数与式-

专题一：数与式

一、考点难点

1.实数的有关概念

(1)有理数: 和 统称为有理数。 (2)有理数分类

①按定义分: ②按符号分:

有理数(

)

()0()()()(

)?????????

????????；有理数(

)()()

()()(

)

???????

????????

（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a 、b 互为相反数，

则 。

（4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a （a≠0）的倒数为1

a

.则 。 （6）绝对值：

（7）无理数： 小数叫做无理数。 （8）实数： 和 统称为实数。 （9）实数和 的点一一对应。

2.实数的分类:实数

3.科学记数法、近似数和有效数字

（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n

的形式（其中1≤a<10，n 是整数） （2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫

做这个数字的有效数字。

二、典型例题

(

)(

)()(

)()

()()()()()()

(

)????????

?????????????????

?????????

?

?

????????

?

零

【题型1】实数的分类 例1、在实数

9,,2,0,3

2

π中，无理数有__________. 例2、写出一个比-1大的负有理数是_______；写出两个比-1大的负无理数是_______. 例3、在2,1,0,1-这四个数中，既不是正数也不是负数的是_____. 【巩固练习】

1、下列各数：

2

π

0.23，cos60°，227，0.30003……，1 )

A ．2 个

B ．3 个

C ．4 个

D ．5 个

2、下列各数中，最小的实数是（ ） A ．－3 B ．－21 C ．－2 D ．3

1 3、在5，

3

2

，-1,0．001 这四个数中，小于0的数是（ ） A ．5 B ．3

2 C ．0．001 D ．-1

4、在实数

5、3

7

）

A ．5

B ．3

7

C D

【题型2】 相反数、倒数、绝对值的概念 例1、-(-2)的相反数是（ ） A ．2 B ．12 C ．-1

2

D ．-2 【巩固练习】

1、－3的相反数是（ ） A.3 B.3 C.31 D.－3

1

2、无理数3-的相反数是（ ） A ．3- B ．3 C ．

3

1

D ．3

1-

3、下列各数中，相反数等于5的数是（ ）

A ．－5

B ．5

C ．－15

D ．1

5

4、已知2a 与2 - a 互为相反数, 则a = _______________.

例2、3-的倒数为（ ） A.3- B.3

1

C.3

D. 31-

【巩固练习】

1、 如果a 与1互为相反数，则│a │的倒数等于（ ） A.2 B.－2 C.1 D.－1

2、-113

的倒数是 . 例3、3

1

-

=（ ） A ．3 B ．－3 C ．3

1

D ．31-

【巩固练习】

1、－3-= （ ） A ．－3

B ．－

1

3

C ．

13

D ．3

2、3π-= .

3、已知数a , b , c 在数轴上的对应点如图所示, 化简 b + | a +b | - | -c | - | b - c | = __________ . 【題型3】数轴及实数大小比较

例1、如图，点A ，B 在数轴上对应的实数分别为m,n ，则A ，B 间的距离是________（用含m,n 的式子表示）.

例2、实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ） 1）b+c>0 2)a+b>a+c 3)bc>ac 4)ab>ac

【巩固练习】

1、已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则以下式子正确的有：____________.

0)3(,1

1)

2(,0)1(23<-<->+ab a a

b a b a 2、 若0

,

,2

的大小关系是（ ） A.x x x 12>> B. 21x x x >> C. x x x

>>2

1 D.不

3、 若a 是整数，那么2

a ____a .(填>、<、<=、

>=)

B

b 0 a

a

O c b

4、如图所示，数轴上A 、B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是（ ） A.a+b>0 B. ab>0 C.a-b>0 D.|a|-|b|>0

【題型4】科学记数法

例1、据新华社报道，2010年我国粮食产量将达到540 000 000 000千克，用科学记数法可表示为______千克．

例2、某种感冒病毒的直径是0.000 000 12米，用科学记数法表示为______米． 【巩固练习】

1、在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为84.610?帕的钢材，那么84.610?的原数为（ ）

A ．4 600 000

B ．46 000 000

C ．460 000 000

D ．4 600 000 000 2、测得某人的一根头发直径约为0．000 071 54米，这个数据用科学记数法表示为（ ）

A ．7154×10－8米

B ．7.154×10－5米

C ．0.7154×10－4米

D ．0.7154×10－

5米 3、2003年10月15日，航天英雄杨利伟乘坐“神舟五号”载人飞船，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行．飞船绕地球飞行了十四圈后，返回舱与推进舱于16日5时59分分离，结束巡天飞行． 飞船共用了20小时49分10秒巡天飞行了约6×105千米，则“神舟五号”飞船巡天飞行的平均速度约为______千米/秒．（结果精确到0.1）

例3、由四舍五入法得到的近似数0.409，下列说法中正确的是（ ） A.精确到百分位，有2个有效数字 B.精确到百分位，有3个有效数字 C.精确到千分位，有2个有效数字 D.精确到千分位，有3个有效数字

【巩固练习】

1、由四舍五入得到的近似数0.630，下列说法正确的是（ ）

A.精确到百分位，有2个有效数字 B ．精确到千分位，有2个有效数字 C.精确到百分位，有3个有效数字 D. 精确到千分位，有3个有效数字 2、某种鲸的体重约为1.36×105kg ．关于这个近似数，下列说法正确的是（ ） A. 精确到百分位，有3个有效数字 B ．精确到个位，有6个有效数字 C ．精确到千位，有6个有效数字 D.精确到千位，有3个有效数字 3、用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ） A ．0.1（精确到0.1） B ．0.05（精确到百分位） C ．0.05（精确到千分位） D ．0.050（精确到0.001） 4、下列四个数据，是精确数的是（ ）

A. 小莉班上有45人 B ．某次地震中，伤亡10万人

C ．小明测得数学书的长度为21.0厘米

D ．吐鲁番盆地低于海平面大约155米

例4、 毕节试验区成立21年来，社会经济发展取得了显著成就，其中2008年全区粮食产量与1988年相比，净增了160.7万吨，四四舍五入法保留三个有效数字后，再用科学记数法表示应为____________. 【巩固练习】

1、据统计，2007年义乌中国小商品城市场全年成交额约为348.4亿元，连续第17次蝉联全国批发市场榜首．近似数348.4亿元的有效数字的个数是____________.

2、许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断．根据测定，一般情况下一个水龙头“滴水”1个小时可以流掉3.5千克水，若1年按365天计算，这个水龙头1年可以流掉__________千克水．（用科学记数法表示，保留3个有效数字）

3、2012年是威海市实施校安全工程4年规划的收官年，截止4月底，全市已开工项目39个，投入资金4999万元，请将4999万用科学记数法表示（保留两个有效数字）____________.

4、将0.0006049保留两位有效数字并用科学记数法表示正确的是____________.

5、根据人民网-宁夏频道2012年1月18日报道，2011年宁夏地区生产总值为2060亿元，比上年增长12%，增速高于全国平均水平，2060亿元保留两个有效数字用科学记数法表示为____________.

【题型5】非负数的概念

三大非负数的归纳：0a ≥，2

0a ≥0(0)a ≥

例1、若2a -与()2

3b +互为相反数，则a

b 的值是（ ）

A.-6

B.

1

8

C.8

D.9

例2、 已知,,a b c 为实数，且20ax bx c ++=，22(3)0a c -+=，求2

410x x

-

的值.

例3、若2a -与()2

3b +互为相反数，则a

b 的值是（ ）

A.-6

B.

1

8

C.8

D.9

例42440y y -+=，求y

x xy +的值.

例5：若x y z =++，求,,x y z 的值.

【巩固练习】

1、方程|xy|+|x-y+1|=0的图象是（ ）

C.三条直线：x=0，y=0，x-y+1=0 B ．两条直线：x=0，x-y+1=0 C ．一个点和一条直线：（0，0），x-y+1=0 D ．两个点（0，1），（-1，0） 2、已知实数a 、b 、c 满足2|a+3|+4-b=0，c 2+4b-4c-12=0，则a+b+c 的值为________.

3、如果（y-3）2+|3x-2y|=0，那么（-y x ）y

的值为________. 4、若|x+y-5|+

（xy-6）2=0，则x 2+y 2的值为________.

7、若2

1

204

x y z z -+-+

=，求x y z ++的值.

8、若222450a b a b +--+=

.

92

2

124b b

++=，求11a b a b +++的值.

10、已知,,a b c 为实数，且2

2

52(2)a b a b ++=+，试求代数式a b -的值.

【題型6】实数混合运算中考点归纳

1(0)a a

=≠

(0)n

n a >

(0)n

n

a

-> 常考底数

a

特殊角三角函数

最简二次根式（分母有理化）……

（1） 计算：120100

(60)(1)|2(301)cos tan -÷-+--

【巩固练习】 1． 计算：0

)2(2+-

2．

计算：()

1

21320108-?

??

??--+

3． 计算：1

02010)5

1

()5(97)1(-+-?+---π

4． 计算：(1)2010

×( 12 )－3＋(sin58°－ π2

)0＋|3－4cos600

|

【題型7】找规律 （一）几何规律 考法1：一次，递加

例1、（2010年贵州毕节）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③

的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．

考法2：二次，平方数，三角数

例1、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

…

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

A.15

B.25

C.55

D.1225

例2、如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．

（二）代数规律 规律一：找循环 例1、观察下列算式：

,65613,21873,7293,2433,813,273,93,1387654321========，通过观察，用你

所发现的规律确定2002

3

的个位数字是（ ）

A.3

B.9

C.7

D.1 规律二：项与所在项的数的关系

例1、观察等式：①4219?=-，②64125?=-，③86149?=-…按照这种规律写出第

n 个等式： ．

例2、观察下列单项式：a ，－2a 2

，4a 3

，－8a 4

，16a 5

，…，按此规律第n 个单项式是______．(n 是正整数)

例3、某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，……按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数是 粒.

规律三：定义型

例1、我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数 （只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2, (1011)2换算成十进制数应为：

5104212021)101(0122=++=?+?+?= 1121212021)1011(01232=?+?+?+?=

按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_______________.

例2、（2010山东临沂） 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文

2,2,23,4a b b c c d d +++.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 .

例3、（2010广东佛山）新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些就只是的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识。 （1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？

（2）在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出三条即可）

（3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则时如何获得的?(用（a+b ）（c+d ）来说明)

例4、（2010四川巴中）符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f （1）=0，f (2) = 1，f （3）=2，f （4）= 3，…… （2）1

111()()()()2

3

4

5

2,3,4,5f

f f f ====……

利用以上规律计算：1(2010)()2010

f f -=

规律四：列项相消

例1、观察下列计算：

211211-=? 3121321-=? 4

131431-=?

51

41541-=? … … 从计算结果中找规律，利用规律计算+?+?+?+?5

41431321211…=?+201020091 。

例2、先观察下列等式：

111122=-? 1112323=-? 111

3434

=-? …… 则计算

111111223344556

++++=????? ． 例3、观察：12341111111

13243546

a a a a =-=-=-=-，，，，…，则n a = (n=1，

2，3，…). 例4、阅读下列材料：

)210321(31

21??-??=?，

)321432(31

32??-??=?，

)432543(3

1

43??-??=?，

由以上三个等式相加，可得

.205433

1

433221=???=

?+?+? 读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）1110433221?++?+?+? （写出过程）； （2）)1(433221+?++?+?+?n n = ； （3）987543432321??++??+??+?? = ．

规律五：叠加

例1、如图3，一个数表有7行7列，设ij a 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数537a =. 则（1）23225253()()a a a a -+-= ；

（2）此数表中的四个数,,,np nk mp mk a a a a 满足()()np nk mk mp a a a a -+-= .

例2、古希腊数学家把数 ,21,15,10,6,3,1叫做三角数，它有一定的规律性．若把一个三角形数记为1a ，第二个三角形数记为 ,2a ，第n 个三角形数记为n a ，计算12a a -，

,,3423a a a a --，由此推算，=-99100a a ，=100a ．

数与式专题

1

、计算：

4cos30

2、

计算：102tan30(2010)π---

3、(π－3.14)0－|－3|＋1

21-??

?

??－(－1)2010 4

、

120100(60)(1)|2(301)cos tan -÷-+-

5、a

a a a a -+-÷--2244)111(，其中1-=a

6、2293(1)69a a a a -÷-++，其中33-=

a

7、22

11()a b a b ab

--÷

8、1

1

12122-÷+--x x x x ，其中x =2-1

9、x x x x x 24

44222+-÷???

? ??-+，其中1-=x

10、a a a a a a

2422-?

??

? ??+-- 11、23224

x x

x x +-++-

12、

35

(2)482

y y y y -÷+---

13、先化简211122x x x -?

?-÷

?++??

，再取一个你喜欢而又合适的数代人求值

14、先化简22

41

222x x x x x

??-? ?--+?? 再取一个你喜欢而又合适的数代人求值

15、先化简1121112-÷

??

?

??+-+-+x x x x x x 然后选取一个你喜欢的x 的值代入计算

16、先化简分式a 2－9a 2＋6a ＋9 ÷a －3

a 2＋3a －

a －a 2

a 2－1

，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值

17、先化简2

2

11

1x x x -??+÷ ???

，再求值

18、先化简222

8224a a a a a a +-??+÷ ?--??

，

19、先化简：

222

2

2

a b ab b

a

a a

b a

??

-+

÷+

?

-??

，当

1

b=-时，请你为a任选一个适当的数代入求值20、化简求值：

2

2

224

2

42

x x x

x

x x

--

??

÷--

?

-+

??

，其中

2

x=+

（其中x是满足－2＜x≤2的整数）

【课后作业】

一、选择题

1、2的相反数是（）

A、﹣2

B、2

C 、

D 、

2、2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数是（）

A、0.156×10﹣5

B、0.156×105

C、1.56×10﹣6

D、1.56×106

3、在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10﹣5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是（）

A、10﹣2cm

B、10﹣1cm

C、10﹣3cm

D、10﹣4cm

4、若|x﹣

2y|+=0，则xy的值为（）

A、8

B、2

C、5

D、﹣6

5、下列运算正确的是（）

A、2a+3b=5ab

B、2（2a﹣b）=4a﹣b

C、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

D、（a+b）2=a2+b2

6、下面计算中正确的是（）

A 、B、（﹣1）﹣1=1

C、（﹣5）2010=52010

D、x2?x3=x6

7、下列式子运算正确的是（）

A、B、

C、D、

8、下列说法或运算正确的是（）

A、1.00×102有2个有效数字

B、（a﹣b）2=a2﹣b2

C、a2+a3=a5

D、a10÷a4=a6

9、要使式子有意义，a的取值范围是（）

A、a≠0

B、a＞﹣2且a≠0

C、a＞﹣2或a≠0

D、a≥﹣2且a≠0

10、数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为（）

A、6或﹣6

B、6

C、﹣6

D、3或﹣3

11、下列判断中，你认为正确的是（）

A、0的绝对值是0

B、是无理数

C、4的平方根是2

D、1的倒数是﹣1

12、如图，数轴上的点A表示的数为a，则等于（）

A、﹣

B、

C、﹣2

D、2

13、﹣是的（）

A、相反数

B、倒数

C、绝对值

D、算术平方根

14、分式的值为0，则（）

A、x=﹣1

B、x=1

C、x=±1

D、x=0

15、已知a﹣2b=﹣2，则4﹣2a+4b的值是（）

A、0

B、2

C、4

D、8

16、把代数式mx2﹣6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（）

A、m（x+3）2

B、m（x+3）（x﹣3）

C、m（x﹣4）2

D、m（x﹣3）2

二、填空题

1、分解因式：﹣x3+2x2﹣x=_________．

2、分解因式：2a2﹣4a=_________．

3、要使分式有意义，则x须满足的条件为

4、要使二次根式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是

5、按照下面所示的操作步骤，若输入x的值为﹣2，则输出的值为_________．

6、若实数a满足a2﹣2a+1=0，则2a2﹣4a+5=_________．

7、若2a﹣b=2，则6+8a﹣4b=_________．

8、若x，y为实数，且，则（x+y）2010的值为_________．

9、随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费标准按原标准每分钟降低了a 元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，由原收费标准每分钟为_________ 10、（2010?肇庆）观察下列单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，16a5，…，按此规律第n个单项式是_________．（n是正整数）．

11、（2010?荆门）观察下列计算：

从计算结果中找规律，利用规律性计算=

_________．

12、观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，…那么第10个数据应是_________．

13、观察等式：①9﹣1=2×4，②25﹣1=4×6，③49﹣1=6×8…按照这种规律写出第n个等式：_________．

14、如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由_________个基础图形组成．

三、解答题

1、计算：．

2、计算：

3、计算：|﹣|﹣+（π+4）0﹣sin30°+．

4、先化简，再求值：，其中．

5、先化简，再求值，其中a=2．

6、先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．

7、已知．将它们组合成（A﹣B）÷C或A﹣B÷C的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中x=3．

8、先化简，再求代数式的值：，其中．

9、代数式化简，再选择你喜欢且有意义的数代入求值．（+）÷+a﹣1．