积分变换法

第三章 积分变换法 一 付立叶变换及性质 1付立叶变换的定义

设)(x f 是定义在),(+∞-∞内的实函数，它在任一有限区间],[l l +-上分段光滑，并且在),(+∞-∞内绝对可积，则有付立叶积分

=)(x f ??∞+∞-∞+∞

--ξξλπ

ξλd e f d x i )

()(21 定义由式

?+∞

∞--=ξξλλξd e f F i )()(

确定的函数)(λF 为函数)(x f 的付立叶变换，记

)]([x f Γ=?+∞

∞--=ξξλλξd e f F i )()(

由式了可知：

?∞+∞

--=ξλπ

λξ

d e F x f i )(21)( 称上式定义的函数)(x f 的函数][λF 的付立叶逆变换，记：

?∞+∞

---=Γ=ξλπ

λλξ

d e F F x f i )(21)]([)(1

通常也称][λF 为)(x f 的象函数，)(x f 为][λF 的象原函数。并且由付立叶积分式有：

)()]([1x f x f =ΓΓ-

从付立叶及其逆变换的定义来看，求其函数的付立叶变换或逆变换就是要计算一个含以变量的广义积分。 2付立叶变换的性质 (1)线性性质

设)(λF ，)(λG 分别是函数)(x f 和)(x g 的付立叶变换，α和β是两任意常数，则有：

)]()([x g x f βα+Γ＝)]([)]([x g x f Γ+Γβα

(2)微分性质

①原函数的微分性 设)(x f 内连续在),(+∞-∞分段光滑，并且当∞→||x 时有0)(→x f ，又)(x f 和)('x f 都绝对可积，则：)]([)](['x f i x f Γ=Γλ

②象函数的微分性 若)()]([λF x f =Γ，则

)]([)('x ixf F -Γ=λ

(3)卷积性质

二 付立叶变换在数理方程中的应用

因为要求作付立叶的函数需要定义在区间),(+∞-∞内，所以数学物理方程中，通常利用付立叶变换求解无界区域上的定解问题，特别是柯西问题。

这里要注意热传导方程的柯西问题、半平面二维拉氏方程的边值问题、半无四个坚持热传导问题、二维热传导方程的柯西问题。 三 拉普拉斯变换 1拉普拉斯变换的定义

设)(t f 为复值函数，若积分dt e t f st ?∞

-0)(在复平面s 的某一区域收敛于)(s F ，则称

=)(s F dt e t f st ?∞

-0)(

为函数)(t f 的拉普拉斯变换，或称为拉氏变换，记为：

)()]([s F t f L =

如果)(s F 为)(t f 的拉普拉斯变换，则称)(t f 为)(s F 的拉普拉斯逆变换。记为：

)()]([1t f s F L =-。

2拉普拉斯变换的存在定理

定理 若函数满足条件： (1) 当时0

(2) 在0≥t 的任一有限区间上分段连续；

(3) 当0>t 时， t

Me t f 0

|)(|δ≤，其中0>M ，

00≥δ是常数，并称0δ为函数)(t f 的增长指数，则)(t f 的拉普拉斯变换在半平面内存在并解析。

3拉普拉斯变换的反演公式

函数)(t f 的拉普拉斯变换)(s F 相当于函数

t e t u t f β-)()(的付立叶变换，利用付立叶逆变换公式可以

证明：如果)(t f 满足拉普拉斯变换的存在定理条件，则

)(t f 在的连续点处有

)(t f =?∞+∞

-i i st

ds e s F i

δδπ)(21。 其中积分是沿着s 平面上的任一直线0

)Re(δδ>=s 的主值积分，0δ是)(t f 的增长指数，称这个公式为拉普拉斯变换的反演公式。即：

=-)]([1

s F L ?∞+∞-i i st

ds e s F i

δδπ)(21

四 拉普拉斯变换的性质及逆变换 1拉普拉斯变换的性质

①线性性质

设1c ，2c 是两个复数，)()]([11s F t f L =，

)()]([22s F t f L =则：

=+)]()([2211t f c t f c L 1c )]([1t f L +2c )]([2t f L =+-)]()([22111s F c s F c L 1c )]([11s F L -+2c )]([21s F L -

②平移性质

平移性：设)()]([s F t f L =，0s 为常复数，则

)()]([00

s s F t f e L t s -=。

延迟性：设)()]([s F t f L =，0t >0，则

)]([)]([0

0t f L e t t f L st -=-。

③微分性质

象函数微分性：设)()]([s F t f L =，则

)]([)('t tf L s F -=，0)Re(δ>s

原函数微分性：设)()]([s F t f L =，则

)00()()](['+-=f s sF t f L 。

④积分性质

原函数积分性：设)()]([s F t f L =，则

?=t

s

s F d f L 0)

(])([ττ。 象函数积分性：设)()]([s F t f L =，积分?∞

s ds s F )(收

敛，则t

t f )(的拉氏变换存在，且

])([t

t f L =?∞s ds s F )(。

⑤卷积性质

由于拉氏变换中，当0

)(1t f 与)(2t f 的卷积变为：

)(1t f

*

)(2t f =?+∞

∞--τττd f t f )()(21

=

?∞--0

21)()(τ

ττd f t f +

?-t

d f t f 0

2

1

)()(τ

ττ+

?+∞-t d f t f τττ)()(21=?-t

d f t f 021)()(τττ

2拉普拉斯变换的逆变换

在求拉普拉斯变换的逆变换时，在许多情况下不用采用直接计算积分法，而 采用一些简洁的方法，比如：部分分式法、卷积法、留数计算法等。要求每个学生能掌握这三种方法。

五 拉普拉斯变换的数理方程中的应用

注意书中的两例子，从中可得到应用拉氏变换进行求定解时，与付立叶变换一样，其具体步骤为：

(1)对微分方程与相应条件取积分变换，从而得到象函数所满足的定解问题；

(2)函数满足的定解问题，得到象函数； (3)求象函数的逆变换。

复变函数与积分变换公式

复变函数复习提纲 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = X ? iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i. 中的幅角。 3）arg Z与arctan~y之间的关系如下: X y 当X 0, arg Z= arctan 丄； X y y -0,arg Z= arctan 二 ! X y y ：： O,arg Z= arctan -二 J X 4)三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。 5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。 (二)复数的运算 1.加减法：若Z I=X I iy1, z2=X2 iy2,贝廿z1二z2= x1二x2i y1- y2 2.乘除法： 1)若z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2,贝U 狂h[N×2 一y$2 i x2% x1y2 ； 乙_ X1+ i y_ (x1 十 i 和X—i y_ XX y*y y x；。X Z2 X2+ i% (对讪-X )i2y 2+2X222+ 2X22 2)若Z I=Iz I e i^,z2 =∣z2 e iθ ,则 Z1Z2 = ZIll Z2 e i(t1也； 3.乘幕与方根 1)若Z= Z(COS J isin * n (CoS n i Sinn )= n e i"。 2）幅角：在Z=O时，矢量与X轴正向的夹角, 记为Arg Z （多值函数）；主值arg Z 是位于（-理,二］注：两个复数不能比较大小 2.复数的表示

2)若 Z = IZ(COSB+isinT)=∣ze i ^,则 （三）复变函数 1?复变函 数： w = f z ,在几何上可以看作把 Z 平面上的一个点集 D 变到W 平面上的一个点集 G 的映射 . 2 ?复初等函数 1）指数函数：e z =e x cosy isiny ,在Z 平面处处可导，处处解析；且 注：e z 是以2二i 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数： LnZ=In z+i （argz + 2kιι） （k=0,±1,±2八）（多值函数）； 主值：In Z = Inz+iargz 。（单值函数） ?1 LnZ 的每一个主值分支In z 在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Inz Z 注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同） 3）乘幕与幕函数：a — e bLna （a = 0） ； Z b = e bLnZ （Zn 0） 注：在除去原点及负实轴的 Z 平面内处处解析，且 Z S -bz b j 。 Sin z,cos Z 在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz 注：有界性Sin z 兰1, cosz ≤1不再成立；（与实函数不同） Z ■ Z Z ■ Z ,,,, e -e e +e 4) 双曲函数 ShZ ,chz = 2 2 ShZ 奇函数，ChZ 是偶函数。ShZ I ChZ 在Z 平面内解析，且 ShZ =chz, ChZ i - ShZ O （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数 1）点可导: f r fZ0；fZ 0 2）区域可导：f Z 在区域内点点可导。 2 ?解析函数的概念 1 f 日 +2kπ ..日 +2kπ ) Z n I cos ----------- 十 ISi n -------- I n n (k =0,12…n -1)(有n 个相异的值) 4）三角函数: iz -iz e -e Sin Z = 2i iz JZ . e +e , sin z , ,cos z ,tgz ,ctgz 2 cos z cosz Sin Z

复变函数与积分变换公式

复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数与积分变换公式

复变函数与积分变换公 式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

积分变换主要公式

一、傅里叶变换 1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件： 1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞ -∞?收敛； 则傅氏积分公式存在，且有 ()()()()()(), 1[]11002,2 iw iw t f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ +∞+∞--∞ -∞ ??=-?++-? ?? ? 是的连续点是的第一类间断点 2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞ --∞ ==? 1-2 傅里叶逆变换定义式：()1 1[]()()2iw t F F w f t F w e dw π +∞--∞ == ? 1-3 3、常用函数的傅里叶变换公式()1 ()F F f t F ω-??→←?? 矩形脉冲函数 1 ,22()sin 2 0, 2 F F E t E f t t τ τωτω-?≤?? ??→ =? ←???> ?? 1-4 单边指数衰减函数 ()()1 ,01 1 ,0 t F F e t e t F e t iw j t βββω --?≥??→=?= ??? ←????++

积分变换中非常有用的公式

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

复变函数与积分变换重点公式归纳

复变函数与积分变换复习提纲 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+= =

第三章-行波法与积分变换法Word版

第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。

积分变换的应用

浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月

目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)

1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换

积分变换课后答案.docx

1-1 1．试证：若 f t 满足Fourier积分定理中的条件，则有 f t a cos td b sin td 00 1 f cos d , b 1 sin d . 其中 a f ππ 分析：由 Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明 . 证明：利用 Fourier积分的复数形式，有 f t1f e j t e j t d 2π 11f cos j sin d e j t d 2π 1 j b cos t j sin t d a 2 由于 aa, b b, 所以 f 1 a cos td 1 b sin td t 2 2 a cos td b sin t d 00 2．求下列函数的 Fourier积分： 1）f 1t 2 ,t 21 2)f 0,t0 t t 2 ;t; 0,1 e t sin 2t, t0 0,t1 3)f 1,1t0 t 0t1 1, 0,1t 分析：由 Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解 . 解： 1）函数f 1t 2 , t 21 t t 2 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为0,1 F () F [ f (t )] f (t)e j t d t2 f (t )cos tdt 21 t 2 )cos tdt (1

— sin t2t cos t2sin t t 2 sin t 1 cos ) 4(sin (偶函 2233 数) f(t)的 Fourier积分为 f (t )1 F ()e j t d1 F ()cos td 2ππ 0 4(sin cos) td π 03cos 2) 所给函数为连续函数，其Fourier变换为 F ω F f (t ) f (t )e j t dt e t sin 2te j t dt 0e t e2tj e 2tj e j t dt1 [e( 1 2j j ) t e (1 2j j )t ]d t 2j2j 1e( 1 2j j )t e (1 2j j )t 2j 1 2j j 1 2j j0 j11 2 5 2 1 (2)j 1 (2)j25 62 2 j 24（实部为偶函数，虚 数为奇函数） f (t)的 Fourier变换为 f t1 F ()e j t d 2π 1252 2j cos t jsin t d 2π25624 152 cos t2sin t152 sin t 2 cos t π25624d π25 624 d 252 cos t2sin t π 025624d 这里用到奇偶函数的积分性质 . 3）所给函数有间断点 -1 ，0，1且 f(- t)= - f(t)是奇函数，其 Fourier变换为 F F f ( t ) f ( t)e j t dt2j f (t )sin tdt

数学物理方程第三章行波法与积分变换法

第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得

.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2

复变函数与积分变换重点公式归纳

复变函数与积分变换复习提纲 第一章复变函数 第二章解析函数 u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的 概念。 二、柯西——黎曼方程 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 幕函数与根式函数 3、对数函数 1 ,（3）在单值解析分枝上：（In z ） 'k z k iz iz e e cosz 2 iz iz e e sin z 2i 5、反三角函数（了解） 掌握利用C-R 方程 U x V y 掌握复变函数的导数: U y 判别复变函数的可导性与解析性。 V x f '⑵匚U x iV x iU y V y U x iU y iV x n n r (cos i sin ) (cosn i sin n n in r e 单值函数 1 i arg z 2 k n n r e k =o 、 1、2、 …、n-1) n 多值函数 2、 指数函数：w e z e x (cos y i sin y) 性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )' (3)以 2 i 为周期 w Lnz lnz i(arg z 2k ) lnz i2k （k=0、土 1、土 2 . ） 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 、复变数和复变函数 U x, y 二、复变函数的极限与连续 iv x, y 极限 lim f (z) z z 0 连续 lim f (z) f (z 0) z z 0 、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析 4、三角函数: 反正弦函数 w Arc sin z 丄L n(iz 、1 z 2) i

积分变换课后

1-1 1． 试证：若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+?? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ?????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??= -???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F

复变函数与积分变换解读

复变函数与积分变换 课程名称：复变函数与积分变换 英文译名：Complex Function and Integral Transformation 课程编码：070102B06 适用专业：信息与计算科学 课程类别：专业必修 学时数：48 学分：3 编写执笔人：韩仲明审定人：刘晓华 编写日期：2005年4月 一、本课程的内容、目的和任务： 复变函数与积分变换是高等师范院校数学专业的基础课程之一，是数学分析的后续课程，其任务是使学生获得复变函数与积分变换的基本理论与方法。它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，其方法是自动控制、自动化、信号处理的常用方法之一，本课程主要讨论复变函数和积分变换。内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，保形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展，通过本课程的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数与积分变换在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，通过学习，学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 二、课程教学内容及教学基本要求 由于该课程的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。凡涉及自动化或自动控制专业、信号处理的各类专业，都要用复变函数与积分变换的理论，因此学生必须熟练掌握 （1）复变解析函数理论 （2）复变函数的积分理论及留数理论 （3）拉氏变换与富氏变换理论。 学生还应掌握复变函数的一些基础理论如罗朗级数理论及奇点理论。 学生还应理解调和函数理论。 学生还应初步了解保形映射的理论。 第一章复数与复变函数(4学时)

复变函数与积分变换公式汇总

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21 i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模： 22 z x y =+； 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为() Arg z （多值函数）；主值 () arg z 是位于(,] ππ-中的幅角。 3） () arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当 0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

数学物理方程-第四章积分变换法

第四章 积分变换法 积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍Fourier 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace 方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求. §4?1 热传导方程Cauchy 问题 4.1.1 一维热传导方程Cauchy 问题 考虑如下问题 2(,), , 0 (1. 1) (,0)(), (1. 2) t xx u a u f x t x t u x x x ??-=-∞<<∞>? =-∞<<∞? 下面利用Fourier 变换求解该定解问题. 设0>β为常数，函数2 x e β-的Fourier 变换为 ( ) 22 4()x F e e ωββ πωβ - -= (1.3) 为书写方便起见，引入记号?()(())(),f F f x ωω=, 如果f 为二元函数),(t x f ， ),))(,((),(?t t x f F t f ωω=表示对),(t x f 中的空间变量x 作Fourier 变换的像函数，此时t 作为参数对待. 对（1.1）—（1.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得 22?(,)??(,)(,), 0??(,0)() .du t a u t f t t dt u ωωωωω?ω?+=>? ??=? 上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得 22 22()0 ???(,)()(,)t a t a t u t e f e d ωωτω?ωωττ---=+? (1.4) 利用（1.3）得 ),)( 21( 222 2 4t e t a F e t a x t a ωπω- -= ) ,)() (21( ) (4) (22 2 2τωτπττω --=-- --t e t a F e t a x t a 记 2241Γ(,)() 2x a t x t e u t a πt - = （1.5） 其中)(t u 为单位阶跃函数. 则有

三重积分变换公式的证明

万方数据

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三重积分变换公式的证明 作者：刘慧钦， 蒋婷 作者单位：刘慧钦(烟台教育学院,数学系,烟台,264001)， 蒋婷(长春工程学院,基础部,长春,130012)刊名： 长春工程学院学报(自然科学版) 英文刊名：JOURNAL OF CHANGCHUN INSTITUTE OF TECHNOLOGY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)：2004，5(2) 被引用次数：0次 参考文献(2条) 1.同济大学数学教研室高等数学 1999 2.同济大学应用数学系微积分 2002 相似文献(3条) 1.期刊论文杨玉敏.YANG Yu-min三重积分的计算方法小结-鞍山师范学院学报2007,9(2) 三重积分的计算是数学分析中的难点,结合教学本文较全面地给出了三重积分计算中的若干处理方法,对学习者有一定的指导意义. 2.期刊论文宋勇三重积分计算中变量变换的应用-内蒙古电大学刊2007,""(3) 高等数学中计算三重积分通常是化三重积分为三次积分,或者运用变量变换.可是通常的高等数学教材中,变量变换主要介绍柱面坐标变换,球面坐标变换和广义的球面坐标变换. 3.期刊论文曾云辉.ZENG Yun-hui较强条件下三重积分换元公式的一种证法-巢湖学院学报2006,8(3) 根据二重积分换元公式以及空间中的坐标变换对较强条件下的三重积分的换元公式给出了一种证明方法. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/077735887.html,/Periodical_ccgcxyxb200402019.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：314c9d4a-7e0d-4992-b630-9dce0169e5f4 下载时间：2010年8月10日