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(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐文档

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2

3

∞ ?复变函数与积分变换?期末试题(A)

1.1 -i

一.填空题(每小题3 分,共计15 分)

的幅角是();2. Ln(-1 +i) 的主值是(1

);3.f (z) =1 +z 2

z - sin z f (5)(0) =();

f (z) =

1

4.z = 0 是

z 4 的()极点;5.z Re s[f(z),∞]=();

二.选择题(每小题3 分,共计15 分)

1.解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为();

(A)f '(z) =u x +iu y ;(B)f '(z) =u x-iu y;

(C) f '(z) =u

x

+iv

y ; (D) f '(z) =u y +iv x.

2.C 是正向圆周z = 3 ,如果函数f (z) =(),则?C f (z)d z = 0 .

3

;(B)3(z -1)

;(C)

3(z -1)

;(D)

3

.

(A)

z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2 3.如果级数∑c n z n 在z = 2 点收敛,则级数在

n=1

(A)z =-2 点条件收敛;(B)z = 2i 点绝对收敛;

(C)z = 1 +i 点绝对收敛;(D)z = 1 + 2i 点一定发散.4.下列结论正确的是( )

(A)如果函数f (z) 在z0点可导,则f (z) 在z0点一定解析;

得分

e

(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析,则 ?

C f (z )dz = 0

(C ) 如果 ?

C f (z )dz = 0 ,则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析;

(D ) 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是

u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是(

).

(A) ∞为sin 1

的可去奇点 z

(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤立奇点; ∞ 1 (C) sin 1

z

(D) 为 的孤立奇点. sin z

三.按要求完成下列各题(每小题 10 分,共计 40 分)

(1)设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求

a ,

b ,

c ,

d .

z

(2).计算 ?

C

z (z - 1)2

d z 其中 C 是正向圆周: z = 2 ;

得分

z

d z (3)计算? 15

z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3

(4) 函数 f (z ) =

z (z 2 -1)(z + 2)3 (z - 3)2

(sin z )3

在扩充复平面上有什么类型的奇点?

,如果有极点,请指出它的级.

四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1

z 2 (z - 1)

在以下区域内展开成罗朗级

得分

? 数;

(1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞

五.(本题 10 分)用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题

? y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ?

y (0) = y '(0) = 1

得分

六、(本题 6 分)求 f (t

) e t

(

0) 的傅立叶变换,并由此证明:

cos

t

t

2 2 d 2 e 0

?复变函数与积分变换?期末试题(A )答案及评分标准

一.填空题(每小题 3 分,共计 15 分)

得分

3 的幅角是( 2k Ln (-1 + i ) e

e 1. 1

- i 2 - + , k = 0,±1,±2 );2.

的主值是( 3

1 ln

2 +

3 2

4 i

z - sin z f (z ) =

1

);

3.

1

+ z 2 , f

(5)

(0) = ( 0

),4. z = 0 是

1 z

4

的( 一级

)极点;5. f (z ) = z

, R e s [ f (z ),∞] =(-1

);

二.选择题(每题 3 分,共 15 分)

1----5

B D

C B D

三.按要求完成下列各题(每小题 10 分,共 40 分)

(1).设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求

a ,

b ,

c ,

d .

解:因为 f (z ) 解析,由 C-R 条件

?u = ?v

?x ?y ?u = -?v

?y ?x

2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,

a = 2, d = 2, , a = -2c ,2

b = -d ,

c = -1, b = -1,

给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。

z (2).计算 ?

C

(z - 1)2

z

d z 其中 C 是正向圆周:

解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,

仅给出用前者计算过程

因为函数 f (z ) = e z

(z - 1)2 z

在复平面内只有两个奇点 z 1= 0,z 2= 1 ,分别以

z 1,z 2 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1,c 2 且位于 c 内

z

?

C (z - 1)2 z d z = ?C e z (z - 1)2 z

d z + ?C

e z z 2 (z - 1)

2

d z

1

z

z →0 z z ? = 2i ( e z ' + 2i e )

z z =1

(z -1)2 z =0

= 2

i

无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。

(3. ? 15

z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3 d z

解:设 f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在: z < 3 内,由留数定理

15

?z =3 (1 + z 2 ) 2 (2 + z 4 )3 d z = -2i Re s [ f (z ), ∞]

-----( 5 分) = 2 1 1 ]

----(8 分) i Re s [ f ( 1 z ) z 2

1 1 ( )

15 1 f ( ) = z

z z 2

1 1 (1+ 1 )

2 (2 + ( 1

)4 z 2 z

1 )3 z

2 f ( ) = 有唯一的孤立奇点z = 0, z z 2 z (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)3

1 1 1 1 1 Re s [ f ( ) z

2 ,0] = lim zf ( ) z →0

z 2 = lim (1 + z 2 )2 (2z 4 + 1)3 = 1

∴ z 15 z =3 (1 + z 2 )2 (2 + z 4 )3

d z = 2i --------(10 分)

(4)函数 f (z ) =

z (z 2 -1)(z + 2)3

(sin z )3

2

(z - 3) 在扩充复平面上有什么类型的奇点?

,如果有极点,请指出它的级. 解

z (z 2 - 1)(z + 2)3 (z - 3)2

f (z ) = (sin z )3

的奇点为z = k , k = 0,±1,±2,±3, ,∞

(1)

z k , k 0 1 2 3, 为(sin z )3 0的三级零点,

(2) z

0,z 1,为f (z 的二级极点, z 2是f (z 的可去奇点,

(3) z = 3为f (z )的一级极点

(4)

z = 2,-3,±4 ,为f (z )的三级极点 (5)

为f (z 的非孤立奇点。

z

z

n =0

? ∞ 备注:给出全部奇点给 5 分 ,其他酌情给分。

四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1

z 2 (z - 1)

在以下区域内展开成罗朗级数;

(1) 0 <

z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞

解:(1)当0 <

f (z ) = z - 1 < 1

1 z 2

(z - 1) 1

= - 1 (z -1) ∞

[ 1 ]' (z - 1 + 1) 而[(z - 1 + 1) ]' = [∑ (-1)n (z - 1)n ]' ∞

= ∑(-1)n n (z - 1)n -1

n =0

f (z ) = ∑(-1)n +1 n (z - 1)n -2

n =0

-------6 分

(2)当0 < z < 1

f (z ) =

1

= -

1

1 ∞

z n

z 2 (z - 1)

= -∑ z n -2

n =0

z 2 (1 - z ) =

2

n =0

-------10 分

(3)当1 < z < ∞

f (z ) = 1

= 1

1

z 2 (z - 1) z 3 (1 - )

1 ∞ f (z ) = z 1 n =

1 ∑

z 3 ∑( )z z

n +3

------14 分

每步可以酌情给分。

n =0 n =0 五.(本题 10 分)用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题:

? y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x

?

y (0) = 1 = y '

(0) = 1

解:对 y (x ) 的 Laplace 变换记做L (s ) ,依据 Laplace 变换性质有

z

-

1

整理得

s 2 L (s ) - s - 1 - 5(sL (s ) - 1) + 4L (s ) =

1

s + 1

…( 5 分)

L (s ) =

1 +

(s + 1)(s - 1)(s - 4) 1

s - 1

= 1 10(s + 1) = 1 10(s + 1) -

1 6(s -1) + 5 6(s -1) + 1 + 15(s - 4) +

1 15(s - 4) 1 s -1 …(7 分)

y (x ) = 1 e -x + 5

e x + 1 e 4 x

…(10 分)

10 6 15

六、(6 分)求 f (t

) e

t

(

0) 的傅立叶变换,并由此证明:

cos

t

t

2 2

d

2 e

F ()

e

i

e

t

d t

(

0)

--------3 分

F () e

i

e

dt

e i

e

dt

( 0)

e (i )t

dt

e

(i )t

dt

(

0)

e (i )t

i

(

0)

F () 1

1 2

(0) ------4 分

i i

2

2

f (t )

e i F ()d (

0)

2

- -------5 分

1

e i

2

d

(

0) 2

2

2

1

(cos i sin

)d

(

0)

2

2

2 cos d

i sin

d

( 0)

2

2

2

2

e

(

i )t

i

解: 0

f (t ) 2 cos d

(0), ------------6 分

0 2 2

cos

t

t

2

d

2

e

?复变函数与积分变换?期末试题(B)

1. 填空题(每小题 3 分,共计 15 分)

2.1. 1 - i 的幅角是(

);2. Ln (- + i ) 的主值是 2

);3.

a =(

),

f (z ) = x 2 + 2xy - y 2 + i (ax 2 + 2xy + y 2 ) 在复平面内处处解析.4.

z = 0 是

z - sin z 的(

)极点;5.

z

3

f (z ) = 1

z ,

Re s [ f (z ),∞] =(

);

二.选择题(每小题 3 分,共计 15 分)

1

.解析函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 的导函数为( );

(A ) f '(z ) = u y + iv x ; (B ) f '(z ) = u x

- iu y ;

(C)

f '(z ) = u x + iv y ; (D) f '(z ) = u x + iu y . 2.C 是正向圆周 z = 2 ,如果函数 f (z ) = (

),则?C f (z )d z = 0 .

(A )

3

z - 1

; (B ) 3z

z - 1 ; (C ) 3z

(z - 1)2 ; (D ) 3

. (z -1)2

3. 如果级数∑c n n =1

z n

在 z = 2i 点收敛,则级数在

(A ) z = -2 点条件收敛 ; (B ) z = -2i 点绝对收敛; (C ) z = 1 + i 点绝对收敛; (D ) z = 1 + 2i 点一定发散. 4.下列结论正确的是( )

(A ) 如果函数 f (z ) 在 z 0 点可导,则 f (z ) 在 z 0 点一定解析;

(B)如果?C f (z)dz = 0 ,其中 C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z) 在C 所围成的区域内一定解析;

(C)函数f (z) 在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数,而且展开式是唯一的;

(D)函数 f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 在区域内解析的充分必要条件是u(x, y) 、v(x, y) 在该区域内均为调和函数.

5.下列结论不正确的是().

(A)、lnz是复平面上的多值函数;(B)、cosz是无界函数;

(C)、sin z是复平面上的有界函数;(D)、e z是周期函数.

三.按要求完成下列各题(每小题8 分,共计50 分)

(1)设f (z) u( x, y) i( x2 g( y))) 是解析函数,且f (0) 0 ,求g( y),u( x, y), f (z) .

(2).计算? z

d z .其中 C 是正向圆周z = 2 ;

C(z+21)(z-i)2得分

1

(3).计算 ? z 2

C (1 - z )

e 1z d z ,其中 C 是正向圆周 z =

(4.利用留数计算 ?C

(z - 1)(z - 2)2

d z .其中 C 是正向圆周 z = 3 ;

2 ;

(5)函数

f (z ) z (z 2 1)(z 2)3 (sin z )3

在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如 果有极点,请指出它的级.

四、(本题 12 分)将函数 f (z ) =

1

z 2 (z - 1)

在以下区域内展开成罗朗 (1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞

级数;

得分

?

五.(本题 10 分)用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题

? y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -x ?

y (0) = y '(0) = 1

得分

六、(本题 8 分)求 f (t

) e t

(

0) 的傅立叶变换,并由此证明:

cos

t

t

2

2 d

2

e 0

得分

得分

z 2

?复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准(B)填空题(每小题3 分,共计15 分)

1.

1-i 的幅角是(

2

Ln(-1 -i) 的主值是(1 ln 2 -

-+ 2k,k = 0 ±1,±2,

4

);2.

1

i );3. f (z) =

2 4 1 +z2 ,

f (7) (0) =( 0 );4. f (z) =z - sin z

z 3 ,

Re s[ f (z),0] =(0)

;5. f (z) = 1 ,Re s[ f (z),∞] =(0 );

二.选择题(每小题3 分,共计15 分)

1-------5 A A C C C

三.按要求完成下列各题(每小题10 分,共计40 分)

(1)求a,b, c, d 使

f (z) =x2 +axy +by 2 +i(cx2 +dxy +y 2 )是解析函数,解:因为f (z) 解析,由 C-R 条件

?u

=?v

?x ?y ?u

=-

?v ?y ?x

2x +ay =dx + 2y ax + 2by =-2cx -dy,

a = 2, d = 2, ,a=-2c,2

b =-d ,

c =-1, b =-1,

给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。

(2.?C

1

z(z - 1)2

d z .其中 C 是正向圆周z = 2 ;

一.

得分

得分

1 1 1

解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算, 仅给出用前者计算过程 因为函数 f (z ) =

1

(z - 1)2 z

在复平面内只有两个奇点 z 1= 0,z 2 = 1,分别以

z 1,z 2 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1,c 2 且位于 c 内

?C (z - 1)2 z

d z = ?C 1 (z - 1)2 z d z + 1

z d z C 2 (z - 1)2 = 2 1 ' + 2i 1 = 0

i ( ) z z =1

z 3e 1z

(z - 1)2 z =0 (3).计算 ?

C

(1 - z )

d z ,其中 C 是正向圆周 z = 2 ; 解:设 f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在: z < 2 内,由留数定理

?

z =2

f (z)d z = -2i Re s [ f (z ), ∞] = 2ic -1

-----(5 分)

1 < z < ∞

1

z 3e z

(1 - z ) 1 = - z 2e z

1 - 1 z

= -z 2 (1 + + z

1

2!z 2

+ 1 3!z 3

+ )(1

+ 1 + 1 z z 2 + 1 + ) z 3 = -(z 2 + z + 1 + 1 + 1 )(1 + 1 + 1 + 1

+ ) 2!

3!z 4!z 2 z z 2 z 3 c = -(1 + 1 + 1 + 1 ) = - 8

-1 2! 3! 3

?z =2

f (z)d z = - 8

2i 3

(4)函数 (z 2 -1)(z + 2)3

(sin z )3

在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果

有极点,请指出它的级.

f (z )的奇点为z = k , k = 0,±1,±2,±3, ,∞

f (z ) =

?

n =0 ∞

z k , k 0 1 2 3, 为(sin z )

3 0的三级零点, z = ±1, 为f (z )的二级极点,z = -2是f (z )的可去奇点 z = 0,2,-3,±

4 ,为f (z )的三级极点

为f (z 的非孤立奇点。

给出全部奇点给 5 分。其他酌情给分。

四、(本题 14 分)将函数 f (z ) =

1

z 2 (z +1)

在以下区域内展开成罗

朗级数;

(1) 0 < z +1 < 1,(2) 0 <

z < 1 ,(3)1 <

z < ∞

(1) 0 <

z + 1 < 1 ,(2) 0 <

z < 1 ,(3)1 <

z < ∞

解:(1)当0 < z + 1 < 1

f (z ) = 1 z 2 (z + 1) =

1 (z + 1) [ 1 ]' (1 - (z + 1)

1 ∞ ∞

而[ ]' = [∑(z + 1)n ]' = ∑ n (z + 1)n -1 (1 - (z + 1) ∞

n =0 n =0

f (z ) = ∑ n (z + 1)n -2

n =0

--------6 分

(2)当0 < z < 1

f (z ) =

1

1 ∞

(-1)n z n

z 2 (z + 1) =

z 2 ∑

= ∑(-1)z n -2

n =0

(3)当1 < z < ∞

f (z ) =

1

=

-----10 分

1 1 z

2 (z + 1) z

3 (1 + )

z

得分

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