第五章 联立方程组模型的估计
第一节 概述
一、联立方程的概念
在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关系。还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。这样的例子比如市场均衡模型（具体内容是什么？）宏观经济学中的国民收入模型（具体内容是什么？）。这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。 简单来讲，
联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。 比如如下的简单的宏观经济模型：
()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-??
=+??=++?
在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程
和一个均衡方程。比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。我们能够发现什么呢？（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看）
二、模型中变量的分类
1、内生变量：（由模型内变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。
内生变量的性质：第一、内生变量与随机误差项是相关的；第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。
2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统内生变量的值。
外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件）
3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后内生变量和滞后外生变量）的统称。
前定变量的性质：第一，前定变量与模型的随机误差性不相关；第二，在模型中作为解释变量出现。
注意：1、联立方程模型和单一方程的变量的分类有什么差异？（联立方程模型的分类、单一方程中的分类）
2、内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。
三、模型中方程的分类
1、行为方程：描述居民、企业和政府的经济行为。这类方程建立在相应的经济理论基础之上。也称之为随机方程（为什么？），带有随机误差项。
2、技术方程：表示生产的技术关系。它也是随机方程（为什么？），带有随机误差项。
3、定义方程：定义某一经济变量与其他经济变量之间之间的恒等关系。此类方程中没有参数和随机误差项。
4、平衡方程：表示经济系统均衡或平衡状态的恒等关系式。此类方程中没有参数和随机误差项。
定义方程和平衡方程可合称为恒等式方程。
四、联立方程组模型中变量和方程分类的例子：
1、y t =α0+α1y t-1+β0 xt+β1x t-1 +u t
指出内生变量、外生变量、前定变量。
yt为内生变量；x t为外生变量；yt-1, xt , xt-1为前定变量
2、凯恩斯模型（为简化问题，对数据进行中心化处理，从而不出现截距项）
c t=α1y t+u t1（1）
I t=β1y t+β2y t-1+u t2（2）
y t=c t+I t+G t （3）
其中，c t消费；y t国民收入；I t投资；G t政府支出。α1, β1, β2称为结构参数。
试指出内生变量、外生变量、前定变量以及方程的类别。
模型中内生变量有三个c t，y t，I t。外生变量有一个 G t。内生滞后变量有一个 y t-1。G t, y t-1又称为前定变量。方程（1）和（2）为行为方程，方程（3）为定义方程。
五、用普通最小二乘法来估计联立方程模型可行吗？
关键在于联立方程模型是否满足经典模型的假定条件。事实上，从逻辑关系上，我们可以分析得出：内生变量与随机误差项是相关的（为什么？）。而在内生变量作为解释变量的方程中，这意味着解释变量与随机误差项是相关的，从而这违反了一元和多元线性回归模型中的解释变量与随机误差项不相关的假设，因此，不能用普通最小二乘法来对联立方程组模型进行估计。
进一步，可以证明：
1、内生解释变量与随机误差项之间相关。
2、用最小二乘法对联立方程组模型进行估计得出的参数估计值是有偏的。
3、用最小二乘法对联立方程组模型进行估计得出的参数估计值是非一致的。
以此，我们可以得到：
适用于单方程模型参数估计的普通最小二乘法不适合于联立方程组模型的参数估计。
为了讨论联立方程组模型的参数估计方法，我们有必要对联立方程组模型进行进一步的讨论，这包括：1、模型的结构式、简化式及其二者之间的关系；2、如何来识别模型。
第二节模型的结构式与简化式
一、模型的结构式
1、概念
模型的结构式：依据经济理论直接设立的联立方程组形式，其中的每一个方程都直接表述这某种经济行为或经济关系。
2、形式
模型的结构式：把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系，方程中所含的参数
为结构式参数。
例如上边提到的凯恩斯模型
c t=α1y t+u t1（1）
I t=β1y t+β2y t-1+u t2（2）
y t=c t+I t+G t （3）
这就是一个结构模型。
不能用最小二乘法对联立方程结构式模型进行估计。
原因：用最小二乘法对联立方程组模型进行估计得出的参数估计值是有偏的、非一致的。
二、模型的简化式
模型的简化式：把内生变量只表示为前定变量与随机误差项函数的联立模型。简化式方程中所含的参数为简化式参数。
简化型模型可用最小二乘法估计参数。
原因：由于简化型模型一般是由结构模型对应而来，每个方程只含有一个内生变量且为被解释变量。它是前定变量和随机项的唯一函数。方程中解释变量都是前定变量，自然与随机项无关。所以用最小二乘法得到的参数估计量为一致估计量。
现在的问题：是否可以通过将结构式模型转化为简
化式模型求得简化式参数，进而求得结构式参数呢？这需要讨论简化式参数和结构式参数之间的关系，参数之间关系的讨论建立在简化式和结构式的一般形式的讨论上。因此，必须对简化式和结构式的一般形式先进行讨论。
三、线性模型结构式的一般形式
设线性联立方程组模型包含有m 个内生变量
12,m Y Y Y ???，含有k 个前定变量12,k X X X ???，其形式
为：
11221122i i i im m i i ik k i
Y b Y b Y b Y c X c X c X u =++???++++???+
这里有()1,2,3,i m =???
则完备的线性模型的一般形式为：
1111221111122131m m k Y Y Y X X X u βββγγγ++???++++???=2112222211222232
m m k Y Y Y X X X u βββγγγ++???++++???=???
112211223m m mm m m m m k m
Y Y Y X X X u βββγγγ++???++++???=在这个线性方程组模型当中，ij
β和i j γ为结构参数。
注意：1、此方程的特点有哪些，对照前面的例子
2、样本数据问题
令：
111222,,m m m Y X u Y X u Y X U Y X u ??????????????????===??????????????????
()
11121212221
2
m m ij m m
m m mm B ββββββββββ???????
==??????
()
1112
12122212
k k ij m k
m m mk γγγγγγγγγγ???????
Γ==???
???
则上述完备的线性模型的一般形式可以用矩阵表示
为：
BY X U
+Γ=
注意此矩阵表示的变量、参数的含义 四、线性模型简化式的一般形式
如果矩阵B 是满秩，则其逆矩阵存在，从而对
BY X U
+Γ=
两端左乘矩阵1
B -得到：
111
11
BY X U
B BY B X B U Y B X B U -----+Γ=?+Γ=?=-Γ+
可记为：Y X V
=∏+
其中：
1
1
B V B U
--∏=-Γ=
分析此式子，我们可以发现其即为由线性模型结构式
BY X U
+Γ=
推导出的简化式。
并且
1
1
B
V B U
-
-
∏=-Γ=
表明了结构式和简化式之二者当中结构式参数和简化式参数的对应关系以及误差项之间的对应关系。
从这里可以看出，我们可以利用参数之间的对应关系，先估计简化式参数的值，之后在根据结构式参数和简化式参数之间的对应关系求出结构式参数。但在这之前，我们必须首先讨论模型的识别问题。
第三节线性方程组模型的识别问题
一、模型识别问题的主要内容：
、能否从已经估计出的简化式参数，求出结构式参数。
2、若能求出，解出的参数结构值是否是唯一的。
这两个问题等价于如下的两个问题：
1、模型能否被“识别”，它表现为结构式模型中的每一个
随机方程是否有“唯一的统计形式”。
2、在模型“可识别”的前提下，方程是“恰好识别”还
是“过度识别”
二、线性方程组识别问题的感性认识
例1：关于粮食的需求供给模型如下：
D t =β0+β1P t +u 1 (需求函数) S t =α0+α1P t +u 2 (供给函数)
S t =D t (平衡方程)
其中D t 需求量，S t 供给量，P t 价格，u i , (i =1,2)随机项。 当供给与需求在市场上达到平衡时，有D t = S t = Q t （产量），当用收集到的Q t ，P t 样本值，而无其他信息估计回归参数时，则无法区别估计值是对β0，β1的估计还是对α0，α1的估计。这就是联立方程模型的识别问题。
三、线性联立方程组模型识别问题的进一步认识 1、一个例子的说明
例2：某种商品的市场均衡组成的联立联立方程组模型如下：
11121d Q b b P u =++ 111211d Q b b P u =?++
21222s Q b b P u =++
?
212221s Q b b P u =?
++ d s Q Q Q == d s Q Q Q ==
根据经济理论，我们知道，这是一个结构式模型。内生变量分别是商品供给量、商品需求量和商品价格，外生变量为1，前定变量为1；需求方程和供给方程为行为方程，第三个方程为均衡方程。
现在，通过变化，通过解上述的方程组我们可以得到：
11121212221112121222211121
12221222
d s d s Q b b P u Q b b P u Q Q Q
b b P u b b P u b b u u P b b b b =++??
=++??==?
?++=++--?=+
--
进一步可以得到：
12211122122221
12221222
b b b b b u b u Q b b b b --=+
--
因此，我们可以得到该模型的简化式为：
如果将上述模型的简化式进一步写为：
111P v π=+
122Q v π=+
则必然有：
211121122212221221112212222112221222b b u u P b b b b b b b b b u b u Q b b b b --?
=+?--??
--?=+?--?
211121
11112221222,b b u u v b b b b π--==
--
12211122122221
12212221222,b b b b b u b u v b b b b π--==
--
至此，我们可以看到：模型结构式的四个参数分别是：
11122122,,,b b b b 。
模型简化式的两个参数分别是：
1112
,ππ
因此，这里就出现两个简化式参数与四个结构式参数相对应。这就导致不可能从两个简化式参数解出来四个结构式参数。
我们用商品数量和价格的样本数据估计出来的参数不能推断出模型的结构参数。进一步，我们估计出来的参数不知道是需求方程的参数或是供给方程的参数。这就是模型的识别问题。
2、模型为什么会产生不能识别的问题 再次观察上述结构式方程：
11121
21222
d s d s Q b b P u Q b b P u Q Q Q
=++??
=++??==?
我们可以发现，其具有如下的特点：
第一，需求方程和供给方程具有相同的变量和函数形式； 第二，需求方程和供给方程与两方程线性组合形成的方程具有相同的变量和函数形式。
在这样的情况下，没有表明表述供给函数和需求函数的其他信息，方程是不能识别的。
现在，考虑在需求方程中加入一个外生变量，即收入变量Y ，则上述结构式模型变为如下形式：
111213121222
d s d s Q b b P b Y u Q b b P u Q Q Q =+++??
=++??==?
则根据上述变为简化式模型的同样的方法，此模型的简化式可以写为：
11121
12222
P Y v Q Y v ππππ=++??
=+++?
其中有：
13211121
11211122212221222
132212211122122221
12222122212221222
,,,,b b b u u v b b b b b b b b b b b b b u b u v b b b b b b ππππ---===
------===
--- 则模型的结构式有五个参数，简化式有四个参数。通过对
简化式运用普通最小二乘法求出四个简化式参数后，仍然不能求出结构式中的五个全部参数。 然而，有参数之间的对应关系：
211111122213211222122111221212221322
22
1222b b b b b b b b b b b b b b b b b ππππ-?=?-?
-?
=?-??
-?=?-?
-?=?-?
可以得到：
21212211222212b b b ππππ=-??
?=??
由此，我们可以得到以下连个结论：
第一，我们可以得到供给方程的所有结构参数21b 和22b ； 第二，需求方程的结构参数却不能求出。
现在的问题是：需求方程的结构参数为什么不能求出？
现在，我们考察由供给方程和需求方程的线性组合形成的新的方程，其具有下述一般形式：
=+++
Q a bP cY u
将供给方程与需求方程与上述方程做比较，我们可以发现：
第一，需求方程与此方程具有相同的变量和形式；
第二，供给方程与此方程具有不完全相同的变量和形式。在这样的情况下，我们估计出需求方程的参数之后，我们不能判断其是需求参数的结构参数，还是上述方程的参数。而供给方程则不存在这样的问题。
至此，我们可以得到如下的一个简单的结论：
一个结构方程如果与模型中的其他结构方程或者是由全部结构方程的线性组合形成的方程具有完全相同的统计形式，则由参数对应关系求出这个结构方程的结构参数；反之，则可求出结构参数。
四、结构方程的识别和联立方程组模型的识别
上述的例子是否具有一般性吗？
1、方程形式的唯一性：如果结构式模型中的某一个方程与此模型中其它任何一个方程以及所有结构方程的任意线性组合形成的方程相比较，具有不完全相同的内生变量和前定变量，则称这一结构方程具有唯一的统计形式。
进一步地，有：
2、可识别的方程：如果模型中某一个结构方程具有唯一的统计形式，则称这一结构方程式可识别的。反之，则称其不可识别。
注意：定义方程和平衡方程不存在识别问题。
在进一步，有：
3、可识别的联立方程组模型：若模型中的每一个结构方程都可识别，则称此模型是可识别的。特别是，只要有一个或者多于一个的结构方程不可识别，就称此模型是不可识别的。
方程可识别的意义：可识别的方程可以由参数之间的对应关系求出其结构参数，不可识别的方程则不能从中求出任何一个结构参数。
至此，出现的新问题是，方程可识别时，由简化式参数导出的结构式参数是唯一的吗？由此，有：
4、恰好识别的结构方程：若模型中某一结构方程可识别，并且从相应的参数对应关系中求得的此方程的全部结构参数值唯一，称此结构方程式恰好识别的。
与此相对应，有：
4、过度识别的结构方程：若某一结构方程识别，但从参数对应关系中求得的结构参数值不唯一，则称此结构方程是过度识别的。
五、方程和模型识别的几个例子： 1、
1112121222
d s d s Q b b P u Q b b P u Q Q Q
=++??
=++??==?
这个例子属于结构方程和联立方程组模型都不能识别 2、
1112131
21222
d s d s Q b b P b Y u Q b b P u Q Q Q =+++??
=++??==?
这个例子属于结构方程（供给方程）能够识别，但联立方程组模型不能识别。
进一步，由上述的分析知道，供给方程式恰好识别的。 3、
1112131
2122232
d s d s Q P Y u Q P T u Q Q Q ββββββ=+++??
=+++??==?
此模型属于两个结构方程都能识别、从而联立方程组也能识别。
进一步，我们知道，这两个结构都是恰好识别的。原因如
下：
上述结构式模型可以转化为下述简化式模型：
11121312122232P Y T v Q Y T v ππππππ=+++??
=+++?
其中，结构式模型中的六个结构式参数与简化式模型中的六个简化式参数的对应关系为：
1121112212131222122313221222111221
2122122213
22
22121223
23
2212ββπβββπββ
βπββββββπββββπββββπββ-?
=?-?
?
=?-?
?-=
?-?
?
-?=?-?
?=?-?
-?=?-?
求出简化式参数后，再求结构式参数，属于是六个未知数，六个方程的问题，因此，可以得到六个唯一的结构式参数。 因此，此模型的结构式方程属于恰好识别的。 4、
012310122
d s d s Q P Y R u Q P T u Q Q Q ααααβββ=++++??
=+++??==?
此模型与例3的模型相比，唯一的不同在于需求方程多了一个外生变量。
根据前边的方法，我们可以作出判断，需求方程和供给方程都是可识别的，进而我们也说此联立方程组模型是可识别的。
进一步，我们可以通过变换得到如下形式的模型的简化式：
0123145672P Y R T v Q Y R T v ππππππππ=++++??
=++++?
至此，我们可以发现，结构式模型含有7个参数，简化式含有8个参数。因此，求出简化式的8个参数后，运用二者之间的关系，求出结构式参数，相当于用8个方程求解7个未知数，故但从方程组的解的个数方面，我们就可以得出结构参数是多组解。
进一步，我们可以验证，需求方程的结构参数值是唯一的，因此，需求方程是恰好识别的。同时，供给方程的结构方程参数不是唯一的，因此，供给方程过度识别的。 六、模型可识别的进一步讨论 1、经济角度的意义
联立方程模型 一、概念： 联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。 由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影 响。一般都是经济变量。每一个内生变量的值都要利用模型中的全 部方程才能决定。 外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是 模型系统研究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。 外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。 先决变量：外生变量和滞后内生变量 注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程 ：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系 的计量经济学方程系统称为结构式模型。 结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先 决变量和随机干扰项的函数形式 完备的结构式模型：g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程 行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随 机扰动项。例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数 制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的 函数关系，如税收方程。 恒等式：定义方程式和平衡方程。 简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。 参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。
二、识别 方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。 ∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。 1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。 注：识别的定义是针对结构方程而言的。 模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。 如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型 系统是可以识别的。反之不识别。 恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。但是，在判 断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。 恰好识别：某一个随机方程只有一组参数估计量 过度识别：某一个随机方程具有多组参数估计量 方程的线性组合是否得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，决定了方程也是否是可以识别的。 2、如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别 （1）或者在其它方程中增加变量； （2）或者在该不可识别方程中减少变量。 （3）必须保持经济意义的合理性。 3、识 别条件 结构式: B ΓN Y X +=
Chaper5 面板数据模型 在联立方程模型中，我们已接触到面板数据模型，它仅是作为一种特殊的联立模式来讨论的。不同时间，到不同个体不加区别，仅是一种普通样本，采用POLS 方法处理。不同时间段和不同个体的特征没有考虑，而这些特征往往有明确的经济背景。本章以存在不可观测效应（Unobserved effect ）的现代观点重新阐释面板数据模型。 不可观测效应的含义是，从不同时间抽取的样本数据中，存在一个相对时间不变的不可观测的因素，称为异质性。例如，样本个体选择家庭而言，认知、动机、遗传等；样本个数选择企业而言，管理水平，创新能力等。如何处理这些潜在因素？除了前述的代理变量和多指标工具变量法外，合理应用面板数据的特征就是本章讨论的问题。此外，面板数据作为截面数据和时间序列数据动态混合，能反映模型的动态结构，故也可作为分析的内容加以讨论。深入的分析面板数据是学习时间分析之后，本章只是一个初步。合理运用面板数据，能给我们带来很多有意义的统计信息和模型。请看例： 例1：职业培训的评价: 欲评价培训的效果，（或实施某一政策的效果），一个标准的评价模型是： it i it it t it U C prog Z y ++++=1δγθ 这里t 为二期，t=1,2; t θ表示随时间变化的项，it Z 是可观察的影响因素Y 的随机变量；it prog 是虚拟变量，参加第二期培训为1,其它为0；i C 为个人是否选择接受培训的选择，它是不可观测的，是一个与个人相关的与t 无关的潜在因素。又为了消除政策因素外的其它影响，又在每个时间段中将Y 分成控制组B 和对照组A 两部分。在t=1,无人处在控制组，在t=2，部分人处在控制组部分人处在对照组。并再设置一个虚拟变量2d ，表示如t=2，处在控制组为1, 其余为为0。模型构成为： it i it it t t it U C prog Z d y +++++=12δγβθ， 则参数1δ就反映了政策因素对Y 的贡献。检验： 0H ：1δ＝0.接受0H 说明培训效果不是很显著。
第六章 联立方程计量经济学模型案例 1、下面建立一个包含3个方程的中国宏观经济模型，已经判断消费方程式恰好识别的，投资方程是过度识别的。对模型进行估计。样本观测值见表6.1 01211012t t t t t t t t t t t C Y C u I Y u Y I C G αααββ-=+++?? =++??=++? 表6.1 中国宏观经济数据 单位：亿元 （1） 用狭义的工具变量法估计消费方程 选取方程中未包含的先决变量G 作为内生解释变量Y 的工具变量，过程如下：
结果如下： 所以，得到结构参数的工具变量法估计量为： 012???582.27610.2748560.432124αα α===，， （2） 用间接最小二乘法估计消费方程 消费方程中包含的内生变量的简化式方程为： 1011112120211222t t t t t t t t C C G Y C G πππεπππε--=+++?? =+++? 参数关系体系为：
11121210012012122000 παπαπααππαπ--=?? --=??-=? 用普通最小二乘法估计，结果如下： 所以参数估计量为： 101112???1135.937,0.619782, 1.239898π ππ=== 202122???2014.368,0.682750, 4.511084π ππ=== 所以，得到间接最小二乘估计值为： 12122??0.274856?π α π ==
211121????0.432124α παπ=-= 010120????582.2758α παπ=-= （3）用两阶段最小二乘法估计消费方程 第一阶段使用普通最小二乘法估计内生解释变量的简化方程，得到 1?2014.3680.68275 4.511084t t t Y C G -=++ 用Y 的预测值替换消费方程中的Y ，直接用OLS 估计消费方程，过程如下：
第十章 联立方程组模型 第一节 联立方程组模型概述 一、问题的提出 1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。 2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。 3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。 二、联立方程组的概念 1、联立方程组模型的定义。 由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。 联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。 2、联立方程组模型的例子。 （1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。 ) 3()2(0 )1(012101110s i d i i i s i i i d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα 称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；d i Q 表示需求量，s i Q 表示供给量，i P 表示价格，i i u u 21,分别为（1）式和（2）式的随机误差项。按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。因此，通过这一联
立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。 （2）一个凯恩斯宏观经济模型。 011012(4)(5)(6) t t t t t t t t t t C Y u I Y u T C I G ββαα=++=++=++ 式中，C 表示消费，Y 表示国民总收入（又GDP ，实际上它们是有区别的），I 表示私人投资，G 表示政府支出，u1、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。 三、联立方程组模型的基本问题（即联立方程组模型的偏倚性） 1、内生解释变量与随机误差项的相关性。 2、直接对联立方程组模型运用OLS 法，所得的参数估计值是有偏的，并且是不一致的。 例如，设凯恩斯收入决定模型为 [][]01) (11)1() 0)(())(())())(((),cov(1)(11) 1(11)(111)1(1 01 2 21 11 1 1011101 1100110110≠-=-=-==-=--=-= -∴-+-=-+-+-=-+ -+-= ∴++=-+++=∴+=<<++=βσβββββββββββββββββββββU E U U E U E U Y E Y E U E U Y E Y E U Y U Y E Y I U E I Y E U I Y U I Y I U Y Y I C Y U Y C t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 表明内生变量Y 在作解释变量时与随机误差U 相关。 对凯恩斯模型中的消费函数求参数的估计，有（用离差形式表示）
第五章 联立方程组模型的估计 第一节 概述 一、联立方程的概念 在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关 系。还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。这样的例子比如市场均衡模型（具体内容是什么）宏观经济学中的国民收入模型（具体内容是什么）。这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。 简单来讲， 联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。 比如如下的简单的宏观经济模型： ()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-??=+??=++? 在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程
和一个均衡方程。比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。我们能够发现什么呢（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看） 二、模型中变量的分类 1、内生变量：（由模型内变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。 内生变量的性质：第一、内生变量与随机误差项是相关的；第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。 2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统内生变量的值。 外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件） 3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后内生变量和滞后外生变量）的统称。
第七章联立方程模型和两阶段最小二乘法 建立一个OBJECT。确定内外生变量： cc=c(1)+c(2)*PP+c(3)*PP(-1)+c(4)*(WP+WG) ii=c(5)+c(6)*PP+c(7)*PP(-1)+c(8)*KK WP=c(9)+c(10)*XX+c(11)*XX(-1)+c(12)*AA INST WG GG TT AA PP(-1) KK XX(-1) C 回归结果： System: KLEINMODEL Estimation Method: Two-Stage Least Squares Date: 07/13/11 Time: 15:29 Sample: 1921 1941 Included observations: 21 Total system (balanced) observations 63
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C(1) 16.55476 1.467979 11.27725 0.0000 C(2) 0.017302 0.131205
0.131872 0.8956 C(3) 0.216234 0.119222 1.813714 0.0756 C(4) 0.810183 0.044735 18.11069 0.0000 C(5) 20.27821 8.383249 2.418896 0.0192 C(6) 0.150222 0.192534
0.780237 0.4389 C(7) 0.615944 0.180926 3.404398 0.0013 C(8) -0.157788 0.040152 -3.929751 0.0003 C(9) 1.500297 1.275686 1.176070 0.2450 C(10) 0.438859 0.039603
Chapter4 联立方程模型 本章关注的目标Y 不止一个，而是多个。或者其中关注的某一目标与其它目标有内在联系，如果我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。例如，我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要同时知道该商品的供给曲线和需求曲线。自然也就存在多因多果的关系问题。从内生性问题角度看，某一解释变量i X 从另一方面考察可能成为Y 的结果，那么Y 就是原因，因为i X 中有Y 的成分，从而()0i E U X =不成立，产生内生性问题的第3种情形，联立性问题。 在第二章现代观点理念的陈述中，把Y 看成是一个随机向量（多个结果），所有的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。但由于因变量Y 的个数的增加，也就带来了许多“单方程线性回归模型”不曾有的问题。本章主要讨论联立的线性系统。内容主要在理论层面有：联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别，以及一些专题。其中GMM 方法是本章的特色。它把2SLS 的方法又提高了一步。 一、基本概念和模型 系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。线性系统则认为它们的联系是线性的。 变量：描述系统状态的基本要素。变量分成两类。一类是内生变量，含义是，一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。内生变量一般是系统要关注的对象。另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。它又分成：（1）外生变量，它的值由系统的外部给定；（2）滞后的内生变量，它的值由内生变量的前期确定。有时（1）（2）不加区分，统称为外生变量。不过这两种内生变量有实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。 线性模型：系统中的变量通过线性方程或加上随机误差项联系，称为联立系统的线性模型。联立模型分成简约式（reduced formed ）和结构式（structure form ）两种： 1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。 2、结构式：每个方程由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。结构式变 量前的系数有确定的经济内涵，它们一般从理论模型简化而成。一般把结构式分成四类： （1） 行为方程 （2） 技术方程 （3） 平衡方程 （4） 定义方程 每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。 系统的描述： Y 表示内生变量，设共有G 个内生变量：1Y ……G Y X 表示先决变量，设有M 个先决变量：1X ……M X U 表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数来定。 例：简单的宏观消费－投资模型： 消费方程：t t t U Y C ++=21αα 可加随机项 不可加随机项
第八章 联立方程的识别和估计 第一部分 学习指导 一、本章学习目的与要求 1．了解联立方程的概念，能正确区分联立方程中的外生变量、内生变量和前定变量； 2．理解联立方程模型估计时会出现什么问题，掌握联立方程模型的结构式和简化式的定义； 3．掌握联立方程模型识别的概念，能用识别的阶条件和秩条件判断模型是不可识别、恰好识别还是过度识别； 4．掌握联立方程模型的估计方法，重点掌握单方程估计方法——间接最小二乘法（ILS 法）、二阶段最小二乘法（2SLS 法），了解系统估计方法——三阶段最小二乘法（3SLS 法）。 二、本章内容提要 联立方程计量经济学模型是相对于单方程计量经济学模型而言的。它以经济系统为研究对象，以提示经济系统中各部分、各因素之间的数量关系和系统的数量特征为目标，用于经济系统的预测、分析和评价，是计量经济学模型的重要组成部分。其主要内容有： 1．联立方程计量经济学模型的提出：经济研究中的联立方程计量经济学问题，计量经济学方法中的联立方程问题。 2．联立方程计量经济学模型的若干基本概念：变量，结构式模型，简化式模型，参数关系体系。 3．联立方程计量经济学模型的识别：识别的概念，结构式识别条件，简化式识别条件，实际应用中的经验方法。 假设联立方程组中共含有g 个内生变量以及k 个外生变量构成的完备联立方程组，第i 个方程含有i g 个内生变量以及i k 个外生变量，∏为联立方程组的简化型系数矩阵，()B Γ，为联立方程组的结构型系数矩阵，以第i 个方程为代表，则有关的识别条件如下： （1）识别的必要条件 1-≥-i i g k k 其中：k 表示联立方程组中外生变量的个数，g 表示联立方程组中内生变量的个数，i k 表示第i 个方程含有的外生变量个数，i g 表示第i 个方程含有的内生变量个数。该条件的直观意思为该方程所排除的外生变量个数不小于其排除的内生变量的个数，也称为阶条件。 （2）识别的充要条件 在一个g 含有个内生变量的g 个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当，能从模型（其他方程）所含而该方程未含的诸变量（内生变量或前定变量）的系数矩阵中构造出至少一个(g -1)×(g -1)阶的非零行列式来。充要条件是从矩阵的秩出发而得出，因而又称为秩条件。 （3）结构方程可以识别的两种情况 （1）恰好识别：求解的结构参数值唯一，当1i i k k g -=-时，则该方程就是恰好识别； （2）过度识别：求解的结构参数值不唯一，当1i i k k g ->-时，则该方程就是过度 识别。 4．一种特殊的联立方程模型——递归系统模型：递归系统模型，递归系统模型的估计。 5．联立方程计量经济学模型的单方程估计方法：狭义的工具变量法，间接最小二乘法，二阶段最小二乘法；对于恰好识别的结构方程，三种方法是等价的。
第9章 联立方程模型 习 题 一、单项选择题 1．关于联立方程组模型，下列说法中错误的是（ ） A. 结构模型中解释变量可以是内生变量，也可以是前定变量 B. 简化模型中解释变量可以是内生变量， C. 简化模型中解释变量是前定变量 D. 结构模型中解释变量可以是内生变量 2．如果某个结构方程是恰好识别的，估计其参数可用（ ） A. 最小二乘法 B. 极大似然法 C. 广义差分法 D. 间接最小二乘法 3．在联立方程结构模型中，对模型中的每一个随机方程单独使用普通最小二乘法得到的估计参数是（ ） A. 有偏且一致的 B. 有偏不一致的 C. 无偏但一致的 D. 无偏且不一致的 4．在有M 个方程的联立方程组中，若用H 表示联立方程组中全部的内生变量与 全部的前定变量之和的总数，用表示第i 个方程中内生变量与前定变量之和的总数时，第i 个方程过度识别时，则有公式( )成立。 A. B. C. D. 5．在有M 个方程的联立方程组中，若用H 表示联立方程组中全部的内生变量加 上全部的前定变量的总个数，用表示第i 个方程中内生变量与前定变量之和 的个数时，则公式表示( ) A ．不包含在第i 个方程中内生变量的个数 B ．不包含在第i 个方程中外生变量的个数 C ．不包含在第i 个方程中内生变量与外生变量之和的个数 D ．包含在第i 个方程中内生变量与外生变量之和的个数 6．结构模型中的每一个方程都称为结构方程。在结构方程中，解释变量可以是前定变量，也可以是( ) A. 外生变量 B. 滞后变量 C. 内生变量 D. 外生变量和内生变量 i N 1i H N M ->-1i H N M -=-0i H N -=1i H N M -<-i N i H N -
第一讲联立方程（上）内生外生变量 联立方程概念 案例分析
案例：金融与经济的关系分析 鸡生蛋or蛋生鸡? 经济影响金融？ or 金融影响经济？ 联立方程？
本案例几个关键问题 内生变量如何确定？ 外生变量有哪些？ 联立方程如何估计？ 该案例以我国金融与经济的关系进行分析
（一）联立方程模型概念 1.联立方程模型——描述经济变量间联立依存性的方程体系。一个经济变量在某方程中可能是被解释变量，在另一方程中却是解释变量，如Y 、I 。 2、内生变量——由模型本身所决定的变量。 3、外生变量——由模型外因素决定的变量。 4、先决变量——包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。 ?????++= +++=++=-t t t t t t t t t t t G I C Y u Y Y I u Y C 21210 110βββαα内生变量 先决变量
（二）联立方程的分类 1.结构模型。把内生变量表达为其他内生变量、先决变量与随机误差项的联立方程模型。 2.简化型模型。把内生变量只表示为先决变量与随机误差项函数的的联立方程模型。 ◆消费方程，行为方程??? ??++=+++=++=-t t t t t t t t t t t G I C Y u Y Y I u Y C 21210110βββαα◆投资方程，行为方程◆定义方程，平衡方程?????++=++=++=---t t t t t t t t t t t t v G Y Y v G Y I v G Y C 3321 31222121112111ππππππ先决变量 简化式模型看不出方程中的结构关系，如消费结构、投资结构。
第八章联立方程模型 第1节、联立方程模型的概念 1、什么是联立方程模型 联立方程模型是相对于前面所学的单一方程模型提出的。单一方程模型中只含有一个被解释变量和若干个解释变量，这类方程最大的特征是，它只能描述经济变量之间的单向因果关系，即解释变量是因，被解释变量是果，例如Y=β0+β1X+u表示收入对服装支出的影响，收入是因，服装支出是果，而且这种因果关系是不可逆转的，不能用这个方程又解释服装支出对收入的影响。 但是，经济现象是错综复杂的，许多经济变量之间存在着交错的双向或多向因果关系，是相互依存，互为因果的。例如，收入影响消费，消费反过来也影响收入；价格影响着商品的需求和供给，反过来，商品的需求和供给关系又影响着商品的价格。因此，要想描述清楚一个经济系统中各个变量之间的关系，就需要用一组方程才能描述清楚。 联立方程模型：同时用若干个模型去表示一个经济系统中经济变量相互联立依存性的模型。 例如：由国内生产总值（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）、和政府开支（G）等变量构成的简单的宏观经济系统： 如果我们把政府开支（G）有系统外部实现给定，那么，就国内生产总值、居民消费总额、投资总额之间是互相影响并互为因果的。可以建立如下模型： Yt=Ct+It+Gt Ct=a0+a1Yt+u1t It=β0+β1Ytβ2Yt-1+μ2t 其中第一个方程表示国内生产总值由居民消费总额、投资总额和政府开支共同决定，在假定进出口平衡的情况下，是一个衡等方程；第二个方程表示居民消费总额由国内生产总值决定；第三个方程表示投资总额由国内生产总值和前一年的国内生产总值共同决定。这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。 2、联立方程模型的特点 1、模型中不止一个应变量，有M个方程可以有M个应变量； 2、应变量和解释变量之间不仅是单向的因果关系，可能是互 为因果； 3、解释变量有可能是随机的不可控变量，比如上例中，居民 消费总额和投资总额是随机变量，而国内生产总值由他们决 定，因此国内生产总值不是确定性的变量，它作为居民消费的
第十二章联立方程模型的识别 识别的概念： 联立方程模型是由多个方程组成。由于各个方程包含的变量之间可能存在互为因果的关系，某个方程的自变量可能是另一个方程中的因变量，所以需要对模型中的各个方程之间的关系进行严格的定义，否则联立方程模型中的系数就可能无法估计。所以在进行模型估计之前首先要判断它是否可以估计，这就是模型的识别。 关于识别的定义：就是指由简化式参数导出结构式参数的充分必要条件。识别一词的本意就是用来说明这种有简化式参数导出结构式参数的可能性的。 所谓统计形式，即方程中的变量与变量之间的函数关系式。“确定的统计形式”，也就是模型中其他方程或所有方程的任意线性组合所构成的新的方程，都不再具有这种统计形式。 第一节模型的识别 上述识别的定义是针对结构方程而言的。模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型是可以识别的。反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型是不可识别的。
结构式模型的一般形式： ;∑∑g k b Y +r X =μi =1,2,,g ij j ij j i j=1j=1 …………………(12.1) 矩阵形式为： BY+ΓX=μ…………………………………… (12.2) 一、 模型识别的两种含义： (1)从结构式参数和简化式参数的关系角度 一个结构方程可以识别是指它的全部结构式系数可以从参数关系体系的方程组求解出。 结构方程可以识别又包含两种情况：如果求解结构参数值唯一，则称恰好识别；如果求解结构参数值不唯一，则称过度识别。 (2)从结构方程的统计形式看 如果被识别方程具有确定的统计形式，则称这个结构方程可以识别，否则为不可识别。 确定的统计形式是指模型中若干个方程或全部方程以及它们的任意线性组合方程都与被识别方程含有不完全相同的变量。 只有当联立方程中每个随机结构方程都能识别，该模型才是可以识别的，否则是不可识别的。对于恒等式和制度方程，由于不含未知待定参数，均不存在识别问题。 二、模型识别的状态 1.不可识别 例子：
第五章二元一次方程组 6．二元一次方程与一次函数 府谷县第二初级中学苏悦 一、说学生 1.学生的知识技能基础：学生能够正确解方程（组），初步掌握了一次函数及其图像的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。 2.学生的活动经验基础：学生能够根据已知条件准确画出一次函数图象，能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换．在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验． 二、说学习内容 本节课的主要内容是二元一次方程(组)与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力． 三、说教学目标 1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系； 2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系； 3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法． 四、说重难点 教学重点二元一次方程和一次函数的关系； 教学难点数形结合和数学转化的思想意识． 五、说教法学法 启发引导与自主探索相结合的方法． 六、说教学过程 本节课设计了六个教学环节： 第一环节设置问题情境，启发引导； 第二环节自主探索，建立“方程与函数图像”的模型； 第三环节典型例题，探究方程与函数的相互转化； 第四环节反馈练习； 第五环节课堂小结； 第六环节作业布置．
第一环节 设置问题情境，启发引导 设置目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=5+-x 相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系． 效果：以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识． 第二环节 自主探索方程组的解与图像之间的关系 设置目的：通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础． 效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力． 第三环节 二元一次方程组的解与函数图像之间的关系特殊情况 设置目的：进一步揭示“数”与“形”转化关系．通过想一想，将两直线的另一种位置关系：平行与方程组无解相结合，这是对第二环节的有益补充。体现了从一般到特殊的的思想方法，有利于培养学生全面考虑问题的习惯． 效果：进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．进一步挖掘出两直线平行与k 的关系。 第四环节 反馈练习 设置目的：3个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况． 效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性 第五环节 课堂小结 设置目的：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用． 效果：充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励． 第六环节 作业布置 七、教后反思 本节课在学生学习了二元一次方程组和一次函数及其图像的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函数图像之间的对应关系，很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系．进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．教学过程中教师一定要注意将图像与函数解析式之间的对应问题阐述清楚，让同学们从根本上认识、理解和运用“数”与“形”之间的密切关系．因此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理，增加了反馈练习中的3个问题，并且在练习和拓展题目训练中进一步利用交点求三角形面积．
第五章联立方程组模型的估计 第一节概述 一、联立方程的概念 在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关系。还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。这样的例子比如市场均衡模型（具体内容是什么）宏观经济学中的国民收入模型（具体内容是什么）。这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。 简单来讲， 联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。 比如如下的简单的宏观经济模型：
()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-??=+??=++? 在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程和一个均衡方程。比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。我们能够发现什么呢（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看） 二、模型中变量的分类 1、内生变量：（由模型内变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。 内生变量的性质：第一、内生变量与随机误差项是相关的； 第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值 第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。
2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统内生变量的值。 外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件） 3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后内生变量和滞后外生变量）的统称。 前定变量的性质：第一，前定变量与模型的随机误差性不相关；第二，在模型中作为解释变量出现。 注意：1、联立方程模型和单一方程的变量的分类有什么差异（联立方程模型的分类、单一方程中的分类） 2、内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。 三、模型中方程的分类 1、行为方程：描述居民、企业和政府的经济行为。这类方程建立在相应的经济理论基础之上。也称之为随机方程（为什么），带有随机误差项。 2、技术方程：表示生产的技术关系。它也是随机方程（为什么），带有随机误差项。