初中数学专项训练：实际问题与二次函数
一、利用函数求图形面积的最值问题 一、围成图形面积的最值
1、 只围二边的矩形的面积最值问题
例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），
根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0
180
＜x＜x ＞x ＞∴??
?-
（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，
即当9)1(2182=-?-=-=a b x 时，81)
1(4180442
2max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值
例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使
养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（
2
50x
-）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252
1
)250(
2+-=-=； 又∵500,02
500
＜x＜＞x x ＞∴???
??-
∵x x x x y 252
1
)250(
2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，
即当25)
2
1(2252=-?-
=-=a
b
x 时，2625)
2
1(42504422max
=-?-=-=a b ac y
故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为
2
625
平方米。 3、 围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2
，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2
吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm
由题意得： 17)4
20(
)4
(2
2
=-+x x 解得： 4,1621==x x 当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
（2）不能。理由是：设第一个正方形的边长为xcm ，则第二个正方形的边长为
)5(4
420x x
-=-cm ，围成两个正方形的面积为ycm 2， 根据题意，得：25102)5(222+-=-+=x x x x y ，
∵25102)5(222+-=-+=x x x x y 中，a= 2＞0，∴y 有最小值，
即当2522102=?--=-=a b x 时，2
25241025244422min =?-??=-=a b ac y =12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm 2
.
练习1、如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x ，正方形EFGH 的面积为y.
(1)求出y 与x 之间的函数关系式；
(2)正方形EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .
212
y x =-
. 【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数
解析式为：y=ax 2
，利用待定系数法求解. 试题解析：设此函数解析式为：2
y ax =，0a 1； 那么（2，-2）应在此函数解析式上．
则24a -= 即得12a =-， 那么2
12
y x =-． 考点：根据实际问题列二次函数关系式.
练习1
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，
且在
图（1） 图
过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y
（米）与水平距离x （米）之间的关系是4
5
22
+
+-=x x y .请回答下列问题： (1)柱子OA 的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
2．一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系. ①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
三、利用抛物线解决最大利润问题 例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500.
（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）
（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分） 答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600. 【解析】 试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．
试题解析：（1）由题意得出： ()()()2W x 20y x 2010x 50010x 700x 10000=-=--+=-+-， ∵b
a 100352a
=--
=<， ， ∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：210x 700x 100002000-+-=， 解这个方程得：x 1=30，x 2=40．
∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． （3）∵a 100=-<，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，W≥2000. ∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000. 设成本为P （元），由题意，得：()P 2010x 500200x 10000=-+=-+，
∵k=-200＜0，∴P 随x 的增大而减小． ∴当x=32时，P 最小=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 考点：二次函数的应用．
练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．
（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为 ； （2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元
2．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y 2x 80=-+. 设这种产品每天的销售利润为w 元.
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．某公司营销,A B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A 种产品所获利润y (万元)与所售产品x (吨)之间存在二次函数关系
2y ax bx =+.当1x =时， 1.4y = ；当3x =时， 3.6y =．
信息2：销售B 种产品所获利润y (万元)与所售产品x (吨)之间存在正比例函数关系0.3y x =．
根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；
(2)该公司准备购进,A B 两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售,A B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：10500y x =-+． (1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不
低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x 元/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x 的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；
（3）当x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y （辆）与每辆车的月租金x （元）之间的关系式.
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含
请求出公司的最大月收益是多少元． 四、利用二次函数解决动点问题
例1如图8，如图9，在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm ，∠A =60°，
BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .
(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；
(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线
运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t
≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2
.
① 求S 关于t 的函数关系式；② 求S 的最大值.
解：(1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm ，由∠A =60°，知AE =1，PE ∴ S ΔAPE =2
3
.
(2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于
点F ，则AQ =t ，AF =2t ，QF =t 23，AP =t +2，AG =1+2t ，PG =t 2
3
3+.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =2
3
23+
t . 当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD
交于点F ，则AQ =t ，AF =2t ，DF =4-2t ，QF =t 2
3
，BP =t-6，CP =10-t ，PG =3)10(t -，
而BD =34，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =3343108
352
-+-
t t .
当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，QF =(20-2t
，CP =10-t ，PG =3)10(t -.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =
31503302
332
+-t t . 故S 关于t
的函数关系式为2
2
(06)(68)(810)t S t t ≤≤???=+-≤≤?-+≤≤??
②当0≤t ≤6时，S 的最大值为
2
3
7 当6≤t ≤8时，S 的最大值为36 当8≤t ≤10时，S 的最大值为36 所以当t =8时，S 有最大值为36 . 初中数学专项训练：实际问题与二次函数
参考答案
一、1
（1）y=2x 2-2ax+a 2
(2) 有.当点E 是AB 的中点时，面积最大. 【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）先由AAS 证明△AEF ≌△DHE ，得出AE=DH=x 米，AF=DE=（a-x ）米，再根据勾股定理，求
出EF 2
，即可得到S 与x 之间的函数关系式； （2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解． 解：∵四边形ABCD 是边长为a 米的正方形， ∴∠A=∠D=90°，AD= a 米． ∵四边形EFGH 为正方形， ∴∠FEH=90°，EF=EH ． 在△AEF 与△DHE 中，
∵∠A=∠D ，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH ，EF=EH
∴△AEF ≌△DHE （AAS ），
∴AE=DH=x 米，AF=DE=（a-x ）米，
∴y=EF 2=AE 2+AF 2=x 2+（a-x ）2=2x 2-2ax+ a 2
，
即y=2x 2-2ax+ a 2
；
（2）∵y=2x 2
-2ax+ a 2
=2（x-2a ）2+2
4
a ，
∴当x=
2
a
时，S 有最大值． 故当点E 是AB 的中点时，面积最大．
二、练习1 （1）
45
（2）49 （3）2
5 【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y 的值，即可求出答案．
（2）通过抛物线的顶点坐标求得
（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x 的值，即可求出答案． 解：（1）把x=0代入抛物线的解析式
得：y=
45，即柱子OA 的高度是4
5
（2）由题意得：当x=2
=121-
?-（）
时，y=49,即水流距水平面的最大高度 （3）把y=0代入抛物线
得：4
522
+
+-x x =0，解得，x 1=1
2-(舍去，不合题意)，x 2=52
故水池的半径至少要5
2
米才能使喷出的水流不至于落在池外
2．（1）①2
1425
y x =-
+；②10；（2）①14.5
；② 【解析】 试题分析：（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x 的值即可；
（2）①构造直角三角形利用BW 2=BC 2+CW 2
，求出即可；
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF 2=WF 2﹣WG 2
，求出即可．
试题解析：（1）①设抛物线解析式为：2y ax c =+，∵桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4
米，∴A （﹣10，0），B （10，0），D （0，4），∴10004a c c +=??=?，解得：1254
a c ?
=-?
??=?，∴抛物
线解析式为：2
1425
y x =-
+； ②∵要使高为3米的船通过，∴3y =，则2
13425
x =-
+，解得：5x =±，∴EF=10米； （2）①设圆半径r 米，圆心为W ，∵BW 2=BC 2+CW 2
，∴222(4)10r r =-+，解得：14.5r =；
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF 2=WF 2﹣WG 2
，即GF 2
=14.52
﹣13.52
=28，所以
GF=
EF=
考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．
三、1．(1）y=-3x+240；(2)w=-3x 2
+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.
【解析】 试题分析：（1）根据题意知销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；
(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）
=-3x 2
+360x-9600；
(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x 2
+360x-9600的最大值. 试题解析：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；
（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x 2
+360x-9600； (3)当x ≤60，y 随x 的增大而减小， 当x=55时，w 最大=1125
所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元. 考点：（1）一次函数；（2）二次函数． 2．（1）2w 2x 120x 1600=-+-；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 【解析】 试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-?=--+=-+-， ∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-. （2）()2
2w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值. 3．见解析 【解析】
试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入2
y ax bx =+ 得0.11.5a b =-??
=? 解得0.11.5
a b =-??=? ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x 2
+1.5x ；
（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W
元，根据题意可列函数关系式为：W=-0.1m 2+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m 2+1.2m+3=-0.1（m-6）2
+6.6，因为-0.1＜0，根据二次函数的性质知当m=6时，W 有最大值6.6， 试题解析：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，
∴ 1.493 3.6a b a b +=??+=?
解得0.1
1.5
a b =-??
=? ，
所以，二次函数解析式为y=-0.1x 2
+1.5x ； 3分
（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，
则W=-0.1m 2+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m 2+1.2m+3=-0.1（m-6）2
+6.6， ∵-0.1＜0，
∴当m=6时，W 有最大值6.6，
∴购进A 产品6吨，购进B 产品4吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
考点：1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质. 4．（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元. 【解析】 试题分析：（1）根据每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）3000w ≤同时满足25x ￡，根据函数图象的性质知道，0k <随x 的增大而减小，当25x =时，该函数有最大值时，p 有最小值500.
试题解析：（1）当20x =时，105001020y x =-+=-?+=，300(1210)3002600?=?，
∴政府这个月为他承担的总差价为600元。
（2）依题意得，()()()1010500106005000103040002
2w=x -x+=x +x -=-x -+?--， 100a =-<，
∴当30x =时，w 有最大值4000.
∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．
（3）由题意得：10600500030002x +x --=， 解得：120x =，240x =.
100a =-<，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当2040x ＃时，3000w 3. 又 25x ￡，∴当2025x ＃时，w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p 元，\()()121010500p x =-?-+201000x =-+. 200k =-<，\p 随x 的增大而减小.
∴当25x =时，p 有最小值500.
∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用.
5．（1）（220－10x ）；（2）2103202200w x x =-+-（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元． 【解析】
试题分析：用含x 的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x ）个，列出函数关系式(22010)(10)w x x =--，再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知1014x ≤≤所以x=1４时，W 最大为320. 试题解析：（1）（220－10x ）；
（2）)10)(10220(--=x x w 3分
2200320102-+-=x x 5分 2200320102-+-=x x w
360)16(102+--=x 6分
∵抛物线2200320102
-+-=x x w 的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，w 随x 的增大
而增大.8分
由题意可知1410≤≤x ， 9分 ∴当x=14时，w 最大为320.
∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元. 考点：１．根据实际问题列函数关系式． ２．二次函数的性质．
6．解：（1）由表格数据可知y 与x 是一次函数关系，设其解析式为y kx b =+，
将（3000，100），（3200，96）代入得3000k b 1003200k b 96+=??+=?，解得：1k 50b 160
?
=-
???=? 。
∴1
y x 16050
=-
+。 将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。 ∴y 与x 间的函数关系是1
y x 16050
=-+。 （2）填表如下： 租出的车辆数 1
x 16050-
+ 未租出的车辆数
1
x 6050
- 租出每辆车的月收益
x 150-
所有未租出的车辆每月的维护费
x 3000-
（3）设租赁公司获得的月收益为W 元，依题意可得：
()()()2W 150x 160x 150x 3000150x 163x 24000x 3000=-+---=-+---（）（）
()2
2150x 162x 21000150x 405030705=-+-=--+
当x=4050时，Wmax=307050，
∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元 【解析】 试题分析：（1）判断出y 与x 的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式。 （2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可。 （3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益。
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数 的解析式 【重点难点提示】 重点：二次函数的解析式 难点：从实际问题中抽象出二次函数 考点：二次函数的解析式的求法是中考命题的重中之重，它可以填空题、选择题出现，更多的是通常以综合题的形式出现在中考试卷的压轴题中，占10~12分左右。 【经典范例引路】 例1 已知函数y=x 2+kx －3图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4 （1）求实数k 的值；（2）若P 为上述抛物线上的一个动点（除点C 外），求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标。 解 （1）设A(x 1,0)B(x 2,0) 则AB 2=|x 2－x 1|2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=k 2+12=16 ∴k=±2 (2)由y=x 2±2x －3= (x ±1)2－4得点C 1(1,－4),C 2(－1,－4) ∴S △ABC =21 ×4×4=8 设点P(x,4)在抛物线上，则有x 2±2x －3=4,即x 2±2x －7=0 得：x=－1±22或x=1±22 ∴P 点坐标为（－1+22，4）（－1－22，4）（1+22，4）（1－22，4） 例2 阅读下面的文字后，解答问题 有这样一道题目： 已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a),B(1,－2)求证这个二次函数图象的对称轴是直线x=2，题目中的横线部分是被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式，若能，写出求解过程？若不能，说明理由 （2）请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 解 （1）能：根据题意有：?? ?++=-=c b a c a 2 又∵二次函数图象的对称轴为x=2 ∴－a b 2=2 二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2 P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 6、(2009年上海市)抛物线2 2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 8、（2009威海）二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 9、（2009湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2 ＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 10、（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++- x C 、y=12 1 212+--x x D 、y=22++-x x 13、（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 14、（2009烟台市）二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y O 17、已知二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论： 20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、（2009年嘉兴市）已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能 是（ ▲ ） 23、（2009年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．00h k >>， 图4 x x B ． C ． x A ． x D ． A ． C ． D ． 待定系数法求解析式 代入方程求得解析式 例题一 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________． 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1 时，y＝0.求这个二次函数的解析式． 3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是() A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2 C．y＝x2－2x＋3D．y＝x2－3x＋2 4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点， 求出抛物线的解析式． 5.已知抛物线C 1 ：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线C 1 的解析式； (2)将抛物线C 1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C 2 经过坐标原点，并写出 C 2 的解析式． 2、知识点二：利用“顶点式”求二次函数的解析式 顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法： 若是已知条件是图像上的顶点（h，k）及另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式 例题二 1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为() A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是() A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4 C．b＝－2，c＝4D．b＝－2，c＝－4 3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二 次函数的解析式． 4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式． 5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过 A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为 3、知识点三：利用“交点式”求二次函数的解析式 交点式y＝a(x－x 1)(x－x 2 )的求解方法： 若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）及另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式 例题三 1．如图，抛物线的函数表达式是() A．y＝x2－x＋4 B．y＝－x2－x＋4 C．y＝x2＋x＋4 D．y＝－x2＋x＋4 二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 二次函数解析式的确定2 〈一〉三点式。 1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21 a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 〈五〉平移式。 1，把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2，抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物 线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2 倍，求抛物线的解析式。 2、已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA=4 3OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1，平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将 三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2，求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a 二次函数基础练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① y =② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 2 1y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = 3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m =时，函数()2221m m y m m x --=+是关于x 的二次函数 5、当____m =时，函数()256 4m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？ 练习二 函数2ax y =的图像与性质 1、填空：（1）抛物线22 1x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 二次函数解析式专题训练 一、填空 （1）一般式：_______________ (a≠0) （2）顶点式：_______________ (a≠0) （3）交点式：_______________ (a≠0) （4）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 y＝_______________ (a≠0)形式。 （5）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 y＝_______________ (a≠0)形式。 （6）当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式 y＝a_______________ (a≠0)。 二、解答 根据下列条件求二次函数解析式 （1）已知一个二次函数的图象经过了点 A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）； （2）已知抛物线顶点 P(－1，－8)，且过点 A(0，－6)； （3）二次函数图象经过点 A（－1，0），B（3，0），C（4，10）； （4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当 x=3 时有最大值 4； （5）已知二次函数的图象经过一次函数 y＝—x+3 的图象与 x 轴、轴的交点， y 且过(1， 2) （6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与 x 轴的两交点间的距离为 8； （7）如图所示，、已知抛物线的对称轴是直线 x=3，它与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 A、C 的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。 三、拓展升华 1、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，那么这个二次函数的解析式是 _______________。 2、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________。 3、已知二次函数 y＝x2＋px＋q 的图象的顶点是 (5，－2)，那么这个二次函数解析式是_______________。 4、已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过 A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线 x ＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。 5、已知二次函数图象与 x 轴交点（2,0）(-1,0)与 y 轴交点是（0，-1），那么这个二次函数的解析式是_______________。 6、已知抛物线 y= ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，它们的横坐标为-1 和 3，与 y 轴的交点 C 的纵坐标为 3，那么这个二次函数的解析式是_______________。 7、已知直线 y=x-3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，二次函数的图象经过 A、B 两点，且对称轴方程为 x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。 二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 , 填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 二次函数练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① 23y x =② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 2 1y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = 3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m =时，函数()2221m m y m m x --=+是关于x 的二次函数 5、当____m =时，函数()256 4m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2， 求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造 猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样 的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安 排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有 影响？怎样影响？中考专题二次函数的解析式
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