函数的对称性
一、有关对称性的常用结论
（一）函数图象自身的对称关系
1、轴对称
(1))(x f -=)(x f ?函数)(x f y =图象关于y 轴对称；
(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+?()(2)f x f a x =- ?()(2)f x f a x -=+；
（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2
b a x +=
对称。 2、中心对称
（1）)(x f -=－)(x f ?函数)(x f y =图象关于原点对称；.
（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称?)()(x a f x a f --=+?()(2)f x f a x =-- ?)2()(x a f x f +=-；
（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称?b x a f x a f 2)()(=++-
?b x f x a f 2)()2(=+-
（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函
数)(x f y =的图象关于点)2
,2(c b a + 对称。 （二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=
对称。
推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。
推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2(
c a b -对称。 推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。
二、练习题
（一）选择题
1. 已知定义域为R 的函数)(x f 在）
，（∞+8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ） A ．)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f >
2．设函数)(x f y =定义在实数集R 上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）对称。
A.直线0=y
B.直线0=x
C.直线1=y
D.直线1=x
3.（中山市09年高三统考）偶函数()()f x x R ∈满足：(4)(1)0f f -==，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为（ ）
A ．),4()4,(+∞--∞ ；
B ．)4,1()1,4( --
C ．)0,1()4,(---∞ ；
D ．)4,1()0,1()4,( ---∞
4. 若函数c bx x x f ++=2)(对一切实数都有)2()2(x f x f -=+，则（ ）
A. )4()1()2(f f f <<
B. )4()2()1(f f f <<
C. )1()4()2(f f f <<
D. )1()2()4(f f f <<
5．函数)(x f y =在)20(，上是增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ） A. )27()25()1(f f f << B. )2
5
()1()27(f f f << C. )1()25()27(f f f << D. )1()2
7()25(f f f << 6.设函数3)()(a x x f +=对任意实数x 都有)2()2(x f x f --=+,则=-+)3()3(f f ( )
A.－124
B. 124
C. －56
D.56
7.函数)(x f 的定义域为R ，且满足)()-12(x f x f =,方程0)(=x f 有n 个实数根，这n 个实数根的和为1992，那么n 为（ ）
A. 996
B. 498
C. 332
D. 116
8.设)(x f y =是定义在实数集R 上的函数，且满足)()-(x f x f =与)()-4(x f x f =，若当
]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ,则当]4,6[--∈x 时，=)(x f （ ）
A.12+-x
B.1)2(2+--x
C. 1)4(2++-x
D. 1)2(2
++-x
9.(2009全国卷)函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1-(x f 都是奇函数，则( )
A ．)(x f 是偶函数
B ．)(x f 是奇函数
C ．)2()(+=x f x f
D ．)3(+x f 是奇函数
10.(2009·四川高考)已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都
有)()1()1(x f x x xf +=+，则))25((f f 的值是( ) A ．0 B.12 C ．1 D.52
11.设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)10()-10(x f x f +=与)20()-20(x f x f +-=，则)(x f 是（ ）
A. 偶函数，又是周期函数，
B. 偶函数，但不是周期函数
C. 奇函数，又是周期函数，
D. 奇函数，但不是周期函数
(二)填空题
12. 函数)1(+=x f y 为偶函数，则函数)(x f 的图像的对称轴方程为
13. 函数)2(-=x f y 为奇函数，则函数)(x f y =的图像的对称中心为
14.（09年深圳九校联考）已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，若当(0,)∈+∞x 时，()lg =f x x ，
则满足()0>f x 的x 的取值范围是 ．
15. 已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，且
2)4(-=-f ，当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有
0)()(2
121>--x x x f x f .则给出下列命题： ①2)2008(-=f ；
②函数)(x f y =图像的一条对称轴为6-=x ；
③函数)(x f y =在]6,9[--上为减函数；
④方程0)(=x f 在]9,9[-上有4个根． 其中所有正确命题的序号为____ ____．
（三）解答题
16. 设1)(2
+=x x f ,求)1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线方程。
17．已知函数)1(+x f 的图象，通过怎样的变换可以得到函数)2(+-x f 的图象。
18．已知实系数多项式函数)(x f 满足)3()1(x f x f +=-, 并且方程0)(=x f 有四个根，求这四个根之和。
19．设1)(2
+=x x f , 若)(x g 的图象与)2(+=x f y 的图象关于点)1,1(对称，求)(x g .
参考答案
（一）选择题
1～4、DDDA 5～8、BACC
9、解: (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--， ∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数 . )3()41()1()1()41()3(+--=+---=---=-=+-=+∴x f x f x f x f x f x f ， )3()3(+-=+-∴x f x f ，即(3)f x +是奇函数。故选D
10、解：若x ≠0，则有)(1)1(x f x
x x f +=+ 取21-=x ，则有)21()21()21(2
1211)121()21(f f f f f -=--=---=+-= 由此得0)2
1(=f 于是0)2
1(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f
故选A
11、40102044=-=-=b a T
=+-=-=--=-+=+-=-∴)4020()20()]30(10[)]30(10[)40()(x f x f x f x f x f x f )()]10(10[)]10(10[)20()20(x f x f x f x f x f -=---=-+-=--=+
所以为奇函数。故选C
(二)填空题
12、1=x
13、)0,2(-
14、画出草图可知),1()0,1(+∞-∈ x
15、①②③④
在)3()()6(f x f x f +=+中令3-=x 得0)3(=-f ， 0)3()3(=-=∴f f
故)()6(x f x f =+,6=∴T ,2)4()4()46334()2008(-=-==+?=f f f f 结合函数草图可知①②③④都正确。
（三）解答题
16、解：26102
+-=x x y 17、解：)()1(1x f y x f y =??
??→?+=个单位
右移 )(x f y y -=????→?轴对称关于 )2()]2([2+-=--=????→?x f x f y 个单位右移
18、解：在)3()1(x f x f +=-中令t x =-1得)4()(t f t f -=
)2()2(t f t f -=+∴
)(x f y =∴的对称轴为2=x
设方程0)(=x f 的四个根分别为22112,2,2,2x x x x -+-+，则它们的和为8.
19、解：158)(2
-+-=x x x g
第一节函数及其表示 1．函数的概念及其表示 (1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 了解映射的概念． (2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．分段函数及其应用 了解简单的分段函数，并能简单应用． 知识点一函数与映射的概念 函数映射 两集合A， B 设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对 于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对 于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一 个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一 个映射 易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数． [自测练习] 1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()
知识点二 函数的有关概念 1．函数的定义域、值域 (1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示方法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 易误提醒 (1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． (2)误把分段函数理解为几个函数组成． 必备方法 求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ????1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． [自测练习] 2．(2016·贵阳期末)函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(1，＋∞) 3．f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝ x 2－1与 g (x )＝x －1·x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x x 2＋1 C ．y ＝x 与y ＝(x )2 D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3 x 3
三角函数 2018年6月 考纲要求： 基本初等函数Ⅱ（三角函数） 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x , y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ?? - ??? 内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x = 1, sin tan .cos x x x = （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. （十一）解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 对于三角函数与三角恒等变换的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等. 3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题. 3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 考向一三角恒等变换 样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边， 它们的终边关于y轴对称.若 1 sin 3 α=，则cos() αβ -=___________. 【答案】 7 9 -
角函数讲义适用于高三 第一轮复习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
三 角恒等 变换 知识点睛 1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αααα α tan cos sin = 2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3．两角和与差的公式 4．倍角公式αααcos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα 5．降幂公式22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+=ααα2sin 2 1 cos sin = 6．幅角公式x b x a ωωcos sin +)sin(22?ω++=x b a ，其中a b =?tan 7．和差化积、积化和差公式（此系列公式知道怎么推导就行，无需特别记忆） 8．补充公式ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±，2 cos 2 sin sin 1α α α±=± 例题精讲 解析：（1）由题意，5sin 1cos 2-=--=αα，4cos tan -==αα （2）由题意，125cos sin tan -== ααα且1cos sin 22=+αα，解得135sin -=α，13 12 cos = α （3）∵0cos <α，∴α是第二或第三象限角 当α是第二象限角时，1715cos 1sin 2= -=αα，815 cos sin tan -==ααα 当α是第三象限角时，1715cos 1sin 2- =--=αα，8 15 cos sin tan == ααα 点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负 符号的确定
第二节 函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 >0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 <0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数． [自测练习] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． 3．已知函数f (x )＝???? ? －x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．[－3，－2]
第一轮复习三角函数专题 一、选择题（每题5分共60分） 1 ．sin600=。（） A． 1 - 2 B． 1 2 C ． 3 - 2 D． 3 2 ．已知0 ω>,函数()sin() 4 f x x π ω =+在(,) 2 π π上单调递减.则ω的取值范围是（）A． 13 [,] 24 B． 15 [,] 24 C． 1 (0,] 2 D．(0,2] 3 ．把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度,得到的图像是 4 ．设tan,tan αβ是方程2320 x x -+=的两个根,则tan() αβ +的值为（）A．1B．1-C．3-D．3 5 ．若 42 ππ θ?? ∈?? ?? ，, 37 sin2= 8 θ,则sinθ=（）A． 3 5 B． 4 5 C． 7 4 D． 3 4 6 ．已知sin cos2 αα -=α∈(0,π),则tanα=（）A．-1 B． 2 2 -C． 2 2 D．1 7．若tanθ+ 1 tanθ =4,则sin2θ=（）A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 8．设R ?∈,则“=0 ?”是“()=cos(+) f x x?() x R ∈为偶函数”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 1 / 4
2 / 4 9.要得到函数 =cos 2y x 的图象，只需将函数=sin(2-)3 y x π 的图象 （ ） A ．向左平移 56π 个单位长度 B ．向左平移 512π 个单位长度 C ．向右平移512π 个单位长度 D ．向右平移56 π 个单位长度 10．sin 43cos13-sin13sin 47。。。。 = （ ） A ．1-2 B ． 12 C ．- 2 D ． 2 11．下列函数中，周期是2 π 的偶函数的是 （ ） A ．y=sin 4x B ．22 y=sin 2-cos 2x x C ．y=tan2x D ．y=cos2x 12.已知 1+sin 1=-cos 2x x ，那么cos =sin -1x x （ ） A ．1-2 B ．12 C ．2 D ．-2 二、填空题（每题5分共20分） 13．函数()sin(2)4 f x x π =+ 的最小正周期为_______. 14．函数f(x)=sin (x ω?+)的导函数()y f x '= 的部分图像如图4所示,其中,P 为图 像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. 若6 π ?=,点P 的坐标为 则ω=______ ; 15． 当函数sin (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =_______________. 16.函数2 f(x)=2cos x+sin 2-1x ，给出下列四个命题（1）函数f(x)在区间5,88ππ????? ?上是减函数。（2）直线=8 x π 是函数f(x)的图象的一条对称轴。（3）函数f(x) 的图象可以由函数2y x 的图象向左平移 4π 个单位得到。（4）若0,2x π??∈???? 则函数f(x) 的值域是??，其中正确的命题是__________ 三、解答题
第二章函数与基本初等函数I 第1讲函数及其表示 一、选择题 1．下列函数中，与函数y＝ 1 3 x 定义域相同的函数为()． A．y＝ 1 sin x B．y＝ ln x x C．y＝x e x D．y＝sin x x 解析函数y＝ 1 3 x 的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝sin x x 的定义域相同， 故选D. 答案 D 2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ()． A．1个B．2个C．3个D．4个 解析由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个． 答案 C 3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )．
解析 根据函数的定义，观察得出选项B. 答案 B 4．已知函数f (x )＝???? ? |lg x |，0 2.6 二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n . （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0= 2 1 （p +q ）. 若－ a b 2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b 2）=m ，f （q ）=M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b 2）=m ； 若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m . ●点击双基 1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2 2 1x x +）等于 A.－ a b 2 B.－ a b C.c D.a b a c 442- 解析：f （221x x +）=f （－a b 2）=a b ac 442-. 答案：D 2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B 3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25 解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8 m ，+∞）上递增，由题设只 2018年高三第一轮复习函数试题 函数定义域 1. 函数 1 ()ln(1)f x x = + (A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]- 2. 若函数) 34(log 2++=kx kx y a 的定义域是R,则k 的取值范围是 ． 3. 已知函数 () f x 的定义域为 []2,1,-则函数()()121y f x f x =-+-的定义域为 函数值及值域 1.设函数 21 1log (2),1()2, 1x x x f x x -+- 4.设函数,若,则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 5.函数f(x)= 12log ,12,1x x x x ≥???? 函数的基本性质之一——单调性 【基本概念】 1.函数单调性 ①正向结论：若() y f x = 在给定区间上是增函数，则当 12 x x <时， 12 ()() f x f x <；当12 x x >， 12 ()() f x f x >； ②逆向结论：若() y f x =在给定区间上是增函数，则当 12 ()() f x f x <时，_________；当12 ()() f x f x >时，_________。 当() y f x =在给定区间上是减函数时，也有相应的结论。 2.函数最值的求解 求函数最值的常用方法有单调性与求导法。此处重点讲解二次函数的最值。 求二次函数的最值有两种类型：一是函数定义域为R，可用配方法求出最值；二是函数定义域为某一区间，此时应该考虑对称轴是否在给定的区间内。 3.易混淆点：对单调性和在区间上单调两个概念理解错误 【考点一】单调性的判断与证明 1.下列函数() f x中，满足“对任意 12 ,(0,) x x∈+∞，当 12 x x <时，都有 12 ()() f x f x >”的是（） A． 1 () f x x = B. 2 ()(1) f x x =- C. ()x f x e = D. ln(1) y x =+ 2.给定函数① 1 2 y x =;② 1 2 log(1) y x =+;③1 y x =-;④1 2x y+ =,其中在区间（0,1）上单调 递减的函数的序号是（） A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 3.证明y=[0,) +∞是增函数 4.证明 4 y x x =+在[2,) +∞是增函数。 【学案编号】数学总复习学案5 【编辑】韩晶飞【审核】马省珍 【主题】函数的基本性质 函数的图象 函数的图象 【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号） 主干知识归纳 1、描点法作图 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为： (1) ① 确定函数的定义域；② 化简函数的解析式；③ 讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； (2) 列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）； (3) 描点、连线，画出函数的图象. 2、图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 ① y ＝f (x )的图象 ?????→?轴对称 关于x y ＝－f (x )的图象； ② y ＝f (x )的图象 ?? ???→?轴对称 关于y y ＝f (－x )的图象； ③ y ＝f (x )的图象 ? ???→?对称 原点关于y ＝－f (－x )的图象； ④ y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象 ??????→← =轴对称关于x y y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ① y ＝f (x )的图象 y ＝f (ax )的图象． ② y ＝f (x )的图象 y ＝af (x )的图象． 3、翻转变换 ⑤ y ＝f (x )的图象 ?????????????→?轴下方图象翻折上去 轴上方图象，将保留x x y ＝|f (x )| 的图象. ⑥ y ＝f (x )的图象 ?????????????→?对称的图象 于轴右边图象，并作其关保留y y y ＝f (|x |) 的图象． 方法规律总结 1、(1) 常见的几种函数图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋m x (m>0) 的函数是图象变换的基础，需要严格掌握； (2) 掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻转变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程． 2、识图、作图常用的方法如下． (1) 定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题． (2) 定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题． (3) 函数模型法：由所提供的图象特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题． 1>a ，横坐标缩短为原来的a 1 倍，纵坐标不变 10<a ，纵坐标伸长为原来的a 1倍，横坐标不变 10< 高三数学第一轮复习：函数 考生在数学首轮复习中，往往存在两个误区，一是只顾埋头做题而不注重反思，有些同学在做题时，只要结果对了就不再深思做题中使用的解题方法和题目所体现出来的数 学思想;二是只注重课堂听课效率，而不注重课后练习，这在文科生中显得尤为普遍，这往往会导致考生看到考题觉得自己会，可一做就错。因此，在数学首轮复习中，林老师提出了五项建议。 一、夯实基础，知识与能力并重。没有基础谈不到能力，复习要真正地回到重视基础的轨道上来。这里的基础不是指针对考试、机械重复的训练，而是指要搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟。同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。 二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。培养自己独立解决问题的能力始终是数学复习的出发点与落脚点，要在体验知识的过程中，适时进行探究式、开放式题目的研究和学习，深刻领悟蕴涵在其中的数学思想方法，并加以自觉的应用，力求做到使自己的理性思维能力、分析问题和解决问题的能力有切实的提高。 三、讲究复习策略。在第一轮复习中，要注意构建完整的知识网络，不要盲目地做题，不要急于攻难度大的综合题、探究题。复习要以中档题为主，选题要典型，要深刻理解概念、 抓住问题的本质，抓住知识间的相互联系。高考题大多数都很常规，只不过问题的情景，设问的角度改变了一下。因此，建议考生在首轮复习中，不要盲目地自己找题，而应在老师的指导下，精做题。 四、加强做题后的反思。学习数学必须要做题，做题一定要独立。做题前要把老师上课时复习的知识再回顾一下，对所学的知识结构要有一个完整的清楚的认识，不留下任何知识的盲点，对所涉及的解题方法要深刻领会。做题时，一定要全神贯注，保持最佳状态，注意解题格式规范，养成良好的学习习惯，以良好的心态进入高考。做题后，一定要认真反思、仔细分析，通过做几道相关的变式题来掌握一类题的解法，从中总结出一些解题技巧，更重要的是掌握解题的思维方式，内化为自己的能力。并总结出对问题的规律性认识和找出自己存在的问题。对做题中出现的问题，注意总结，及时解决。重点一定要放在培养自己的分析问题和解决问题的能力上。 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文 函数专题1、函数的基本性质 复习提问： 1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。 2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题） 3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些） 4、如何求函数的值域。（常见题型对应的常见方法） 5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题） 6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用 7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类 一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=? ??<-≥;01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）； （4）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1. 二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域： (1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x (5)ｙ＝3142-+ -x x (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数） 2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域； 3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数 )41(+=x f y )41(-?x f 的定义域 5、已知函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。 三、函数的解析式 求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、 1、换元（或代换）法： 年 级 高三 学 科 数学 版 本 人教版（文） 内容标题 函数的单调性 编稿老师 孙力 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1. 概念：设函数)(x f 的定义域为I （1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，当 21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么称函数)(x f 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值21,x x ，当 21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在这个区间上是减函数。 （3）单调区间：如果函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(x f y =的单调区间。 注：① 中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21x f x f ≤或)()(21x f x f ≥ ② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如x y 1 =在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数， 不能说x y 1 =在),0()0,(+∞?-∞上是减函数。 ③ 单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降 2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象） （1）定义法 [例1] 证明函数1)(3 1-=x x f 在R 上是增函数 证：设x x <，则32 323131213131)()(x x x x x x x x x f x f ++-= -=- 而分子021<-=x x 分母04 3)21(3 2 2231 2 311 322 312 311 321 >++=+?+=x x x x x x x 故0)()(21<-x f x f 得证 补：讨论函数2 2)(x x a x f -=的单调性)10(≠a 时，对任R x ∈，02 2>-x x a ，设121< 2018高考一轮复习函数知识点及题型归纳 一、函数的及其表示 题型一：函数的概念 映射的概念：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ． 函数的概念：如果A 、B 都是非空的数集．．．．．，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作()y f x = ,其中x ∈A ,y ∈B ，原象的集合A 叫做定义域，象的集合C 叫做函数()y f x =的值域． 映射的基本条件： 1. 可以多个x 对应一个y ，但不可一个x 对应多个y 。 2. 每个x 必定有y 与之对应，但反过来，有的y 没有x 与之对应。 函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。 例1：已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y } ，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ） A. f ∶x →y=21 x B. f ∶x →y=x 31 C. f ∶x →y=x 32 D. f ∶x →y=x 例2：设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ， 则f （x ）的图象可以是（ ） 例3：下列各组函数中，函数)(x f 与)(x g 表示同一函数的是 （1）)(x f ＝x ，)(x g ＝x x 2 ； （2）)(x f ＝3x －1，)(t g ＝3t －1； （3）)(x f ＝0x ，)(x g ＝1； （4）)(x f ＝2 x ，)(x g ＝2)(x ； 题型二：函数的表达式 1. 解析式法 例4：已知函数()32,0, 4tan ,0, 2 x x f x f f x x ππ? 高三数学第一轮复习《函数》测试题 一、选择题(共50分)： 1．已知函数y f x =+()1的图象过点（3，2），则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一定过点 A. （2，-2） B. （2，2） C. （-4，2） D. （4，-2） 2．如果奇函数()f x 在区间[](),0a b b a >>上是增函数，且最小值为m ，那么()f x 在区间[],b a --上是 A.增函数且最小值为m B.增函数且最大值为m - C.减函数且最小值为m D.减函数且最大值为m - 3. 与函数() lg 210.1x y -=的图象相同的函数解析式是 A ．121()2y x x =-> B ．121y x =- C ．11 ()212 y x x =>- D ．121y x = - 4．对一切实数x ，不等式1||2++x a x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．-∞(，－2］ B ．［－2，2］ C ．［－2，)+∞ D ．［0，)+∞ 5．已知函数)12(+=x f y 是定义在R 上的奇函数，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线 x y =对称，则)()(x g x g -+的值为 A ．2 B ．0 C ．1 D ．不能确定 6．把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为x y 2=的图像，则)(x f y =的函数表达式为 A. 2 2 +=x y B. 2 2 +-=x y C. 2 2 --=x y D. )2(log 2+-=x y 7. 当01a b <<<时，下列不等式中正确的是 A.b b a a )1()1(1->- B.(1)(1)a b a b +>+ C.2 )1()1(b b a a ->- D.(1)(1) a b a b ->- 8．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2 --+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是 A.1[,)2-+∞ B. [)+∞,0 C. [)+∞,1 D.2 [,)3+∞ 9．已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1 (0,)3 C.1[,1)7 D.11[,)73 10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴。洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按t 分钟注2 2t 升自动注水。当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供 A ．3人洗浴 B ．4人洗浴 C ．5人洗浴 D ．6人洗浴 二、填空题(共25分) 11．已知偶函数()f x 在[]0,2内单调递减，若()()0.511,(log ),lg 0.54 a f b f c f =-==，则,,a b c 之间的大小关系为 。 12. 函数log a y x =在[2,)+∞上恒有1y >，则a 的取值范围是 。 13. 若函数14455ax y a x +?? = ≠ ?+?? 的图象关于直线y x =对称，则a = 。 14．设()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若23 (1)1,(2)1 a f f a ->=+，则a 的取值范围是 。 15．给出下列四个命题： 函数的周期性 一、基础知识 1.周期函数的定义 对于函数)(x f y =，如果存在一个常数0T ≠，能使得当x 取定义域内的一切值时，都有 )()(x f T x f =+，则函数)(x f y =叫做以T 为周期的周期函数。 2.与周期相关的结论 (1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数)()(R x a x f ∈=； (2)周期函数的定义域是无界的； (3)若T 为)(x f y =的周期，则nT )0(≠∈n Z n 且也是)(x f y =的周期 (4)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，b a -是它的一个周期； (5)若函数()f x 恒满足()()f x a f x +=-(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 推论：若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一 个周期； （4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即0)()(=+±+b x f a x f 型 (6)若函数()f x 恒满足1 ()() f x a f x += (0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 推论：若函数()f x 恒满足1 ()() f x a f x b +=+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个 周期； (7)若函数()f x 恒满足1 ()() f x a f x +=- (0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 推论：若函数()f x 恒满足1 ()() f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一 个周期； （6）（7）可概括为：“乘积为1±型”即1)()(±=+?+b x f a x f 型 (8)若函数()f x 是偶函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 推论：若函数关于直线,()x a x b a b ==≠对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期； (9)若函数()f x 是奇函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，4a 是它的一个周期； 推论：若函数关于点(,0)a 、直线()x b a b =≠对称，则()f x 是周期函数，4a b -是它的一个周期； 高考第一轮复习 函数的表示方法 ★知识梳理 一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 ★热点考点题型探析 考点1：用图像法表示函数 例1.（广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： 进水量出水量蓄水量 甲乙丙 （1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水． 则一定不正确 ．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解析]由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故②错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。 从而一定不正确 ．．．的论断是（2） 训练1．(湖北)函数|1 | | |ln- - =x e y x的图象大致是( ) [解析] D；当1 ≥ x时，1 )1 (= - - =x x y，可以排除A和C；又当 2 1 = x时， 2 3 = y，可以排除B 考点2：用列表法表示函数 [例2] （北京）已知函数() f x，() g x分别由下表给出 的值为；满足[()][ g x g >的值是 [解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。 [解析]由表中对应值知[(1)] f g=(3)1 f=； x 1 2 3 () f x 1 3 1 x 1 2 3 () g x 3 2 1 时间 1 1时间 2 1时间 0346 6 5 高三数学一轮复习——函数知识点总结 1. 函数的奇偶性 （ 1）若 f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=; （ 2）若 f(x)是奇函数，0在其定义域内，则（可用于求参数）； （ 3 ）判断函数奇偶性可用定义的等价形式： f(x)± f( -x)=0或 （f(x) ≠ 0） ; （ 4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性； (5 ）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间 内有相反的单调性； 2. 复合函数的有关问题 （ 1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)] 的定义域由不等式a≤ g(x) ≤ｂ解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈ [a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）；研究 函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 （ 2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 3. 函数图像（或方程曲线的对称性） （1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的 对称点仍在图像上； （2）证明图像 C1与 C2 的对称性，即证明 C1 上任意点关于对称中心（对称轴） 的对称点仍在C2 上，反之亦然； （ 3）曲线C1： f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2 的方程为f(y －a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0); （ 4）曲线 C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2 方程为：f(2a － x,2b － y)=0; （ 5）若函数 y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直年高考第一轮复习数学二次函数
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