第09讲三角函数零点问题的处理
【知识要点】
三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.
【方法讲评】
方法一单调性+数形结合
解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.
【例1】已知向量，，设函数．
（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
（1）∵函数图象关于直线对称，
∴，解得：，∵，∴，
∴，由，
解得：，
所以函数的单调增区间为．
∴当或时函数有且只有一个零点．
即或，所以满足条件的．
【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复
合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问
，左边可以取等，右边不能取等.
【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。且.
（1）求的单调减区间；
（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.
方法二分离参数+数形结合
解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.
【例2】已知函数的最大值为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在
∈上有解，求实数的取值范围．
【解析】（1）
，
由，解得，
所以函数的单调递增区间
当时，，取最小值-3．
方程在∈上有解，即 -3≤≤
【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为.
（1）若，求它的振幅、初相；
（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；
（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.
方法三方程+数形结合
解题步骤先解方程，再数形结合分析解答.
【例3】已知函数.
（Ⅰ）当时，求值；
（Ⅱ）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.
【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面
的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.
【反馈检测3】已知函数，其中常数；
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函
数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．
高中数学热点难点突破技巧第09讲：
三角函数零点问题的处理参考答案
【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、；（2）
，且.
【反馈检测1详细解析】
（2）因，则.设，
所以有两个不同的解，由题得
. 借助函数图象可知：，即
所以得：，且
【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.
【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即
.
（1）函数的振幅是，初相为
（2）列表
2 0 0
【反馈检测3答案】（1）（2）
【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有
(2) ，
或，
即的零点相离间隔依次为和，
故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．
函数零点易错题 三角函数重难点 教师版 函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助． 1． 因＂望文生义＂而致误 例１．函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２ 错解：Ｃ 错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数 ()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 正解：由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２，所以选Ｄ． 点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求． 2． 因函数的图象不连续而致误 例２．函数()x x x f 1 +=的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 错解：因为2)1(-=-f ，()21=f ，所以()()011<-f f ，函数()x f y =有一个零点，选Ｂ．
错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()x x x f 1+=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理． 正解：函数的定义域为()()+∞?∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0
第09讲三角函数零点问题的处理 【知识要点】 三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用. 【方法讲评】 方法一单调性+数形结合 解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析. 【例1】已知向量，，设函数． （1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． （1）∵函数图象关于直线对称， ∴，解得：，∵，∴， ∴，由， 解得：， 所以函数的单调增区间为．
∴当或时函数有且只有一个零点． 即或，所以满足条件的． 【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复 合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问 ，左边可以取等，右边不能取等. 【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。且. （1）求的单调减区间； （2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围. 方法二分离参数+数形结合 解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答. 【例2】已知函数的最大值为． （1）求函数的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在
∈上有解，求实数的取值范围． 【解析】（1） ， 由，解得， 所以函数的单调递增区间 当时，，取最小值-3． 方程在∈上有解，即 -3≤≤ 【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为. （1）若，求它的振幅、初相； （2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像； （3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数．证明： （1）在区间 存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]-
（ii ）当0,2x π?? ∈ ??? 时,由（1）知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ；当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. （iii ）当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. （iv ）当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-， （1）求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π)， 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ，不合题意； 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减， 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的， 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0)，不合题意； ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞
高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：
三角函数()f x ω?+中ω、?的取值范围问题 利用对称中心与对称轴间距离 例1：已知0ω>，函数()cos()3f x x πω=+的一条对称轴为直线3x π=，一个对称中心为点( ,0)12π，则ω有（ ） B 最大值2 B ．最小值2 C ．最小值1 D ．最大值1 例2：设函数()sin()f x x ω?=+（,,A ω?是常数，0A >，0ω>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236 f f f π ππ==-，则()f x 的最小正周期为______.（π） 利用特殊点的坐标 例3：已知函数()sin()f x A x ω?=+（0ω>，0?π≤≤）是R 上的偶函数，其图象关于点3( ,0)4M π对称，且在区间[0,]2 π上是单调函数，则ω和?的值分别为（ ）C A ．2,34π B ．2,3π C ．2,2π D ．10,32π 例4：如果函数3cos(2)y x ?=+的图象关于点4( ,0)3π中对称，那么?的最小值为（ ）A A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2π 例5：若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移?（0?>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则?的最小值是（ ）C A ． 8π B ．4π C ．38π D ．34π 例6：若将函数tan()4y x π ω=+（0ω>）的图象向右平移6 π个单位长度后，与函数tan()6 y x π ω=+的图象重合，则ω的最小值为（ ）D A ．16 B ．14 C ．13 D ．12 B ． 利用题设区间长度与周期的关系建立不等式
三角函数常见问题十种求解策略 导语：三角形中的三角函数问题,是三角函数和解三角形两个知识点的有机结合,也是近年来高考中常见的考点之一。以下是为大家精心的高中数学，欢迎大家参考！ 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间（-90，90）的公式. 1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)； 2.cos(kπ+α)=(-1)kcos α(k∈Z)； 3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)； 4.cot(kπ+α)=(-1)kcot α(k∈Z). 二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图” 1.sinα+cosα>0(或 2.sinα-cosα>0(或 3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内; 4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内. 三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。 四、“见齐思弦”=>“化弦为一” 已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α. 五、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：
1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β; 2.cos(α+ β)cos(α-β)=cos2α-sin2β. 六、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则： (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故 1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α; 2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α. 七、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式: tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？ 八、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠ 0) 1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称； 2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称； 3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数 y=Acot(wx+φ)的对称性质。 九、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式： 1.|sinx|≤1,|cosx|≤1; 2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);
三角函数常见错误类型 由于三角函数的性质和公式较多，变换灵活，一题多解是常有的事，正因为解题途径呈开放性，有时思维误入歧途就不容易察觉，导致误解的原因也因题而异. 1.忽视定义域 三角恒等变换必须使涉及的各个三角函数有意义，给定的任意角的范围不被改变，对切与割两类函数尤其需要重视定义域的考察，否则易造成错解. 例1：求函数sin (1tan tan )2x y x x =+的递增区间. 解：sin (1tan tan )tan 2x y x x x =+= 所以原函数可化为tan y x =，故递减区间为(,),()22k k k Z ππππ- +∈. 致误分析：忽视了函数式中tan tan 2 x x 有意义的x 的取值范围，即,2,()2x k x k k Z π πππ≠+≠+∈，由此可知递增区间为：(2,2)22k k ππππ-+，(2,2)2k k π πππ++，3(2,2)2 k k ππππ++，()k Z ∈. 2.忽视单调性 已知部分三角函数值，求某一区间上的角，若不注意用三角形的单调性，则容易增解，如下例： 例2：已知1cos 7α=, 11cos()14αβ+=-,且(0,)2πα∈,(,)2 παβπ+∈，求β的值. 解：因为0()()αβαπ<++-<，所以(0,)βπ∈，又有sin sin[()()]βαβα=++- =sin()cos cos()sin αβααβα+?-+? =1111471472 +?=.所以3πβ=或23πβ=. 致误分析：(0,)βπ∈时sin β不是单调函数，由sin β= 求角β还须进一步讨论范围，因为(0,)βπ∈时cos β是单调函数,所以取余弦函数求角β是合理的，因为cos β =1cos[()()]2αβα++-=, 所以3 πβ=. 3.忽视特殊值 有些涉及三角函数值域，参变数取值范围的问题，应注意对区间端点，最值点，零点（即图象与x 轴交点）等特殊值进行讨论，以免因一点一值酿成错误，如下例： 例3：已知方程sin 0x x a +=在区间[]0,2π上有且只有两个不同的实根，求实数a 的取值范围.
与三角函数有关的零点问题 1、【2015湖北】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22 x f x x x x =---+的零点个数为＿＿＿＿＿＿． 【答案】2 【解 析】因为2()4c o s c 22x f x x x x π=---+|)1l n ( |s i n 2s i n )c o s 1(2+--+=x x x x ＝sin 2|ln(1)|x x -+， 所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(x f 有2个零点． 【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解． 2、函数()2πcos 23f x x ??=- ???＋2311π19π4cos 2,3π1212x x x ????--∈- ???-????所有零点之和为（ ） A ．2π3 B ．4π3 C ．2π D ．8π3 【答案】B
3．若函数sin log 2a y x x π =-的图象至少有12个零点点，则a 的取值范围是（ ） A ．(]1,14 B ．[)14,+∞ C ．(]1,7 D ．[)7,+∞ 【答案】D 【解析】2y sin x π= 与log x a y = 都是偶函数，所以sin log 2a y x x π =-是偶函 数，只需0x > 时，有至少6个零点，即可画出0x >时，函数sin 2y x π =的图象与 log a y x =的图象，如图，由图可知，7log 1,7a a ≤≥ ,即a 的取值范围是[)7,+∞，故选 D ．
关于三角函数的几种解题技巧 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 222±=±+=±故知道)c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。
高中数学热点难点突破技巧第09讲: 三角函数零点问题的处理 【知识要点】 三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点?三角函数的零点问题的处理一 般有以下三种方法：1、单调性+数形结合.2、分离参数+数形结合?3、方程+数形结合.三种 方法也不是绝对的，要注意灵活使用. 【方法讲评】 ［例1 ］已知向量用=帀3垃1), n = (cosaix^of^aix + 1),设函数f(x)=川?亦十h 71 X — (1) 若函数/(X )的图彖关于直线 &对称，且e (0#3］时，求函数/(X )的单调增区间； < 7n x € |0,］ 、 (2) 在(1)的条件下，当 12时，函数/(刃有且只有一个零点，求实数〃的取值范围. 【解析】向量用= (VJsina 爲 1), n = (cose 篇 cos2a 光 +1), /(x) = m ? n + ^ = ^sincaxcosajx + cos 2cox+ 1 + & vl 1 3 JT 3 =—sin2ojx + - cos 2 + - + d = sin(2tox + -) + -+& n (1)???函数/I")图象关于直线"一 6对称， n JT 3T“ + = Azr + (k € Z) : 6 6 ? 丿，解得：3 = 3k+l(kwZ), ?.?3E[0,3] n 3 n 7r b n /(.r) = sin(2x + )+ 4- b 2kn - < 2x + < 2kn + ； 6 2 由 2 6 2, JT . 7T 、 解得: JT n kn-3 [kx- ,kn + ](k€ Z)所以函数/(x)的单调增区间为 3 6 三角函数图像变换及零点问题 一、图像变换知识点及经典例题 知识点1：平移变换：函数y ＝f(x ＋a)的图象可由y ＝f(x)的图象向____(a>0)或向____(a<0)平移____个单位得到；函数y ＝f(x)＋a 的图象可由函数y ＝f(x)的图象向____(a>0)或向____(a<0)平移____个单位得到知识点2：对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；②f(x)与f(－x)的图象关于____轴对称；③f(x)与－f(x)的图象关于____轴对称；④f(x)与－f(－x)的图象关于________对称；⑤f(x)与f(2a －x)的图象关于直线________对称；⑥曲线f(x ，y)＝0与曲线f(2a －x,2b －y)＝0关于点________对称；⑦|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x 轴________的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；⑧f(|x|)的图象先保留f(x)在y 轴________的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．知识点3：伸缩变换：函数y ＝f(ax) (a>0)的图象可由y ＝f(x)的图象沿x 轴伸长(0 函数零点易错题三角函数重难点教师版 CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020. 函数零点易错题 三角函数重难点 教师版 函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助． 1．因＂望文生义＂而致误 例１．函数23)(2+-=x x x f 的零点是 （ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ．１，２ 错解：Ｃ 错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数x ，也是函数()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 正解：由()0232=+-=x x x f 得，x ＝１和２，所以选Ｄ． 点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x 轴交点的横坐标． 即使所求． 2．因函数的图象不连续而致误 例２．函数()x x x f 1 + =的零点个数为 （ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 错解：因为2)1(-=-f ，()21=f ，所以()()011<-f f ，函数()x f y =有一个零点，选Ｂ． 错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数()x x x f 1 +=的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理． 正解：函数的定义域为()()+∞?∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0 三角函数w的取值问题 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 三角函数w 的取值问题 1.已知ω＞0，函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π4在? ?? ??π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案：???? ??12，54 答案：C 4．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 解：由f （x ）是偶函数，得f （﹣x ）=f （x ），即sin （﹣ωx +）=sin （ωx +）， 所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x 都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0． 依题设0＜φ＜π，所以解得φ= ，由f （x ）的图象关于点M 对称，得f （﹣x ）= ﹣f （+x ）， 取x=0，得f （ ）=sin （+）=cos ，∴f （）=sin （+）=cos ，∴cos =0，又ω＞0，得=+kπ，k=1，2，3，∴ω=（2k+1），k=0，1，2， 当k=0时，ω=，f （x ）=sin （x+）在[0，]上是减函数，满足题意； 当k=1时，ω=2，f （x ）=sin （2x+）在[0，]上是减函数； 当k=2时，ω= ，f （x ）=（x+）在[0，]上不是单调函数；所以，综合得ω=或2．故选D ． 5．（2016年全国I 高考）已知函数ππ()sin()(0),24 f x x+x ，ω?ω?=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836 ，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：∵x=﹣为f （x ）的零点，x=为y=f （x ）图象的对称轴， ∴，即，（n ∈N ）即ω=2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（，）则﹣=≤， 即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k ∈Z ， ∵|φ|≤ ，∴φ=﹣，此时f （x ）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k ∈Z ， ∵|φ|≤，∴φ=，此时f （x ）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B 6. 已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间??????－π3 ，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________． 答案：32 _) f(-x)=- x +x=-(- x 先将y=f(x)的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)的图象，然后将y=f(-x) 图象 坐标不变，再向左平移1个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 分析：根据函数图像伸缩变换的法则，首先由y=log 2x的图像，纵坐标缩短到原来的 1 ，得到 ＝1 2 log 2 x的函数，再将 二、函数零点知识点及经典练习题知识点1：函数零点的定义 (1)对于函数y＝ (2)方程f(x)＝ 在性定理 Δ＝0 ＋ 轴的交点________ ________ x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根， 就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧． ln ＝ 例1：已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围 解 若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0. 令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2 ＋24a ＋4＝0， 解得a ＝－3±7 2. ①当a ＝－3－72时，f (x )＝0的重根x ＝3－7 2∈[－1,1]， 当a ＝－3＋72时，f (x )＝0的重根x ＝3＋7 2 ?[－1,1]， ∴y ＝f (x )恰有一个零点在[－1,1]上； ②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0， 即10 Δ＝8a 2 ＋24a ＋4>0－1<－12a <1f 10f 10 ，或????? a <0 Δ＝8a 2 ＋24a ＋4>0 －1<－12a <1 f 10f 10 ， 解得a ≥5或a <－3－7 2 . 综上所述实数a 的取值范围是a >1或a ≤－3－7 2 . 例2：若函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围． 分析：看到x 4和x 2出现，可以联想到二次关系，然后根据根的存在性就可以完成该题目，需要注意的是根在什么范围内存在，易错 解 方法一 (换元) 设2x ＝t ，则函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1化为g (t )＝t 2 ＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))． 函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t 2 ＋at ＋a ＋1＝0，①有正实数根． (1)当方程①有两个正实根时， a 应满足???? ? Δ＝a 2 －4a ＋10 t 1＋t 2＝－a >0 t 1·t 2＝a ＋1>0 ， 解得：－1 三角函数里面的ω问题 1若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间??? ?－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是 解析:法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2 ，k ∈Z ，得f (x )的增区间是????2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω(k ∈Z ).因为f (x )在????－π2，2π3上是增函数，所以????－π2，2π3?????－π2ω，π2ω.所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈??? ?0，34. 法二 因为x ∈????－π2，2π3，ω>0.所以ωx ∈????－ωπ2，2πω3，又f (x )在区间????－π2，2π3上是增函数，所以????－ωπ2，2πω3?????－π2，π2，则???－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2 ，又ω>0，得0<ω≤34. 法三 因为f (x )在区间????－π2，2π3上是增函数，故原点到－π2，2π3的距离不超过T 4，即? ??π2≤T 4，2π3≤T 4 ，得T ≥8π3，即2πω≥8π3，又ω>0，得0<ω≤34 . 2.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4 为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在????π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.5 解析:因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－????－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在????π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω ，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 3.已知ω>0，函数f (x )＝cos ? ???ωx ＋π4在????π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.????12，54 B.????12，74 C.????34，94 D.????32，74 解析: 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ， 则? ??ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4 ≤2k π(k ∈Z )，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ， 又由4k －52－????2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14 >0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈????32，74. 4.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在????0，π3上单调递增，在区间????π3，π2上单调递减，则ω＝ 解析 法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图 象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32 . 法二 由题意，得f (x )max ＝f ????π3＝sin π3 ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32 . 与三角函数有关的零点 问题 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N] 与三角函数有关的零点问题 1、【2015湖北】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|2 2 x f x x x x =---+的零点个数为＿＿＿＿＿＿． 【答案】2 【解析】因为 2()4cos cos()2sin |ln(1)|22 x f x x x x π =---+|)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x ＝ sin 2|ln(1)|x x -+，所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图 象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(x f 有2个零点． 【方法技巧归纳】利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解． 2、函数()2πcos 23f x x ??=- ???＋2 311π19π4cos 2,3π1212x x x ????--∈- ???-??? ?所有零点之和为（ ） A ． 2π3 B ．4π3 C ．2π D ．8π 3 【答案】B 3．若函数sin log 2 a y x x π =-的图象至少有12个零点点，则a 的取值范围是 （ ） A ．(]1,14 B ．[)14,+∞ C ．(]1,7 D ．[)7,+∞ 【答案】D 【解析】 2 y sin x π = 与log x a y = 都是偶函数，所以sin log 2 a y x x π =-是偶函数，只需0x > 时，有至少6个零点，即可画出0x >时，函数 sin 2 y x π =的图象与log a y x =的图象，如图，由图可知，7log 1,7a a ≤≥ ,即a 的取值范围是[)7,+∞，故选D ． 三角函数中参数问题的解决 【2016全国一（12）】已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ， ω?ω?=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836 ，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 题组一 1. 已知函数()sin()(0)3f x x π ωω=-> ，若函数()f x 在区间3(,)2 ππ 上为单调递减函数，则实数ω 的取值范围是 A.211[, ]39 B. 511[,]69 C. 23[,]34 D. 25[,]36 2.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>在区间()0,π上恰有3个不同的0x ，使得()01f x =，则ω的取值范围是 （A ） 52326?? ???， （B ）52326?? ???， （C ）31926?? ???， （D ） 31926?? ??? ， 3.已知函数()()cos 03f x x πωω??=+ > ???在区间362ππ?? ???，有且仅有一个最小值点和两个零点，则ω的范围是（ ） A. 719?? ???， B. 3749?? ???， C. 914?? ???， D. 3944?? ??? ， 题组二 1. 已知函数()()() 2sin 0,f x x ω?ω?π=+><的部分图像如图所示，则()f x = 2. 已知函数()()()2sin 0,f x x ω?ω?π=+><的部分图像如图所示，且 (),1,12 A B ππ??- ??? ，，则?的值为 练习：1.已知 ，函数 在 内单调递减，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 函数()=2cos (sin cos 3(0)222x x x f x ωωωω> 在区间(,)3π π 上有且仅有 一个零点，则实数ω 的范围是 . 3. 已知函数()()sin 0,02f x x πω?ω???=+><< ???，()02f f π??=- ???，若将()f x 的图像向左平移12π后所得函数的图象关于原点对称，则=? .【免费下载】三角函数变换及零点问题
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