专题一:数与式
一、考点难点
1.实数的有关概念
(1)有理数: 和 统称为有理数。 (2)有理数分类
①按定义分: ②按符号分:
有理数(
)
()0()()()(
)?????????
????????;有理数(
)()()
()()(
)
???????
????????
(3)相反数:只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数,
则 。
(4)数轴:规定了 、 和 的直线叫做数轴。 (5)倒数:乘积 的两个数互为倒数。若a (a≠0)的倒数为1
a
.则 。 (6)绝对值:
(7)无理数: 小数叫做无理数。 (8)实数: 和 统称为实数。 (9)实数和 的点一一对应。
2.实数的分类:实数
3.科学记数法、近似数和有效数字
(1)科学记数法:把一个数记成±a×10n
的形式(其中1≤a<10,n 是整数) (2)近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 (3)有效数字:从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫
做这个数字的有效数字。
二、典型例题
(
)(
)()(
)()
()()()()()()
(
)????????
?????????????????
?????????
?
?
????????
?
零
【题型1】实数的分类 例1、在实数
9,,2,0,3
2
π中,无理数有__________. 例2、写出一个比-1大的负有理数是_______;写出两个比-1大的负无理数是_______. 例3、在2,1,0,1-这四个数中,既不是正数也不是负数的是_____. 【巩固练习】
1、下列各数:
2
π
0.23,cos60°,227,0.30003……,1 )
A .2 个
B .3 个
C .4 个
D .5 个
2、下列各数中,最小的实数是( ) A .-3 B .-21 C .-2 D .3
1 3、在5,
3
2
,-1,0.001 这四个数中,小于0的数是( ) A .5 B .3
2 C .0.001 D .-1
4、在实数
5、3
7
)
A .5
B .3
7
C D
【题型2】 相反数、倒数、绝对值的概念 例1、-(-2)的相反数是( ) A .2 B .12 C .-1
2
D .-2 【巩固练习】
1、-3的相反数是( ) A.3 B.3 C.31 D.-3
1
2、无理数3-的相反数是( ) A .3- B .3 C .
3
1
D .3
1-
3、下列各数中,相反数等于5的数是( )
A .-5
B .5
C .-15
D .1
5
4、已知2a 与2 - a 互为相反数, 则a = _______________.
例2、3-的倒数为( ) A.3- B.3
1
C.3
D. 31-
【巩固练习】
1、 如果a 与1互为相反数,则│a │的倒数等于( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1
2、-113
的倒数是 . 例3、3
1
-
=( ) A .3 B .-3 C .3
1
D .31-
【巩固练习】
1、-3-= ( ) A .-3
B .-
1
3
C .
13
D .3
2、3π-= .
3、已知数a , b , c 在数轴上的对应点如图所示, 化简 b + | a +b | - | -c | - | b - c | = __________ . 【題型3】数轴及实数大小比较
例1、如图,点A ,B 在数轴上对应的实数分别为m,n ,则A ,B 间的距离是________(用含m,n 的式子表示).
例2、实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子中正确的有( ) 1)b+c>0 2)a+b>a+c 3)bc>ac 4)ab>ac
【巩固练习】
1、已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则以下式子正确的有:____________.
0)3(,1
1)
2(,0)1(23<-<->+ab a a
b a b a 2、 若0 , ,2 的大小关系是( ) A.x x x 12>> B. 21x x x >> C. x x x >>2 1 D.不 3、 若a 是整数,那么2 a ____a .(填>、<、<=、 >=) B b 0 a a O c b 4、如图所示,数轴上A 、B 两点分别对应实数a ,b ,则下列结论正确的是( ) A.a+b>0 B. ab>0 C.a-b>0 D.|a|-|b|>0 【題型4】科学记数法 例1、据新华社报道,2010年我国粮食产量将达到540 000 000 000千克,用科学记数法可表示为______千克. 例2、某种感冒病毒的直径是0.000 000 12米,用科学记数法表示为______米. 【巩固练习】 1、在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中,首次使用了我国科研人员自主研制的强度为84.610?帕的钢材,那么84.610?的原数为( ) A .4 600 000 B .46 000 000 C .460 000 000 D .4 600 000 000 2、测得某人的一根头发直径约为0.000 071 54米,这个数据用科学记数法表示为( ) A .7154×10-8米 B .7.154×10-5米 C .0.7154×10-4米 D .0.7154×10- 5米 3、2003年10月15日,航天英雄杨利伟乘坐“神舟五号”载人飞船,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.飞船绕地球飞行了十四圈后,返回舱与推进舱于16日5时59分分离,结束巡天飞行. 飞船共用了20小时49分10秒巡天飞行了约6×105千米,则“神舟五号”飞船巡天飞行的平均速度约为______千米/秒.(结果精确到0.1) 例3、由四舍五入法得到的近似数0.409,下列说法中正确的是( ) A.精确到百分位,有2个有效数字 B.精确到百分位,有3个有效数字 C.精确到千分位,有2个有效数字 D.精确到千分位,有3个有效数字 【巩固练习】 1、由四舍五入得到的近似数0.630,下列说法正确的是( ) A.精确到百分位,有2个有效数字 B .精确到千分位,有2个有效数字 C.精确到百分位,有3个有效数字 D. 精确到千分位,有3个有效数字 2、某种鲸的体重约为1.36×105kg .关于这个近似数,下列说法正确的是( ) A. 精确到百分位,有3个有效数字 B .精确到个位,有6个有效数字 C .精确到千位,有6个有效数字 D.精确到千位,有3个有效数字 3、用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值,其中错误的是( ) A .0.1(精确到0.1) B .0.05(精确到百分位) C .0.05(精确到千分位) D .0.050(精确到0.001) 4、下列四个数据,是精确数的是( ) A. 小莉班上有45人 B .某次地震中,伤亡10万人 C .小明测得数学书的长度为21.0厘米 D .吐鲁番盆地低于海平面大约155米 例4、 毕节试验区成立21年来,社会经济发展取得了显著成就,其中2008年全区粮食产量与1988年相比,净增了160.7万吨,四四舍五入法保留三个有效数字后,再用科学记数法表示应为____________. 【巩固练习】 1、据统计,2007年义乌中国小商品城市场全年成交额约为348.4亿元,连续第17次蝉联全国批发市场榜首.近似数348.4亿元的有效数字的个数是____________. 2、许多人由于粗心,经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断.根据测定,一般情况下一个水龙头“滴水”1个小时可以流掉3.5千克水,若1年按365天计算,这个水龙头1年可以流掉__________千克水.(用科学记数法表示,保留3个有效数字) 3、2012年是威海市实施校安全工程4年规划的收官年,截止4月底,全市已开工项目39个,投入资金4999万元,请将4999万用科学记数法表示(保留两个有效数字)____________. 4、将0.0006049保留两位有效数字并用科学记数法表示正确的是____________. 5、根据人民网-宁夏频道2012年1月18日报道,2011年宁夏地区生产总值为2060亿元,比上年增长12%,增速高于全国平均水平,2060亿元保留两个有效数字用科学记数法表示为____________. 【题型5】非负数的概念 三大非负数的归纳:0a ≥,2 0a ≥0(0)a ≥ 例1、若2a -与()2 3b +互为相反数,则a b 的值是( ) A.-6 B. 1 8 C.8 D.9 例2、 已知,,a b c 为实数,且20ax bx c ++=,22(3)0a c -+=,求2 410x x - 的值. 例3、若2a -与()2 3b +互为相反数,则a b 的值是( ) A.-6 B. 1 8 C.8 D.9 例42440y y -+=,求y x xy +的值. 例5:若x y z =++,求,,x y z 的值. 【巩固练习】 1、方程|xy|+|x-y+1|=0的图象是( ) C.三条直线:x=0,y=0,x-y+1=0 B .两条直线:x=0,x-y+1=0 C .一个点和一条直线:(0,0),x-y+1=0 D .两个点(0,1),(-1,0) 2、已知实数a 、b 、c 满足2|a+3|+4-b=0,c 2+4b-4c-12=0,则a+b+c 的值为________. 3、如果(y-3)2+|3x-2y|=0,那么(-y x )y 的值为________. 4、若|x+y-5|+ (xy-6)2=0,则x 2+y 2的值为________. 7、若2 1 204 x y z z -+-+ =,求x y z ++的值. 8、若222450a b a b +--+= . 92 2 124b b ++=,求11a b a b +++的值. 10、已知,,a b c 为实数,且2 2 52(2)a b a b ++=+,试求代数式a b -的值. 【題型6】实数混合运算中考点归纳 1(0)a a =≠ (0)n n a > (0)n n a -> 常考底数 a 特殊角三角函数 最简二次根式(分母有理化)…… (1) 计算:120100 (60)(1)|2(301)cos tan -÷-+-- 【巩固练习】 1. 计算:0 )2(2+- 2. 计算:() 1 21320108-? ?? ??--+ 3. 计算:1 02010)5 1 ()5(97)1(-+-?+---π 4. 计算:(1)2010 ×( 12 )-3+(sin58°- π2 )0+|3-4cos600 | 【題型7】找规律 (一)几何规律 考法1:一次,递加 例1、(2010年贵州毕节)搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②,图③ 的方式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要 根钢管. 考法2:二次,平方数,三角数 例1、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如: … 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.15 B.25 C.55 D.1225 例2、如图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第6个图案需要 枚棋子,摆第n 个图案需要 枚棋子. (二)代数规律 规律一:找循环 例1、观察下列算式: ,65613,21873,7293,2433,813,273,93,1387654321========,通过观察,用你 所发现的规律确定2002 3 的个位数字是( ) A.3 B.9 C.7 D.1 规律二:项与所在项的数的关系 例1、观察等式:①4219?=-,②64125?=-,③86149?=-…按照这种规律写出第 n 个等式: . 例2、观察下列单项式:a ,-2a 2 ,4a 3 ,-8a 4 ,16a 5 ,…,按此规律第n 个单项式是______.(n 是正整数) 例3、某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验;第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒,第4组取9粒,……按此规律,那么请你推测第n 组应该有种子数是 粒. 规律三:定义型 例1、我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数 (只有数码0和1),它们两者之间可以互相换算,如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应为: 5104212021)101(0122=++=?+?+?= 1121212021)1011(01232=?+?+?+?= 按此方式,将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________. 例2、(2010山东临沂) 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接受方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文 2,2,23,4a b b c c d d +++.例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 . 例3、(2010广东佛山)新知识一般有两类:第一类是不依赖于其他知识的新知识,如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识;第二类是在某些就只是的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识,大多数知识是这样的知识。 (1)多项式乘以多项式的法则,是第几类知识? (2)在多项式乘以多项式之前,你已拥有的有关知识是哪些?(写出三条即可) (3)请你用已拥有的有关知识,通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则时如何获得的?(用(a+b )(c+d )来说明) 例4、(2010四川巴中)符号“f ”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下: (1)f (1)=0,f (2) = 1,f (3)=2,f (4)= 3,…… (2)1 111()()()()2 3 4 5 2,3,4,5f f f f ====…… 利用以上规律计算:1(2010)()2010 f f -= 规律四:列项相消 例1、观察下列计算: 211211-=? 3121321-=? 4 131431-=? 51 41541-=? … … 从计算结果中找规律,利用规律计算+?+?+?+?5 41431321211…=?+201020091 。 例2、先观察下列等式: 111122=-? 1112323=-? 111 3434 =-? …… 则计算 111111223344556 ++++=????? . 例3、观察:12341111111 13243546 a a a a =-=-=-=-,,,,…,则n a = (n=1, 2,3,…). 例4、阅读下列材料: )210321(31 21??-??=?, )321432(31 32??-??=?, )432543(3 1 43??-??=?, 由以上三个等式相加,可得 .205433 1 433221=???= ?+?+? 读完以上材料,请你计算下列各题: (1)1110433221?++?+?+? (写出过程); (2))1(433221+?++?+?+?n n = ; (3)987543432321??++??+??+?? = . 规律五:叠加 例1、如图3,一个数表有7行7列,设ij a 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如:第5行第3列上的数537a =. 则(1)23225253()()a a a a -+-= ; (2)此数表中的四个数,,,np nk mp mk a a a a 满足()()np nk mk mp a a a a -+-= . 例2、古希腊数学家把数 ,21,15,10,6,3,1叫做三角数,它有一定的规律性.若把一个三角形数记为1a ,第二个三角形数记为 ,2a ,第n 个三角形数记为n a ,计算12a a -, ,,3423a a a a --,由此推算,=-99100a a ,=100a . 数与式专题 1 、计算: 4cos30 2、 计算:102tan30(2010)π--- 3、(π-3.14)0-|-3|+1 21-?? ? ??-(-1)2010 4 、 120100(60)(1)|2(301)cos tan -÷-+- 5、a a a a a -+-÷--2244)111(,其中1-=a 6、2293(1)69a a a a -÷-++,其中33-= a 7、22 11()a b a b ab --÷ 8、1 1 12122-÷+--x x x x ,其中x =2-1 9、x x x x x 24 44222+-÷??? ? ??-+,其中1-=x 10、a a a a a a 2422-? ?? ? ??+-- 11、23224 x x x x +-++- 12、 35 (2)482 y y y y -÷+--- 13、先化简211122x x x -? ?-÷ ?++?? ,再取一个你喜欢而又合适的数代人求值 14、先化简22 41 222x x x x x ??-? ?--+?? 再取一个你喜欢而又合适的数代人求值 15、先化简1121112-÷ ?? ? ??+-+-+x x x x x x 然后选取一个你喜欢的x 的值代入计算 16、先化简分式a 2-9a 2+6a +9 ÷a -3 a 2+3a - a -a 2 a 2-1 ,然后在0,1,2,3中选一个你认为合适的a 值,代入求值 17、先化简2 2 11 1x x x -??+÷ ??? ,再求值 18、先化简222 8224a a a a a a +-??+÷ ?--?? , 19、先化简: 222 2 2 a b ab b a a a b a ?? -+ ÷+ ? -?? ,当 1 b=-时,请你为a任选一个适当的数代入求值20、化简求值: 2 2 224 2 42 x x x x x x -- ?? ÷-- ? -+ ?? ,其中 2 x=+ (其中x是满足-2<x≤2的整数) 【课后作业】 一、选择题 1、2的相反数是() A、﹣2 B、2 C 、 D 、 2、2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延,我们应通过注意个人卫生加强防范.研究表明,甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m,用科学记数法表示这个数是() A、0.156×10﹣5 B、0.156×105 C、1.56×10﹣6 D、1.56×106 3、在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10﹣5cm,2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是() A、10﹣2cm B、10﹣1cm C、10﹣3cm D、10﹣4cm 4、若|x﹣ 2y|+=0,则xy的值为() A、8 B、2 C、5 D、﹣6 5、下列运算正确的是() A、2a+3b=5ab B、2(2a﹣b)=4a﹣b C、(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 D、(a+b)2=a2+b2 6、下面计算中正确的是() A 、B、(﹣1)﹣1=1 C、(﹣5)2010=52010 D、x2?x3=x6 7、下列式子运算正确的是() A、B、 C、D、 8、下列说法或运算正确的是() A、1.00×102有2个有效数字 B、(a﹣b)2=a2﹣b2 C、a2+a3=a5 D、a10÷a4=a6 9、要使式子有意义,a的取值范围是() A、a≠0 B、a>﹣2且a≠0 C、a>﹣2或a≠0 D、a≥﹣2且a≠0 10、数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为() A、6或﹣6 B、6 C、﹣6 D、3或﹣3 11、下列判断中,你认为正确的是() A、0的绝对值是0 B、是无理数 C、4的平方根是2 D、1的倒数是﹣1 12、如图,数轴上的点A表示的数为a,则等于() A、﹣ B、 C、﹣2 D、2 13、﹣是的() A、相反数 B、倒数 C、绝对值 D、算术平方根 14、分式的值为0,则() A、x=﹣1 B、x=1 C、x=±1 D、x=0 15、已知a﹣2b=﹣2,则4﹣2a+4b的值是() A、0 B、2 C、4 D、8 16、把代数式mx2﹣6mx+9m分解因式,下列结果中正确的是() A、m(x+3)2 B、m(x+3)(x﹣3) C、m(x﹣4)2 D、m(x﹣3)2 二、填空题 1、分解因式:﹣x3+2x2﹣x=_________. 2、分解因式:2a2﹣4a=_________. 3、要使分式有意义,则x须满足的条件为 4、要使二次根式在实数范围内有意义,则实数a的取值范围是 5、按照下面所示的操作步骤,若输入x的值为﹣2,则输出的值为_________. 6、若实数a满足a2﹣2a+1=0,则2a2﹣4a+5=_________. 7、若2a﹣b=2,则6+8a﹣4b=_________. 8、若x,y为实数,且,则(x+y)2010的值为_________. 9、随着通讯市场竞争的日益激烈,某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了a 元后,再次下调了25%,现在的收费标准是每分钟b元,由原收费标准每分钟为_________ 10、(2010?肇庆)观察下列单项式:a,﹣2a2,4a3,﹣8a4,16a5,…,按此规律第n个单项式是_________.(n是正整数). 11、(2010?荆门)观察下列计算: 从计算结果中找规律,利用规律性计算= _________. 12、观察分析下列数据,寻找规律:0,,,3,2,,3,…那么第10个数据应是_________. 13、观察等式:①9﹣1=2×4,②25﹣1=4×6,③49﹣1=6×8…按照这种规律写出第n个等式:_________. 14、如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,…,第n(n是正整数)个图案中由_________个基础图形组成. 三、解答题 1、计算:. 2、计算: 3、计算:|﹣|﹣+(π+4)0﹣sin30°+. 4、先化简,再求值:,其中. 5、先化简,再求值,其中a=2. 6、先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=﹣1. 7、已知.将它们组合成(A﹣B)÷C或A﹣B÷C的形式,请你从中任选一种进行计算,先化简,再求值其中x=3. 8、先化简,再求代数式的值:,其中. 9、代数式化简,再选择你喜欢且有意义的数代入求值.(+)÷+a﹣1.