2
3
∞ ?复变函数与积分变换?期末试题(A)
1.1 -i
一.填空题(每小题3 分,共计15 分)
的幅角是();2. Ln(-1 +i) 的主值是(1
);3.f (z) =1 +z 2
,
z - sin z f (5)(0) =();
f (z) =
1
,
4.z = 0 是
z 4 的()极点;5.z Re s[f(z),∞]=();
二.选择题(每小题3 分,共计15 分)
1.解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为();
(A)f '(z) =u x +iu y ;(B)f '(z) =u x-iu y;
(C) f '(z) =u
x
+iv
y ; (D) f '(z) =u y +iv x.
2.C 是正向圆周z = 3 ,如果函数f (z) =(),则?C f (z)d z = 0 .
3
;(B)3(z -1)
;(C)
3(z -1)
;(D)
3
.
(A)
z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛,则级数在
n=1
(A)z =-2 点条件收敛;(B)z = 2i 点绝对收敛;
(C)z = 1 +i 点绝对收敛;(D)z = 1 + 2i 点一定发散.4.下列结论正确的是( )
(A)如果函数f (z) 在z0点可导,则f (z) 在z0点一定解析;
得分
e
(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析,则 ?
C f (z )dz = 0
(C ) 如果 ?
C f (z )dz = 0 ,则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析;
(D ) 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是
u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是(
).
(A) ∞为sin 1
的可去奇点 z
(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1
z
(D) 为 的孤立奇点. sin z
三.按要求完成下列各题(每小题 10 分,共计 40 分)
(1)设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求
a ,
b ,
c ,
d .
z
(2).计算 ?
C
z (z - 1)2
d z 其中 C 是正向圆周: z = 2 ;
得分
z
d z (3)计算? 15
z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3
(4) 函数 f (z ) =
z (z 2 -1)(z + 2)3 (z - 3)2
(sin z )3
在扩充复平面上有什么类型的奇点?
,如果有极点,请指出它的级.
四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1
z 2 (z - 1)
在以下区域内展开成罗朗级
得分
? 数;
(1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞
五.(本题 10 分)用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题
? y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ?
y (0) = y '(0) = 1
得分
六、(本题 6 分)求 f (t
) e t
(
0) 的傅立叶变换,并由此证明:
cos
t
t
2 2 d 2 e 0
?复变函数与积分变换?期末试题(A )答案及评分标准
一.填空题(每小题 3 分,共计 15 分)
得分
3 的幅角是( 2k Ln (-1 + i ) e
e 1. 1
- i 2 - + , k = 0,±1,±2 );2.
的主值是( 3
1 ln
2 +
3 2
4 i
z - sin z f (z ) =
1
);
3.
1
+ z 2 , f
(5)
(0) = ( 0
),4. z = 0 是
1 z
4
的( 一级
)极点;5. f (z ) = z
, R e s [ f (z ),∞] =(-1
);
二.选择题(每题 3 分,共 15 分)
1----5
B D
C B D
三.按要求完成下列各题(每小题 10 分,共 40 分)
(1).设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求
a ,
b ,
c ,
d .
解:因为 f (z ) 解析,由 C-R 条件
?u = ?v
?x ?y ?u = -?v
?y ?x
2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,
a = 2, d = 2, , a = -2c ,2
b = -d ,
c = -1, b = -1,
给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。
z (2).计算 ?
C
(z - 1)2
z
d z 其中 C 是正向圆周:
解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,
仅给出用前者计算过程
因为函数 f (z ) = e z
(z - 1)2 z
在复平面内只有两个奇点 z 1= 0,z 2= 1 ,分别以
z 1,z 2 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1,c 2 且位于 c 内
z
?
C (z - 1)2 z d z = ?C e z (z - 1)2 z
d z + ?C
e z z 2 (z - 1)
2
d z
1
z
z →0 z z ? = 2i ( e z ' + 2i e )
z z =1
(z -1)2 z =0
= 2
i
无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。
(3. ? 15
z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3 d z
解:设 f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在: z < 3 内,由留数定理
15
?z =3 (1 + z 2 ) 2 (2 + z 4 )3 d z = -2i Re s [ f (z ), ∞]
-----( 5 分) = 2 1 1 ]
----(8 分) i Re s [ f ( 1 z ) z 2
1 1 ( )
15 1 f ( ) = z
z z 2
1 1 (1+ 1 )
2 (2 + ( 1
)4 z 2 z
1 )3 z
2 f ( ) = 有唯一的孤立奇点z = 0, z z 2 z (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)3
1 1 1 1 1 Re s [ f ( ) z
2 ,0] = lim zf ( ) z →0
z 2 = lim (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)3 = 1
∴ z 15 z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3
d z = 2i --------(10 分)
(4)函数 f (z ) =
z (z 2 -1)(z + 2)3
(sin z )3
2
(z - 3) 在扩充复平面上有什么类型的奇点?
,如果有极点,请指出它的级. 解
:
z (z 2 - 1)(z + 2)3 (z - 3)2
f (z ) = (sin z )3
的奇点为z = k , k = 0,±1,±2,±3, ,∞
(1)
z k , k 0 1 2 3, 为(sin z )3 0的三级零点,
(2) z
0,z 1,为f (z 的二级极点, z 2是f (z 的可去奇点,
(3) z = 3为f (z )的一级极点
(4)
z = 2,-3,±4 ,为f (z )的三级极点 (5)
为f (z 的非孤立奇点。
z
z
n =0
∞
? ∞ 备注:给出全部奇点给 5 分 ,其他酌情给分。
四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1
z 2 (z - 1)
在以下区域内展开成罗朗级数;
(1) 0 <
z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞
解:(1)当0 <
f (z ) = z - 1 < 1
1 z 2
(z - 1) 1
= - 1 (z -1) ∞
[ 1 ]' (z - 1 + 1) 而[(z - 1 + 1) ]' = [∑ (-1)n (z - 1)n ]' ∞
= ∑(-1)n n (z - 1)n -1
n =0
f (z ) = ∑(-1)n +1 n (z - 1)n -2
n =0
-------6 分
(2)当0 < z < 1
f (z ) =
1
= -
1
1 ∞
z n
z 2 (z - 1)
= -∑ z n -2
n =0
z 2 (1 - z ) =
2
∑
n =0
-------10 分
(3)当1 < z < ∞
f (z ) = 1
= 1
1
z 2 (z - 1) z 3 (1 - )
1 ∞ f (z ) = z 1 n =
∞
1 ∑
z 3 ∑( )z z
n +3
------14 分
每步可以酌情给分。
n =0 n =0 五.(本题 10 分)用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题:
? y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x
?
y (0) = 1 = y '
(0) = 1
解:对 y (x ) 的 Laplace 变换记做L (s ) ,依据 Laplace 变换性质有
z
-
1
整理得
s 2 L (s ) - s - 1 - 5(sL (s ) - 1) + 4L (s ) =
1
s + 1
…( 5 分)
L (s ) =
1 +
(s + 1)(s - 1)(s - 4) 1
s - 1
= 1 10(s + 1) = 1 10(s + 1) -
1 6(s -1) + 5 6(s -1) + 1 + 15(s - 4) +
1 15(s - 4) 1 s -1 …(7 分)
y (x ) = 1 e -x + 5
e x + 1 e 4 x
…(10 分)
10 6 15
六、(6 分)求 f (t
) e
t
(
0) 的傅立叶变换,并由此证明:
cos
t
t
2 2
d
2 e
F ()
e
i
e
t
d t
(
0)
--------3 分
F () e
i
e
dt
e i
e
dt
( 0)
e (i )t
dt
e
(i )t
dt
(
0)
e (i )t
i
(
0)
F () 1
1 2
(0) ------4 分
i i
2
2
f (t )
e i F ()d (
0)
2
- -------5 分
1
e i
2
d
(
0) 2
2
2
1
(cos i sin
)d
(
0)
2
2
2 cos d
i sin
d
( 0)
2
2
2
2
e
(
i )t
i
解: 0
f (t ) 2 cos d
(0), ------------6 分
0 2 2
cos
t
t
2
d
2
e
?复变函数与积分变换?期末试题(B)
1. 填空题(每小题 3 分,共计 15 分)
2.1. 1 - i 的幅角是(
);2. Ln (- + i ) 的主值是 2
(
);3.
a =(
),
f (z ) = x 2 + 2xy - y 2 + i (ax 2 + 2xy + y 2 ) 在复平面内处处解析.4.
z = 0 是
z - sin z 的(
)极点;5.
z
3
f (z ) = 1
z ,
Re s [ f (z ),∞] =(
);
二.选择题(每小题 3 分,共计 15 分)
1
.解析函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 的导函数为( );
(A ) f '(z ) = u y + iv x ; (B ) f '(z ) = u x
- iu y ;
(C)
f '(z ) = u x + iv y ; (D) f '(z ) = u x + iu y . 2.C 是正向圆周 z = 2 ,如果函数 f (z ) = (
),则?C f (z )d z = 0 .
(A )
3
z - 1
; (B ) 3z
z - 1 ; (C ) 3z
(z - 1)2 ; (D ) 3
. (z -1)2
∞
3. 如果级数∑c n n =1
z n
在 z = 2i 点收敛,则级数在
(A ) z = -2 点条件收敛 ; (B ) z = -2i 点绝对收敛; (C ) z = 1 + i 点绝对收敛; (D ) z = 1 + 2i 点一定发散. 4.下列结论正确的是( )
(A ) 如果函数 f (z ) 在 z 0 点可导,则 f (z ) 在 z 0 点一定解析;
(B)如果?C f (z)dz = 0 ,其中 C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z) 在C 所围成的区域内一定解析;
(C)函数f (z) 在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数,而且展开式是唯一的;
(D)函数 f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是u(x, y) 、v(x, y) 在该区域内均为调和函数.
5.下列结论不正确的是().
(A)、lnz是复平面上的多值函数;(B)、cosz是无界函数;
(C)、sin z是复平面上的有界函数;(D)、e z是周期函数.
三.按要求完成下列各题(每小题8 分,共计50 分)
(1)设f (z) u( x, y) i( x2 g( y))) 是解析函数,且f (0) 0 ,求g( y),u( x, y), f (z) .
(2).计算? z
d z .其中 C 是正向圆周z = 2 ;
C(z+21)(z-i)2得分
1
(3).计算 ? z 2
C (1 - z )
e 1z d z ,其中 C 是正向圆周 z =
(4.利用留数计算 ?C
(z - 1)(z - 2)2
d z .其中 C 是正向圆周 z = 3 ;
2 ;
(5)函数
f (z ) z (z 2 1)(z 2)3 (sin z )3
在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如 果有极点,请指出它的级.
四、(本题 12 分)将函数 f (z ) =
1
z 2 (z - 1)
在以下区域内展开成罗朗 (1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞
级数;
得分
?
五.(本题 10 分)用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题
? y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ?
y (0) = y '(0) = 1
得分
六、(本题 8 分)求 f (t
) e t
(
0) 的傅立叶变换,并由此证明:
cos
t
t
2
2 d
2
e 0
得分
得分
z 2
?复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准(B)填空题(每小题3 分,共计15 分)
1.
1-i 的幅角是(
2
Ln(-1 -i) 的主值是(1 ln 2 -
-+ 2k,k = 0 ±1,±2,
4
);2.
1
i );3. f (z) =
2 4 1 +z2 ,
f (7) (0) =( 0 );4. f (z) =z - sin z
z 3 ,
Re s[ f (z),0] =(0)
;5. f (z) = 1 ,Re s[ f (z),∞] =(0 );
二.选择题(每小题3 分,共计15 分)
1-------5 A A C C C
三.按要求完成下列各题(每小题10 分,共计40 分)
(1)求a,b, c, d 使
f (z) =x2 +axy +by 2 +i(cx2 +dxy +y 2 )是解析函数,解:因为f (z) 解析,由 C-R 条件
?u
=?v
?x ?y ?u
=-
?v ?y ?x
2x +ay =dx + 2y ax + 2by =-2cx -dy,
a = 2, d = 2, ,a=-2c,2
b =-d ,
c =-1, b =-1,
给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。
(2.?C
1
z(z - 1)2
d z .其中 C 是正向圆周z = 2 ;
一.
得分
得分
1 1 1
解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算, 仅给出用前者计算过程 因为函数 f (z ) =
1
(z - 1)2 z
在复平面内只有两个奇点 z 1= 0,z 2 = 1,分别以
z 1,z 2 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1,c 2 且位于 c 内
?C (z - 1)2 z
d z = ?C 1 (z - 1)2 z d z + 1
z d z C 2 (z - 1)2 = 2 1 ' + 2i 1 = 0
i ( ) z z =1
z 3e 1z
(z - 1)2 z =0 (3).计算 ?
C
(1 - z )
d z ,其中 C 是正向圆周 z = 2 ; 解:设 f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在: z < 2 内,由留数定理
?
z =2
f (z)d z = -2i Re s [ f (z ), ∞] = 2ic -1
-----(5 分)
1 < z < ∞
1
z 3e z
(1 - z ) 1 = - z 2e z
1 - 1 z
= -z 2 (1 + + z
1
2!z 2
+ 1 3!z 3
+ )(1
+ 1 + 1 z z 2 + 1 + ) z 3 = -(z 2 + z + 1 + 1 + 1 )(1 + 1 + 1 + 1
+ ) 2!
3!z 4!z 2 z z 2 z 3 c = -(1 + 1 + 1 + 1 ) = - 8
-1 2! 3! 3
?z =2
f (z)d z = - 8
2i 3
(4)函数 (z 2 -1)(z + 2)3
(sin z )3
在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果
有极点,请指出它的级.
f (z )的奇点为z = k , k = 0,±1,±2,±3, ,∞
f (z ) =
?
n =0 ∞
z k , k 0 1 2 3, 为(sin z )
3 0的三级零点, z = ±1, 为f (z )的二级极点,z = -2是f (z )的可去奇点 z = 0,2,-3,±
4 ,为f (z )的三级极点
为f (z 的非孤立奇点。
给出全部奇点给 5 分。其他酌情给分。
四、(本题 14 分)将函数 f (z ) =
1
z 2 (z +1)
在以下区域内展开成罗
朗级数;
(1) 0 < z +1 < 1,(2) 0 <
z < 1 ,(3)1 <
z < ∞
(1) 0 <
z + 1 < 1 ,(2) 0 <
z < 1 ,(3)1 <
z < ∞
解:(1)当0 < z + 1 < 1
f (z ) = 1 z 2 (z + 1) =
1 (z + 1) [ 1 ]' (1 - (z + 1)
1 ∞ ∞
而[ ]' = [∑(z + 1)n ]' = ∑ n (z + 1)n -1 (1 - (z + 1) ∞
n =0 n =0
f (z ) = ∑ n (z + 1)n -2
n =0
--------6 分
(2)当0 < z < 1
f (z ) =
1
1 ∞
(-1)n z n
z 2 (z + 1) =
z 2 ∑
= ∑(-1)z n -2
n =0
(3)当1 < z < ∞
f (z ) =
1
=
-----10 分
1 1 z
2 (z + 1) z
3 (1 + )
z
得分