高中数学同步辅导与检测：选修1-1第三章 导数及其应用
(全章基础过关测试题)
3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设函数y ＝f (x )，当自变量由x 0变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
解析：函数值的改变量为f (x 0＋Δx )－f (x 0)，所以Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．
答案：D
2．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a ＝( )
A ．－3
B ．2
C ．3
D ．－2
解析：根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝
（2a ＋b ）－（a ＋b ）
2－1＝a ＝3.
答案：C
3．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，则
Δs
Δt
为( ) A. 从时间t 到t ＋Δt 一段时间内物体的平均速度 B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度
C ．当时间为Δt 时物体的速度
D ．在时间t ＋Δt 时刻物体的瞬时速度 解析：由瞬时速度的求法可知， Δs
Δt
表示在t 时刻时该物体的瞬时速度．
答案：B
4．函数f (x )在x 0处可导，则 f （x 0＋h ）－f （x 0）
h
( ) A ．与x 0、h 都有关
B ．仅与x 0有关，而与h 无关
C ．仅与h 有关，而与x 0无关
D ．与x 0、h 均无关 解析：因为f ′(x 0)＝
f （x 0＋h ）－f （x 0）h
， 所以 f ′(x 0)仅与x 0有关，与h 无关． 答案：B
5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0
解析：f ′(0)＝ f （0＋Δx ）－f （0）Δx
＝
（Δx ）2－3Δx Δx
＝
(Δx －3)＝－3. 答案：C 二、填空题
6．如图，函数f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是________．
解析：函数f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是Δy
Δx ＝
f （3）－f （1）3－1＝1－3
3－1
＝－1.
答案：－1
7．设函数y ＝x 2＋2x 在点x 0处的导数等于3，则x 0＝______． 解析：f ′(x )＝
（x 0＋Δx ）2＋2（x 0＋Δx ）－x 20－2x 0
Δx
＝
2x 0＋2，又2x 0＋2＝3，所以x 0＝1
2. 答案：12
8．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为－2，则
lim
f ? ?
?
??x 0－12k －f （x 0）k
＝________．
解析：
f ? ?
???x 0－12k －f （x 0）k ＝ －12
f ? ??
??x 0－12k －f （x 0）－1
2k
＝
－12f ′(x 0)＝－1
2×(－2)＝1. 答案：1 三、解答题
9．如图是函数y ＝f (x )的图象．
(1)求函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率．
解：(1)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f （1）－f （－1）1－（－1）
＝2－12＝1
2.
(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝???x ＋32，－1≤x ≤1，
x ＋1，1 所以函数f (x ) 在区间[0，2]上的平均变化率为f （2）－f （0）2－0 ＝3－32 2＝3 4. 10．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解：Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝ 12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， 所以 Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. 所以 y ′|x ＝3＝ Δy Δx ＝ (2Δx ＋16)＝16. B 级 能力提升 1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b 解析：Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝a ＋b Δx . 所以 f ′(x 0)＝ (a ＋b Δx )＝a . 答案：C 2．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π 3，则m 的值为________． 解析：ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π 3(m 3－1)， 所以 ΔV ΔR ＝4π3（m 3 －1） m －1＝283π. 所以 m 2＋m ＋1＝7. 所以 m ＝2或m ＝－3(舍去)． 答案：2 3．若一物体的运动方程为s ＝?????29＋3（t －3）2 ，0≤t ＜3， 3t 2＋2，t ≥3 (路程 单位：m ，时间单位：s)．求： (1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度． 解：(1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝48 2＝24(m/s)． (2)因为从1 s 到(1＋Δt )s 的位移为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2 ＝[3(Δt )2 －12Δt ](m)，所以平均速度为Δs Δt ＝ 3（Δt ）2－12Δt Δt ＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为 Δs ＝(3Δt－12)＝－12(m/s)． Δt 第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数3.1.3 导数的几何意义 A级基础巩固 一、选择题 1．下列说法正确的是() A．曲线的切线和曲线有且只有一个公共点 B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线 D．若y＝f(x)在点(x0，f(x))处有切线，则f′(x0)不一定存在 解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，此时切线方程为x＝x0，故C错误，D正确． 答案：D 2．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则() A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 解析：因为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)＝2>0. 答案：A 3．若曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行， 则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－1 2 D ．－1 解析：因为f ′(1)＝ a （1＋Δx ）2－a ×12Δx ＝ 2a Δx ＋a （Δx ）2Δx ＝ (2a ＋a Δx )＝2a ， 所以 2a ＝2，所以 a ＝1. 答案：A 4．y ＝－1 x 在点? ?? ??12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 2 C ．y ＝4x －4 D ．y ＝4x －2 解析：先求y ＝－1x 的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1 x ＝Δx x （x ＋Δx ）， Δy Δx ＝1 x （x ＋Δx ） ， Δy Δx ＝ 1x （x ＋Δx ）＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点? ?? ??12，－2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝1 2＝4.所以切线方程是y ＋2＝4? ? ? ??x －12， 即y ＝4x －4. 答案：C 5．曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1，1) C ．(2，8) D.? ?? ??－1 2，－18 解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则 k ＝f ′(x 0) ＝ ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ （x 0＋Δx ）3－x 30 Δx ＝ [(Δx )2＋3x 2 0＋3x 0·Δx ]＝3x 20. 因为k ＝3，所以 3x 20＝3，所以 x 0＝1或x 0＝－1， 所以 y 0＝1或y 0＝－1. 所以 点P 的坐标为(－1，－1)或(1，1)． 答案：B 二、填空题 6．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2等于________． 解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3. 答案：3 7．曲线f (x )＝12x 2 的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为________． 解析：f ′(x ) ＝ ＝12（x ＋Δx ）2 －12x 2Δx ＝x .因为直线x －y ＋1＝0 的斜率为1，所以x ＝1，所以f (1)＝12×1＝1 2，切点为? ????1，12.故切线方 程为y －12＝1·(x －1)，即x －y －1 2＝0. 答案：x －y －1 2＝0 8．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1 2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________． 解析：由导数的几何意义，得f ′(1)＝1 2，又切点在切线上，故f (1)＝12×1＋2＝5 2，所以f (1)＋f ′(1)＝3. 答案：3 三、解答题 9．在抛物线y ＝x 2上哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？ 解：y ′＝ （x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝ (2x ＋Δx )＝2x . 设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0， 则 ＝2x 0＝4，解得x 0＝2. 所以y 0＝x 20＝4，即P (2，4)． 设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0， 则＝2x 1＝－14，解得x 1＝－1 8. 所以 y 1＝x 21＝ 1 64，即Q ? ??? ?－18，164. 故抛物线y ＝x 2在点(2，4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，在 点? ?? ?? －18，164处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0. 10．已知曲线y ＝1 t －x 上两点P (2，－1)，Q ? ????－1，12. (1)求曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)求曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解：将(2，－1)代入y ＝1 t －x ，得t ＝1， 所以y ＝1 1－x . y ′＝ Δy Δx ＝ 11－（x ＋Δx ）－ 1 1－x Δx ＝ Δx [1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx ＝ 1 （1－x －Δx ）（1－x ） ＝ 1 （1－x ）. (1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝2＝1 （1－2）2 ＝1；曲线在点 Q 处的切线斜率为y ′|x ＝－1＝1 4. (2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝1 4[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0. B 级 能力提升 1．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 解析：点(1，3)既在直线上，又在曲线上．由于y ′＝ （x ＋Δx ）3＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 3＋ax ＋b ）Δx ＝3x 2＋a ， 所以y ′|x ＝1＝3＋a ＝k ，将(1，3)代入y ＝kx ＋1，得k ＝2，所以a ＝－1，又点(1，3)在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，故1＋a ＋b ＝3，又由a ＝－1，可得b ＝3. 答案：A 2．曲线f (x )＝9 x 在点(3，3)处的切线的倾斜角等于________． 解析：f ′(x ) ＝ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝ 9 1x ＋Δx －1 x Δx ＝－ 9 1（x ＋Δx ）x ＝－9x 2，所以 f ′(3)＝－99＝－1，又因为直线的倾斜角范围是[0°，180°)，所以 倾斜角为135°. 答案：135° 3．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值． 解：因为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋ Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δ x )2＋(Δx )3， 所以Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2 . 当Δx 无限趋近于0时， Δy Δx 无限趋近于3x 2 0＋2ax 0－9， 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9， 所以f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23. 当x 0＝－a 3时， f ′(x 0)取最小值－9－a 2 3. 因为斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行， 所以该切线斜率为－12. 所以－9－a 2 3＝－12. 解得a ＝±3.又a ＜0， 所以a ＝－3. 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 A 级 基础巩固 一、选择题 1．某物体运动方程为y ＝4.9t 2(其中y 的单位为米，t 的单位为秒)，则该物体在1秒末的瞬时速度为( ) A ．4.9米/秒 B ．9.8米/秒 C ．49米/秒 D ．2.45米/秒 解析：由题意知y ′＝9.8t ，则y ′|t ＝1＝9.8，故选B. 答案：B 2．f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0等于( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2 D ．±1 解析：f ′(x )＝3x 2，由f ′(x 0)＝6，知3x 20＝6，所以 x 0＝±2. 答案：C 3．若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33 D ．－ln 3 解析：f ′(x )＝a x ln a ，则f ′(1)＝a ln a ＝ln 27， 解得a ＝3，所以f ′(x )＝3x ln 3. 故f ′(－1)＝3－1 ln 3＝ln 3 3. 答案：C 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 2 2 解析：因为y ＝e x ，所以 y ′＝e x ，所以 y ′|x ＝2＝e 2＝k ，所以 切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2 ，令y ＝0，得x ＝1，所以 S 三角形＝12×|－e 2 |×1＝e 22. 答案：D 5．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 解析：因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 013(x )＝f 1(x )＝cos x . 答案：C 二、填空题 6．已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________． 解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝4x 3－1，所以 4x 30－1＝3，所以 x 0＝1. 所以 y 0＝14－1＝0，所以 即得P (1，0)． 答案：(1，0) 7．已知f (x )＝13x 3 ＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________． 解析：由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，所以 f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 答案：1 8．曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝x －2－x （x －2）2＝－2 （x －2）2 ，所以曲线在点(1，－1) 处的切线的斜率k ＝－2 （1－2）2＝－2，故所求切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0. 答案：2x ＋y －1＝0 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2. 解：(1)法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9. 法二：因为y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， 所以 y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)因为y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， 所以 y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x －1 2. (3)因为y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －1 2sin x ， 所以 y ′＝x ′－? ?? ??12sin x ′＝1－1 2cos x . 10．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2 ＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b ，c 的值． 解：由题意得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ， 由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知?????f ′（0）＝0， f （0）＝1， 即???02－a ×0＋b ＝0， 13×03－a 2×02 ＋b ×0＋c ＝1， 故b ＝0，c ＝1. B 级 能力提升 1．已知点P 在曲线y ＝4 e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾 斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π 4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π 4，π) 解析：y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1 ， 设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1 ＝－ 4 t ＋1t ＋2 ， 因为t ＋1 t ≥2，所以 y ′∈[－1，0)，α∈???? ??3π4，π. 答案：D 2．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 解析：根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即 ＝1. 因为y ′＝(e x )′＝e x ，所以 e x 0＝1， 得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0，1)． 利用点到直线的距离公式得距离为2 2. 答案：2 2 3．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式； (2)证明：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解：f ′(x )＝a ＋b x 2. 因为点(2，f (2))在切线7x －4y －12＝0上， 所以 f (2)＝2×7－124 ＝1 2. 又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0， 所以 ?????f ′（2）＝74，f （2）＝12，??????a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12，??????a ＝1，b ＝ 3. 所以 f (x )的解析式为f (x )＝x －3 x . (2)证明：设? ? ???x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点，则切线斜率k ＝1＋3 x 20 ，切线方程为y －? ????x 0－3x 0＝ ? ????1＋3x 20(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝－6 x 0. 由???y －? ????x 0－3x 0＝? ????1＋3x 20（x －x 0），y ＝x 得?????x ＝2x 0，y ＝2x 0. 所以 曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0||－6 x 0|＝6，为定值． 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数 A 级 基础巩固 一、选择题 1．函数y ＝12x 2 －ln x 的单调减区间是( ) A ．(0，1) B ．(0，1)∪(－∞，－1) C ．(－∞，1) D ．(－∞，＋∞) 解析：因为y ＝1 2x 2－ln x 的定义域为 (0，＋∞)， 所以 y ′＝x －1x ，令y ′＜0，即x －1 x ＜0， 解得：0＜x ＜1或x ＜－1. 又因为x ＞0，所以 0＜x ＜1. 答案：A 2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e 2 C ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln x －x 解析：显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2 －1＝3? ????x ＋33? ???? x －33， 故函数在? ????－∞，－33和? ????3 3，＋∞上为增函数， 在? ???? －33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1(x ＞0)． 故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数． 答案：B 3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( ) A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数 解析：求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f′(x)＞0恒成立，故f(x)是增函数．答案：A 4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能为() A B C D 解析：由题图找出函数f(x)的增(减)区间，则其导函数f′(x)在相应区间上的函数值为正(负)，即导函数在相应区间上的图象在x轴的上(下)方，易知D正确． 答案：D 5．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是() A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1 x 在(1，＋∞)上恒成立，因为x >1，所以0<1 x <1， 所以k ≥1，故选D. 答案：D 二、填空题 6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________． 解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，得cos x ＜1 2，又x ∈(0，π)，所以 π 3＜x ＜π. 答案：? ?? ?? π3，π 7．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f (2)，f (3)，f (e)按从小到大排列应为________ . 解析：因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝1 2x ＋1x ＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)＜f (e)＜f (3)． 答案：f (2)＜f (e)＜f (3) 8．函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围为________． 解析：因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以Δ＝4－12m ≤0，即m ≥1 3. 答案：? ??? ?? 13，＋∞ 三、解答题 导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（ ） 4.下列求导数运算错误．． 的是（ ） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 高中数学函数的单调性与导数测试题（附答 案） 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是() A．b2－4ac0 B．b0，c0 C．b＝0，c D．b2－3ac0 [答案] D [解析]∵a0，f(x)为增函数， f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立， ＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0. 2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋) [答案] D [解析]考查导数的简单应用． f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex， 令f(x)0，解得x2，故选D. 3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为() A．[－1，＋) B．(－，2] C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋) [答案] B [解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]． 4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是() A.－，－2和0，2 B.－2，0和0，2 C.－，－2， D.－2，0和 [答案] A [解析]y＝xcosx，当－x2时， cosx0，y＝xcosx0， 当02时，cosx0，y＝xcosx0. 6．下列命题成立的是() A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0 导数经典习题 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ） 4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 5．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞Y B ．]3,3[- A x D C x B 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）极值的求法与极值的性质 （2）由导数求最值 （3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图 （2）草图——讨论 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=． （1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明：3()2 f x ≥． 解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 解：讨论点x=1/e 1/e 导数基础练习题 一 选择题 1．函数()22)(x x f π=的导数是（ C ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ A ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（A ） （A ） 10<b （D ） 2 1，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．5 2 C ．2 D ．32 9．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 导数专题 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立． 《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 导数练习题（含答案） 【编著】黄勇权 一、求下函数的导数 （1）f （x ）=2x 2+3x+2 （2）f （x ）=3sinx+7x 2 （3）f （x ）=lnx+2x （4）f （x ）=2x +6x （5）f （x ）=4cosx -7 （6）f （x ）=7e x +9x （7）f （x ）=x 3+4x 2+6 （8）f （x ）=2sinx -4cosx （9）f （x ）=log2x （10）f （x ）= x 1 （11）f （x ）=lnx+3e x （12）f （x ）=2x x （13）f （x ）=sinx 2 （14）f （x ）=ln （2x 2+6x ） （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ （16）f （x ）=xlnx+9x （17）f （x ）= x sinx lnx + （18）f （x ）=tanx （19）f （x ）=x x e 1e 1-+ （20） f （x ）=（x 2-x ）3 【答案】 一、求下函数的导数 （1）f /=4x+3 （2）f /=3cos+14x （3）f /=x 1+2 （4）f /=2x ln2+6 （5）f /= -4sinx （6）f /=7e x （7）f /=3x 2+8x （8）f /=2cosx+4sinx （9）因为f （x ）=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以：f /=（lnx 2ln 1?）/ =（2ln 1）?（lnx ）/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? （10）因为：f （x ）=x 1 f /=2x x 1x 1） （）（）（'?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - （11）f /= x e 3x 1+ （12）f （x ）= 2x x =23x - f /=（2 3-）25x -= 3 x 2x 3- （13）f /=（sinx 2）/?（x 2）/=cosx 2?（2x ）=2x ?cosx 2 （14）f /=[ln （2x 2+6x ）]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ （15）f （x ）=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=（x+3+x 1）/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x （16）f /=（x ）/（lnx ）+（x ）（lnx ）/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 ２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1 知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面) 高中数学导数的几何意义测试题(含答案) 选修2-21.1第3课时导数的几何意义 一、选择题 1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么() A．f(x0)＞0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＝0 D．f(x0)不存在 [答案] B [解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f(x0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为() A．1 B.4 C.54 D．－4 [答案] B [解析] ∵y＝limx0[12(x＋x)2－2]－(12x2－2)x ＝limx0(x＋12x)＝x 切线的斜率k＝y|x＝1＝1. 切线的倾斜角为4，故应选B. 3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是() A．(0,0) B．(2,4) C.14，116 D.12，14 [答案] D 页 1 第 [解析] 易求y＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1，x0＝12，P12，14. 4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [答案] B [解析] y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3. 由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2. 5．设f(x)为可导函数，且满足limx0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为() A．2 B．－1 C．1 D．－2 [答案] B [解析] limx0f(1)－f(1－2x)2x＝limx0f(1－2x)－f(1)－2x ＝－1，即y|x＝1＝－1， 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B. 6．设f(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在 B．与x轴平行或重合 高中数学导数讲义完整版 第一部分 导数的背景 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (2 2 1gt s =,其中g 是重力加速度）. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2 x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2 +=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ?对成本的影响. 二、小结: 瞬时速度是平均速度 t s ??当t ?趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率x y ??当x ?趋近于0时的极限；边际成本是平均成本 q C ??当q ?趋近于0时的极限. 三、练习与作业： 1. 某物体的运动方程为2 5)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线2 2x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522 +=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2 t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线2 2 1x y = 在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742 +=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本. 导数基础练习题20170305 一、选择题 1．曲线y =2x 2?x 在点(0,0)处的切线方程为（） A. x +y +2=0 B. x ?y +2=0 C. x ?y =0 D. x +y =0 2．“a ≤0”是“函数f (x )=ax +ln x 存在极值”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．设曲线2y x =上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则函数()()cos h x g x x =的部分图像可以为（） 4．已知函数f (x )=(e x?1?1)(x ?1)，则（） A. 当x <0，有极大值为2?4e B. 当x <0，有极小值为2?4e C. 当x >0，有极大值为0 D. 当x >0，有极小值为0 5．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()()ln 2f x x x x =-++，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为（） A ．23y x =+ B ．23y x =- C ．23y x =-+ D ．23y x =-- 6．如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（） 7．已知()f x 是定义在()0,+∞上的函数，()()f x f x '是的导函数，且总有()()f x xf x '>，则不等式()()1f x xf >的解集为 A.(),0-∞ B.()0,1 C.()0,+∞ D.（1，+∞） 8．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()()21ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线的斜率为（） A.2- B.1- C.1D.2 9．在下面的四个图象中，其中一个图象是函f （x ）3＋ax 2＋（a 2－1）x ＋1（a ∈R ）的导函数y ＝f ′（x ）的图象，则f （－1）等于（）． 导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f 导数的几何意义（1） 1.设f(x)＝1 x ，则lim x→a f x－f a x－a 等于( ) A．－1 a B. 2 a C．－1 a2 D. 1 a2 2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π 4 的点是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( ) A．1 B.1 2 C．－1 2 D．－1 4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( ) A．h′(a)<0 B．h′(a)>0 C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定 5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t 之间的函数关系为s＝1 8 t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速 度为( ) A. 2 B. 1 C.12 D.14 6．函数f (x )＝－2x 2＋3在点(0,3)处的导数是________． 7．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________. 8．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________． 9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 10．求双曲线y ＝1 x 在点(1 2 ，2)处的切线的斜率，并写出切线方程． 导数的几何意义（2） 1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那 么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 2．函数在处的切线斜率为（ ） A ．0 B 。1 C 。2 D 。3 3．曲线y ＝12x 2－2在点? ? ???1，－32处切线的倾斜角为( ) A ．1 B. π4 C.5 4 π D ．－ π 4 4．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为 π 4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ?? ?? 14，116 D.? ?? ??12，14 5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x ) 2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题
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