈S,则说S是R的一个左理想。111．右理想（240）112．右关系（112）
设H是群G的一个子群，H在群G中确定关系～如下，a,b∈G,a～b当且仅当ab-1∈H，称～是H在G中确定的右关系。113．可逆映射（35）
设f：A→B，说f是可逆影射，如果有g：B→A使得g○f=i A f。g=i B
38.可逆变换（144）
设（G，·）是个群。将G到G的可逆映射称为G上.可逆变换。114．主理想（236）
如果T仅有元素（{a}）记为(a)，并称为是由a生成的主理想。115．主理想整环（356）如果整环D的每个理想都是主
理想，则说D是主理想整环。
116．公因子（350）
设D是个整环，a1,…,a n∈D,如果
c∈D,c整除a1,…,a n的每一个，
则说c是元素a1,…,a n的一个公
因子。
117．代数元（384）
设域E是域F的扩张域，a∈E。
如果有F上非零多项式f(x)使
(fa)=0，则说a是F上的一个代
数元。
118．代数扩张（412）
设E是域F的一个扩张域，如果
任意a∈E都是F上代数元，则
说E是F的一个代数扩张域或代
数扩张。
119．代数扩张域（412）
120．代数封闭的（418）
域E称为是代数封闭的，如果E
没有真的代数扩张，此时亦说E
是个代数封闭域。
121．代数封闭域（418）
122．四元数环（283）
123．四元数除环（283）
124．四元数群（87）
125．对称群（87）
集合S={1，2，…，n}上所有置
换在映射合成之下构成群，称这
个群为n次对称群，记为S n
126．外直积（122）
127．互素（350）
当一个单位是a1,…,a n的一个最
大公因子时，则说它们是互素
的。
128．有1环（217）
129．有单位元环（217）
设（R，+，·）是个环，如果R
的乘法有单位元e，则说R是个
有单位元环，或称有1环。
130．有限扩张（402）
设E是域F的扩张域，如果E
在F上有基底，则说E是F的一
个有限扩张。
131．有限域（416）
域只含有限个元素时称为有限
域。
132．交集（4，6）
由任意集合A，B可决定一集合
{x|x∈A同时x∈B}称为A和B
的交集，记为A∩B。
133．交代群（88）
134．交换群（72）
群（G，·）的运算通常称为乘法。
当群的运算·满足交换律时，即
称之为交换群或阿贝尔群。
135．交换律（58）
设·是集合A上的一个运算，如
果对任意a，b∈A都有a·b=b·a，
则说运算·满足交换律。
136．并集（4，6）
由任意集合A，B决定一个集合
{x|x∈A或者x∈B}称为A和B
的并集，记为A∪B。
137．多项式（312）
设（S，+，·）是个有1的交换环，
每个形如下面的表达式
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（其中
n为非零整数，a0，a1，…，a n∈S）
均称为是环S上的一个关于x的
多项式。
138．多项式的和（314）
139．多项式的乘积（314）
140．多项式的根（318）
设S是有1交换环，f(x) ∈S[x]，
说元素r∈S是多项式f(x)的一个
根。如果f(r)=0，也可以说r满
足多项式f(x)。
141．多项式的首系数
（320）
设D是个整环，多项式
f(x)=a0+a1x+a2x2+…a r x r+…+a n x n
，a i∈D中，a r≠0,且当j＞r时有
a j=0，即degf=r，则说a r是f(x)
的首系数。
142．自同态（270）
143．自同构（270）
144．自然同构（182）
145．群的同态映射（160）
设（G，·）是个群，（H，#）也
是个群，那么G到H的映射f
称为是G到H的同态映射，如
果对任意a,b∈G都有f(a 。
b)=f(a)#f(b)。
146．环的同态映射（252）
设（R，+，·）和（S，#，⊙）都
是环·R到S的映射Ψ称之为R
到S的环的同态映射。如果对任
意的a,b∈R恒有Ψ(a+b)= Ψ
(a)# Ψ(b), Ψ(a·b)=Ψ(a)
⊙Ψ(b).特别地，当Ψ是满射
时，称S是R的同态像，当Ψ是
满射又是单射时，说Ψ是R到S
的环同构映射。
147．同态像（168，257）
设Ψ是环（R，+，·）到环（S，#，
⊙）的环同态映射，那么，称集
合lmg(Ψ)={s∈S|有r∈R使s=
Ψ(r)}为映射Ψ的像，称集合
Ker(Ψ)={ r∈R|Ψ(r)=0}为映
射Ψ的核。
148．同态核（164，257）
见71
149．群的同构映射（130）
设（G，△）是个群，（H，·）也
是个群，如果f：G→H是个双射，
且对任意a,b∈G恒有f(a△
b)=f(a) ·f(b),则说f是G到H
的群同构映射。
150．环的同构映射（252）见70
151．关系（12）
设A 和B都是集合，任取笛卡儿积A×B的一个子集R我们都说确定了A和B的一个关系R。对任意a∈A，b∈B，如果(a ，b) ∈R，则说a 与b有R关系，记为a R b；如(a ，b) ?R ,则
说a与b没有R关系.
152．原像(38)
对B的任意子集T，称A的子集{x∈A|f（x）∈T}为T在f之下的原像。
153．扩张次数（402）
基底所含元素的个数（这里由E 和F唯一确定的一个正整数）称为E在F上的扩张次数。154．阶数（110）
群G中元素的个数称为G的阶数。
155．体（282）
156．克莱因四元群（143）157．克莱因四元数群（87）158．投影（28）
设A，B是集合，规定，任意元素(a，b) ∈A×B对应a，这是笛卡儿积A×B到A的映射，记为P A，即P A(（a，b）)= a，对任意(a，b) ∈A×B，该映射称为A×B到A的投影。
83.完全集（20）
设～是集合A上的一个等价关系，说A的子集T是关系～下的一个等价类表示的完全集，简称完全集。
159．系数（312）
设（S，+，·）是个有1的交换环，每个形如下面的表达式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（其中n为非零整数，a0，a1，…，a n∈S）均称为是环S上的一个关于x的多项式。其中a i x i称为是多项式f(x)的i次项，a i称为f(x)的第i 次项系数。
160．运算（50）
设S是个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S的运算。161．运算表（51）162．单位（221）
设R是有单位元1的环，R的元素a称为R的一个单位。如果有b∈R使ab=ba=1.
163．单射（30）
若对任意a,b∈A，f(a)=f(b)蕴涵a=b，则说f是单射或f是单的。164．单的（映射）（30）见
87题
165．单同态（270）
单的同态映射称为单同态。
90.单环（247）
如果环R只有两个理想R和
（0），那么R的商环极为明了，
这种环称为单环或单纯环。
91.单纯环：如果环R只有两个
理想R和｛0｝，那么R的商环
极为明了，这种环称为单环或单
纯环。（247）
92.单群：若群不含非平凡的不变
子群则称为单群。（159）
93.单纯扩张：设E是F的一个
扩张域，S是E的一个子集，
由F S在E中生成的子域，
记为F（S），称为是F上添加
S得到的E的子域。当S=｛a1，
a2，…，a n｝时，记为F（S）
=F（a1，a2，…，a n）。当E=F
（a）时，，说E是F的一个单
纯扩张域，或是说E是F的一
个单纯扩张。（382）
94.单纯扩张域（同上）（382）
95.奇置换：见下题。（47）
96．偶置换：设P是｛1，2，…，
n｝上的一个置换，记P= 1
2 …n
P（1）P（2）…P（n）当排列
P（1），P（2），…P（n）的反序
数为偶数时，称P为偶置换，否
则为奇置换。（47）
97．极小多项式：当a是F上的
代数元，满足命题2条件（1）
和（2）的不可约多项式p（x）
就称为是a的一个极小多项式。
或最小多项式。（385）
98．极大理想环R的理想M≠R
称之为R的一个最大理想。如果
对R的任意理想A，M?A且
M≠A蕴涵A=R。（294）
99．空集：我们把不含任何元素
的集合称为空集。（3）
100．周期：有人把元素的阶数
称为元素的周期。（110）
101．线性相关：设E是域F的
扩张域，说E中元素u1，u2，…，
u n是在F上线性相关的，如果有
a1，a2，…，a n∈F使得（1）a1，
a2，…，不全为0；（2）a1 u1+ a2
u2+…+a n u n=0如果u1，u2，…，
u n在F上不是线性相关的，则说
它们是在F上线性无关的。
（395）
102．线性无关：同上（396）
103．线性组合：设E是域F的
扩张域，对于E中元ν，u1，
u2，…，u n，如果有a1，a2，…，
a n∈F使得ν=a1u1+ a2u2+…
+a n u n，则说ν是u1，u2，…，u n
的一个线性组合。（398）
104．定义域：设f：A→B是A
到B的映射，通常称A为B的
定义域。B为f的值域。（39）
105．拉格朗日定理：设G是个
有限群，那么G的任意子群H
的阶数一定整除G的阶数，即︱
H︱︱G︱。（115）
106．欧氏环：整环D称为欧氏
环，如果由D之所有非0元集合
D0到非负整数集I+的映射d满足
（1）如果a，b∈D0且
a︱b，则d（a）≤d（b）；（2）
如果a∈D，b∈D0，则必有q，r
∈D使得a=bq+r，d（r）＜d（b）
或r=0。（360）
107．映射：设A，B是集合。
如果有一对应规则f，对于集合
A中任何一个元素a，在集合B
中都有唯一的元素b和它对应，
这个对应叫做从集合A到集合B
的映射，记作f：A→B。f使集
合A中元a对应b，记为f（a）
=b，也就是f把a变成b。（26）
108．逆元素：每个元都有逆元
素，即对任意a∈G，都有b∈使
得a·b=b·a=e。（65）
109．逆映射：当f：A→B可逆
时，这个由f唯一确定的映射：
f-1：B→A即称之为f的逆映射。
（37）
110．恒等映射：设A是个集合。
规定，任意a∈A对应a自己。
这是A到A的映射，称为A上
的恒等映射，记为i A，即对任意
a∈A都有i A（a）=a，有时把i A
中的A省略，简记为i。（28）
111．指标集：设J是一个非空
集合（可以有无限多个元素），
每个j∈J对应集合S的一个子集
A j，则通常说，｛A j︱A j?S，
j∈J｝是S的一个以J标号的子
集族，J称为指标集。（6）
112．相伴：设a，b∈D。说元
素a和元素b是相伴的，如果a
︱b，且b︱a。（343）
113．既约元：D的元素a不是
单位也不是0且没有非平凡因
子，则称a为不可约元或既约元。
（343）
114．结合环：设集合R上有两
种元运算，一个叫加法，记为+；
一个叫乘法，记为·，且（1）（R，
+）是个交换群；（2）乘法·在
R上是结合的；（3）对任意a，b，
c∈R，都有a·（b+c）=a·b+a·c，
（b+c）·a=b·a+c·a，则说（R，
+，·）是个结合环，简单的说它
是个环。（208）
115．结合律：设·为集合A上一运算，若对任意a，b，c∈A，都有（a·b）·c=a·（b·c）则说与运算·满足结合律。（55）116．素元：设D是个整环，p ∈D。若p不是零元也不是单位，且对任意a，b∈D，只要p︱（ab），那么必有pa或者p︱b，则说p是D的一个素元。（349）117．素理想：设R是个交换环，P是R的一个理想。如果P≠R 且对任意a，b∈R，ab∈P蕴涵，a∈P或b∈P，则说P是R的一个素理想。（297）
118．素域：设F是个域，T是F 的一个非空子集，F的所有包含T的子域的交集称为是T生成的子域。特别地，由F的零元素0和恒等元素1生成的子域称为F 的素域。（335）
119．哈密尔顿四元数环：（283）120．除环：设（R，+，·）是个至少含2个元素的环。用R0代表R中所有非零元的集合。如果R0在R的乘法·之下是个群，则说环（R，+，·）是个除环。进一步，若（R，+，·）是个交换环，又是除环，则说（R，+，·）是个域。（281）
121．除体：有人称除环为体、除体、斜域。有人称域为交换除环或交换环。（282）
122．复合映射：设f：A→B，g：B→C，那么，规定，任意a∈A （此a唯一对应f（a），而f（a）∈b在g之下唯一对应C中元g （f（a）），对应g（f（a））∈C，这是A到C的映射，称为是f 和g的复合映射，也说是f和g 的乘积，并记为g。f，也就是g。f：A→C，（g。f）（a）=g（f（a）），a∈A。（31）
123．真子集：如果A?B，但A≠B，即有B的元素不属于A，则说A是B的真子集，记为A?B。（3）
124．乘积（群的子集）：对群G 之任意非空子集A，B，称G的子集｛g∈G︱g=ab，a∈A，b∈B｝为A与B的乘积，记为AB。（113）
125．根：设S是有1交换环，f （x）∈S[x]。说元素r∈S是多项式f（x）的一个根。如果f（r）=0。也可以说r满足多项式f（x）。（318）
126．特征数：设R是个环，如果有自然数m使得，对每个r∈R均有mr=0，而小于m的自然
数都不具备该性质，则说环R的
特征数为m。如果找不到满足上
述要求的自然数，则说环R的特
征数为0。（288）
127．换位子群：设G是个群，
G中有所求换位子元素aba-1b-1，
a，b∈G生成的子群（即所有形
如a1b1a-1b-1a2b2a-2b-2…
a n
b n a-n b-n，n=1，2…的集合）称
为是G的换位子群。（159）
128．高斯环：所有形如a+ib，a，
b∈I的复数是复数环的一个子
环，称为高斯环/可以断言，高斯
环是个欧氏环。（361）
129．消去律：设G为群，对任
意a，b，c∈G，ab=ac蕴涵b=c，
ba=ca，蕴涵b=c，并分别称为左，
右消去律（68）
130．陪集：当A为子群，B=｛b｝
时，记Ab=AB，并称Ab是A
在G中的一个右陪集。A=｛a｝，
B是子群，则记为aB=AB，并称
aB为B在G中的一个左陪集。
由于N是不变子群，每一个左陪
集就是一个右陪集，其陪集不区
分左右，简称为陪集。（113，173）
131．唯一分解整环：满足下列
条件的整环D称为唯一分解整
环。（1）如果a∈D，a≠0，a不
是单位，那么a必可以写成若干
个D的不可约元的乘积，即
a=p1p2…p s，p i是D的不可约元。
（2）如果a∈D且a= p1p2…p s
=q1…q t，其中p i和q j都是D的
不可约元，那么s=t，并且适当
调整q j的顺序后，可使p j与q j
恰好是对应相伴的，j=1，2，…，
t。（345）
132．值域：设f：A→B是A到
B的映射，通常，称A为B的
定义域，B为f的值域。（39）
133．环：设集合R上有两种二
元运算，一个叫加法，记为+，
一个叫乘法，记为·，且（1）（R，
+）是个交换群；（2）乘法·在
R上是结合的；（3）对任意a，b，
c∈R，都有a·（b+c）=a·b+a·c，
（b+c）·a=b·a+c·a则说（R，
+，·）是个结合环，简单地，说
它是个环。（208）
134．域：设（R，+，·）是个至
少含2个元素的环。用R0代表R
中所有非零元的集合。如果R0
在R的乘法·之下是个群，则说
环（R，+，·）是个除环。进一步，
若（R，+，·）是个交换环，又是
除环，则说（R，+，·）是个域。
有人称除环为体、除体、斜域。
有人称域为交换除环或交换环。
（282）
135．商环：设R是个环，A是
R的理想，有商群
R=R/A中规定
（a+A）⊙（b+A）=ab+A，
a+A，b+A∈R得到的环（R，#，
⊙）称为是环（R，+，·）对理想
A的商环。或称为剩余环。（243）
136．商集：设～是集合A上的
等价关系，T是关系～之下的一
个完全集，集合A =｛S t︱t∈T｝
称为对等价关系～的商集。（21）
137，商群设N是群（G，。）的
不变子群。在商集G/N中规定
aN#bN=（a。b）N；aN，bN∈
G/N。则（G/N，#）作成群，称
为群（G，。）对不变子群N的商
群。（175）
138．理想：设（R，+，·）是个
环，A是R的非空子集。如果（1）
（A，+）是（R，+）的子群；（2）
对任意x，y∈A和任意a，b∈R
都有ay∈A，xb∈A，则说A是
R的理想。（234）
139．理想子环：A为R的理想
则A必为R的子环。因此，有
人也称环的理想为环的理想子
环。（234）
140．基底：设u1，u2，…，u n
是E中元素，如果（1）u1，u2，…，
u n是线性无关的；（2）任意v∈
E，v必然是u，u2，…，u n的一
个线性组合；则说u1，u2，…，
u n是E在F上的一个基底。（398）
141．添加：设E是F的一个扩
张域，S是E的一个子集，由
F S在E中生成的子域，记为
F（S），称为是F上添加S得到
的E的子域。（382）
142．笛卡尔积：对任意集合A
和B，集合A×B=｛（a，b）︱a
∈A，b｝称为是A，B的笛卡尔
积，其中（a，b）=（a1，b1），a，
a1∈A，b，b1∈B当且仅当a=a1，
b=b1。（10）
143．斜域：有人称除环为体、
除体、斜域。有人称域为交换除
环或交换环。（282）
144．常数项：设（S，+，·）是
个有1的交换环，每个形如下面
的表达式
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（其中
n为非零整数，a0，a1，…，a n∈S）
均称为是环S上的一个关于x的
多项式。a0称为常数项（312）
145．集合：每一组对象的全体
形成一个集合，集合里的各个对
象叫做这个集合的元素。（1）146．最小子域：由于每个子域都含有素域P，所以也称素域为域的最小子域。（338）
147．最大公因子：设D是个整环，a1，…，a n∈D。如果c∈D，c整除a1，…，a n的每一个，则说c是元素a1，…，a n的一个公因子。元素d∈D称为a1，…，a n的一个最大公因子，如果（1）d是a1，…，a n的一个公因子，（2）对任意c ∈D，只要c是a1，…，a n的一个公因子，则必有c︱d。（350）148．等价关系：设～是集合A 上的一个关系，若它满足下列三条性质：（1）*反身性，即对任意a∈A，都有a～a；（2）*对称性，即对任意a，b∈A，a～b蕴涵b～a；（3）*传递性，即对任意a，b，c∈A，如果a～b，b～c则必有a～c；则说～是A上的一个等价关系。（17）
149．等价类：对每个x∈A，称A的子集S x=｛y︱y～x｝为元素x的等价类。（18）
150．等价类表示的完全集：设～是集合A上的一个等价关系，说A的子集T是关系～下的一个等价类表示的完全集（简称完全集），如果T中不同的元素的等价类也不同，且A= S t。
t∈T（20）151．像：设f是A到B的映射，称Img（f）=｛y∈B︱有a∈A 使y=f（a）｝为映射f的像。（30，38）
152．循环：如果n阶置换P每把1到n中若干个数码i1，i2，…，i k按下方式对应P（i1）= i2，P（i2）= i3，…，P（i k）= i1，而对其余数码x有
P（x）=x，则说P是一个k循环。记P=（i1，i2，…，i k）（89）153．循环群：群G称为循环群，如果有g∈G，使得G=〈g〉。也有人称循环群为巡回群。（100）154．超越元：如果对F上的任意一个非零多项式f（x）都有f （a）≠0，则说a是F上的一个超越元。（385）
155．幂集：集合A的所有子集所形成的集合称为A的幂集。（4）
156．剩余环：（同商环）（243）157．零因子：对于环R的元素a，若有b≠0以及c≠0使ab=0以及ca=0，则说a是R的一个零因子。（217）
158．群：一个集合G和G上的一个运算·满足下列条件，则说G对·构成群，在不致引起混乱时（即从上下文可以清楚判断所说的运算时）也可以简单地说，G是个群。（64）
159．置换：只含有限元素的集合称之为有限集。非空的有限集A到A本身的可逆映射称之为A 上置换，也就是A的一个置换。（43）
16．整除：设a，b∈D，b≠0。说元素b能整除元素a，如果有c∈D使得a=bc。此时，也说a能被b整除，或说b是a的因子，并记为b︱a。否则，就说b 不整除a，记b︱a。（342）161．整区：有1的交换的无零因子环称为整环或整区。（217）162．整环（同上）（217）163．整数模n关系：设n为一正整数，在整数集Ⅱ中定义关系～，a～b当且仅当a-b是n的整数倍，并将这个关系称为整数模n关系。（23）
164．满射：设f是A到B的映射，若Img（f）=B，则说f是满射f是满的，或f是映上的。（30）165．满的（映射）（同上）（30）166．满同态（环的）：为说话方便人们常把满的同态映射称为满同态，单的同态映射称为单同态，而环到自己的同态称为自同态（进一步，此同态映射为双射时，称为自同态）。（270）
抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶 2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A 、偶数 B 、奇数 C 、4的倍数 D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A 、（N,≤） B 、（Z,≥） C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D 、 (P(A),?) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A 、(1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C 、(1)，(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------。 3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元是-------。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z 8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。 9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？ 3、设有置换)1245)(1345(=σ， 6)456)(234(S ∈=τ。 1．求στ和στ-1； 2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集，规定 f(x)= x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B ） A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf 是 A 到 C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素 （ 1 32）不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意 a,b G ，以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确 的是 ( A ) ．．． A. G C. G 的商群不是循环群 是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B 到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设（ ， +，·）是环 ，则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ，则 x a C. 对 a R ， a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ，则 b c 14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B )
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 １、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 ２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说 Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ） Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 １、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。 ５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。 ８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。 ９、一个除环得中心就就是一个--－－---。 三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 ３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。 Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群 Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法
近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
Author Guidelines for the Preparation of Contributions to Springer Computer Science Proceedings Alfred Hofmann1,*, Ralf Gerstner1, Anna Kramer1, and Frank Holzwarth2 1 Springer-Verlag, Computer Science Editorial, Heidelberg, Germany {alfred.hofmann,ralf.gerstner,anna.kramer}@https://www.doczj.com/doc/078246382.html, 2 Springer-Verlag, Technical Support, Heidelberg, Germany frank.holzwarth@https://www.doczj.com/doc/078246382.html, Abstract. The abstract is a mandatory element that should summarize the con- tents of the paper and should contain at least 70 and at most 150 words. Ab- stract and keywords are freely available in SpringerLink. Keywords: We would like to encourage you to list your keywords here. They should be separated by middots. 1Introduction You will find here Springer’s guidelines for the preparation of proceedings papers to be published in one of the following series, in printed and electronic form: ?Lecture Notes in Computer Science (LNCS), incl. its subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence (LNAI) and Lecture Notes in Bioinformatics (LNBI), and LNCS Transactions; ?Lecture Notes in Business Information Processing (LNBIP); ?Communications in Computer and Information Science (CCIS); ?Lecture Notes of the Institute for Computer Sciences, Social Informatics and Tele-communications Engineering (LNICST); ?IFIP Advances in Information and Communication Technology (IFIP AICT), for-merly known as the IFIP Series; ?Proceedings in Information and Communication Technology (PICT). Your contribution may be prepared in LaTeX or Microsoft Word. Technical Instruc-tions for working with Springer’s style files and templates are provided in separate documents which can be found in the respective zip packages on our website. *No academic titles or descriptions of academic positions should be included in the addresses. The affiliations should consist of the author’s institution, town, and country.
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
Rapid Identification of Waste Cooking Oil with Near Infrared Spectroscopy Based on Support Vector Machine Xiong Shen1,a, Xiao Zheng1,b, Zhiqiang Song1,c, Dongping He2,d, Peishi Qi3,e 1Institute of Mechanical Engineering, Wuhan Polytechnic University, Wuhan 430023,China; 2Institute of Food Science and Engineering, Wuhan Polytechnic University, Wuhan 430023, China;3PASHUN GROUP, Wuhan 430023,China a sx198711@https://www.doczj.com/doc/078246382.html,, b zhengxiao@https://www.doczj.com/doc/078246382.html,, c327463922@https://www.doczj.com/doc/078246382.html,, d hedp123456@https://www.doczj.com/doc/078246382.html,, e qps@https://www.doczj.com/doc/078246382.html, Abstract. The qualitative model for rapidly discriminating the waste oil and four normal edible vegetable oils is developed using near infrared spectroscopy combined with support vector machine (SVM). Principal component analysis (PCA) has been carried out on the base of the combination of spectral pretreatment of vector normalization, first derivation and nine point smoothing, and seven principal components are selected. The radial basis function (RBF) is used as the kernel function; the penalty parameter C and kernel function parameter γare optimized by K-fold Cross Validation (K-CV), Genetic Algorithm (GA), Particle Swarm Optimization (PSO), respectively. The result shows that the best classification model is developed by GA optimization when the parameters C = 911.33, γ= 2.91. The recognition rate of the model for 208 samples in training set and 85 samples in prediction set is 100% and 90.59%, respectively. By comparison with K-means and Linear Discriminant Analysis (LDA), the result indicates that the SVM recognition rate is higher, well generalization, can quickly and accurately identify the waste cooking oil and normal edible vegetable oils. Keywords: near infrared spectroscopy, waste cooking oil, support vector machine, parameters optimization 1 Introduction Catering waste oils include drainage oil (in narrow sense), hogwash fat (waste cooking oil) and fried old oil. After pickling, washing, decoloration, deodorization and other processing, the catering waste oils often close to or completely achieve the national Hygienic Standard of Edible Vegetable Oil in sensory index and conventional typical properties, which consumers and government supervisors are difficult to identify by the sense of the sights and smell. At present, a complete set of testing technology standard of identification of the catering waste oil hasn’t been established domestically or abroad. The Ministry of Health is requesting proposals for proposals from the public. Near Infrared Spectroscopy (NIR) technology is a nondestructive testing technique rapidly developed in recent years [1]. The domestic
Lecture Notes in Computer Science: Authors’ Instructions for the Preparation of Camera-Ready Contributions to LNCS/LNAI/LNBI Proceedings Alfred Hofmann1,1, Brigitte Apfel1, Ursula Barth1, Christine Günther1, Ingrid Haas1, Frank Holzwarth1, Anna Kramer1, Leonie Kunz1, Nicole Sator1, Erika Siebert-Cole1 and Peter Stra?er1, 1 Springer-Verlag, Computer Science Editorial, Tiergartenstr. 17, 69121 Heidelberg, Germany {Alfred.Hofmann, Brigitte.Apfel, Ursula.Barth, Christine.Guenther, Ingrid.Haas, Frank.Holzwarth, Anna.Kramer, Leonie.Kunz, Nicole.Sator, Erika.Siebert-Cole, Peter.Strasser, LNCS}@https://www.doczj.com/doc/078246382.html, Abstract. The abstract should summarize the contents of the paper and should contain at least 70 and at most 150 words. It should be set in 9-point font size and should be inset 1.0 cm from the right and left margins. There should be two blank (10-point) lines before and after the abstract. This document is in the required format. Keywords: We would like to encourage you to list your keywords in this section. 1 Introduction This instruction file for Word users (there is a separate instruction file for LaTeX users) may be used as a template. Kindly send the final and checked Word and PDF files of your paper to the Contact Volume Editor. This is usually one of the organizers of the conference. You should make sure that the Word and the PDF files are identical and correct and that only one version of your paper is sent. It is not possible to update files at a later stage. Please note that we do not need the printed paper. We would like to draw your attention to the fact that it is not possible to modify a paper in any way, once it has been published. This applies to both the printed book and the online version of the publication. Every detail, including the order of the names of the authors, should be checked before the paper is sent to the Volume Editors. 1Please note that the LNCS Editorial assumes that all authors have used the western naming convention, with given names preceding surnames. This determines the structure of the names in the running heads and the author index.
近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 23x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为