第三章图形的平移与旋转
一、知识概要
一、平移
定义: 在平面内,将一个图形整体沿某方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
性质: 平移前后两个图形是全等图形,对应点连线平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。
(平移的概念与性质)
例、如图,由11个面积为6的等边三角形按下列方式排列,它们都有一边在同一直线上,每个三角形底边的中点恰为下一个三角形的一个顶点.
(1)请说一说该图案的形成过程;
(2)由这11个三角形所盖住的平面区域的面积是。
3、作图
平移作图的依据是平移的性质:1、平移后的图形大小和形状完全相同,即对应线段平行且相等,对应角相等。2、平移后对应点所连接的线段平行且相等。
一、根据“平移后对应点所连的线段平行且相等”作平移后图形。
1、已知原图位置和平移的方向及距离,作平移后图形。
例1:如图1,图形扇形OAB按箭头所示方向平移2cm,作出平移后的图形。
B
A
D
C
O
P
图1
【分析】:
解:如图,分别过O、A、B点作与箭头所示方向相同的一组平行线段OP、AC、BD,且OP=AC=BD=2cm,连接OA、OB,作弧AB,就得到扇形OAB平移后的图形。
2、已知原图形位置和一对对应点,作平移图形。
例2:如图2,平移小旗,使小旗上的点P平移到点A,作出平移后的小旗。
B
Q
A
R P C
D
图2
S
【分析】:
解:如图,连接PA,分别过 Q、 R、S作线段QB、RC、SD,使QB∥RC∥SD∥PA,且QB=RC=SD=PA=2cm,连接AB、AC、BC、CD, 得到平移后的小旗。
二、根据“平移后对应线段平行且相等”作平移后图形。
1、已知原图形位置和平移后一边的位置(一对对应边),作平移图形。
例3:如图3,⊿ABC的边AB经过平移到了PD,作出⊿ABC平移后的图形。
P
A
B D
C E 图3
【分析】:
解法1: 分别过点P、点D作AC、BC的平行线,两线相交与点E,则⊿PDE就是所求作的三角形。解法2:
2、已知原图形位置和一对对应点,作平移图形。
例4:如图3,⊿ABC的顶点A经过平移到了点P,作出⊿ABC平移后的图形。
【分析】:
解法:
【方法探究】:由上面可以看出,作一个图形平移后的图形:
1、除了确定原图的位置,还需要知道图形平移的方向(不一定是水平或垂直方向)和平移的距离(连接对应点的线段的长度)
2、关键是确定特殊点(线段端点,角的顶点等)
3、顺次连接各点(连接不一定是线段)
小练
1.小宁和婷婷在一起做拼图游戏,他们用“、△△、=”构思出了独特而有意义的图形并根据图形还用简洁的语言进行了表述:
图1
观察以上图案
(1)这个图案有什么特点?
(2)它可以通过一个“基本图案”经过怎样的平移而形成?
(3)在平移的过程中,“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化?你能解释其中的道理吗?
2.如图2,经过平移,扇形上的点A移到了F,作出平移后
的扇形.
图2
3.经过平移,△ABC的边AB移到了MN,作出平移后的三角形,你能给出几种作法?
图3
二、旋转
1、定义: 在平面内,将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2、性质: 旋转前后两个图形是全等图形,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。
(旋转的概念与性质)
例、如图所示,O 是锐角三角形ABC 内一点,∠AOB =
∠BOC =∠COA =120°,P 是ΔABC 内不同于O 的另一点;
ΔA 1BO 1、ΔA 1BP 1分别由ΔAOB ,ΔAPB 旋转而得,旋转
本题还有没有其他作法,可以作出△ABC 绕O 点旋转后的图形△DEF 吗?
1.课本随堂练习.
解:如下图,先确定字母N 的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°后的
角都为60°,则下列结论:①ΔO 1BO 为等边三角形,且A 1、O 1、O 、C 在一条直线上;②A 1O 1+O 1O =AO +BO ;③A 1P 1+PP 1=PA +PB ;④PA +PB +PC>OA +OB +OC 。其中正确的有 (填序号).
例1 如图,△ABC
绕O 点旋转后,顶点A 的对应点为点D ,试确定顶点B ,C 对应点的位置,以及旋转后的三角形.
解: A
P
P 1O 1
O B C A 1
位置,然后连线.
2.小明和妈妈在广场游玩时, 看见许多喷水嘴正在给草坪浇
水。喷水嘴不停地旋转着, 但每时每刻喷出的水雾总是四分之一
圆。妈妈问:“小明,如果喷出水雾的范围内有一正方形, 喷水嘴位
于它的中心, 你知道喷水嘴在旋转的过程中瞬时浇过正方形区域的
面积是多少吗? ”请你替小明做出回答。
3.将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转,使一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示)。你知道旋转角是多少吗?连结BB’,△ABB’有什么特征吗?
4.如下图是某设计师设计的方桌布图案的一部分,请你运用旋转变换的方法,在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°,并画出它在
各象限内的图形,你会得到一个美丽的“立体图形”!但是涂阴影
...时要注
意利用旋转变换的特点,不要涂错了位置,否则不会出现理想的效果,你
来试一试吧!
5、已知,如图△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC。
C
三.对称
(1)轴对称与轴对称图形(概念与性质)
例、已知∠MON=40°,P 为∠MON 内一定点, OM 上有一点A ,ON 上有一点B ,当△PAB 的周 长取最小值时,求∠APB 的度数. (2)中心对称(概念与性质)
例4、下列图形中,一定不是中心对称图形的是( )
A.至少旋转30°后才与自身重合
B.至少旋转60°后才与自身重合
C.至少旋转90°后才与自身重合
D.、至少旋转120°后才与自身重合
四、课堂练习
1、△ABC 平移到△DEF 的位置,(即点A 与点D ,点B 与点E ,点C 与点F ,是对应点)有下列说法:①AB=DE;②AD=BE;③BE=CF;④BC=EF 其中说法正确个数有……( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、(2003,河南)把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A ′B ′C ′D?′的位置,它们的重叠部分(如图1中的阴影部分)的面积是正方形ABCD?面积的一半,?若AC=2,则正方形移动的距离是AA ′是_______.
(1) (2) (3) 3.(2004,南宁)如图2是两张全等的图案,它们完全重合在叠放在一起按住下面的图案不动,将上面图案绕点O 顺时针旋转,至少旋转_______度角后,?两张图案构成的图形是中心对称图形.
4、如图3,两个全等的正六边形ABCDEF 、PQRSTU ,其中点P 位
于正六边形ABCDEF 的中心,如果它们的面积均为1,则阴影部分的面积是__________。
5、如图11-2所示,Rt △A ′B ′C ′是△ABC 向右平移3cm 所得, 已知∠B =60°,B ′C =5cm ,则∠C ′=__________, B ′C ′=_________cm .
6.如图所示,直角△AOB 顺时针旋转后与△COD 重合,若∠AOD =127°,则旋转角度是 7.如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别在D ′、C ′位置,若∠EFB=65
°,
M
N
O
则∠AED ′=_________.
8.四边形ABCD 为长方形,△ABC 旋转后能与△AEF 重合,旋转中心是点
旋转了多少度 ;连结FC ,则△AFC 是 三角形。
9. 如图11-5,O 是等边△ABC 内一点,将△AOB 绕B 点逆时针旋转,使得B 、O 两点的对应点分别为C 、D ,则旋转角为_____________,图中除△ABC 外,还有等边三形是_____________.
10.如图11-6,Rt △ABC 中,P 是斜边BC 上一点,以P 为中心,把这 个三角形按逆时针
方向旋转90°得到△DEF ,图中通过旋转得到的三角形还有_____________.
生活中的平移、旋转和对称图形测试卷
一、选择题(每小题4分,共40分) 1、在下面五幅图案中,(2)、(3)、(4)、(5)中哪一幅图案可以通过平移图案(1)得到.( )
A.(2)
B.(3)
C.(4)
D.(5)
2、在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.
下列图案中,不能由一个圆形通过旋转而构成的是( )
3、下列各图中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4、把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向平移到正方形A ′B ′C ′D ′的位置,它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD 面积的一半,若AC=2,则正方形平移的距离
AA ′是( ). A.1 B.2
1
C.12+
D.12-
A B C D A B
C D
(第4题图) (第5题图) (第6题图) (第7题图)
5、如图,△ABC 与△BDE 都是等边三角形,AB A.AE=CD B.AE>CD C.AE D.无法确定 6、同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个图案,图中所有小三角形均是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心( ) A.顺时针旋转60°得到 B.顺时针旋转120°得到 C.逆时针旋转60°得到 D.逆时针旋转120°得到 7、如图,D 是等腰Rt △ABC 内一点,BC 是斜边,如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置,则∠ADD ′的度数是( ) A.25° B.30° C.35° D.45° 8、已知∠AOB=30°,点P 在∠AOB 内部,P 1与P 关于OB 对称,P 2与P 关于OA 对称,则P 1,O ,P 2三点所构成的三角形是( ) A .直角三角形 B .钝角三角形 C .等腰三角形 D .等边三角形 9、如图是一跳棋盘,其中格点上的黑色点为棋子,剩余的格点上没有旗子。我们约定跳棋游戏的规则是:把跳棋旗子在棋盘内沿直线隔着旗子对称跳行,跳行一次称为一步。已知点A 为已方一枚旗子,欲将旗子A 跳进对方区域(阴影部分的格点),则跳行的最少步数为 A.2步 B.3步 C.4步 D.5步 (第9题图) (第10题图) 10、如图,菱形纸片ABCD 的一内角为60°.边长为2,将它绕对角线的交点O 顺时针旋转90°后到A ′B ′C ′D ′ 位置,则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( ) A.8 B.4(3-1) C.8(3-1) D.4(3+1) 二、填空题(每小题4分,共20分) 11、在你所学过的几何图形中,写出两个既是轴对称图形又是中心对称图形的图形名称: __ _____. 12、如图,直线l 是四边形ABCD 的对称轴,若AB=CD ,有下面的结论:①AB ∥CD ;②AC ⊥BD ;③OA=OC ;④AB ⊥BC 。其中正确的结论有 (填序号). l D A C B O (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13、如图,AD 是ΔABC 的中线,∠ADC=45°,把ΔADC 沿AD 对折,点C 落在点C ′的位置,则BC′与BC 之间的数量关系是 . 14、如图是两张全等的图案,它们完全重合地叠放在一起,按住下面的图案不动,将上面图案绕点O 顺时针旋转,至少旋转 度角后,两张图案构成的图形是中心对称图形. 15、由16个相同的小正方形拼成的正方形网格,现将其中的两个小正方形涂黑(如右图)。请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑,使它成为轴对称图形。 三、(每小题8分,共16分) 16、如图,AM //DN ,直线l 与AM 、DN 分别交于点B 、C . 在线 段BC 上以一点P ,直线l 绕点P 旋转.请你写出变化过程中直线l 与AD 、AM 、DN 围成的图 形的名称.(至少写出三个) 17、如图,在10×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为单位1,将△ABC 向右平移4个单位,得到△A′B′C′,再把△A′B′C′绕点A′逆时针旋转90°,得到△A″B″C″.请你画出△A′B′C′和△A″B″C″(不要求写画法) 四、(每小题9分,共18分) 18、已知:如图,在△ABC 中,AB=BC =2,∠ABC =120°,BC ∥x 轴,点B 的坐标是(-3,1). (1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A′B′C ′; (2)求以点A 、B 、B′、A′为顶点的四边形的面积. O x y A C B A D ·P B C M N l A B C 19、如图是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”,点阵的每一行及每列之间的距离都是1,请你画出“中国结”的对称轴,并直接写出图中阴影部分的面积. 五、(本题10分) 20、请你在下面3个网格(两相邻格点的距离均为1个单位长度)内,分别设计1个图案,要求:在(1)中所设计的图案是面积等于3的轴对称图形;在(2)中所设计的图案是面积等于23的中心对称图形;在(3)中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,并且面积等于33.将你设计的图案用铅笔涂黑. 六、(本题12分) 21、把两个全等的等腰直角三角形ABC 和EFG (其直角边长均为 4)叠放在一起(如图①),且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕O 点顺时 针旋转(旋转角α满足条件:0°<α<90°),四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②).在上述旋转过程中,BH 与CH 有怎样的数量关系?四边形BHGK 的面积有何变化?证明你发现的结论; (1) (2) (3) A G(O) E C B F ② A G(O) E C B F H K 个性化教学辅导教案 学科:数学任课教师:黄老师授课时间:2014 年04 月13 日(星期日) 姓名梁治安年级八年级性别男总课时____第___课 教学 目标 知识点:平移的概念、性质、平移作图;旋转的概念、性质,简单的旋转作图。 难点重点重点:1、平移的概念、性质、平移作图;旋转的概念、性质,简单的旋转作图2、简单的图案设计。 难点:图案设计的方法;轴对称、平移、旋转三种变换的组合。 课堂教学过程课前 检查作业完成情况:优□良□中□差□建议__________________________________________ 过 程 平移的概念和性质 在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过的平移所得到的图形中,对应点所连的线段平行,且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。 旋转的概念和性质: 在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。旋转不改变形状和大小。 一个图形和它经过旋转得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角,对应线段相等,对应角相等。 知识点一、平移的概念: 1.在平面内将一个图形沿______移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的_______和__________. 知识点二、平移的性质 2、经过平移,_________,__________分别相等, 对应点所连的线段_____________. 【基础训练】 A ′ 1.以下现象:①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行; ③风车的转动,④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是( ) A .②③ B 、②④ C .①② D .①④ 2、如下左图,△ABC 经过平移到△DEF 的位置,则下列说法: ①AB ∥DE ,AD=CF=BE ; ②∠ACB=∠DEF ; ③平移的方向是点C 到点E 的方向; ④平移距离为线段BE 的长. 其中说法正确的有( ) A.个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如下右图,在等边△ABC 中,D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点,则△AFE 经过平移可以得到( ) A.△DEF B.△FBD C.△EDC D. △FBD 和△EDC 4.下列图形属于平移位置变换的是( ) . 5.下列图形中,是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6.如图,△ABC 平移后得到△A ′B ′C ′,线段AB 与线段A ′B ′的位置关系是 . 7.在1题中,与线段AA ′平行且相等的线段有 . A . B . C . D . 2015年春北师大版八年级数学下册 第三章《图形的平移与旋转》知识点与同步练习 知识点一、平移的概念: 1.在平面内将一个图形沿移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的和. 注意:1、前提在同一平面内,物体在曲面上运动不称之为平移2、必须是沿同一个不变的方向移动3、图形平移是有平移的方向和距离决定的 知识点二、平移的性质 2、经过平移,,分别相等,对应点所连的线段. 【基础训练】 1.以下现象:①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行;③风车的转动,④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是()A.②③B、②④C.①②D.①④ 2、如下左图,△经过平移到△的位置,则下列说法:①∥,;②∠∠;③平移的方向是点C到点E的方向;④平移距离为线段的长. 其中说法正确的有() A.个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如下右图,在等边△中,D、E、F分别是边、、的中点,则△经过平移可以得到()A.△ B.△ C.△ D. △和△ 4.下列图形属于平移位置变换的是( ) . 5.下列图形中,是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6.如图,△平移后得到△A ′B ′C ′,线段与线段A ′B ′的位置关系是 . 7.在1题中,与线段′平行且相等的线段有 . 8、将长度为5 的线段向上平移10所得线段长度是 ( ) A 、10 B 、5 C 、0 D 、无法确定 9.如图,O 是正六边形的中心,下列图形中可由△平移得到的是( ? )A .△ B .△ C .△ D .△ 10.将面积为122的等腰直角△向右上方平移20,得到△,则△是 三角形,它的面积是 2. 11.如图7,四边形是由四边形平移得到的,已知5,∠70°,则( )A .5,∠70° B .5,∠70°C .5,∠70° D .5,∠70° 13、在图示的方格纸中(1)作出△关于对称的图形△A1B1C1;(2)说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的? 二、图形的旋转: A . B . C . D . A A ′ C ′ B ′ 学科教师辅导讲义 体系搭建 一、平移 1、平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置。 2、平移的性质:①一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行且相等; ②对应线段平行且相等,对应角相等。 3、平移作图的步骤与方法: 一般步骤:(1)分析题目要求,找出平移的方向和平移的距离; (2)分析所作的图形,找出构成图形的关键点; (3)沿一定的方向,按一定的距离平移各个关键点; (4)连接所作的各个关键点,并标上相应的字母; (5)写出结论。 平移作图的方法:“对应点连接法”和“全等图形法” 4、图形的坐标变化与平移: (1)纵坐标保持不变,横坐标分别加k ①当k为正数时,原图形形状、大小不变,向右平移k个单位长度; ②当k为负数时,原图形形状、大小不变,向左平移k个单位长度; 三、中心对称 1、两个图形形成中心对称的概念及性质 (1)概念:如果把一个图形绕着某一点旋转180?,他能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做它们的对称中心。 (2)两个图形形成中心对称的性质 ①成中心对称的两个图形中,对称点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分。 ②关于中心对称的两个图形之间的对应线段平行且相等或在同一条直线上且相等,对应角相等。 2、作成中心对称图形的一般步骤 (1)作出已知图形各顶点(或决定图形形状的关键点)关于中心的对称点——连接关键点和中心,并延长一倍确定关键点的对称点。 (2)把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来,则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形。 3、中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180?,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。 4、中心对称图形的性质 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 考点一:图形平移类的问题 例1、如图,将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移lcm后得到△DEF,则四边形ABFD的周长为()A.11cm B.12cm C.13cm D.14cm §3.1 生活中的平移 一、新知要点 (1)平移的概念(2)平移的特点(3)平移的基本性质 火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的,那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变? 哪些发生了变化?这种运动就叫做什么? 1.图形的平移 例1:下图中的图形A向右平移了6格得到图形A′ (1) 平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小。 (2)平移的特点: ①平移是指整个图形平行移动,包括图形的每一条线段,每一个点。经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。 ②平移不改变图形的形状、大小,方向,只改变图形的位置。 例2、观察下图△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。 (3) 平移的基本性质: 经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。 二、新知巩固(练习) 1.平移改变的是图形的() A 位置 B 大小 C 形状 D 位置、大小和形状 2.经过平移,对应点所连的线段() A 平行 B 相等 C 平行且相等 D 既不平行,又不相等 3.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是() A 不同的点移动的距离不同 B 既可能相同也可能不同 C 不同的点移动的距离相同 D 无法确定 4.如图,四边形ABCD平移后得到四边形EFGH, 填空(1)CD=______,(2)∠F=______ (3)HE= ,(4)∠D=_____, (5)DH=_________。 5.如图,若线段CD是由线段AB平移而得到的, 则线段CD、AB关系是__________. 6.试着做一做: (1)把图形向右平移7格后得到(2)把图形向左平移5格后到的图形涂上颜色。的图形涂上颜色。 图形的平移与旋转--知识讲解 【学习目标】 1、理解平移的概念,掌握图形的平移所具有的对应点的连线的特征,理解平移前后对应边角的关系,能按要求作出简单的平面图形平移后的图形; 2、掌握旋转的概念,探索它的基本性质,能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形; 3、掌握旋转对称图形、中心对称图形和中心对称的概念,理解他们的区别和联系,并会判别给出的图形是旋转对称图形还是中心对称图形; 4、会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形以及会画已知图形关于已知点成中心对称的图形. 【要点梳理】 要点一、平移的概念与性质 平移的概念 将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动,叫做图形的平移运动,简称为平移. 如图:平移三角形ABC 就可以得到三角形A′B′C′,点A和点A′,点B 和B′,点C 和点C′是对应点,线段AB和AB′,BC 和B′C′,AC 和A′C′是对应线段,∠A与∠A′,∠B与∠B′∠C与∠C′是对应角. 平移的性质 图形平移后,对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小相等. 图形平移后,图形的大小、形状都不变. 要点诠释: 1、平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离. 2、平移的两个要素:平移的方向和平移的距离. 要点二、旋转的概念与性质 旋转的概念 在平面内,将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心(如点O ),转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′). 如图:三角形A′B′C′是三角形ABC 绕点O 旋转所得,则点A和点A′,点B 和B′,点C 和点C′是对应点,线段AB和AB′,BC 和B′C′,AC 和A′C′是对应线段,∠A OA ′,∠BOB′,∠COC′是旋转角. 要点诠释:旋转的三个要素:旋转中心、旋转方向和旋转角度. 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′); (2)对应线段的长度相等(AB=AB′); (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠AOA′); 要点诠释: 1、图形绕某一点旋转,既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 2、旋转前后图形的大小和形状没有改变. 要点三、旋转的作图 在画旋转图形时,首先确定旋转中心,其次确定图形的关键点,再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度,然后连接对应的部分,形成相应的图形. 要点诠释: 作图的步骤: (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心; (2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角); (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点; O 《图形的平移与旋转》 【巩固练习】 一、选择题 1. 以下图形:平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、菱形,其中既是轴对称图形又是中心对称 图形的有(). A.4个 B.5个 C.6个 D.3个 2.有以下现象:①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动; ④传送带上瓶装饮料的移动,其中属于平移的是(). A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 3.(2015?番禺区一模)下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是() A. B. C. D. 4.如图,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形可由△OBC平移得到的是(). A.△OCD B.△OAB C.△OAF D.△OEF 5.如图,∠DOE为直角,如果△ABC关于OD的对称图形是△A′B′C′,△A′B′C′关于OE的对称图 形是△A″B″C″,则△ABC与△A″B″C″的关系是(). A.以∠DOE的平分线成轴对称; B.关于点O成中心对称 C.平移关系; D.不具备任何关系 第4题第5题第6题 6.如图所示,△ABC中,AC=5,中线AD=7,△EDC是由△ADB旋转180°所得,则AB边的取值范围是(). A.l<AB<29 B.4<AB<24 C.5<AB<19 D.9<AB<19 7. 下列变换中,哪一个是平移(). 8.如图所示,将一个含30°的直角三角板ABC绕点A选择,使得点B,A,C在同一条直线上,则三角板 ABC旋转的角度是 ( ). A.60° B.90° C.120° D.150° 二、填空题 9.某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥,若荷塘中小桥的总长为100米,则荷塘周长为. 10. 如图,AB⊥BC,AB=BC=2cm,弧OA与弧OC关于点O中心对称,则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是__________cm2. 11. 如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形纸,小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去,使AB 边和AD边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个最大的正方形,他的判定方法是________. 第10题第11题第12题 12. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=CE.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与 AC上的点B1重合,则AC= cm. 13.如图,把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°,得到Rt△AB’C’,点C’恰好落在边AB上,连接BB’, 则∠BB’C’= . 第13题第14题 小学数学教案:三年级上册(平移与旋转) 【导语】数学教案是为教学活动制定蓝图的过程。通过教案设计,教师可以对教学活动的基本过程有个整体的把握,可以根据教学情境的需要和教育对象的特点确定合理的教学目标,选择适当的教学方法、教学策略,采用科学合理有效的方法展开教学。以下是WTT整理的与(平移与旋转教案)相关的资料,希望对您有用! 教学目标: 1.结合实例及学生的生活经验,感知平移和旋转现象,能判断、区别这两种现象。 2.能在方格纸上数出一个简单图形沿水平或竖直方向平移的格数。 3.了解平移和旋转现象在生活中的应用,体会数学与生活的联系。 4.通过探索研究活动,发展学生的空间观念,培养学生的观察能力及合作意识。 教学准备:课件、实物投影,发给学生方格纸及长方形卡片。 教学过程: 一、情境导入 师:寒冷的冬天马上就要到了,为我们供暖的热电厂的工人叔叔们又要开始忙碌了。今天,就让我们随着小记者的镜头,一起走进威海热电厂去参观一下吧。请你仔细观察,在录象中能发现哪些正在运动的物体,它们又是怎样运动的?我们比比谁的眼睛最敏锐。 (课件演示:①师解说“瞧!汽车开进了大门”;②传送带“就是传送带上的这些黑黑的煤,为我们提供了一个冬天的温暖”;③换气扇“这是用来疏散车间热气的换气扇”;④升降机“这是他们正在兴建的职工家属楼”,最后画面静止) [评析:选取典型性的实例,并制作成动态的画面,既有助于学生初步感知平移与旋转现象,又激发了学生的学习兴趣,同时借助学生熟识的物体的运动,可唤醒学生的生活经验,为下面的教学做好准备。] 二、新授 1、模仿 师:谁来说说你的发现?看谁说的最多。(学生自由发言) 生:大门,升降机,汽车,传送带,换气扇。(同时师出示5张图片课件) (生每说一个运动的物体,都让学生用手比划一下,是怎么运动的。 师:刚才我们找到了这么多运动的物体,我们一起再来比划一下它们都是怎样运动的, 第三章图形的平移与旋转教案 3.1生活中的平移 教学目标: 知识目标:认识平移、理解平移的基本内涵;理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等的性质。 能力目标:①通过探究式的学习,培养学生的归纳总结与猜想的数学能力,培养学生的逆向思维能力。通过知识的拓展,培养学生的分析问题与解决问题的能力;②让学生经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象概括等过程;经历探索图形平移性质的过程,以及与他人合作交流的过程,进一步发展空间观念,增强审美意识。 情感目标:①在探究式的教学活动中,培养学生主动探索,勇于发现的科学精神;通过多种途径,培养学生细致、严谨、求实的学习习惯;渗透由特殊到一般,化未知为已知的辩证唯物主义思想;②引导学生观察生活中的图形运动变化现象,自己加以数学上的分析,进而形成正确的数学观,进一步丰富学生的数学活动经验和体验。有意识的培养学生积极的情感、态度,促进观察、分析、归纳、概括等一般能力及审美意识的发展;③通过自己动手设计图案,把所学知识加以实践应用,体会数学的实用价值。通过同学间的合作交流,培养学生的协作能力与学习的自主性。 教学重点:探究平移变换的基本要素,画简单图形的平移图。 教学难点:决定平移的两个主要因素。 教学过程设计: 一、引入并确定目标 展示与平移有关的图片,借助实物演示平移,用几何画板演示两个图形的平移。 学生分组讨论,如何将所看到的现象用简洁的语言叙述。 二、探究新知 分析平移定义,探讨“沿某一方向”的意义,其实质是沿直线运动。 学生讨论“沿某一方向”的意义。 展示图片,让学生讨论图中的运动各在那种情况下是平移,图中还有哪些图形可以通过平移得到。 学生分组讨论: (1)能否通过平移得到。 (2)能平移得到的其基本图形是什么?有哪些方法? 让学生列举生活中的平移实例,对理解有偏差的加以纠正。 展示静态图片,让学生观察图中具有特殊位置关系的线段,归纳猜想所能得到的结论;利用几何画板实验验证猜想。 小组同学讨论自己所能得到的结论。 第三章图形的平移与旋转复习要点 专点一:图形的平移 1.平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。平移是由移动的方向和距离决定的。 2.平移的性质: (1)平移不改变图形的形状和大小:即平移前后的线段相等,平移前后的三角形或多边形全等。 (2)平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等,对应角相等。 (3)平移后两图形的对应点所连的线段平行且相等。 专点二:图形的旋转 ` 1.旋转的定义:在平面内,将一个图形绕着一个定点沿着某个方向(顺时针或逆时针)旋转一定的角度,这样的图形运动成为旋转,这个定点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角。 2.旋转的性质: (1)旋转不改变图形的形状和大小:即旋转前后的图形是一组全等形。 (2)旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等,对应角相等。 (3)经过旋转,图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度。 (4)任意一对对应点与旋转中心的距离相等。 考点三、中心对称 ( 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。 2、性质 (1)关于中心对称的两个图形是全等形。 (2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。 (3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。 3、判定 ^ 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心。 考点四、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征:两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y) 2、关于x轴对称的点的特征:两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y) 3、关于y轴对称的点的特征:两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y) : 专点五:利用轴对称、旋转和平移作图 1.平移作图的一般步骤: (1)确定平移的方向和距离; (2)确定构成图形的关键点(线段两个端点,三角形三个顶点,n边形n 个顶点); (3)按照平移的方向和距离平移各个关键点; (4)顺次连接各个关键点的对应点,所得的图形就是平移后的图形。 2.旋转作图的一般步骤: * (1)确定旋转中心、旋转角及旋转方向; (2)确定原图形的关键点; (3)旋转个关键点,得到对应点; (4)依次连接各关键点的对应点,所得的图形就是旋转后的图形。 3.图形之间的变换关系: 在图形变换中,最常见的变换有轴对称、平移、旋转,它们都是把一个图形变成另外一个图形,并且这些变换都只是改变图形的位置,不改变图形的形状和大小。八年级下册图形的平移与旋转教案
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