2008年全国高中数学联赛综合训练(1)
姓名 得分 一、选择题（每题6分）
1.定义在实数集上的偶函数f (x ),满足f (x +2)=f (x ),且f (x )在[-3,-2]上单调减，又α、β是锐角三角形的三个内角，则（ ）
(A) f (sinα)>f (sinβ) (B )f (cosα) 2.过椭圆C ：12 32 2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1).当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为 （ ） A ．]3 3 , 0( B ．]2 3,33( C ．)1,3 3[ D ．)1,2 3( 3. 已知α是函数 ()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数 ()2008x g x xa =-的一个零点，则αβ的值为 （ ） A ．1 B ．2008 C ．2 2008 D ．4016 4.已知a =(cos 32π, sin 3 2 π), -=, +=，若△OA B 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OA B 的面积等于 （ ） A ．1 B ． 21 C ．2 D ． 2 3 5. 过正方体A B CD —A 1B 1C 1D 1的棱A B 、B C 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面A B CD 所成的角为450，则此截面的形状为 （ ） A 、 三角形或五边形 B 、三角形或六边形 C 、六边形 D 、三角形或四边形 6. 已知,a b 为正整数，a b ≤，实数,x y 满足4 x y +=，若x y +的最 大值为40，则满足条件的数对(),a b 的数目为 （ ） ()1A ()3B ()5C ()7D 二、填空题(每题9分) 7．若正实数a 满足对任意实数x 都有22 si n 22c os ≤+x x a a 成立，则a 的取值范围为 8．函数y =sin 12x +cos 12x 的值域是 . 9.点P 在ABC ?所在的平面α外，,PA PB PC α⊥==3 tan ,2 PBC ∠= 则A 到平面PBC 的距离的最大值是_________ 10. 设直线m 、n 都是椭圆+22a x 122 =b y (a >b >0)的切线，且n m ⊥，m 、n 交于点P ，则点 P 的轨迹方程是 11．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[,],m n D ?使()f x 在[,]m n 上的值域为1 1 [, ]22 m n ，那么就称()y f x =为“好函数”。现有()log (),x a f x a k =+(0,1)a a >≠是“好函数”，则k 的取值范围为 12.用四个边长分别为a ,b ,c (a >b >c )的锐角三角形可以拼成一个四面体.把拼成的任何一个四面体的各棱用红、黄、蓝三色染色,每条棱染一色,每种色染两条棱,考虑一切经过这样染色的四面体,如果经过适当转动,两个染色四面体完全重合,并且重合的对应棱同色时,称这样的两个四面体是同一染色类.则所有这样的染色四面体可分为几种染色类？答： 三、解答题（每题20分） 13.设{b n }是公差为d 的等差数列，k ≥2且k ∈Z + ，求数列b 1b 2…b k ,b 2b 3…b k +1,…, b n b n +1…b n+k -1……前n 项和S n . 14.设函数u(x-5x2+2x-1. （1）求函数u(x)的最小值. （2）求不等式u(x)≥0的解. 15.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值.求∠MAN的度数. 二试 姓名得分 1.凸四边形A B CD内接于⊙O,B A,CD的延长线相交于点H，对角线AC，B D相交于点G. ⊙O1, ⊙O2分别为△AGD，△B GC的外接圆，设O1O2与OG点N，射线HG分别交于的⊙O1，⊙O2于点P，Q.设M为PQ的中点，求证：NO=NM. P 2.设d≥2,n≥2,证明在1,2,3,…,(21)1 2 n d-- 中可以取出 2 [] n d n - 个数，其中每三个数不成等 差数列. 3.给定n(n≥3)个点P1，P2，…，P n，其中任何3个点不共线．观察闭折线P1P2，…，P n P1，将P1，P2，…，P n称为折线上的节点，将P i P i+1，称为折线的节，其中P n+1=P1．以A(n)表示无公共节点的节的交点的最大值．证明： (1)若n为奇数，则A(n)= (3) 2 n n- ； (2)若n为偶数，则A(n)= (4) 2 n n- +1． 2008年全国高中数学联赛综合训练(1) 姓名 得分 1.定义在实数集上的偶函数f (x ),满足f (x +2)=f (x ),且f (x )在[-3,-2]上单调减，又α、β是锐角三角形的三个内角，则（ ） (A) f (sinα)>f (sinβ) (B )f (cosα) f (x )在[0,1]上↑，只要比较自变量的大小∵α、β是锐角三角形的三个内角∴α+β>π/2，π/2>α>π/2-β∴sinα>sin(π/2-β)=cosβ,于是f (sinα)>f (cosβ),选C. 2.过椭圆C ：12 32 2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1).当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取 值范围为 （ ） A ．]3 3 , 0( B ．]2 3,33( C ．)1,3 3[ D ．)1,2 3( 解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y )，因为右准线方程为x =3，所以H 点的坐标为(3, y ).又∵HQ=λPH ， 所以λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：? ????=-+=y y x x 11)1(3λλ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e =)1,33[32132232 2∈-=-λλ λ. 故选C. 3. 已知α是函数 ()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数 ()2008x g x xa =-的一个零点，则αβ的值为 （ ） A ．1 B ．2008 C ．2 2008 D ．4016 【分析】如图：α是曲线2008 y x = 与曲线log a y x =交点A 的横 坐标，β是曲线2008 y x = 与曲线x y a =交点B 的横坐标， ∵函数log a y x =与x y a =互为反函数，∴A 与B 关于直线y=x 对称 即β为点A 的纵坐标，∴2008αβ=，选B 4.已知=(cos 32π, sin 3 2 π), b a OA -=, b a OB +=，若△OA B 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OA B 的面积等于 （ ） A ．1 B ． 21 C ．2 D ． 2 3 解：设向量b =(x , y)，则?????-=+=-+| |||0 ))((b a b a ， 即??? ????-++=++-=+---?+ -2222)23()21()23()21(023,21()23,21(y x y x y x y x ， 即?????==+y x y x 31 22. ∴)21,23(=或)21,23(-，∴S △AO B =21||||-+=1。 5. 过正方体A B CD —A 1B 1C 1D 1的棱A B 、B C 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面A B CD 所成的角为450，则此截面的形状为 （ ） B 、 三角形或五边形 B 、三角形或六边形 C 、六边形 D 、三角形或四边形 解 显然，必有一个截面与棱BB 1相交，此截面是三角形. 设过D 1的截面与底面所成的角为θ，易求得tan θ= tan ∠D 1GD=13 2 2<，故θ<450，又设过A 1、C 1的截面与底面 所成角为θ'，则易求得tan θ'=tan ∠O 1GO=22>1,故45θ'>?,于是另一截面应与A 1D 1、D 1C 1相交（不过其端点），形状为六边形，故选B . 6. 已知,a b 为正整数，a b ≤，实数,x y 满足4 x y +=，若x y +的最 大值为40，则满足条件的数对(),a b 的数目为（ ）。 ()1A ()3B ()5C ()7D 。 答 选C 。 因为()( )2 2 2 2u v u v +≤+ ，所以 4x y +=≤， 于是有()()()2 32320x y x y a b +-+-+≤，因此 16x y +≤+。由于 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O 1 O E F G 1640+=，得10a b +=，其中x y +的最大值当()1 402 x b a = -+，()1 402 y a b = -+时取到。又因为a b ≤，所以满足条件的数对(),a b 的数目为5，选C 。 二、填空题 7．若正实数a 满足对任意实数x 都有22 sin 22cos ≤+x x a a 成立，则a 的取值范围为 解法1 原不等式即22 2 sin 2sin 21≤+-x x a a ①.设t a x =2 sin 2，则化为021≤-+-t at ，其中 ],1[2sin 22a a t x ∈=（当1>a ） ，]1,[2s i n 22 a a t x ∈=（当10< 设a t t t f +-=2)(2，由于)(t f 在1与2 a 之间恒小于或等于零，所以0)1(≤f 且 0)(2≤a f ，即?? ? ??>≤+-≤0 021 24a a a a a ，解之，得1215≤≤-a 为所求. 解法 2 ∵0> a ，∴22222cos22sin 12sin 2sin 2sin 2sin x x x x x x a a a a a a a -+=+= +≥，又 22 si n 22c os ≤+x x a a ，∴1≤a .设)1(2sin 22 ≤≤=t a a t x ，记t t a t f += )(.依题意，2()f t ≥恒成立，∴max )(2t f ≥.t t a t f += )(在区间],[2a a 上单调递减；在区间]1,[a 上单调递增.而1)1(1)(22+=≥+=a f a a a f ，∴2max 1)(a a t f +=（当2 a t =时取最大值）,故 212≤+a a ，解得12 1 5≤≤-a 为所求. 解法3 原不等式即22 2sin 2sin 21≤+-x x a a .令x a t 2 sin 2=，则 2≤+t t a ①. (1)若1=a ，则1=t ，①式显然成立. (2)若1>a ，则2sin 202 a a a x ≤≤，即21a t ≤≤，即① 式对任意],1[2 a t ∈恒成立 (10< x 由函数t t a y +=的图象（图1）及21a a <<，可得211≤+a ，且222≤+a a a ,但这与1>a 矛盾. （3）若10< 222 a a a x ≤≤，即12≤≤t a .由函数t t a y += 的图象（图2）及12 << a a ，可得222≤+ a a a 且21 1≤+a ，即0)1)(1(2