![覃冰勾股定理复习导学案_(1)[1]](https://img.doczj.com/img05/05jd3ramtgr8c96iny4-51.webp)
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勾股定理及逆定理复习（1）
一、掌握勾股定理和勾股定理的逆定理及有关问题。 二、学习目标
1、掌握勾股定理及逆定理，理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
2、进一步熟练掌握勾股定理及逆定理的应用。
3、在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。 三、重点难点
重点：勾股定理及逆定理的应用 难点：灵活应用勾股定理及逆定理。
四、学法指导: 在反思本章单元知识结构的过程，通过练习进一步理解和领会勾股定理和逆定理。
五、知识链接：勾股定理及逆定理 六、学习过程
（一）本章知识结构图
（二）本章相关知识
1. 勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 。
A
直角三角形 a 2
+b 2
=c 2
(数) （形） C B
公式的变形：（1）c 2= , c= ;
（2）a 2= , a= ; （3）b 2= , b= ;
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是 ． A a 2
+b 2
=c 2
(数) 直角三角形 （形）
注：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；
（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．
实际问题（直角三角形边长计算） 勾股定理的逆定理
勾股定理
实际问题（判定直角三角形）
B C
利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：①先判断哪条边最大； ②
分别用代数法计算 a 2+b 2 和c 2 的值； ③判断a 2+b 2和 c 2
是否相等。 若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 2、勾股数
满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 3、勾股定理的验证 4.互逆命题和互逆定理
互逆命题 两个命题中，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 互逆定理 一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个 ，称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理. 5、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）
（三）考点剖析
考点1：在直角三角形中，已知两边求第三边
1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做 cm .
2、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．
（提示：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch 考点2：勾股定理与方程联手求线段的长（方程思想） 1、如图 ，将一个边长为4、8的长方形纸片ABCD 折叠使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、5
2、如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，试求CD 的长。
3、如图，四边形ABCD 是长方形，把 △ACD 沿AC 折叠到△ACD ／
,△ACD ／与BC 交于E,若AD=4，CD=3，求BE 的长.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
D
/
4、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
考点3：用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形
1.若一个三角形的周长 123cm ，一边长为33cm ，其他两边之差为3cm ，则这个三角形是 .
2、若△ABC 的三边为a 、b 、c 满足a ：b ：c=1：1：2，则△ABC 的形状为 。
3.若△ABC 的三边a ，b ，c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c,试判定△ABC 的形状．
4．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 4
1
，
求证：AF ⊥FE ．(点拨：要证AF ⊥EF ，需证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF 2+EF 2=AF 2就可以了．）
考点4：规律探索型问题
1、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如上图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、
2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S
3、S 4，则S 1＋S 2
＋S 3＋S 4＝_______．
l
3
21S 4S 3S 2S 1
A D E
B C
2、如图，是一种“羊头”形图案，其做法是从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角三角形为边，分别向外作正方形2、3……，依次类推，若正方形7的边长为1cm ，则正方形1的边长为 。
勾股定理及逆定理复习（2）
一、（1）课标考纲解读：掌握勾股定理和勾股定理的逆定理及有关问题。
（2）状元学习方案：合作交流，共同进步 二、学习目标
1、掌握勾股定理有关的证明及距离最短等问题。
2、熟练掌握勾股定理及逆定理的实际应用。
3、在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。 三、重点难点
重点：勾股定理及定理的应用 难点：灵活应用勾股定理及逆定理。 四、学法指导: 讨论、合作交流
五、知识链接：勾股定理及逆定理
六、学习过程 考点剖析
考点1：勾股定理在几何中的应用
1、如图，已知Rt △ABC 的周长为4+32，斜边AB 的长为23,则Rt △ABC 的面积是 。
2、如图，已知 AB=5，AC=3，边BC 上中线AD=2，则BC= .
3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。
（分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。）
4.如图1-3-5所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．
A D C
B 图1-3-5 A
B
C
D
E
A
B
C
D
A B
C
考点2:与勾股定理有关的证明
1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，求证：AB 2-AP 2
=BP.PC
2．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，，且CD 2=AD ·BD 。求证：△ABC 是直角三角形。
3、如图，已知：等腰直角△ABC 中，P 为斜边BC 上的任一点.求证：PB 2＋PC 2＝2PA 2 .
4、如图，已知CD ⊥AB ，AC 2=AD ·AB ，求证：CD 2=AD ·BD.
考点3：分类讨论思想
1、已知直角三角形的两边长为6、8，则另一条边长是 。
2、（09年山东滨州）已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高，AD ＝8，则边BC 的长为（ ） A ．21 B ．15 C ．9 D ．以上答案都不对
3、已知a 、b 、c 为 △ABC 的三边，且满足a 2
c 2
-b 2
c 2
=a 4
-b 4
,试判断△ABC 的形状。
考点4：与展开图有关的计算
B A C
D A
B C P B A C
D
A
B
C
P
(一)台阶中的最值问题
1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
A
B
2、如图所示，在一个高BC 为6m ，长AC 为10m ，宽为2.5m 的楼梯表面铺设地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出铺设地毯至少需要花费多少钱吗？
(二)圆柱(锥)中的最值问题
1、如图，有一个高为4cm ，底面直径为6cm 的圆锥，现有一只蚂蚁在圆锥的顶部A ，它想吃到圆锥底部B 的食物，蚂蚁需爬行的最短路线是多少？ A
B
O
2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ B C B
A A
（三）正方体中的最值问题
如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B
的最短距离是（ ）. （A ）3 （B ） 5 （C ）2 （D ）1 （四）长方体中的最值问题
1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
C B
A
2、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
考点5：勾股定理的实际应用
3、如图，公路MN和公路PQ在点P交汇，且QPN=300，点A处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度是18km/h，那么学校受影响的时间是多少？
总结与反思
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE
＝102求AB 的长．
5．如图，一个梯子AB 长10米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为6米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为2米，求梯子顶端A 下落了多少米？
E 、距离最短
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
1、如图，一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边的检测仪的正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪的距离为50m ，问这辆小汽车是否超速了？（小汽车在城市公路上行驶的速度不得超过70km/h ）
B C
A(检测仪)
2．某日早5点，甲、乙两艘轮船同时从同一港口出发，甲以30海里／小时向北偏东45°航行，乙以15海里／小时向北偏西45°航行，问早7点时两船的距离是多少？
E
C
D
B A 20
《勾股定理》复习学案 ★知识汇总 1．勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为： 方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为： 方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ， 化简过程为： 2.面积问题： ⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系 是 小练习： 1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。 2.如图2，①若S 1=2π S 3= 258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=3 2 π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。 3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。 4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。 5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为 。 3．勾股定理的逆定理 内容：如果三角形三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 4. 勾股数 条件：①满足a 2+b 2=c 2；②a,b,c 为三个正整数，则a,b,c 为一组勾股数。 请写出一些常见的勾股数（至少写出5组）： 5.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边：在ABC ?中，90C ∠=?，则c 2=a 2+b 2，b 2=c 2-a 2，a 2=c 2-b 2 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ④在空间图形中求不在同一平面上两点的距离，需要将立体图形展开，使两点放入同一平面内，然后用勾股定理计算。 ★练习题 一. 选择题 1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为（ ） A 、10 B 、12 C 、15 D 、20 3.下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2 C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2 ＋b 2 ＝c 2 D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2 4.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A ． 2倍 B ． 4倍 C ． 6倍 D ． 8倍 5.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）. A. 50元 B. 600元 C. 1200元 D. 1500元 图4 图5
A B 17.1.1 《勾股定理》第一课时导学案 学习目标：1、了解多种方法验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性。 2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算。 学习过程： 活动一 动手做一做 1、在右边空白处画出Rt△A B C 令∠C = 90°， 直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ， （1）用刻度尺量出斜边A B = ________（2）计算：__________,_____,222===AB BC AC 2、探究：222,,AB BC AC 之间的关系： 活动二 毕达哥拉斯的发现 1、图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ， 则三个正方形面积之间的关系：_______________ 2、设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ， 斜边为c ，则图中等腰直角三角形三边长度 之间的关系：_____________________ 活动三 探索与猜想 观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1) （1）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流一下。 （2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________ 活动四 认识赵爽弦图 活动五 证明猜想 已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个两直角边分别为a 、b ， 斜边为c 全等的直角三角形， 求证： 222 a b c +=（提示：大正小正＝S S S Rt +?4） 证明：
勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ 归纳直角三角形的主要性质： 在Rt △A B C 中，∠C = 90°， （1）两锐角的关系：∠ A + ∠ B = _____° （2）斜边与直角边的关系：若∠A = 30°，则 ________________ （3）三边之间的关系：______________________ 活动六 活学活用 1、如右图，在直角三角形中， x ＝______，y ＝______ 2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。 (注：下列各图中的三角形均为直角三角形) 3、在Rt △A B C 中，∠C = 90°, （1）若a = 2，b = 3, 则c = _______ （2）若a = 1，c = 2, 则b = _______ （3）若c = 5，b = 4, 则a = _______ 4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________ 5、（1）在Rt △A B C 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 4， 则BC = _______, 则AC = _______ （2）在Rt △A B C 中，∠A = 90°，BC = 7，AC = 5，则 AB = _________ x 8 6 13 5 y A B C
勾股定理全章复习 主备人: 审核人：初二数学组 课型:新授 学习目标：复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角 三角形. 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用。 学习难点：利用定理解决实际问题。 学习过程 一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，ο 90=∠C ，则 。 公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： =b ，=c . (1)在Rt ABC ?中，若ο 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ?中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt AB C ?中，若ο 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c . 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。 例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点． 三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。 例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A ．12，15，17 B ．9，16，25 C ．5a ，12a ，13a （a>0） D ．2，3，4 2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ； 9 15 b 24 c
课题名称：勾股定理 (1 ) 学习目标： 1 ?了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2. 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。了解我国古代在勾股定 理研究方面所取得的成就。 学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。 自助探究 1. 1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当 时采用的会徽.你知道这个图案的名字吗？你知道它的背景吗？你知道为什么会 用它作为会徽吗？ 量关系.请同学们也观察一 下， 2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥/ 么？ 拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺' 成的地面中反映了直角三角形三边的某种数 (1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系； (2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系. 结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和 3、等腰直角三角形有上述性质， 其它直角三角形也有这个性质吗？ 4、____________________________________________________ 猜想：命题1 自助提升 1、定理证明 (1) 赵爽利用弦图证明。 显然4个_________ 的面积+中间小正方形的面积二该图案的面积. 1 22 即4 X X _______ +〔〕= c ,化简后得到___________ . ________ 2 (2) 其他证明方法：教材72页思考讨论完成 2、在Rt△ ABC中，/ C=90°,AB=17,BC=8,求AC 的长 3、Rt△ ABC和以AB为边的正方形ABEF,/ ACB=90° AC=12，BC=5,则正方形的面积是________ . 4、(1)已知Rt△ ABC 中，/ C=90 ° BC=6，AC=8，求AB. (2) 已知Rt△ ABC 中，/ A=90 ° AB=5，BC=6，求AC. (3) 已知Rt△ ABC 中，/ B=90 ° a，b，c 分别是/ A，/ B， / C的对 A F i片i C B
学习目标：勾股定理及其逆定理的内容及应用 掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 麟游县 3月28日（星期三） 上课 时间 共课时，第课时 本期总计第 课时 主 要 导 学 过 程 学习 目标 核心 问题 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用 学习难点：勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及逆定理的综合应用。 导学 准备 问题导读评价单 问题解决、训练评 价 单，三角板
板书设计 教后反思
《勾股定理复习》问题导读一评价单 班级：八年级（）组名: 姓名： 复习内容：勾股定理及其逆定理的内容及应用 学习目标：掌握勾股定理及其逆定理的内容，会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 设计者：李敏何俊锋 学习重点：勾股定理及其逆定理的应用 学习难点：勾股定理及其逆定理的应用 问题导读: 自助探究：一.知识梳理: 1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ___ a 、b ，斜边长为C ，那么 . 2. __________________________________________________ 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形就是直角三角形 ____________________________________________ . 3. __________________ 互逆命题：把 和 正好相反的两个命题叫做互逆命题 .如果把其中一个叫做原命题 ______________ ，那么另一个 叫做它的 __________ . 4. 逆定理:一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是 为 ____________ . 5. _______________________________________ 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个 二.课前热身 ，称为勾股数. ，它也 是一个定 理，我们称 这两个定理互 1. 若一个三角形的三边长为 6,8，x ，则使此三角形是直角三角形的 x 的值是（ ）. C. ^/28 D.10 或血8 3 2. 一次函数y =-X +3的图象与坐标轴交于 A ，B 两点，则A ，B 两点的距离是（ 4 A.3 B.4 C. 5 D.6 3 .小东拿着一根长竹杆进一个宽为 3米的城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿， 斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，问竹杆长 _______________ 米. 4 .已知圆柱的底面半径为 6cm ，高为10cm ，蚂蚁从A 点爬到B 点的 最短路程是 __________ c m. 5.一架云梯长25米.如图所示，斜靠在一面墙上 方向滑动 . 考点一、已知两边求第三边 例 1.已知，如图在 A ABC 中, AB=BC=CA=2cm 的面积. A.8 B.10 结果竹杆比城门高1米.当他把竹杆 ，梯子的底部离墙7米,如果梯子的顶端下滑 4米，那么梯子的底部在水平 B AD 是边BC 上的高.求①AD 的长；?AABC 练习一 1?已知直角三角形的两边长为 3、2,则另一条边长 ___________________________ . 2. （2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图 4所示，其中AB =4米，N BAC =30° , Z C =90°,因某种活动要求铺 设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ________________ . 3?在数轴上作出表示 <10 的点. 4.三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线 AD=8,求BC 自我评价: 学科长评价: 教师评价:
E C D B A 勾股定理 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。 勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是 三角形。 （且∠ =90°） 2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。 常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。（记忆 11～30二十个数的平方值） 3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。 题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。 例1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,第三边得长为________ 例2、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，求△ABC 的周长为_________ 课堂训练 1.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 2、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 。 3、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________， 面积是_________。 4..如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时 梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置 上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 题型二 勾股定理逆定理的应用 如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c ）； ② 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 ③ 若2 c =2 2b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形； 若2c ≠2 2b a +，则△ABC 不是直角三角形。 例1、如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ． 例2、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF=4 1 CD ． 求证：△AEF 是直角三角形．
勾股定理 1 勾股定理（一） 学习目标： 1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的容，会用面积法证明勾股定理。 2. 利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。 学习重点：探索和验证勾股定理。 学习难点：证明勾股定理。 导学流程： 一、 自主学习 前置学习： 自学指导：阅读教材第64至66页，完成下列问题。 1. 教材第64至65页思考及探究。 2. 画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。（勾3，股4，弦5）。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现23+24与25的关系，25+212和2 13的关系，即23+24_____25，25+212_____213，那么就有____2+____2=____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a 、b ， 斜边为c ，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 。 二、展示成果 活动1 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。求证：222a b c +=。 证明：如爽弦图， 思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗？ 活动2 如果将活动1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？ 知识点归纳： 上述问题可视为命题1的证明 命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ， 斜边为c ，那么 。 总结：经过证明被确认正确的命题叫 。 命题1在我国称为 ，而在西方称为 。 三、合作探究 活动3 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 （1）a = 。（已知c 、b ，求a ） （2）b = 。（已知a 、c ，求b ） （3）c = 。（已知a 、b ，求c ） 活动4 △ABC 的三边a 、b 、c ， （1）若满足222a b c +=，则∠C 是 角； （2）若满足222a b c +>，则∠C 是 角； （3）若满足222a b c +<，则∠C 是 角。 四、当堂自测 基础训练： 1. 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，若=5a ，=12b ，则=c 。 2. 在直角三角形ABC 中，若=3a ，=5b ，则=c 。 3. 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2倍，则其斜边扩大到原来的 。 4. 在ABC ?中，90C ∠=?． b b
年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间： 勾股定理 知识梳理 1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 3．满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。 4．勾股定理的应用: ①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离； ②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。 5．直角三角形的判别： ①定义，判断一个三角形中有一个角是直角； ②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。 6．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。 精讲点拨 考点1. 勾股定理 【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 变式1 在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________ 变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边， （1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
考点2. 勾股定理的证明 【例2】如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2 2 2 a b c += 变式 如图：由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形，求证：2 2 2 a b c += 考点3 勾股定理的应用 【例3】 如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？ 变式1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
7.2 勾股定理 【学习目标】 1.经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，获得数学活动的经验； 2.掌握勾股定理，会用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题。 【课前预习】预习课本第43－46页内容 任务一：阅读教材内容，思考并总结本节课学习的主要内容有哪几个，写在下面的横线上：任务二：阅读课本43页实验与探究的内容，解决下列问题。 1.图②是形，边长是；面积是； 图③是形，边长是；面积是。 2.在图②中图形I是形，边长是，面积是； 图形II是形，边长是，面积是。 在图③中图形III是形，边长是，面积是。3.在图②中图形I和图形II的面积和是，还可以表示为； 在图③中图形III面积还可以表示为。 由此可以得到。 任务三：勾股定理 4.怎样用自然语言叙述勾股定理？ 5.怎样用数学语言叙述勾股定理？ 6.你还有其他方法去证明勾股定理吗？试一试！ 任务四：阅读课本44页例题1、例2，不看课本的解答自己在下面独立做一遍。 例1解： 例2解： 【课中探究】 问题一：勾股定理的证明 1.简要叙述实验与探究中给出的验证方法 2.简要叙述挑战自我中给出的验证方法 3.简要叙述史海漫游中给出的验证方法 问题二：勾股定理的叙述 4.自然语言叙述 5.数学语言叙述 问题三：勾股定理的运用 6.例1 7.例2 问题四：巩固练习 8.独立完成课后练习第1题 9.独立完成课后练习第2题 【当堂检测】 解答下列各题（每小题5分）
1.已知一个直角三角形的两边分别是3和4，试求第三边的平方。 2.在Rt △ABC 中，∠C=90° （1）若a=5, b=12， 求c 的值。 （2）若a=6， c =10, 求b 的值。 （3）若b=15, c =25，求a 的值。 3.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了多少步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 4.如图，AB 是电线杆的拉线，从距地面15米高的B 出向离电线杆8米的A 处埋拉线，并埋入地下2米深，求拉 线长是多少米？ 【课后巩固】 1.（2013?黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ） A ． 5 B ． C ． D ． 5或 2.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？ 3.如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米. （1）这个梯子底端离墙有多少米？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ 4.如右图中图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 是多少？ B A C
专题复习一 勾股定理 第一课时 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为: 。 ２、勾股数:满足a 2＋ｂ2=c 2的三个 ,称为勾股数。 常见勾股数如下： 3121112=; 144122=; 169132=； 196142=; 225152=;256162= 289172=； 324182=; 361192=； 400202=;441212=； 484222= 529232=; 576242=; 625252=； 676262=;729272= 专题归类： 专题一、勾股定理与面积 1、、在Ｒt ▲A ＢＣ中，∠C=?90,ａ＝5,c ＝３.，则Rt ▲ＡBC 的面积 S= 。 ２、一个直角三角形周长为12米,斜边长为5米,则这个三角形的面积为： 。 3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若ａ和 c 的面积分别为5和11，则b 的面积为 4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别 是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是Ｓ1、Ｓ２、S ３、S 4， 则S 1+S 2＋S 3＋S 4等于 。 l 3 2 1 S 4 S 3 S 2 S 1
5、三条边分别是５，12，13的三角形的面积是 。 ６、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+ｃ2＋５0=６a+８b+10c ，则这个三角形的面积为 。 ７、如图1，?=∠90ACB ，BC ＝8，AB=1０，CD 是斜边的高，求ＣD 的长？ 7、如下图,在?AB Ｃ中,?=∠90ABC ，AB=8ｃｍ,ＢC=１５cm ，Ｐ是到?AB Ｃ三边距离相等的点，求点P 到?A ＢＣ三边的距离。 8、有一块土地形状如图3所示,?=∠=∠90D B ，AB=2０米，BC=１５米，CD=7 米,请计算这块土地的面积。(添加辅助线构造直角三角形) 9、如右图:在四边形A ＢＣD 中，ＡB ＝2，ＣD=1,∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。 A B C P
勾股定理复习学案 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：;____________________________________________________________________________也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么_____________________________。 公式的变形：a2 = _________， b2= ____________。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足______________，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。 常用的勾股数组有:______________________________________________________________________ 注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。 ②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 三、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 例1：求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 例2.如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形、半圆、等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，试探索S1、S2、S3之间的关系．
练习： 例1.如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为 _________________________________. 例2.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=_________． 考点二：在三角形中，已知两边或三边长，求各边上的高。 例1.已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高． 例2.已知等腰三角形等腰中， ，若 ，求各边上的高. 例3.已知 中，AB=15，AC=13，BC=14，求各边上的高。 【强化训练】： 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是____________ （结论：直角三角形的两条直角边的积等于____________________ 3.已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为_______________ 考点三、图形的折叠问题 例：折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。. 对应练习：如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平， 设折痕为EF 。试确定重叠部分△AEF 的面积 A B C E F D
课题：18.1勾股定理（第1课时） 一、学习目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 三、学习准备： 预习课本P22———24页 四、课堂阅读 1. 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地 球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 2.让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，那么就有 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°， ∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 A B b b
勾股定理复习课导学案 学习目标： 1、记住勾股定理和逆定理的内容。 2、熟练掌握常见的勾股数。 3、会运用勾股定理及逆定理解决问题。 学习过程： 一、复习回顾： 1.自主梳理 （1）、勾股定 理：。（2 ）、勾股定理的逆定 理： . (3)、满足的三个正整数，称为勾股数。例 如：。 2.点对点应用训练 （1）在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长的平方为______． （2）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是______________．（3）一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。 （4）分别以下列四组数为一个三角形的边长：3、4、5；5、12、13；8、15、17； 4、5、6，其中能够成直角三角形的有 （5）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a:b:c=8∶16∶17B．a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c)D．a:b:c=13∶5∶12 （6）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆 柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短 B 的路线长是（） A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10 c A 二、例题研究 例1、如图己知求四边形ABCD的面积 例2、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. π 6 π 13 , 12 ,4 ,3 ,= = = = ⊥AD CD BC AB BC AB
三、巩固练习 1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ） A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10 2．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的 周长为（ ） A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 3．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能 5． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ； （2）b=8，c=17 ，则= 6．已知两条线段的长为5cm 和12c m,当第三条线段长的平方为 c m 时, 这三条线段能组成一个直角三角形. 7. 在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________ 8．等腰三角形的周长是16c m,底边长是6c m,则底边上的高是____________ 9.在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c= 10.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_________．https://www.doczj.com/doc/066289799.html, 11.如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm 12.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （取3） ABC S ?2cm 2cm 2cm πA B 6 8
卓越教育教案专用 学生姓名授课时间：授课科目：数学 教学课题勾股定理知识点解析（二） 重点、难点能准确证明勾股定理，并能将以灵活运用。 教师姓名年级：初二课型:复习课 一、作业检查 作业完成情况：优□良□中□差□ 二、课前回顾 对上次家庭作业进行检查并评讲 三、知识整理 知识点1.勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2＝c2） 注意：○1勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。○2应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90时，a2＝b2 +c2 ；当∠B=90时，b2＝a2 +c2 例1．（1）如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=5，BC=12，求AB的长； （2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=25，AC=20，求BC的长 （3）在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，求AB2的值 A C B 图1 C B A 图2
知识点2.勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。 思路： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可 证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 知识点3.直角三角形的判别条件 （1）如果三角形的三边长啊a ，b ，c ，满足a 2+b 2＝c 2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 注意：○1在判别一个三角式是不是直角三角形时，a 2+b 2是否等于c2时需通过计算说明，不能直接写成a 2+b 2＝c 2。○2验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：（较小边长）+(较长边长)=（最大边长）时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形. 例1. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b
《17.1勾股定理》导学案（1） 【学习目标】：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。学习重点：勾股定理的内容及证明。学习难点：勾股定理的证明。学习过程 一、自学导航（课前预习）1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （ 2）若 D 为斜边中点，则斜边中线 （3）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： 2、勾股定理证明：方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边为a 、b 、c 。求证：a 2＋b 2=c 2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边S=______________ 右边S=_______________左边和右边面积相等， 即： 化简可得 。 二、合作交流（小组互助）思考： A b
（图中每个小方格代表一个单位面积） （2）你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？ 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么__________________ _____________________________________________________________________。 （3）展示提升（质疑点拨） 1.在Rt △ABC 中， ，90C ∠=?（1）如果a=3，b=4，则c=________；（2）如果a=6，b=8，则c=________； （3）如果a=5，b=12，则c=________； (4) 如果a=15，b=20，则c=________.2、下列说法正确的是（ ） A.若、、是△ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=B.若、、是Rt △ABC 的三边，则a b c 222 a b c +=C.若、、是Rt △ABC 的三边，， 则a b c 90A ∠=?2 a +D.若、、是Rt △ABC 的三边， ，则a b c 90C ∠=?2a +3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________． 5、一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm,则第三边的长为 。 三、本节课我们学习了哪些知识？用了哪些方法？ 四、达标检测 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则
教师寄语 在快乐中成长，在耕耘中收获！ 教学目标复习勾股定理及其逆定理，能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形. 教学重点 勾股定理及其逆定理的应用。 教学难点 利用定理解决实际问题。 学习模式 小组合作 分层达标 课堂结构流程 个人修订意见 【创设情境 导入新课】 一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边 1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ， 90=∠C ，则 。 公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度： =b ，=c . (1)在Rt ABC ?中，若 90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c . (2)在Rt ABC ?中，若o B 90=∠，9=a ，41=b ，则=c . (3)在Rt ABC ?中，若 90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c . 【自主学习 分层整理】 二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。 例2：在数轴上画出表示5的点. 在数轴上作出表示10的点． 三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。 例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。 1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A ．12，15，17 B ．9，16，25 C ．5a ，12a ，13a （a>0） D ．2，3，4 2、判断由下列各组线段a ，b ，c 的长，能组成的三角形是不是直角三角形，说明理由. （1）5.6=a ，5.7=b ，4=c ； （2）11=a ，60=b ，61=c ； （3）38=a ，2=b ，310=a ； （4）433=a ，2=b ，4 14=c ； 【合作探究 高效展示】 四、知识要点4：利用列方程求线段的长 例4：如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，C B ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处 如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离． 五、知识要点5：构造直角三角形解决实际问题 例5：如图，小明想知道学校旗杆AB 的高，他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l 米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能求出旗杆的高度吗 9 15 10 24 A D E B C A B C