第7讲
教学目的要求：掌握几种特殊的矩阵；掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算法则；掌握对角分块矩阵。
主要内容：几种特殊的矩阵；对称和反对称矩阵；分块矩阵的概念；分块矩阵的运算法则；对角分块矩阵。
重点难点 ：分块矩阵的运算法则；分块矩阵的转置。 教学手段：多媒体教学（电子教案及粉笔、黑板的有机结合） 教学时数：2学时。
第二章 矩阵及其运算 §2.3几种特殊的矩阵 1. 对角矩阵
定义2.10 如果n 阶方阵A =（a ij ）中的元素满足a ij =0， i≠j(i ，j=1，2，…，n)，则称A 为对角矩阵。即
?????
?
?
?=nn a a a A 0000
002211
2．数量矩阵
定义2.11 如果n 阶对角矩阵A 中元素1122nn a a a a ==== ,则称A 为数量矩阵。即
????
?
?
??=a a a A 000000 特别地，当a =1时，该数量矩阵称为单位矩阵，记为E n 或E （有的教材记为I n 或I ）。即
?????
?
?
?=100010
001 E 3．上（下）三角矩阵
定义2.12如果n 阶方阵A =（a ij ）中的元素满足a ij =0， i>j(i,j=1，
2，…，n)，则称A 为上三角矩阵。即
?????
?
?
?=nn n n a a a a a a A 000
22211211 如果n 阶方阵A =（a ij ）中的元素满足a ij =0， i ????? ? ??=nn n n a a a a a a A 21 2221 11 000 4．对称矩阵与反对称距阵 定义2.13 如果n 阶方阵A =（a ij ）中的元素满足 a ij =a ji ， (i 、j=1，2，…，n) 则称A 为对称矩阵。即 ????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122212 11211 如果n 阶方阵A =（a ij ）中的元素满足 a ij =-a ji ， (i 、j=1，2，…，n) 则称A 为反对称矩阵。 §2.4分块矩阵 一、分块矩阵的概念 在矩阵A 的行和列之间加进一些虚线，把A 分成若干块，每一块视为一个小矩阵，并称之为A 的子块。以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。 二、分块矩阵的运算 分块矩阵在作运算时，可以把每一个子块看成是一个普通的元素，直接运用矩阵运算的有关法则来作，为了保证运算有意义，对几种分块矩阵的运算作以下规定： 1. 分块矩阵的加法：设A ，B 均为m×n 矩阵，即A+B 有意义，在对A ，B 分块时，对A ，B 采用完全相同的分法，使 ??? ? ? ? ??=?????? ??=pq p p q q pq p p q q B B B B B B B B B B A A A A A A A A A A 2 1 22221 112 11 2 1 22221 11211, 其中ij ij B A 与有相同的行数和相同的列数， ??? ? ? ? ??+++++++++=+pq pq p p p p q q q q B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A 2 211 2222 2221 21 1112 1211 11 有意义。 2. 数与分块矩阵的乘积：设分块矩阵q p ij A A ?=)( ，则数k 与A 的乘积就是把k 与A 的每一个子块相乘。即 ??? ? ? ? ??=pq p p q q kA kA kA kA kA kA kA kA kA kA 2 1 22221 11211 3. 分块矩阵的乘积：设A 为m×s 矩阵，B 为s×n 矩阵，即AB 有意义。在对A ， B 进行分块时，为使分块矩阵乘积AB 有意义，让左矩阵A 的列的分法与右矩阵B 的行的分法相同，至于左矩阵A 的行的分法及右矩阵B 的列的分法则无任何限制。即把A ，B 分块成 列 列 列 列列列行行行 ，行 行行 q j t t tq tj t q j q j p i pt p p it i i t n n n s s s s s s B B B B B B B B B B m m m A A A A A A A A A A 121211 22211111 12 1 21 112 11 ????? ?? ??=???????? ??= 此分法使得：在把分块矩阵A p×t ，B t×q 中的子块看作普通元素，作矩阵的乘积运算时， ()ij q p q t t p C C B A ==??? 有意义，且 ()()()()()()) ,,2,1;,,2,1(2 21 12211q j p i B A B A B A C j t t i j i j i n s tj s m it n s j s m i n s j s m i ij ==+++=?????? 有意义。 例1 设 ??????? ? ? ?=?? ?? ?? ? ?? ? ? ?-=0043 21 20 02 ,100004000003000003000001210021 B A ， 把A 分成具有特殊子块的分块矩阵，并求分块矩阵乘积AB. 解 把A 分块成 ???? ? ??=??????? ? ? ?-=?????332 22212222132 211 310 000400000300000300 0001210021A O O O E O A O A A 为使分块乘积AB 有意义，把B 分块成 ????? ??=?????? ? ? ?=?21222004321 2002 O B E B 于是，分块矩阵乘积 ????? ??=?????332 22 21222 2132211 3A O O O E O A O A AB ???? ? ???21222O B E ????? ??=?2221132O B A ?? ???? ? ? ??-=0000129632442 4、 分块矩阵的转置 若分块矩阵 ????? ? ??=pt p p t t A A A A A A A A A A 2 1 22221 11211 则 ???? ? ? ? ??''''''''' ='pt t t p p A A A A A A A A A A 2 122212 12111 三、一类特殊的分块矩阵 例2 对分块矩阵 ??? ??=????? ?? ? ? ?=B O C A b b b b c c a a c c a a H rr r r kr k kk k r k 1 11111 1111110 000 其中A 是k 阶方阵，B 是r 阶方阵，C 是k×r 矩阵， （1）证明B A H = （2）若A ，B 均可逆，证明H 可逆，并求其逆。 证明 （1） 因为H=?? ? ????? ??=??? ??E O O A B O C E B O C A 此处?? ? ????? ??E O O A B O C E 和均为k+r 阶方阵，且由行列式按行（列）展 开定理可得 A E O O A B B O C E ==, 因此，B A A B E O O A B O C E B O C A H ==== (2 ) 若A ，B 均可逆，则0,0≠≠B A . 于是0≠=B A H ，所以H 可逆。 设 ?? ? ??=-2221 1211 1X X X X H ， 其中2211,X X 分别为与A,B 同阶的方阵， 则有 E X X X X B O C A HH =?? ? ????? ??=-2221 1211 1 即 ??? ? ?=??? ? ?++E O O E BX BX CX AX CX AX 2221221221 11 于是有 ? ? ???===+=+E BX O BX O CX AX E CX AX 222122122111 由于A,B 可逆，解得： 111211112221,,,-----====CB A X A X B X O X 故 ?? ? ??-=-----11111 B O CB A A H 特别地，当C=O 时，有 ??? ??=?? ? ??---11 1 B O O A B O O A 一般地，我们称分块矩阵????? ? ? ?tt t t A O O A A O A A A 22211211 为分块上三角矩 阵，??? ??? ??tt t t A A A O A A O O A 2 1 2221 11为分块下三角矩阵，????? ? ? ?tt A O O O A O O O A 2211 为分块对角矩阵（其中),,2,1(t i A ii =）为方阵）。 把例2的结论加以推广，可得 tt tt t t A A A A O O A A O A A A 221122211211 = tt tt t t A A A A A A O A A O O A 22112 1 222111= ???? ? ? ? ?=????? ? ? ?----1 1221 111 2211tt tt A O O O A O O O A A O O O A O O O A ，其中),,2,1(t i A ii =可逆。 《高等数学A(2)》教学大纲 《高等数学A（2）》教学大纲 课程编号：1021750 总学时：72 学分：4.5 基本面向：全院非理工学门类本科各专业、49专业 所属单位：数理学院高等数学教研室 一、本课程的目的、性质及任务 数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。 本课程是全院非理工学门类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，同时也是一门工具课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得: (1) 多元函数微积分学 (2) 无穷级数； (3) 线性代数 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，目的是为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各教学环节逐步培养学生具有抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。 二、本课程的基本要求 本课程的内容按教学要求的不同，分为三个层次。对概念、理论的要求由高到低分为深刻理解、理解、了解三个层次；对方法、运算的要求由高到低分为熟练掌握、掌握、会三个层次。 (一)向量代数与空间解析几何 1、理解二次曲面方程的概念，了解空间曲线方程的概念。 2、了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标 轴的拄面方程。 3、了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 4、了解二次曲面的分类。 (一) 多元函数 1、理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 4、熟练掌握求多元复合函数一阶偏导数和全微分的方法，会求复合函数的二阶偏导数。（对于求抽象 复合函数的二阶导数，只要求作简单训练） 5、会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的一阶偏导数（对求二阶偏导数不作要求）。 6、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 7、理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。 8、掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 (二) 无穷级数 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、熟练掌握几何级数与P—级数的收敛性。 3、了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、了解交错级数的莱布尼兹定理。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 经典纪录片大全BBC经典纪录片专题合集 大型历史人物纪录片 《走遍中国》 《流浪北京——最后的梦想者》 《1966——我的红卫兵时代》 《流浪北京》 《四海为家》 《生活空间》 《我毕业了》 《天安门》 《广场》 《彼岸》 《江湖》 《八廓街16号》 康健宁的《阴阳》 杨天乙的《老头》 朱传明的《北京弹匠》 雎安奇的《北京的风很大》 杜海滨的《铁道沿线》 王芬的《不快乐的不止一个》， 赵亮的《纸飞机》 中央电视台《东方时空》《祖国各地》《神州风采》《地方台30分钟》《一部电影的诞生》 纪录片大全 BBC出品纪录片:傲慢与偏见（6集电视剧）冰雪的童话，地球故事 动物杀戮战场，动物摄像机 庞贝古城的最后一天，金字塔，超自然Super Natural，天有风云 野性新世界，与恐龙同行，与海怪同行，与野兽同行，与远古人同行 现代恐龙，丛林探险，宇宙行星探索记，人类感官 人类心智，鬼斧神工创世纪，海底怪物，战栗东方 海底深渊，海底之旅，圣经解码，消逝的生物 植物私生活，未来的世界，人体漫游，上帝之子耶酥基督 艺术精选（罗丹，莫奈），猿与人，动物奥运会 虎的王国，喜马拉雅山，优雅的宇宙 爱因斯坦之死亡方程式，释珈牟尼成佛之路，撒哈拉沙漠之旅 哺乳类全传，人类本能，日月星宿，时间机器，活力星球 耶路撒冷，超级人类 二战专题之：奥斯维辛集中营，从诺曼底到柏林，大西洋之战 敦刻尔克大撤退，杀戮战场，战争之路，缅甸，被遗忘的战争野性欧洲，野性南美洲，野性亚马迅，野性非洲 大卫艾登堡漫游天堂，寻找阿兹特克人，深蓝，霍金的宇宙 群体大自然，生命之旅，美国人眼中的朝鲜战争 其他纪录片：cctv故宫，cctv永远的丝路，cctv抗战 周传基讲电影，NHK故宫至宝，NHK四大文明 考古中国1-6部，世界着名大学 北大听讲座，复旦大学哲学系教授：哲学导论 毛泽东诗词，西点军校 探索发现：世界自然文化遗产，二战珍闻录 复活的兵团，孙子兵法，江南梦里水乡，苏园六纪 蒋介石，溥仪，BBC之宋美龄，孙立人，张学良 欧洲名城录，世界美术馆，中华文明5000年 走遍中国之西藏，百家讲坛：宇宙，哈勃眼中的宇宙 西洋艺术史(AVI) Discovery（共27G，已完成其中20G的下载，有目录） 人体奇航 美国国家地理（共100集，18G，伊甸园压缩，无水印，有目录） 高数1，2,离散数学，线性代数，从零开始学法语1-4，走遍美国78集文革十年（珍贵高清晰历史镜头，独立10集） 电视剧：Joey 1季，伪装者1，2，3季 反恐24小时1，2，3，4季，西部风云，死亡地带1，3，4季 王国医院，天使在美国，启示录，从地球到月球 嘉年华1，2季，罗马帝国1季，罗马1季（BBC与HBO合拍） 迷失1季，欲望都市1-6季，阴阳魔界1-6，42集 Over There 1季，危机四伏1季，欲望主妇1季 春季学期线性代数作业 一、选择题（每题2分，共20分） 1.（教材§1.1，课件第一讲）行列式（B ）。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.（教材§1.3，课件第二讲）下列对行列式做的变换中，（B ）不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.（教材§2.2，课件第四讲）若线性方程组无解，则a的值为（ D ）。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.（教材§3.3，课件第六讲）下列向量组中，线性无关的是（C ）。 A. B. C. D. 5.（教材§3.5，课件第八讲）下列向量组中，（D ）不是的基底。 A. B. C. D. 6.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，和均为实数，则下列结论不正确的是（ A ）。 A. B. C. D. 7.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，则 （ C ）。 A. B. C. D. 8.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（ D ）。 A. B. C. D. 9.（教材§4.3，课件第十讲）下列矩阵中，（A ）不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.（教材§5.1，课件第十一讲）矩阵的特征值是（B ）。 A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11.（教材§1.1，课件第一讲）行列式的展开式中，的一次项的系数是 2 。 12.（教材§1.4，课件第三讲）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为0或1 。 13.（教材§2.3，课件第四讲）齐次线性方程组有（填“有”或“没有”）非零解。 14. （教材§3.1，课件第五讲）已知向量则 。 15. （教材§3.3，课件第六讲）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。 16. （教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，那 么。 17. （教材§4.2，课件第九讲）已知矩阵，那么 。 18. （教材§5.1，课件第十一讲）以下关于相似矩阵的说法，正确的有1,2,4 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解 线性代数 第45讲 线性空间(1) （ 教材 p.130 -- P.133 ） 关键词：线性空间 §5.1 线性空间的概念 我们已经把平面和空间的几何向量推广到由有序数组定义的n 维向量，并把n 维向量的全体所构成的集合n R 叫做n 维向量空间. 这里要说明一点：由n 维行向量组成的空间与由n 维列向量组成的空 间在结构上是完全相同的，所以都记为n R . 但人们在讨论各种问题时，常常遇到各种不同的集合与运算（该集合元素未必是有序数组）. 例如，讨论全体n m ? 矩阵所构成的集合，我们可以定义它们的加法和数乘，并且我们知道这些运算满足交换律、结合律、分配律等8条规律. 当抽去这些集合中对象（也称元素）的具体属性及定义运算的具体规则（例如函数的加法规则与向量的加法规则是完全不同的），我们考虑这些集合的结构：其对象的“线性运算”和它的“运算规律”，从而就可以建立一个数学模型：线性空间. 设V 是一个非空集合，其元素用字母 ,,,γβα表示；F 是 ,,μλ表示数域 F 中的数. （线性空间的定义）称非空集合V 是数域 F 上的线性空间, 如果集合V 具备下列两个条件： 1. F 中定义了加法运算, 即给出一个规则，使得对于任意V V ∈∈βα,, 由这个规则可唯一确定一个元素 ,V ∈+=βαγ γ 叫做元素α与 β的和. 这个加法运算须满足如下4条基本运算规律： )i ( .αββα+=+ （加法交换律） )i i ( ).()(γβαγβα++=++ （加法结合律） )i i i ( V 中有零元素,0 使αα0=+对任何元素V ∈α成立. )v i ( 对每个元素V ∈α,都有负元素)(α-存在，使+α0α=-)(. 2. F 中的数与V 中的元素之间定义了数乘运算, 即给出一个规则，使得对于任意指定的数F ∈λ及元素 ,V ∈α由这个规则可唯一确定一个元素 ,V ∈αλαλ叫做数λ与元素α的乘积. 这个数乘运算须满足如下4条基本运算规律： )v ( .1αα= )i v ( .)(βαβαλλλ+=+ )i i v ( .)(αααμλμλ+=+ )i i i v ( .)()(ααμλμλ= （简言之, 定义了线性运算, 且此运算满足8条法则的集合叫线性空间） 借用几何语言， 把线性空间V 的元素也称为向量. 线性空间又可称为向量空间. 把V 称为线性空间是因为它所具有“加法”与“数乘”运算，而这两种运算合称为线性运算. 实数域R 上的线性空间简称为实空间, 复数域C 上的线性空间简称为复空间. 我们主要讨论实空间. 在不做特殊说明时, 线性空间均指实线性空间. 我们把分量为数域F 中的数的全体n 维向量（有序数组）所构成的线性空间记作 n F . 当 F 为实数域时, 此n 维向量空间记作n R . 当 3,2,1=n 时，它就是直观的几何空间；当 3>n 时，n R 不再有. 数域 F 上的全体n m ?矩阵（即矩阵的元素均为F 中的数）关于矩阵加法及数乘矩阵的运算构成一个F 上的线性空间，记作 ).(F M n m ? （因：易知线性运算封闭，且满足8条规则） 当数域 F 为实数域R 时，此实线性空间记作).(R n m M ? 第十二讲 合同变换与二次型的标准化 教学目的： 1. 介绍合同变换：另一种对角化途径，只用于对称阵； 2. 对“可逆的矩阵变换”做个小结。 3. 介绍二次型及其矩阵形式； 4. 介绍二次型标准化的概念：与合同变换的关系。 教学内容： 第六章：§ 6.4 合同变换； 第七章：§ 7.1 二次型及其标准形； § 7.2 二次型的标准化； 教案提纲： § 6.4 合 同 变 换 一、合同变换： 1. 概念：定义6.5 2. 二、合同变换的实施例6.8，p.140 小结：四个矩阵变换的比较： 第七章 二 次 型 § 7.1 二次型及其标准形 一、 二次型： 1. 二次型的概念：定义7.1：两种写法：（7.1）式、（7.2 2. 二次型的矩阵形式：与实对称阵的一一对应， 二、 二次型的标准形： 1. 标准形（法式）的概念： 由二次曲面的标准方程引入，定义7.2 与对角阵的对应； 2. 标准化：与合同变换的对应。 AX X X f T =)( PY X =，使APY P Y AX X ==T T T T A 找可逆阵P ,使Λ=T AP P 为对角阵 § 7.2 二次型的标准化 一、正交变换法： 理论上没有新内容，用示例讲清实施步骤： 二次型AX X X f T =)(→ A → 求特征值 → 求正交的特征向量组（Schmidt Λ==-T AP P AP P 1 → 例：()AX X x x x x x x x x x x f T =??? ? ?????? ? ?=++=2121212 2212112 214),(， ()()3132122 12-+=--=--= -λλλλλ λλE A ，特征值1213λλ=-=， ，进而得特征向量???? ??=???? ??-=111121p p 、，它们已经互相正交，单位化后即得到正交 阵??? ? ??-= 111121P 。可对它作两方面验证：一方面， ??? ? ??-=???? ??-=???? ??-???? ?????? ??-= =T -300160022111112112211111211AP P AP P ；另一方面，将相应的变换PY X =，即???? ?+ =+ = -22 112 122 21121 1y y x y y x 代入原二次型，得( )( ) ( )( ) =+ +++ + + = --22 112 12 2 112 12 22 112 12 22 112 14 y y y y y y y y f ()()() =-+++++-=212 22221212 122212121222y y y y y y y y y y ()??? ? ?????? ??-=+-=-++=21212221212222213001322y y y y y y y y y y ； 易见两者的一致性。 作业：p.147：20（1、4）； p.151：56； p.168：1（3、4）、2（3、4）、 ● 备例 线性代数试题及答案 3 线性代数习题和答案 第一部分 选择题 (共28分) 一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四 个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 111221 22 =m ， a a a a 13112321 =n ，则行列式 a a a a a a 111213212223 ++等于（ D ） A. m+n B. -(m+n) C. n -m D. m -n 2.设矩阵A =100020003?? ?? ? ??，则 A -1等于（ B ） A. 13000 12000 1?? ?? ?????? B 10 0012000 13?? ? ????? ?? C ??????? ? ?210 0010 0031 D 1 20 001300 01?? ? ???? ?? ? 3.设矩阵 A =312101214---?? ? ? ? ??，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是 （ B ） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ D ） A. A =0 B. B ≠C 时A =0 C. A ≠0时B =C D. |A |≠0时B =C 5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ D ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 7.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ C ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D.所有r 阶子式都不为0 8.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ A ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.12 η1+12 η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解 9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ A ） 第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念 模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学 式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的 D =) () ()(0)()() (001 11112 132 3122211331221 1 312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------ 按第一列展开，再将各列的公因子提出来 D = ) ()()() () () (121323122211331221131 2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------ =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1) 22322 32 111 ---k k k k k a a a a a a 得到的k －1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为 ∏≤<≤-k i j j i a a 2)( 于是 D =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1) ∏≤<≤-k i j j i a a 2)(= ∏≤<≤-k i j j i a a 1)( 因此，对于任意正整数n ≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。 证毕 例1.14 计算n 阶三对角行列式： D n = 2 1 120000 021000 12 1000 12------ 解 由行列式的性质1.4，将D n 的第一列的每个元看成两个元之和，得 D n = 2100 12000002100 120 00011----- +2 1 1200000 21000 12 1 00011------ 第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得 D n =D n －1+ 1 110000 01000 110 00011 ---=D n －1+1 反复利用上面的递推公式，得到 D n =D n －1+1=D n －2+2=…=D 1+n －1=2+n －1=n +1 例1.15 计算n 阶行列式 D n = n a b b b a b b b a 21 (a i ≠b , i =1,2,…,n ) 解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。 D n =n a b b b a b b b a b b b 000121 第一行乘以（－1）加到其他各行上去，得 同济大学线性代数第六版答案(全) 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201 (1)1 4 ***** 解1 4 183 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 abc (2)bca cababc 解bca cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111 (3)abc a2b2c2111 解abc a2b2c2 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) xyx y (4)yx yx x yxyxyx y 解yx yx x yxy x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n 1) 解逆序数为 2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 41 (1)***-*****14 2 07 41 解***-*****c2 c***** 1 ***** 104 1 10 2 122 ( 1)4 3 *****c 4 7c***** 3 1 4 4 110c2 c***** 123 142c00 2 0 1 2c***** 2 (2)31 1***** 22 4 解31 ***** c 4 c3 223 1202r 4 r ***-*****06 ***-***** 线性代数 第2讲 数学归纳法 （ 教材 p.5 --- P.7 ） 关键词：数学归纳法 数学归纳法 数学归纳法又称有限归纳法. 它是证明数学命题的一种常用方法. ： 1=n 时，公式（1）的左边 = 1，右边 .1)11(12 1 =+??= 公式（1）成立. 现假设k n =时公式（1）已成立，即 .)1(2 1 321+=++++k k k 当1+=k n 时， .)1()321()1(321++++++=++++++k k k k 由归纳假设)(12 1 3+2+1+= ++k k k ，因此 ]1)1([)1(2 1 ) 2()1(2 1 )1()1(21 )1(321+++=++=+++= ++++++k k k k k k k k k 即当1+=k n 时，公式（1）也成立，因而命题得证. 现在，如果我们把公式（1）的左端记为)(1n S , 此时公式（1）可写为 ?n 321S 2222)n (2=++++= 结论是： )2(6 ) 12)(1(3212222)(2++= ++++=n n n n S n 公式（2）是如何想出来的？正确否？怎么证？ 因为它涉及正整数n ，一般是用数学归纳法来回答此问题. .304321,14321,521,112222222222=+++=++=+= 如果我们多算几项并列成下表： 3 17 3153133113937351:S S 204 1409155301451:S 36 28 21 15106 3 1: S 876 5 4 321:n )n (1)n (2)n (2)n (1 似乎可以看出有下面的规律： ,3 1 2) (1)(2+= n S S n n （这里只是对 8,,3,2,1 =n 成立）从而 )2(6 ) 12()1(312)(1)(2++=+= n n n S n S n n 8,,3,2,1 =n 是成立的. 但对任意正整数n 是否都成立？ 2）对任何正整数n 都对. ) (2n S 知道了，能否利用归纳、类比的方法进一步探索出 )(3n S 与)(1n S 的联系呢？这就是由个别（或特殊）去发现 一般的思维方法. 先作如下观察： . )4321(1004321, )321(36321,)21(921,112 3 3 3 3 23332333+++==+++++==+++= =+= 似乎已经看出有如下十分有趣的规律： 虽然公式（3）当 定它对于一切正整数都对. 此时我们就会想到用数学归纳法来3）的正确性. 我们已验证（3）对4,3,2,1=n 成立. 设 k n =时公式（3） 义定' 设 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的 一个部分组。若 （1）r i i i ααα,...,,21线性无关； （2）每个j α（ j =1, 2, …, m ） 均可由 r i i i ααα,...,,21 线性表出， 则 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个极大无关组。 义定'' 设 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的 一个部分组。若 （1）r i i i ααα,...,,21线性无关； （2）对任意 j α（j =1, 2, …, m ）均可由 ,,21i i αα r i α...,线性相关， 则 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个极大无关组。 例 已知向量组m s s ααααα,...,,,...,,121+。假设每个j α（j = s +1, s +2, …, m ）均可由 s ααα,...,,21线性 表出，则 秩{s ααα,...,,21}=秩{m s s ααααα,...,,,...,,121+} 证明 设 秩{}s ααα,,, 21 =r ，任取 s ααα,...,,21的一个极大无关组 r i i i ααα,,,21 ，则 s ααα,...,,21可由 r i i i ααα,,,21 线性表出。 已知 m s s ααα,...,,21++可由s ααα,...,,21线性表出，故由传递性得 m s s ααα,...,,21++亦可由 r i i i ααα,,,21 线性表出。于是，每个 j α ( j =1, 2, …, m ) 均可由 r i i i ααα,...,,21线性表出。 又r i i i ααα,,,21 线性无关，所以r i i i ααα,,,21 也是 m s s ααααα,...,,,...,,121+的一个极大无关组。于是 秩{m s s ααααα,...,,,...,,121+}=r 。▌ 例 向量组的任意一个线性无关部分组都可扩充为整个向量组的一个极大无关组。 线性代数知识点归纳(同济-第五版) 线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法)12 12 12 11121 21222() 12 12 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ ==- ∑L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122 ,, 0, . i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?= ? ++=? ≠ ?? L ③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11 22 1122 *** 0** 0* 00 nn nn b b A b b b b ==L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则= =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 例 计算 2-100-1300 00110 -25 解 2-100-130000110 -25 =2-111 5735-13-25 ?=?= ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 121 1 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()12222 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 例 计算行列式 设 21,αα线性无关，令 221 11 ,αβααβ=+'=， 则 11111 //ααααk ='?' 1121122 βαααβk k -=-=?。 因要求 12ββ⊥，故 ) ,() ,() ,() ,(011112111212βββαββαββk k -=-== 又 θαβ≠=11，故 0) ,(11>ββ。从上式解得 ) ,() ,(11121βββα=k 。 已知 21,αα线性无关，故 θβ≠2。于是 21,ββ是正交向量组。 令 222111| |1 ,| |1ββηββη= = ，则 21,ηη是标准 正交向量组。此外， },{},{ },{}{212111ηηααηα??。 定理 设 V 是欧氏空间，m ααα,...,21是 V 中m 个线性无关的向量，则 V 中存在m 个标准正交的向量 m ηηη,...,,21，并且 {}{}i i ηηηααα,...,,,...,,2121?, m i ,...,2,1= Schmidt 正交化方法： 已知 321,,ααα线性无关 1. 正交化： 1 1αβ= 1111222) ,() ,(ββββααβ- = 222231111333) ,() ,(),(),(ββββαββββααβ-- =； 2. 单位化： 111| |1ββη= ，222| |1ββη= ，333| |1ββη= 例 已知3 R 中的 )0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(321===ααα 求三个标准正交的向量。 解 1. 正交化 11αβ=， ) 3 2 ,31,31()1,1,1(32)0,1,1(),(),(1111222-=-=-=ββββααβ 222231111333) ,() ,(),(),(ββββαββββααβ--= )0,2 1 ,21()32,31,31(9631)1,1,1(31)0,0,1(-=---=； 2. 单位化 ） ，，（3 13131||1 111==ββη ） 6 2,61,61(||1 222-==ββη )0,2 1,21(||1 333-==ββη 第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）???? ????? ???71 10 025********* 4； （2）????????????-26 52321121314 1 2； （3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+ 2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分 线性代数第44讲 复习（4） 一． 本章知识结构 二． 本章自测题 （一）选择题 1. 若 ),,0(2k k =β能由 )1,1,1(,)1,1,1(,)1,1,1(321k k k +=+=+=ααα 唯一线性表示，则k 等于（ ）. 0)(≠k A 3)(-≠k B 0)(≠k C 且 3-≠k k D )(任意. 2. 设向量组r B b b b ,,,:21 能由向量组m 21 线性表示， 则( ). )(A 当m r <时，向量组A 必线性相关 )(B 当m r >时，向量组A 必线性相关 )(C 当m r <时，向量组B 必线性相关 )(D 当m r >时，向量组B 必线性相关 （选 D . 解法提示：用反证法排除其余三种可能 ) 3. 四元齐次线性方程组?? ? ??=+=+02104231x x x x 的一个基础解系是 （ ）. )(A ,)2,0,1,0(T - (B) T )2,0,1,0(-和 T )1,0,2 1,0( )(C ,)0,0,0,0(T )( D T )0,1,0,1(-和 T )2,0,1,0(- （二）判断题 4. 给定向量组m A a a a ,,,:21 ，如果存在数m k k k ,,,21 使得 ,2211o a a a =+++m m k k k 则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关. （ ） （（×）.解法提示： 定义中要求m k k k ,,,21 不全为零） （三）填空题 5. 齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解等于（ ）. （答案：（基础解系的全体线性组合）） （四）计算题 6. 设,120,21,121??????????-=??????????=??????????-=γβαk 若,3βx γβx βα+=T T 试求此方程组的通解. 第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ??==11111a b , ???? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ? ? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ? ??-==110111a b ? ? ?? ? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ? ? ?? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以H 是正交矩阵 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A 1 A T B 1 B T (AB )T (AB )B T A T AB B 1A 1AB E 故AB 也是正交阵.《高等数学A(2)》教学大纲
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